Лабораторна робота №1 з дисципліни «Цифрова обробка сигналів» з теми: «Спектральний аналіз сигналів» Виконала: студентка групи сз 481

1 2

Ім'я файлу: Лабораторна робота №1 Коновалова Влада СЗ-481.docx
Розширення: docx
Розмір: 1784кб.
Дата: 23.05.2022
скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ АВІАЦІЙНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра Засобів Захисту Інформації

Лабораторна робота №1

з дисципліни «Цифрова обробка сигналів»

з теми: «Спектральний аналіз сигналів»

Виконала:

студентка групи СЗ - 481

Коновалова В. В.

Прийняв:

доцент кафедри ЗЗІ

Швець В. А.

Київ – 2021

Цель работы. Получить навыки использования преобразования Фурье. Научиться находить амплитудный и фазовый спектры сигнала и проводить анализ свойств этих характеристик. Получить представление о спектре дис- кретного сигнала. Получить навыки использования функций среды MATLAB.

Теоретические сведения.

Спектральный анализ - это один из методов обработки сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный состав измеряемого сигнала. К зада- чам спектрального анализа относятся:

Спектральное разложение сигнала - представление сигнала в виде суммы гармонических сигналов с различными частотами;
Анализ спектральных компонент сигнала с целью изучения свойств сигнала;
Обратное преобразование – получение сигнала по известному спек- тральному разложению.

РядФурье
Ряд Фурье [1, стр. 30] является инструментом спектрального анализа перио-дическихсигналов. Наиболее употребимой формой записи ряда Фурье явля- ется комплексная форма, задаваемая формулой

00

s⁽t⁾= LC_k

k=-00

jkw_lt

e
, (1)

где s(t) – аналоговый сигнал (непрерывная функция времени);

w_l=

²^rr- круговая частота, соответствующая периоду Tповторения сигнала;

w_k= kw_l- гармоника сигнала с номером k;

_C_k

– коэффициент ряда с номером k,вычисляемый по формуле:

C_k=

T/2

1

s⁽t⁾e^-^jk^w^l^tdt. ⁽²⁾

T

-T/2

ПреобразованиеФурье
Преобразование Фурье (Fourier Transform) является инструментом спек- трального анализа непериодическихсигналов [1, стр. 39]. Формулы преобра- зования Фурье можно получить из формул для ряда Фурье, устремив период повторения сигнала к бесконечности T→ ∞.

Если аналоговый сигнал представлен непрерывной функцией времени вида s(t), то его спектральная функция задается формулой прямого преобразова- ния Фурье:

00

s⁽w⁾= s⁽t⁾e^-^jwtdt,

-00

(3)

где w– текущая круговая частота.

Формула обратного преобразования Фурье позволяет получить сигнал по его спектральной функции:

00

¹jwt

s⁽t⁾= ₂_rrs⁽w⁾e

-00

dw. ₍₄₎

Таким образом, сигнал s(t) и его спектральная функция s(w) взаимно- однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье.

Модуль спектральной функции Is(w)Iназывают амплитудным спектром, а ее аргумент
= arg s⁽w⁾–
фазовым спектром.

Если анализируемый сигнал s(t) – вещественная функция, то соответствую- щая спектральная функция s⁽w⁾является «сопряженно-симметричной» от-

носительно нулевой частоты. Это означает, что значения спектральной функ- ции на частотах w и – w являются комплексно-сопряженными по отношению друг к другу:
S^"⁽-w⁾= S^"^∗(w). ⁽⁵⁾

Если s(t) – четная функция, то спектр будет чисто вещественным(и, следо- вательно, будет являться четнойфункцией). Если, напротив, s(t) – функция нечетная, то спектральная функция будет чисто мнимой(и нечетной).

Для вещественного сигнала s(t) амплитудный спектр является четной, а фа- зовый – нечетной функцией частоты:

IS^"⁽-w⁾I = IS^"⁽w⁾I, ₍₆₎

_s⁽-w⁾= -
_s⁽w⁾. (7)

Пример.Прямоугольныйимпульс.
В качестве примера расчета преобразования Фурье рассмотрим прямоуголь- ный импульс (рис. 1), центрированный относительно начала отсчета времени и имеющий длительность 

где A – амплитуда сигнала.

