M=n. Операции над матрицами

1. Матрица

Это прямоугольная таблица, состоящая из m×n элементов и содержащая m строк и n столбцов.

Числовая матрица – все элементы матрицы числа.

Квадратная матрица – m=n.

Операции над матрицами

Сложение – складываются все элементы, стоящие на одинаковых местах (только у равноразмерных).

Произведение – каждый элемент матрицы умножается на число (с).
2 Транспонирование

Транспонированная матрица – это матрица, полученная из матрицы А заменой строк столбцами.

Умножение матриц

Вводится только для согласованных матриц (число столбцов м-цы А должно совпадать со строками м-цы В).

При умножении матриц появляется новая матрица, элементы которой вычисляются по формуле: c₁₁=a₁₁b₁₁+a₁₂b₂₁+…(1 элемент 1 строки умножаем на 1 э-т 1 столбца + 2 э-т 1 с-ки на 2 э-т 2 с-ца, и т.д.)
3. Определители 2 и 3 порядков

Определители вводятся только для квадратных матриц. Определителем (Δ) или детерминалом матрицы А называется число det A.

Для 2-го порядка Δ вычисляется по формуле: a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁ (крест накрест).

Для 3-го порядка по правилу треугольников.

Свойства: 1) Δ единичной матрицы =1. 2) Δ треугольной матрицы = произведению элементов, стоящих на главной диагонали. 3) det(A*B)=detA*detB. 4) если строка или столбец = 0, то Δ=0.
4.Определитель n-го порядка

Определитель n-го порядка находится либо разложением по элементам строки (столбца), либо приведением определителя к треугольному виду.

Миноры и алгебраические дополнения

Минор матрицы А соответствующей элементу A_i_j – это Δ (n-1) порядка, получаемый путём вычёркивания i-ой строки или j-го столбца. A_i_j=(-1)ⁱ⁺^jM_ij называется алгебраическим дополнением к элементу a_ij_.

Разложение определителя

Δ раскладывается по элементам i-ой строки или j-го столбца по формуле: Δ = a_i₁A_i₁+ a_i₂A_i₂+…+ a_inA_in
5. Обратная матрица. Теорема о существовании обратной матрицы

Обратная матрица существует только для квадратных матриц.

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Матрица А^-1 обратная А, если выполняется условие: А^-1А=А А^-1=Е (единичная матрица).

Для того чтобы матрица А была обратной, необходимо чтобы она была невырожденной (Δ не должен =0).

Матрица, состоящая из алгебр. дополнений, полученная путём транспонирования называется союзной (А^с).

Вычисление обратной матрицы: 1) Находим Δ 0, 2) Вычислем алгебр. доп., 3) Строим А^си вычисляем:

А^-1= * А^с , 4) Делаем проверку А^-1А=Е
6. Ранг матрицы

Ранг матрицы – это максимальный порядок минора, отличный от нуля. Способы вычисления: 1)Если существует минор M_k0 (k - какой-то порядок минора) и все M_k₊₁=0, то ранг М=k. 2) Метод элементарных преобразований (матрицу приводят к треугольной и трапециевидной форме).

Элементарные преобразования

1) сложение 2-х любых строк матрицы. 2) Умножение элементов строки на число.

Теорема о базисном миноре

Базисный минор – это минор, не равный 0, порядок которого равен рангу матрицы.
7. СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений)

Если эта система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае несовместной. (b₁, b_2,b₃) – столбец свободных членов. (x₁, x_2,x₃) – решение системы, если при подстановке их в систему получаются верные равенства.

Решение систем по формулам Крамера

Сначала находим Δ и убеждаемся, что он не равен 0. Затем по формулам Крамера находим определители уже как бы новых матриц с заменой определённого столбца на столбец свободных членов. Находим переменные (x, y, z) по формулам Δx\ Δ и т.д. Делаем проверку.
8. СЛАУ (система линейных алгебраических уравнений)

Если эта система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, в противном случае несовместной. (b₁, b_2,b₃) – столбец свободных членов. (x₁, x_2,x₃) – решение системы, если при подстановке их в систему получаются верные равенства.

