1   2   3   4
Ім'я файлу: курсова.doc
Розширення: doc
Розмір: 994кб.
Дата: 23.04.2020
скачати
Пов'язані файли:
нім.docx
РЕФЕРАТ.docx

В.

(х4 + х3 – 12х2) + (х3 + х2 – 12х) + (-2х2 – 2х + 24) = 0;

х2 (х 2 + х – 12) + х (х2 + х – 12) – 2 (х2 + х – 12) = 0;

(х2 + х – 12) (х2 + х – 2) = 0.

Тоді    х2 + х – 12 = 0  і  х2 + х – 2 = 0.

Отже,      х1 = 3;  х2 = - 4;  х3 = 1;  х4 = -2.

 

 

Симетричні рівняння.

Рівняння

аxп + bxп-1 + cxп-2+ … + сх2 + bx + a = 0,

у яких коефіцієнти членів, однаково віддалені від початку і кінця, рівні, називаються симетричними або зворотними. Наприклад,

х7 + 2х6 – 5х5 – 13х4 – 13х3 – 5х2 + 2х + 1 = 0.

Симетричне рівняння має таку властивість: якщо число х1 є розв’язком, то обернене число   також буде його розв’язком ( Жоден з коренів симетричного рівняння не може дорівнювати нулю).

Симетричне рівняння може бути як парного, так і непарного степенів. Спосіб розв’язання такого рівняння парного степеня представляю на прикладі рівняння четвертого степеня

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0.

Поділивши обидві частини рівняння на х2 (оскільки х ≠ 0 ), одержую

aх2 + bx + c + +  = 0.

Згрупувавши члени з однаковими коефіцієнтами маємо

a ( х2 +  ) + b ( x + ) + c = 0.

Замінюючи  х +   на  у, одержую

х2 +  = у2 – 2.

Отже, симетричне рівняння четвертого степеня зводиться до квадратного рівняння.

Симетричне рівняння парного степеня можна звести за допомогою підстановки   у = х +   до рівняння в два рази меншого степеня, ніж вихідне. Для цього ділять всі члени даного рівняння на хп  ( якщо степінь даного був 2п) і групують члени, рівновіддалені від кінця і початку. Після цього роблять зміну за формулами

у = х + ;      х2 +  = у2 -2;      х3 +  = у3 – 3у  і т. ін.

Симетричне рівняння непарного степеня має корінь х = - 1. Якщо це рівняння поділити на х + 1, то одержимо симетричне рівняння першого степеня, на одиницю меншого, ніж степінь вихідного рівняння.

Таким чином, будь-яке симетричне рівняння непарного степеня зводиться до двох рівнянь: х + 1 = 0 і симетричного рівняння парного степеня, на одиницю меншого, ніж степінь вихідного рівняння.

Приклад. Розв’язати рівняння

2х5 + 5х4 – 13х3 – 13х2 + 5х + 2 = 0.

Це  – симетричне рівняння непарного степеня, отже, воно має корінь х = -1.  Поділимо многочлен, що є в лівій частині даного рівняння, на х + 1. Одержимо

2х4 + 3х3 – 16х2 + 3х + 2

Отже, для визначення інших коренів даного рівняння треба роз’язати рівняння

2х4 + 3х3 – 16х2 + 3х + 2 = 0,

або

2 ( х2 + ) + 3 (x + ) – 16 = 0.    

Підставляємо  у = х +  , одержуємо 2 ( у2 – 2 ) + 3у – 16 = 0, звідки у1 = - 4;

у2 = 2,5.

Отже,  х2 + 4х + 1 = 0  і  2х2 – 5х + 2 = 0.

Відповідь.  х1 = - 1;  х2,3 = -2    ;  х4 = 2;  х5 =  .

Розділ IV. Приклади розв’язування деяких рівнянь вищих степенів.

 

Приклад.

Розв’язати рівняння х4 - 8х + 63 = 0.

 

Розв’язок.

Перетворимо ліву частину рівняння:

 

х4 - 8х + 63 = х4 + 16х2 + 64 – 16х2 - 8х - 1 = (х2 + 8)2 - (16х2 + 8х + 1) = (х2 + 8)2 - (4х + 1)2 = (х2 + 4х + 9)(х2 – 4х + 7). Отже,

 



Кожне з цих рівнянь не має дійсних коренів, отже, вихідне рівняння рішень не має.

 

Відповідь. Не має коренів

 

Приклад.

Розв’язати рівняння х4 + 3х +1 = 3х3 +  х2.

Розв’язок.

З цього рівняння отримаємо:

 

х4 - 3х3 + 3х3 +1 =    х2, або

, або

, звідки

.

 

З першого рівняння: , з другого рівняння: .

 

Відповідь. ,

 

Приклад.

Розв’язати рівняння х4 + 4х -1 = 0.

 

Розв’язок.

Перепишемо дане рівняння у вигляді

х4 + 2х2 + 1 – 2х2 + 4х - 2 = 0, або

(х2 + 1)2 - 2 (х - 1)2 = 0, або

(х2 + 1 + √2(х - 1))(х2 + 1 - √2 (х - 1)) = 0.

 

Таким чином, дане рівняння розпадається на два квадратні рівняння

х2 + 1 + √2(х - 1) = 0 і х2 + 1 - √2 (х - 1) = 0.

З першого рівняння знаходимо , друге рівняння не має дійсних коренів.

 

Відповідь. .

Приклад.

Розв’язати рівняння 2х3 - 6х+5 = 0.

 

Розв’язок. Перший спосіб.

Зробимо підстановку х = у + . Тоді

, або

 

2у6 + 5у3 + 2 = 0.

Звідси у3 = -2, у3 = - . Очевидно, що значення х не
змінюється, якщо замінити у на  Отже, для знаходження х достатньо використовувати рівняння у3 = - 2. Це рівняння має єдиний дійсний корінь
, а тому .

 

Другий спосіб.

Скористаємося відомою тотожністю

a3+b3+c3- 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2 – ab – ac – bc).

 

Вихідне рівняння запишемо у вигляді х3 - 3х + 2 +  = 0. З допомогою тотожності його можна розкласти на множники, підставивши a3 = x, b3 = 2, c3 = .

 

Відповідь. .

 

Приклад.

Розв’язати рівняння .

 

Розв’язок.

З даного рівняння знайдемо:

6(х5 + 1) – 11х(х3 + 1) = 0.

Розділимо обидві частини рівняння на х + 1. Тоді дане рівняння розкладається на два рівняння:

х + 1 = 0 і 6(х4 - х3 + х2 - х + 1) - 11х (х2 - х + 1) = 0.

 

З першого рівняння: х1 = -1.

З другого рівняння:

6х4 - 17x3 + 17х2 - 17х + 6=0, або



звідки  З цих рівнянь: х2 = 2, х3 =  .

 

Відповідь. -1; 2;   .

 

Приклад.

Розв’язати рівняння .

 

Розв’язок.

З даного рівняння знайдемо:

78 (х6 - 1) - 133х (х4 - 1) = 0, або

(х2 - 1)(78 (х4 + х2 + 1) - 133х (х2 +1)) = 0.

 

Відповідно, х2 — 1 = 0 і  78 (х4 + х2 + 1) - 133х (х2 + 1) = 0.

 

З першого рівняння: х1,2 = ± 1. З другого рівняння отримуємо зворотне рівняння

 78х4 – 133х3 + 78х2 - 133х + 78 = 0, або



звідси .

 

З цих рівнянь отримуємо:

х3 = , х4 = .

Відповідь. ± 1; 1,5; .

 

 ВИСНОВОК

Переглянувши історію розвитку алгебри, дослідження вчених 15-18ст., зрозуміла, який шлях пройшло людство, щоб навчитись розв’язувати рівняння вищих степенів.

Загальних формул, за якими б розв’язувались ці рівняння, до цього часу так і не знайшли. Але математика розвивається сучасних умовах, тому, я впевнена, що омріяні формули будуть знайдені.

Я ж навчилась використовувати теорему Безу, розв’язувати симетричні рівняння, знаходити нестандартні підходи до розв’язування інших рівнянь вищих степенів. Я не великий дослідник та вчений, я тільки вчуся, але буду розв’язувати і надалі такі рівняння, співставляти та проводити аналогії, і, можливо, віднайду шлях до нових алгебраїчних перетворень, який приведе до знаходження загальних коренів рівнянь вищих степенів.

 Поняття рівняння являється одним із фундаментальних понять алгебри, адже рівняння є своєрідною формою аналітичного методу мислення. Безліч задач з курсу геометрії, хімії , фізики можна звести до створення математичної моделі, яка часто являє собою рівняння, яке ми повинні вміти розв'язати. Тобто рівняння можна розглядати як символічний запис для пізнання реальної дійсності.

Саме розв'язуючи рівняння ми розвиваємо уміння розмірковувати, спів- ставляти і протиставляти факти, порівнювати рівняння з розв'язаними раніше, знаходити в них спільне й відмінне.

Розв'язування рівнянь вищих степенів дає нам можливість застосовувати в комплексі всі методи, знайомі нам з перетворень многочленів, а також - необхідність розширення множини дійсних чисел і утворення поля комплексних чисел. Кількість коренів рівнянь, розгляданих в роботі, ще раз переконує нас в тому, що рівняння n-го степеня має не більш як n розв'язків.

 

 





1   2   3   4

скачати

© Усі права захищені
написати до нас