_s₍_t₎₌_{A, ^|t^|:: r/2 _,

0, ^|t^|> r/2

Рисунок 1 – Прямоугольныйимпульс

Вычисляем спектр сигнала S^"(w) с помощью формулы прямого преобразова- ния Фурье (3):

_oor/2

S^"⁽w⁾= s⁽t⁾e^-^jwtdt = Ae^-^jwtdt = Ar ^sin⁽^wr/2⁾.

wr/2

-oo

-r/2

Примечание:при вычислении интеграла воспользовались следующими фор- мулами:
e^jx= cos⁽x⁾+ j sin⁽x⁾(формула Эйлера);

1

cos ⁽ax⁾dx =

sin⁽ax⁾+ C;

sin ⁽ax⁾dx = -

a

cos⁽ax⁾+ C.

При нахождении амплитудного и фазового спектров прямоугольного им- пульса вспомним, что рассматриваемый импульс является четной функцией, поэтому спектральная функция сигнала S^"(w) также будет четной. Амплитуд- ный спектр – четная функция, а фазовый спектр - нечетная функция (рис. 2).

а) б)

Рисунок 2 – Амплитудный(а)ифазовый(б)спектрыпрямоугольногоимпульса

Амплитудный спектр данного сигнала простирается до бесконечности, по- степенно затухая. Поэтому вводят понятие эффективной ширины спектра, ко- торое определяется как ширина главного лепестка. Для прямоугольного им- пульса эффективная ширина спектра равна

Δw =

2rr

.

r

(8)

Длительность прямоугольного импульса равна T. Произведение эффектив- ной ширины спектра сигнала на длительность сигнала называется базой сиг- нала:
B= ΔwT. (9)

Для каждого сигнала база – это свое число. В случае прямоугольного им- пульса B= 2rr.

Из этих соотношений видно, что чем короче сигнал, тем шире его спектр и наоборот. Это положение называют соотношением неопределенности. Су- ществует утверждение, что для любого сигнала база сигнала не может быть меньше единицы.

Спектрдискретногосигнала

Пусть аналоговый сигнал задан функцией времени s(t), а его спектральная функция s(w) определяется по формуле прямого преобразования Фурье (3).

Дискретизируем сигнал s(t), взяв отсчеты сигнала с частотой дискретизации

f_д. Частота дискретизации задается формулами

f_д=

1

; w_д=

T

2rr

.

T

(10)

Спектр s_д

(w) дискретизованного сигнала [1, cтр. 157] представляет собой

бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного ла s(t) и определяется формулой:

00

s_д⁽w⁾= f_дLs(w− 2rrf_дn)

n=-00

(11)

где w– текущая круговая частота; f_д– частота дискретизации;

s⁽w⁾– спектральная функция исходного аналогового сигнала.

Расстояние между соседними копиями спектра равно частоте дискретизации сигнала (рис. 3).

Рисунок 3 – Спектрдискретизованногосигнала

Порядок выполнения работы.

Расчетзначенийсигналаипостроениеегографика.

Запишите в конспекте номер своего варианта, формулу для сигнала s(t) и значения параметров Aи a(варианты заданий приведены в конце данного документа).

Запустите MATLAB. В меню File выберите пункт «NewFile->Script», и создайте новый M-файл.

Напишите программу для расчета значений сигнала s⁽t⁾и построения его графика. Для этого используйте следующие MATLAB-функции:

plot – рисование графика в виде непрерывной кривой;
grid – рисование линий сетки на графике;
legend – рисование легенды (пояснительной надписи);
xlabel, ylabel – рисование заголовков осей X и Y;
xlim, ylim – задание диапазона отображаемых значений по осям X и Y.

Для просмотра документации по конкретной функции MATLAB введите в окне “Command Window” команду doc (полная документация) или help (краткая справка). Например, следующая команда откроет окно с полной до- кументацией по функции plot:

>> doc plot
Пример программы MATLAB для задания значений сигнала и построения графика сигнала:

% Рассчитываем значения сигнала

A = <<ваш параметр>>; % амплитуда импульса

a = <<ваш параметр>>; % скорость убывания импульса

t = [-10:0.1:10]; % вектор отсчетов времени

s = <<ваша формула для расчета сигнала>>; % значения сигнала
% рисуем график сигнала
plot(t, s); % график сигнала

grid on; % включаем линии сетки legend('<<ваша легенда>>'); % легенда xlabel('t'); % заголовок оси X ylabel('s(t)'); % заголовок оси Y

xlim([-2 2]); % диапазон отображаемых значений по оси X ylim([0 1.5]); % диапазон отображаемых значений по оси Y

Запустите полученную MATLAB программу (нажатием клавиши F5) и проанализируйте результаты ее работы (должно появиться окно с графиком).

