1 2 3 рис. 2. Графік фінітної функції. Запишемо умову ортогональності (1.50): , (1.62) і отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих .Праві частини цих рівнянь позначимо через і отримаємо для їх обчислення вираз (1.63) Коефіцієнти системи рівнянь (1.62) позначимо через Знайдемо вирази для коефіцієнтів системи рівнянь з невідомими . Підставляючи в останній вираз , отримаємо Перший з інтегралів у цьому виразі обчислимо по частинах: Оскільки за граничних умов (1.60) використовуються , базисних функцій від до і всі вони в точках і дорівнюють 0, то Тоді вираз для обчислення набуває вигляду: (1.64) Для обчислення треба знайти значення похідних від фінітних функцій. Із цією метою диференціюємо (1.61) і отримуємо: (1.65) Функція відмінна від нуля тільки на інтервалі . Крім того, на одному і тому ж інтервалі ненульовими є дві базисні функції і їх похідні з сусідніми індексами (рис. 3), тобто на інтервалі відмінні від нуля , , , і т. д. рис. 3. Система фінітних функцій. У виразі для (1.64) добутки , , можна вважати відмінними від нуля тому, що на елементарному інтервалі не дорівнюють нулю фінітні функції та їх похідні, які мають сусідні індекси у випадках, коли . А це означає, що для , (1.66) тобто матриця системи (1.62) є тридіагональною матрицею. її ненульові елементи обчислюються таким чином. Формули для діагональних елементів отримаємо, приймаючи у виразі (1.64): (1.67) Для , отримаємо формули для елементів правої бічної діагоналі матриці : , (1.68) а для - лівої; Три останні вирази визначають систему алгебраїчних рівнянь (1.62) для невідомих коефіцієнтів . Розглянемо розв’язання задачі (1.59) у випадку неоднорідних граничних умов , (1.70) і зведемо її до розв'язання задачі з однорідними граничними умовами. Для цього введемо заміну: , де . Двічі диференціюючи цю функцію і підставляючи вирази для похідних у рівняння (1.59), отримаємо крайову задачу з однорідними граничними умовами: , , . (1.71) Постановка задачі Щоб знайти єдиний розв'язок звичайного диференціального рівняння, необхідно задати деякі допоміжні умови, що використовуються для обчислення інтегрування. Для рівняння n-ого порядку потрібно п таких умов. Якщо ці умови задаються для одного значення незалежної змінної (зокрема, для одного кінця інтервалу, на якому необхідно знайти розв'язок), то говорять про початкові умови для задачі Коші. Якщо ж додаткові умови задаються для значень незалежної змінної на різних кінцях інтервалу, то мають на увазі крайову задачу і граничні умови для неї. Двоточкова крайова задача для рівняння другого порядку має такий вигляд: (1.1) із граничними умовами (1.2) Перш ніж застосовувати будь-який чисельний метод, варто перевірити умови, що гарантують існування розв'язку цієї задачі. Наведена нижче теорема визначає загальні умови, що забезпечують існування й одиничність розв'язку. Теорема. Припустимо, що неперервна в області І що і Теж неперервні на . Якщо існує постійна , для якої виконуються умови для всіх для всіх (1.3) то крайова задача (1.1) (1.2) має єдиний розв'язок для . Найчастіше зустрічаються і найкраще вивчені двоточкові лінійні крайові задачі виду , (1.4) , (1.5) де , Умови, які повинні задовольняти функції , і , для того щоб задача (1.4), (1.5) мала єдиний розв'язок, випливають із теореми як наслідок. Наслідок. Якщо і неперервні на і , то задача (1.4), (1.5) має єдиний розв'язок на . Граничні умови (1.5) визначають третю крайову задачу для рівняння (1.4). Якщо припустити, що , то умови (1.5) визначають першу крайову задачу, а коли - другу. Точне (аналітичне) розв'язання крайових задач - більш складна процедура, ніж знаходження розв'язку задачі Коші. Це спричинило появу великої кількості наближених методів. Ці методи можна розділити на дві групи: наближено-аналітичні методи, що дають наближений розв'язок крайової задачі на відрізку у вигляді конкретної аналітичної функції, і чисельні методи, що визначають розвозок у вигляді табличної функції, заданої на сітці відрізка . Метод скінченних різниць Ідея методу скінченних різниць полягає в тому, що похідні в диференціальному рівнянні (1.4) і граничних умовах (1.5) заміняються їх скінченними різницями. Для цього спочатку введемо на відрізку сітку з кроком : . Позначимо через точний розв'язок задачі (1.1) у і-му вузлі сітки, а через - наближений розв'язок у цій точці. Заміняючи в кожному внутрішньому вузлі сітки похідні різницями, отримаємо різницеві рівняння: , Симетричні різницеві апроксимації похідних першого і другого порядків мають похибку другого порядку відносно , тобто . Це легко довести на основі розкладання в ряд Тейлора точного розв'язку рівняння. Дійсно, для вузлів та маємо з різниці яких отримуємо шуканий результат: , (1.21) Знайдемо нев’язку різницевого рівняння . Оскільки є точним розв'язком рівняння (1.4), та . (1.22) Тому різницеве рівняння (1.21) апроксимує вихідне диференціальне рівняння (1.4) також із другим порядком відносно . Тепер апроксимуємо граничні умови скінченними різницями: , (1.23) Знайдемо похибку апроксимації граничних умов. Нев’язки граничних умов (1.23) мають вигляд: , . Асиметрична апроксимація першої похідної на відміну від симетричної має глобальну похибку першого порядку відносно , тобто . Це безпосередньо випливає з розкладання в ряд Тейлора , із якого отримуємо , Отже, граничні умови (1.23) апроксимуються з першим порядком за к. Порядок їх апроксимації можна підвищити до другого, наприклад, використовуючи співвідношення , (1.24) похибка апроксимації яких також пропорційна , як і для випадку симетричної апроксимації похідних. Це випливає із порівняння двох рядів Тейлора: Якщо перший вираз помножити на 4 і відняти його від другого, отримаємо: . Після його підстановки у формулу (1.24) знаходимо нев'язку у вигляді: тобто крайова умова апроксимується з другим порядком відносно . У такий же спосіб доводиться, що і друга гранична умова (1.23) апроксимується з другим порядком відносно . Розглянемо ще одну можливість апроксимації крайових умов типу (1.5) на прикладі умови . Для цього за межами інтервалу вводиться додаткова точка , за допомогою якої обчислюється перша похідна за симетричною формулою апроксимації: . (1.25) Точку можна виключити, скориставшись співвідношенням (1.25) і різницевою апроксимацією диференціального рівняння (1.4) в кінцевій точці інтервалу . Отримуємо рівняння для граничної умови в точці із порядком , яким можна замінити останнє рівняння в системі алгебраїчних рівнянь, одержаній у разі кусочно-різницевої апроксимації похідних у рівнянні (1.4). Те ж саме можна зробити з першою умовою (1.5) і першим апроксимуючим рівнянням для . Варто підкреслити, що врахування граничних умов різних типів впливає тільки на перше й останнє рівняння цієї системи. Зведемо подібні члени в рівнянні (1.21) і отримаємо стандартне триточкове різницеве рівняння: , (1.27) . Включивши до системи рівнянь (1.25) різницеве рівняння (1.23) чи (1.24), отримаємо систему рівнянь, що містить рівняння з невідомими . Порівняємо ці два варіанти апроксимації крайової задачі. У першому з них система лінійних алгебраїчних рівнянь, утворена рівняннями (1.21) і (1.23), має тридіагональну матрицю коефіцієнтів, і її можна розв'язати методом прогону. Щоб застосувати метод прогону в другому випадку, слід створити відповідну тридіагональну матрицю. Для цього потрібно з першого рівняння (1.27) для Маємо рівняння з двома невідомими - і . Замінимо ним перше рівняння (1.24). Виконаємо такі ж перетворення з другим (1.24) і останнім рівнянням (1.27) для : Виключивши з них , знаходимо: Це рівняння містить дві невідомі - і . Замінимо ним друге рівняння (1.27). Два останні рівняння разом із (1.27) утворюють систему рівнянь із тридіагональною матрицею, що апроксимує вихідну крайову задачу (1.4), (1.5) з порядком . Цю систему також можна розв'язати методом прогону. Метод прогону є стійким, якщо матриця коефіцієнтів діагонально домінантна. Забезпечити діагональну домінантність можна обранням кроку . Для цього необхідно, щоб для системи рівнянь (1.27) виконувались умови: і , . Підсилюючи останні нерівності, маємо такі обмеження на величину кроку: і , . (1.28) Щоб задовольнялись умови (1.23), мають виконуватись нерівності і . (1.29) Наявність обмежень (1.28) і (1.29) свідчить про умовну стійкість розглянутого методу апроксимації. 1 2 3 |