1   2
Ім'я файлу: 1.docx
Розширення: docx
Розмір: 784кб.
Дата: 18.11.2020
скачати
Пов'язані файли:
Язиката Хвеська_сценарій.doc
Маковійчук есе Тип особистості.docx
аналітична записка.docx
9 веселих ігор для дітей.docx
Внесок Л.С. Виготського в дитячу психологію.doc
Реферат по Трудовому.docx
1 ЛАБА.docx



Абсолютна величина числа позначається символом .




Із означення абсолютної величини випливає, що нерівності і , де рівносильні, тобто .

Теорема. Абсолютна величина суми двох чисел не більше від суми абсолютних величин чисел, тобто .

Доведення. За означення абсолютної величини

для будь-яких чисел . Додаючи почленно ці нерівності, одержимо
.
Остання нерівність рівносильна нерівності
.
Теорема. Абсолютна величина різниці двох чисел не менше від різниці абсолютних величин чисел, тобто
.
Доведення. Для будь-яких чисел маємо

За попередньою теоремою
.
Звідси одержуємо

.
Зазначимо, що мають місце співвідношення

ТЕМА 2. ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ
ЛЕКЦІЯ 4


  1. Означення числової послідовності.

  2. Арифметичні дії з числовими послідовностями.

  3. Обмежені і необмежені числові послідовності.

  4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.

  5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей.



1. Означення числової послідовності

Числовою послідовністю називається відображення .

Отже, якщо кожному натуральному числові поставлено у відповідність дійсне число , то множина дійсних чисел
(1)
називається числовою послідовністю.

Числа називаються елементами (або членами) послідовності. Символ називається загальним елементом послідовності, а його номером. Скорочено послідовність (1) позначається так: . Наприклад, є послідовність .

Послідовність вважається заданою, якщо вказано правило, за яким кожному натуральному числові поставлено у відповідність дійсне число . Найчастіше числову послідовність задають формулою загального ( го) члена послідовності: . Наприклад, формула задає числову послідовність


Числову послідовність можна задати рекурентною формулою, тобто формулою, в якій указується правило, за котрим можна виразити наступний її член через попередні. Наприклад, арифметична прогресія з першим членом та різницею визначається рекурентною формулою
або .
Рекурентною формулою

задається послідовність
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,…,
що відома в математиці як " ряд Фібоначчі", а її члени – як числа Фібоначчі. Ці числа мають ряд цікавих властивостей. Нині вони використовуються при обробці інформації на ЕОМ, при відшуканні оптимальних методів програмування тощо.





2. Арифметичні дії над числовими послідовностями


Нехай задано послідовності і .


Добутком послідовності на число називається послідовність , тобто
.
Сумою послідовностей і називається послідовність :
;
різницею – послідовність :
;
добутком – послідовність :
;
часткою - послідовність :
; де .
2. Обмежені і необмежені числові послідовності

Послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує таке число , що для всіх її членів виконується нерівність

Послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує таке число , що для всіх її членів виконується нерівність

Послідовність називається обмеженою, якщо вона обмежена зверху й знизу.

Нехай послідовність обмежена, тобто існують такі числа і , що для будь-якого її члена виконується нерівність Нехай . Тоді умову обмеженості послідовності можна записати так: .

Послідовність називається необмеженою, якщо для будь-якого числа існує елемент цієї послідовності, для якого виконується нерівність .

Зауваження. Необмежена послідовність може бути обмеженою зверху або знизу.

Приклади.

Послідовність обмежена знизу ( ), але не обмежена зверху.

Послідовність обмежена зверху ( ), але не обмежена знизу.

Послідовність обмежена зверху і знизу ( ).

Послідовність не обмежена.

4. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
Послідовність називається нескінченно великою, якщо для будь-якого числа існує такий номер , що для всіх елементів із номером виконується нерівність .

Зауваження. У наведеному означенні номер залежить від числа , тобто .

Очевидно, що всяка нескінченно велика послідовність є необмеженою, проте не всяка необмежена послідовність є нескінченно великою. Наприклад, необмежена послідовність 0, 1, 0, 2, 0, 3, ..., n, 0, n+1, … не є нескінченно великою, оскільки не існує такого номера , щоб для всіх , де виконувалася б, наприклад, нерівність .

Послідовність називається нескінченно малою, якщо для будь-якого (як завгодно малого) числа існує такий номер , що для всіх елементів із номером виконується нерівність .

Зауваження. У наведеному означенні номер залежить від числа , тобто .

Приклад 1. Показати, що послідовність є нескінченно великою.

Нехай маємо довільне число . Із нерівності або .

Покладемо .

Тоді . Оскільки , то . Отже, при виконується нерівність .

Приклад 2. Показати, що послідовність є нескінченно малою.

Нехай маємо довільне число . Із нерівності одержуємо . Покладемо . Тоді для всіх маємо , тобто або .

Теорема. Якщо - нескінченно велика послідовність і всі її члени відмінні від нуля, то послідовність нескінченно мала, і, навпаки, якщо - нескінченно мала послідовність й , то послідовність нескінченно велика.

Доведення. Нехай - нескінченно велика послідовність. Візьмемо довільне і покладемо . Оскільки нескінченно велика послідовність, то для вказаного існує номер такий, що при виконується нерівність . Звідси маємо . Отже, послідовність - нескінченно мала.

Друга частина теореми доводиться аналогічно.

5. Основні властивості нескінченно малих послідовностей


Теорема. Сума (різниця) двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай і - нескінченно малі послідовності. Задамо довільне . Тоді існує такий номер , що при , й існує такий номер , що при . Виберемо . Тоді при виконуватимуться нерівності і . Отже, при

.

Звідси випливає, що послідовності і нескінченно малі.

Наслідок. Алгебраїчна сума будь-якого скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.
Теорема. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай - обмежена послідовність, а - нескінченно мала. Оскільки обмежена, то існує таке число , що для всіх виконується нерівність . Задамо довільне . Оскільки послідовність нескінченно мала, то існує такий номер , що при виконується нерівність . Отже, при

.
Звідси випливає, що послідовність нескінченно мала.

Наслідок 1. Добуток нескінченно малої послідовності на число є нескінченно малою послідовністю.

Наслідок 2. Добуток двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Дійсно, якщо послідовність нескінченно мала, то вона обмежена. Отже, добуток двох нескінченно малих послідовностей можна розглядати як добуток нескінченно малої послідовності на обмежену.

Із наслідку 2 випливає, що добуток скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Зауваження. Стосовно частки двох нескінченно малих послідовностей у загальному випадку нічого сказати не можна, оскільки вона може бути нескінченно малою, постійною, нескінченно великою послідовністю або взагалі не визначеною.
1   2

скачати

© Усі права захищені
написати до нас