Примечание:После каждого запуска программы полезно убедиться в отсут- ствии в ней ошибок. Если в программе есть ошибки, то MATLAB выведет со- общения об ошибках в окно команд (Command Window) с указанием назва- ния функции и строки кода, в которой произошла ошибка.

РасчетпреобразованияФурье.

По виду сигнала s(t) сделайте предположения о виде спектральной функ- ции, амплитудного и фазового спектров сигнала (четность/нечетность).

Рассчитайте преобразование Фурье по формуле (3) для сигнала s(t) для сво- его варианта (письменно выведите формулу в общем виде, не подставляя конкретных параметров Aи а).

Подсказка:При выводе спектральной функции можете воспользоваться сле- дующими формулами:

e^axdx=

1

e^ax+ C;

a

e^-⁰⁰= 0; e^O= 1;

a²− b²= ⁽a+ b⁾⁽a− b⁾; j²= −1.

Покажите результат преподавателю.

В уже имеющемся M-файле допишите код для вычисления значений преоб- разования Фурье сигнала s(t) и построения графиков амплитудного |s(w)| и фазового (w) спектров сигнала. Используйте следующие MATLAB-функции:

abs – вычисление модуля комплексного числа;
angle – вычисление аргумента комплексного числа;
figure – создание нового графического окна;
subplot – рисование группы графиков. Пример MATLAB кода:

% вычисляем преобразование Фурье сигнала
omega = [-20:0.1:20]; % вектор частот

% спектральная функция

S = <<ваша формула спектральной функции>>;

% амплитудный спектр

Samp = abs(S);

% фазовый спектр

Sphase = angle(S);
% рисуем графики амплитудного и фазового спектра
figure % новое графическое окно

subplot(1, 2, 1); plot(omega, Samp); xlabel('\omega'); ylabel('| S(\omega) |'); grid on

subplot(1, 2, 2); plot(omega, Sphase); xlabel('\omega'); ylabel('\phi_s(\omega)'); grid on

Расчетэффективнойшириныспектраибазысигнала.

Рассчитайте значения эффективной ширины Δwспектра и базы Bсигнала (пример расчета приведен в теоретической части).Убедитесь, что для вашего сигнала соблюдается условие, что база сигнала не может быть меньше единицы.

Подсказка.Эффективную ширину спектра определять по уровню 0.1 от мак- симального значения амплитудного спектра (максимальное значение дости- гается при w= 0). Для нахождения эффективной ширины спектра определи- те такую частоту w, на которой спектральная функция равна 0.1 от своего максимального значения.

При расчете базы сигнала учитывайте тот факт, что для экспоненциальных сигналов в качестве длительности сигнала обычно берется время, при кото- ром амплитуда сигнала убывает e= 2.7 … раз. Поэтому длительность экс- поненциального сигнала равна 1/a(в случае одностороннего импульса) и 2/aв случае двустороннего импульса.

Расчетспектрадискретизованногосигнала.

Запишите в общем виде выражение для спектра дискретизованного сигнала, полученного из вашего аналогового сигнала при его дискретизации с некото- рой частотой f_д. Используйте формулу (11).

В уже имеющемся M-файле допишите код для расчета значений спектра дискретизованного сигнала при частоте дискретизации f_д= 10 и построения графика амплитудного спектра дискретизованного сигнала.

Пример кода:
% рассчитываем спектр дискретизованного сигнала
Fs = 10; % частота дискретизации

omega = [-100:0.1:100]; % диапазон частот

n = [-10:9]; % учитываем 20 копий спектра

% cдвигаем частоты

omega2 = repmat(omega, length(n), 1); shift = -2*pi*Fs.*n;

shift = repmat(shift', 1, length(omega2)); omega2 = omega2+shift;

Ss = <<ваша формула спектральной функции S(omega2)>>; Ss = sum(Ss, 1);

Ss = Ss * Fs; % умножаем на Fs
% рисуем график амплитудного спектра дискретизованного сигнала
figure

plot(omega, abs(Ss)); xlabel('\omega'); ylabel('| S(\omega) |');
Измените частоту дискретизации, сделав ее равной f_д= 2. Запустите программу. Что произошло со спектром дискретного сигнала?

Рисунок 4 – Одностороннийэкспоненциальныйимпульс

1 2

скачати