Матричный метод

Сначала находим Δ и убеждаемся, что он не равен 0. Находим союзную матрицу, а затем обратную по формуле А^-1= * А^с. Затем находим переменные (x, y, z) и делаем проверку.
9. Решение произвольных СЛАУ

Берём обычную систему уравнений, где А – матрица системы, а добавление к матрице А столбец свободных членов даёт нам расширенную матрицу

.

Теорема Кренекера-Капелли

Для того, чтобы система уравнений была совместна, необходимо чтобы ранг А = рангу

.

Если: 1) r_A= =n, то система имеет единственное решение. n – последний член элемента (a₁_n)

2) r_A= , то система имеет бесконечное кол-во решений.
10. Векторы в пространстве

Вектор – это направленный отрезок. – свободный;

– имеющий точку приложения. Длина вектора – модуль.

Линейные операции над векторами

1) сложение (по правилу треугольника и параллелограмма). Суммой 2 векторов

и явл. , начало которого совпадает с началом 1 вектора (

), а конец - с концом 2 вектора

.

2) вычитание (

. Разностью

и явл. , конец которого совпадает с концом

, а начало - с концом

.

3) умножение на число (Условия: 1) существует

; 2)

и направлены одинаково если с 0.
11. Координаты вектора в пространстве.

3 вектора (

) образую базис в пространстве если они взаимно ⊥ и имеют единичную длину.

=a_x+a_y+a_z

= (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁). = – длина вектора

Направляющие косинусы вектора

a_x = Пр_Ox = *cosα; a_y = Пр_Oy = cosβ; a_z = Пр_Oz = cosγ; cosα=

Проекции вектора на ось

образованный с помощью осей Ox, Oy, Oz, образует углы α, β, γ.
12. Скалярное произведение 2 векторов

Это число, равное произведению длин этих векторов на cos угла между ними.

* = * cosφ

Свойство: 1)

* = *

2) (

* ) = * * )

3) Скалярное произведение на число = произведение числа на один из векторов и * на 2 вектор.

4)

* =0, если вектора

явл. Ортогональными (

⊥ ).
13. Векторное произведение 2 векторов

Векторным произведением 2 векторов

явл.

, который удовлетворяет условиям: 1) ⊥ , ;

2)

, , – правая тройка векторов. 3)

= * sinφ (модуль произв. 2 векторов – площадь параллелограмма)

Свойство:

1)

= -

2)

= +

3)

= 0 если //
14. Смешанное произведение 3 векторов

Это число = скалярному произведению 3-го вектора на векторное произведение 2-х первых векторов.

* * = ( )

- объём параллелепипеда.

Свойство:

1) От перемены мест множителей произведение не меняется.

= =

2) Если умножить на число, то оно умножается с одним из членов произведения.

3) (α- β)( = α( + β (
15. Базис в пространстве

Компланарные векторы лежат в одной плоскости.

3 любых некомпланарных вектора образуют базис в пространстве.

Разложение вектора по базису

Любой вектор можно разложить по базису таким способом: допустим B (

, ) – базис, а (α, β, γ) координаты определённого вектора, например

. Тогда разложение

по базису имеет вид:

= α + β + γ
16. Прямая на плоскости

Вектором нормали называется вектор перпендикулярный плоскости. Пусть вектор

= (𝐴, 𝐵) является вектором нормали к прямой 𝑙. Произвольная точка плоскости 𝑀(𝑥, 𝑦) принадлежит прямой 𝑙 тогда и только тогда, когда

⊥ , т.е. скалярное произведение этих векторов

* = 0

Её уравнения

1) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали 𝐴(𝑥–𝑥₀)+𝐵(𝑦−𝑦₀)=0

2) Общее уравнение прямой: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
17. Различные уравнения плоскости

а) Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0

б) Уравнение проходящее через точку M₀(x₀,y₀,z₀) и ⊥ вектору нормали

(A,B,C): A(x-x₀) + B(y-y₀) +C(z-z₀)=0

в) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.

г) Уравнение плоскости в отрезках:

18. Угол между плоскостями

Допустим, мы имеем 2 уравнения плоскости (α: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0 и β: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0) и нам нужно вычислить угол между 2 плоскостями – двугранный угол. Он вычисляется по формуле: cos = (отношение произведения

₁* ₂ к произведению модулей векторов нормали).

Взаимное расположение плоскостей

Две плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются.