11
3.2.2
Визначення реакцій у в’язях. Для знаходження опорних реакцій побудуємо розрахункову схему рами (Рисунок 3.2) та задамо напрямок їх дії.
Рисунок 3.2 – Розрахункова схема
Розглянемо дві ділянки рами окремо, а зв'язок між ними з іншими частинами конструкції замінимо двома реакціями та складемо рівняння рівноваги.
Ділянка АВ (Рисунок Рисунок 3.3 – Схема ділянки АВ
Складемо рівняння рівноваги та визначимо невідомі реакції використовуючи пакет Mathcad.

12
Ділянка ED (Рисунок Рисунок 3.4 – Схема ділянки ED
HB
0
:=
VA
0
:=
VB
0
:=
Given
SFx HB
0
SFy VA
VB
-
0
SMb M
-
M
+
VA l
×
+
0
HB
VA
VB
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
Find HB VA
,
VB
,
(
)
:=
HB
VA
VB
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
0 0
0
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
=
HD
0
:=
HE
0
:=
VD
0
:=
VE
0
:=
Given
SFx HD
-
HE
+
0
SFy VD F
+
VE
+
0
SMe HD
- h
×
F l
×
-
0

13
Від’ємні значення вказують нате, що початковий напрям дії опорних реакцій вибраний невірно. Врахуємо це у подальшому розрахунку.
Розглянемо раму в цілому і знайдемо інші невідомі значення.
Для перевірки отриманих значень складемо рівняння рівноваги відносно точки А.
Система зрівноважена – опорні реакції знайдено правильно F
- l
×
HE h
×
-
0
HD
HE
VD
VE
æç
ç
ç
çè
ö÷
÷
÷
÷ø
Find HD HE
,
VD
,
VE
,
(
)
:=
HD
HE
VD
VE
æç
ç
ç
çè
ö÷
÷
÷
÷ø
3
-
3
-
0 6
-
æç
ç
ç
çè
ö÷
÷
÷
÷ø
=
MR
0
:=
HC
0
:=
VC
0
:=
Given
S
Fx F
HC
+
HE
+
0
S
Fy VA
VC
-
VE
+
F
+
0
S
Mc
MR
-
M
-
M
+
VA l
×
+
F
2
× h
×
+
HE h
×
+
VE l
×
-
F
2
× l
×
-
0
MR
HC
VC
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
Find MR HC
,
VC
,
(
)
:=
MR
HC
VC
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
24 3
-
0
æç
çè
ö÷
÷ø
=
M
M
-
F h
×
+
VC l
×
-
HC h
×
-
MR
-
VE
2
× l×
-
F
3
× l×
-
0
=

14
3.2.3
Побудуємо епюри, визначивши внутрішні зусилля у кожному стержні
рами, використовуючи метод перерізів.
Повздовжні сили:
кН
кН
Поперечні сили:
кН
кН
кН
кН
Згинальні моменти:
кНм кНм кНм кНм
Nab
0
:=
0
x
£
2
£
Ncb
VC
:=
0
x
£
4
£
Nbk
0
:=
4
x
£
8
£
Nkd
F
-
HC
+
:=
0
x
£
2
£
Ned
VE
:=
0
x
£
4
£
Ngd
0
:=
0
x
£
2
£
Nab
0
=
Ncb
0
=
Nbk
0
=
Ned
6
-
=
Ngd
0
=
Nkd
9
-
=
Qab
VA
:=
0
x
£
2
£
Qcb
HC
:=
0
x
£
4
£
Qbk
HC
:=
4
x
£
8
£
Qkd
VC
:=
0
x
£
2
£
Qed
HE
:=
0
x
£
4
£
Qgd
F
:=
0
x
£
2
£
Qab
0
=
Qcb
3
-
=
Qbk
3
-
=
Qed
3
-
=
Qgd
6
=
Qkd
0
=
Mab x
( )
M
0
x
£
2
£
if
M
0
x
£
2
£
if
:=
Mab
0
( )
8
=
Mab
2
( )
8
=
Mcb x
( )
MR
-
HC x
×
+
(
)
0
x
£
4
£
if
MR
-
HC x
×
+
(
)
0
x
£
4
£
if
:=
Mcb
0
( )
24
-
=
Mcb
4
( )
36
-
=
Mbk x
( )
MR
-
HC x
×
+
M
-
(
)
4
x
£
8
£
if
MR
-
HC x
×
+
M
-
(
)
4
x
£
8
£
if
:=

15
кНм кНм кНм кНм
За отриманими значеннями побудуємо епюри повздовжніх сил (Рисунок 3.5),
поперечних сил (Рисунок 3.6) та згинальних моментів (Рисунок Рисунок 3.5 – Епюра повздовжніх сил )
44
-
=
Mbk
8
( )
56
-
=
Mkd x
( )
VD x
×
0
x
£
4
£
if
VD x
×
0
x
£
4
£
if
:=
Mkd
0
( )
0
=
Mkd
4
( )
0
=
Med x
( )
HE x
×
0
x
£
4
£
if
HE x
×
0
x
£
4
£
if
:=
Med
0
( )
0
=
Med
4
( )
12
-
=
Mgd x
( )
F x
×
0
x
£
2
£
if
F x
×
0
x
£
2
£
if
:=
Mgd
0
( )
0
=
Mgd
2
( )
12
=

Рисунок 3.6 – Епюра поперечних сил
Рисунок 3.7 – Епюра згинальних моментів

17
4 Задача №5 Розрахунок на жорсткість і міцність ферми Визначити внутрішні сили у стержнях для заданої ферми (Рисунок методами вирізання вузлів та Ріттера. Підібрати розміри поперечних перерізів стержнів і дати рекомендації щодо вибору профілів (для першої ферми у кожному варіанті – кутник рівнобічний, для другої – двотавр для верхнього і нижнього поясу,
швелер для стійок і розкосів. Допустимі напруження: на розтяг [σ + ] = 150 МПа, на стиск [σ − ] = 100 МПа.
Рисунок 4.1 – Схема ферми
Таблиця 4.1 – Початкові дані
Параметр
Значення
P1, кН
48
P2, кН
0
P3, кН
25
q, кН/м
30
a, мм Алгоритм і виконання поставленої задачі
Розрахунок ферми полягає у визначенні внутрішніх зусиль в її стержнях. Для початку розрахунку побудуємо розрахункову схему (Рисунок 4.2) і знайдемо невідомі
геометричні характеристики заданої конструкції. На схемі позначимо опорні реакції
та пронумеруємо кожен стержень.
Рисунок 4.2 – Розрахункова схема ферми
Знаходимо невідомі геометричні характеристики конструкції засобами Mathcad.
cos a
1 1.2
h
×
1.2
h
×
(
)
2
a
2
+
:=
sin a
1
a
1.2
h
×
(
)
2
a
2
+
:=
cos a
1 0.804
=
sin a
1 0.595
=
cos a
3 2
a
×
2
a
×
(
)
2 1.2
h
×
h
-
(
)
2
+
:=
sin a
3 1.2
h
×
h
-
2
a
×
(
)
2 1.2
h
×
h
-
(
)
2
+
:=
cos a
3 0.994
=

19
м.
м.
Знаходимо опорні реакції, що виникають в конструкції під дією зовнішнього навантаження.
sin a
3 0.112
=
tan a
3
sin a
3
cos a
3
:=
b a tan a
3
×
:=
b
0.36
=
CF
h b
+
:=
CF
3.96
=
cos a
4
CF
CF
2
a
2
+
:=
sin a
4
a
CF
2
a
2
+
:=
cos a
4 0.778
=
sin a
4 0.629
=
cos a
2
h h
2
a
2
+
:=
sin a
2
a h
2
a
2
+
:=
cos a
2 0.747
=
sin a
2 0.664
=
HE
0
:=
VE
0
:=
VF
0
:=
Given
P3
HE
-
0
q
- a
×
2
VE
+
q a
×
-
VF
+
q a
×
-
P1
+
q a
×
2
-
0
P3 1.2
×
h
×
q a
×
2
a
×
- q a
× a
×
+
VF a
×
- q a
×
2 2
× a
×
+
P1 2
× a
×
-
0

20
Виконаємо перевірку отриманих значень склавши рівняння рівноваги моментів відносно точки Сума моментів приблизно дорівнює нулю, отже опорні реакції знайдено вірно,
а напрям їх дії співпадає з початковим.
Знайдемо внутрішні зусилля у ферми методом вирізання вузлів. Для цього відокремимо кожен вузол (Рисунок 4.3), замінивши зв'язок зі стержнями силами, що умовно діють на розтяг у сторону відокремленої частини конструкції.
Рисунок 4.3 – Відокремлені вузли
HE
VE
VF
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
Find HE VE
,
VF
,
(
)
:=
HE
VE
VF
æ
ç
ç
è
ö
÷
÷
ø
25 158.25 81.75
æç
çè
ö÷
÷ø
=
P3 1.2
× h
×
q a
×
2 2
× a
×
- q a
× a
×
-
VE a
×
+
q a
×
2
a
×
+
P1 a
×
-
5.684
-
10 12
-
´
=

21
Тепер складемо рівняння рівноваги сил для кожного вузла використовуючи пакет
Mathcad.
Вузол A
Вузол B
Вузол E
N1 0
:=
N2 0
:=
Given
P3
N1
+
N2 sin a
1
×
+
0
q
- a
×
2
N2 cos a
1
×
-
0
N1
N2
æ
ç
è
ö
÷
ø
Find N1 N2
,
(
)
:=
N1
N2
æ
ç
è
ö
÷
ø
10.556 59.734
-
æ
è
ö
ø
=
N4 0
:=
N3 0
:=
Given
N1
-
N4 cos a
3
×
+
0
q
- a
×
N3
-
N4 sin a
3
×
-
0
N3
N4
æ
ç
è
ö
÷
ø
Find N3 N4
,
(
)
:=
N3
N4
æ
ç
è
ö
÷
ø
97.188
-
10.622
æ
è
ö
ø
=
N6 0
:=
N7 0
:=
Given
N7
HE
-
N6 sin a
4
×
+
N2 sin a
1
×
-
0

22
Вузол С
Вузол D
N3
VE
+
N6 cos a
4
×
+
N2 cos a
1
×
+
0
N6
N7
æ
ç
è
ö
÷
ø
Find N6 N7
,
(
)
:=
N6
N7
æ
ç
è
ö
÷
ø
16.794
-
1.602
-
10 12
-
´
æç
è
ö÷
ø
=
N5 0
:=
N8 0
:=
Given
N5 cos a
3
×
N4 cos a
3
×
-
N6 sin a
4
×
-
0
q
- a
×
N8
-
N5 sin a
3
×
-
N4 sin a
3
×
+
N6 cos a
4
×
-
0
N5
N8
æ
ç
è
ö
÷
ø
Find N5 N8
,
(
)
:=
N5
N8
æ
ç
è
ö
÷
ø
1.546 10 12
-
´
81.75
-
æç
è
ö÷
ø
=
N9 0
:=
N10 0
:=
Given
N5
- cos a
3
×
N9 cos a
2
×
-
0
q
- a
×
2
N10
-
N9 sin a
2
×
-
0
N9
N10
æ
ç
è
ö
÷
ø
Find N9 N10
,
(
)
:=
N9
N10
æ
ç
è
ö
÷
ø
2.056
-
10 12
-
´
48
-
æç
è
ö÷
ø
=

23
Вузол G
Останній вузол F вважаємо перевірочним і сума сил, що діють у ньому має
дорівнювати нулю.
Таким чином знайдені зусилля вірні.
Застосуємо метод Ріттера і перевіримо за допомогою нього правильність знаходження внутрішніх зусиль у фермі. Значення мають співпадати.
Проведемо переріз через стержні 5, 9, 11 (Рисунок 4.4) і складемо рівняння моментів. Плечі сил відносно моментних точок знайдемо графічним способом.
Рисунок 4.4 – Перерізи частини ферми за Ріттером
N11 0
:=
Given
N11
-
0
P1
N10
+
0
N11 0
:=
N10
P1 48
-
N11
N7
-
N9 cos a
2
×
+
6.573 10 14
-
´
=
N8
VF
+
N9 sin a
2
×
+
1.678
-
10 12
-
´
=

24
- сума моментів відносно точки D
- сума моментів відносно точки F
- сума моментів відносно точки k1
Проведемо переріз через стержні №4,6,7 (Рисунок 4.4) та складемо рівняння моментів
- сума моментів відносно т- сума моментів відносно т.С
- сума моментів відносно т h
×
0
N11 0
=
P1
- a
×
N5 3.935
×
- q a
×
2
a
×
+
0
N5
P1
- a
×
q a
×
2
a
×
+
3.935
:=
N5 0
=
P1 31.992
×
q a
×
2 31.992
×
-
N9 26.308
×
-
0
N9
P1 31.992
×
q a
×
2 31.992
×
-
26.308
:=
N9 0
=
q a
× a
×
VF a
×
-
P1 2
× a
×
- q a
×
2 2
× a
×
+
N4 4.292
×
-
0
N4
q a
× a
×
VF a
×
-
P1 2
× a
×
- q a
×
2 2
× a
×
+
4.292
:=
N4 10.624
=
N7 CF
×
q a
×
2
a
×
+
P1 a
×
-
0
N7
q a
×
2
a
×
P1 a
×
-
CF
:=
N7 0
=
N6
-
29.867
×
VF
35.2
×
+
q a
×
35.2
×
-
P1 32
×
+
q a
×
2 32
×
-
0
N6 16.794
-
=

Як бачимо з отриманих результатів знайдені внутрішні зусилля методом Ріттера співпадають з тими значеннями, що знайдені методом вирізання вузлів. Побудуємо за цими значеннями епюри внутрішніх зусиль (Рисунок Рисунок 4.5 – Епюри внутрішніх зусиль
Підберемо розміри поперечних перерізів стержнів та приймемо профілі для елементів конструкції згідно з умовою задачі.
кН/см
2
кН/см
2
см
2
см
2
см
2
см
2
см
2
см
2
см
2
N6
VF
35.2
×
q a
×
35.2
×
-
P1 32
×
+
q a
×
2 32
×
-
æ
è
ö
ø
29.867
:=
s adm1 15
:=
s adm2 10
:=
A1
N1
s adm1
:=
A2
N2
s adm2
:=
A3
N3
s adm2
:=
A4
N4
s adm1
:=
A5 0
:=
A6
N6
s adm2
:=
A7 0
:=
A8
N8
s adm2
:=
A10
N10
s adm2
:=
A11 0
:=
A1 0.704
=
A2 5.973
=
A3 9.719
=
A4 0.708
=
A6 1.679
=
A8 8.175
=
A10 4.8
=