Лабораторна робота: №1- 01 мцз

Сост.: В.Ф. Гавриченко, Т.М. Мілейко
Лабораторна робота: № 1- 01 МЦЗ
Вимірювання діаметру стрижня і дроту.
Мета роботи: Знайти діаметр стрижня і дроту, а також похибку результату вимірювання.
Приладдя: Стрижень круглого перерізу, наприклад, олівець, або щось подібне, дріт, наприклад, мідний або щось подібне, міліметрова лінійка, аркуш паперу у « клітинку», та «бажання навчатися».
Вступ.
Виміри бувають прямими і посередніми. Про прямих вимірах шукану величину визначають із експерименту, зчитуючи її значення безпосередньо з вимірювального приладу. При посередніх вимірах шукану величину визначають функціонально:
y = f ( x
1
, x
2
, x
3, …
),
де y – шукана величина, а x
1
, x
2
, x
3, …
- величини від яких вона залежить і які знаходять в експерименті за допомогою прямих вимірів.
Вимірювання оцінюють точністю і вірогідністю результатів досліджень.
Точність вимірювання – це ступень наближення виміру до дійсного значення величини.
Вірогідність вимірювання показує ступень довіри до результату виміру,
інакше кажучи, вірогідність відхилення виміру від дійсного значення вимірювальної величини.
На практиці зручніше використовувати для характеристики точності вимірювань термін похибка вимірювання, яка відображає відхилення результату вимірювання від дійсного значення фізичної величини, яка практично ніколи невідома.
Похибки вимірів обумовленні багатьма причинами: похибками метода вимірювання; недосконалістю засобів вимірювань; впливом зовнішніх факторів і т. п.
Частіше всього, розрізняють три типи похибок: систематичні, випадкові та грубі.
Систематичні похибки з’являються від одного вимірювання до наступного, зберігаючи знак і числове значення сталими, або змінюючись за певним законом.
Випадкові похибки змінюють свій знак і числове значення. Передбачити знак і числове значення випадкової похибки при кожному вимірюванні малоймовірно.
Грубі похибки, або промахи, виникають внаслідок недбалості, несправності технічних засобів вимірювань і т. п.

Вправа 1. Визначення діаметру дроту за допомогою графіку
Багатоточкові вимірювання.
1.1. Експериментальна частина роботи.
Щільно намотуємо дріт на стрижень виток до витка в один шар.
Вимірюємо за допомогою лінійки скільки міліметрів
l
1 i
займають витки вздовж стрижня, де індекс i
–
номер спостереження. Ці результати записуємо у таблицю. Також туди записуємо і число витків
N
1 i
. Виміри проводимо п’ять разів, кожного разу змінюючи кількість витків, починаючи з десяти витків і закінчуючи сороками витками (рекомендується).
Зверніть увагу на те, що якщо в нашому випадку кількість вимірів
n
дорівнює п’яти, тобто індекс
i
біля
l
1 i
і
N
1 i
змінюється від одиниці до п’яти; , то відповідно,
l
1 i
і
N
1 i
змінюються теж п’ять разів.
1.2. Розрахункова частина роботи. Побудова графіку.
В прямокутній системі координат по експериментальним точкам
l
1 i
і
, викладаючи їх на площині графіка, будуємо залежність міліметрів l
1
,які займають витки вздовж стрижня, від кількості витків n
1
. Для цього нам потрібно задатися масштабами для графіка і відкласти їх на осях, тобто поділками поділити осі на рівні відрізки в одиницях виміру тієї фізичної величини, яка відкладається по цій осі. Також біля кожної осі вказуємо символ (літеру), якою ця величина позначається і її одиниці виміру.
Проводимо через експериментальні точки апроксимаційну плавну криву, таким чином, щоб точки більш менш рівномірно розподілилися і зверху, і знизу відносно неї, деякі точки можуть потрапити і на саму криву. Якщо усі експериментальні точки збігаються з кривою, то це або мала точність експерименту, або погано зроблений графік. Масштаб повинен бути таким, щоб наші експериментальні точки на графіку не зливалися між собою. Тобто на графіках «економити» не потрібно. Також буває зручно, коли відстань між поділками на різних осях одного і того ж графіка була б однаковою і дорівнювала цілому числу сантиметрів. І ще, якщо ми маємо справу з числами більш ніж 10 і менш ніж 1, то їх можна подати у вигляді чисел з множником 10
n
, де n - від’ємні, або позитивні цілі числа, наприклад, число
2480
як
2,48 ×10 3
, а число
0,00248
як
2,48 ×10
−3
. Тоді при побудові графіків ми будемо мати справу з числами, наприклад:
1; 1,4; 2,48
і т.п., а не з числами:
1000; 140000; 0,00248
і т.п. Множник
10
n записується на осі разом з символом фізичної величини і одиницями виміру, наприклад, l
1
,
10
-3
м.
Теоретично, якщо не враховувати похибок, не важко показати, що в нашому випадку ми маємо прямо пропорційну залежність між
l
1
і N
1
:
l
1
=d
1
N
1
, (1.1)
Де l
1
– довжина, яку займають витки вздовж стрижня,
d
1
- діаметр дроту,
N
1
– кількість витків.
Тобто нашою апроксимаційною плавною кривою на графіку повинна бути пряма лінія, яка проходить через початок осей координат, а тангенс куту
i
n
1

її нахилу буде дорівнювати середньому значенню діаметру дроту
{
d
11
}
Рівняння цієї прямої запишеться у вигляді:
l
1
=
{
d
11
}
N
1
Воно приблизно відображає теоретичну залежність (1.1).
Знаходимо із графіка і записуємо числове значення
{
d
11
}
, не забуваючи вказати одиниці виміру.
К виразу «тангенс куту нахилу» треба відноситися з розумінням того, що із математиці в фізику він «прийшов» безрозмірним, але фізики вже стали надавати йому різноманітну умовну розмірність. В нашому випадку він має розмірність довжини.
Тому краще користуватися терміном – коефіцієнт нахилу.
Пряму лінію на графіку ми могли би провести і без теоретичних досліджень, при умові правильного вибору методики експерименту, сумлінно проведених вимірів, достатньої кількості експериментальних точок
і графіку, побудованому по «правилам». І вже потім із графіка з’ясувати, що між вимірюваними величинами існує прямо пропорційна залежність. Щось подібне робиться в інженерних і наукових дослідженнях для встановлення зв’язку між різними величинами і явищами; а також для знаходження числових значень фізичних величин, які на були знайдені в експерименті.
Такий спосіб побудови графіків, в деякій мірі, є суб’єктивним, але він може бути достатньо точним для лінійних залежностей.
Існує і об’єктивний метод побудови графіків для таких залежностей за допомогою принципу найменших квадратів Гауса. Розглянемо цей метод.
Допустимо в результаті багато точкових вимірів (тобто в процесі вимірів величини, які вимірюють, змінюються) ми отримали n пар значень x
i
і y i
, між якими передбачається прямо пропорційна залежність виду
y
=kx
, де k сталa.
Тоді найбільше наближення до істинного значення шуканих величин ми отримаємо, якщо для знаходження коефіцієнтa
k ми скористаємося умовою мінімуму для суми квадратів відхилів
ϑ
(
k , N
)
:
ϑ
(
k , N
)
=
∑
i
=1
n
(
y
i
−k x
i
)
2
(1.2)
Умовою мінімуму є рівність нулю першої похідної:
dϑ
(k ,N )
dk
=0
Розписуємо ці вирази:

∑
i
=1
n
(
x
i
y
i
−k x
i
2
)
=0 (1.3)
Запишемо цей вираз ще раз, але вже без знака суми
∑
i
=1
n
:
(
x
1
y
1
−k x
1 2
)
+
(
x
2
y
2
−k x
2 2
)
+…+
(
x
n
y
n
−k x
n
2
)
=0 .
Розв’язуючи це рівняння відносно k, отримуємо:
k
=
∑
i
=1
n
x
i
y
i
∑
i
=1
n
x
i
2
=
x
1
y
1
+x
2
y
2
+…+ x
n
y
n
x
1 2
+x
2 2
+…+x
n
2
.
В нашому випадку n=
5 i прямо пропорційній залежності (1.1) вираз
(1.2) набуває вигляду:
ϑ
(
{
d
12
}
, N
)
=
∑
i
=1 5
(
l
1 i
−
{
d
12
}
N
1 i
)
2
,
де
{
d
12
}
- середній діаметр дроту, визначуваний за допомогою принципу найменших квадратів. Тоді (1.3) можна записати, як:
∑
i
=1 5
(
l
1i
N
1 i
−
{
d
12
}
N
1 i
2
)
=0
Звідки і отримуємо формулу для розрахунку
{
d
12
}
:
{
d
12
}
=
∑
i
=1 5
l
1i
N
1i
∑
i
=1 5
N
1 i
2
=
l
11
N
11
+l
12
N
12
+…+l
15
N
15
N
11 2
+N
12 2
+
∑
i
=1 5
N
i
=1 2
…
+N
15 2
Підставивши сюди експериментальні дані
l
1 i
і N
1i
, отримуємо значення
{
d
12
}
Будуємо по точкам на нашому графіку ще одну пряму
l
1
=
{
d
12
}
N
1
Порівнюємо між собою отримані результати для діаметру дроту
{
d
11
}
і
{
d
12
}
. Робимо висновок.

Вправа 2.
Визначення діаметру дроту. Одноточкові вимірювання.
2.1. Експериментальна частина роботи.
Робимо майже теж саме, що і в пункті 1.1, але п’ять разів намотуємо і розмотуємо однакову кількість витків (рекомендується не менш 40 витків).
Також, ще і за допомогою аркушу паперу в клітинку вимірюємо довжину, яку займають витки вздовж стрижня, l
2і
, використовуючи одиницю виміру: клітина (клт). Наприклад:
l
22
=4 , 4 клт.
Результати спостережень записуємо у відповідні таблиці для лінійки і таблицю для аркушу паперу. Також туди записуємо число витків
n
1 i
(для лінійки) і
число витків n
2і
(для аркушу паперу). Зверніть увагу на те, що
n
1 i
і n
2і
можуть співпадати.
2.2. Розрахункова частина роботи.
2.2.1 Запровадимо для вимірюваних величин і їх середньоарифметичних значень наступні позначення для лінійки:
,
,
, i для аркушу паперу
,
,
,
. Що означають ці позначення буде зрозуміло із подальшого тексту.
Далі все робимо на прикладі l
1 2.2.2 Знаходимо середньоарифметичне значення
:
,
де
, а m = 5.
2.2.3. Обчислюємо відхилення від середньоарифметичного значення результатів окремих вимірювань
δ
1 i
=
⟨
l
1
⟩
−l
1 i
,
підносимо ці значення до другого степеня
і записуємо їх у таблицю.
2.2.4. Знаходимо середньоквадратичне відхилення S
1l
середньоарифметичного результату
:
Задаємося ймовірністю Р і для m вимірів знаходимо коефіцієнт
Стьюдента t
m,P
. В нашому випадку, для Р = 0,9 і m = 5 маємо t
m,P
= 2,1.
Обчислюємо випадкову похибку прямих вимірювань
ε
1i
:
ε
1i
=t
m , P
S
1 2.2.5. Визначаємо межу інструментальної похибки Θ
І
:
Θ
І
= t
∞,P
δ
І
/3,
де t
∞,P
≈ 1,6 (коефіцієнт Стьюдента для нескінченного числа спостережень і ймовірності Р = 0,9); δ
І
– зазвичай, це пів ціни найменшої поділки вимірювального інструмента. Для міліметрової лінійки візьмемо пів
1
d
1
d
1
l
1
n
2
d
2
d
2
l
2
n
1
l
m
l
l
m
i
i



1 1
1
m
m
i
i
l
l
l
l
1 12 11 1
1






i
l
1

1
l
i
l
1
 
2 1i

1
l
 


1 1
2 1
1




m
m
l
S
m
i
i
l


міліметра. Для аркушу паперу в «клітинку» пропонується чверть клітинки.
Для кількості витків це пів витка.
2.2.6. Обчислюємо межу довірчого інтервалу Δ
1l
:
∆
1i
=
√
ε
1 i
2
+Θ
I
2 2.2.7. Записуємо кінцевий результат вимірювань для l
1
:
l
1
=
⟨
l
1
⟩
± ∆
1 i
; P = 0,9;
μ
1 i
=
∆
1 l
⟨
l
1
⟩
,
де μ
1l
- відносна похибка, яка може вимірюватись і у відсотках.
2.2.8. С п. 2.2.2 по п. 2.2.7 робимо такі дії для n
1
, l
2
і
n
2 2.2.9. Далі робимо все на прикладі знаходження за допомогою лінійки діаметра дроту d
1
2.2.10. Для посередньо вимірюваної величини d
1 за формулою:
,
обчислюємо середнє значення діаметру дроту
, підставивши сюди середнє арифметичні значення,
і
:
2.2.11. Записуємо теоретичну формулу для межи довірчого інтервалу:
,
де
;
Тоді можна записати:
Звідки і отримуємо формулу для розрахунку межи довірчого інтервалу:
Підставляючи сюди значення
,
,
,
отримуємо значення
2.2.12. Записуємо кінцевий результат для вимірювань лінійкою діаметра дроту d
1
:
d
1
=
⟨
d
1
⟩
± ∆
1d
;
μ
1
=
⟨
d
1
⟩
∆
1 d
∙ 100 %
; P = 0,9;
2.2.13. З п. 2.2.10 і по п. 2.2.12 виконуємо аналогічні дії і для вимірювань діаметру дроту d
2
аркушем паперу.
1 1
1
n
l
d

1
d
1
l
1
n
1 1
1
n
l
d

2 1
1 1
2 1
1 1
1



















dn
n
d
dl
l
d
d
1 1
1 1
n
l
d 


2 1
1 1
1
n
l
n
d




2 1
2 1
1 2
1 1
1 1


















n
l
d
n
l
n
2 1
2 1
2 1
1 1


















 


n
l
d
n
l
n
1
l
1
n
l
1

n
1

d
1
