Рівняння з умовами щодо коренів
Нехай
і 
– корені рівняння 
= 0,де
; 
, 
, 
; 
– абсциса вершини параболи 
.Тоді мають місце такі твердження:
, якщо виконуються умови: 
, якщо виконуються умови: 
, якщо виконуються умови: 
, якщо виконуються умови: 
, якщо виконуються умова 
.
, якщо виконуються умови: 
, 
, якщо виконуються умови: 
, 
, якщо виконуються умови: 
, , якщо виконуються умови: 
Приклад 10. При яких значеннях а один з коренів рівняння
дорівнює квадрату іншого?Розв’язання
Для визначення шуканих значень а складемо систему, в якій два перші рівняння описують теорему Вієта для даного квадратного рівняння
, 
, а третє співвідношення містить умову, яка накладається на його корені:
.У даному випадку для визначення
та 
зручно вибрати друге і третє рівняння системи:
тобто 
Підставляючи знайдені вирази в перше рівняння системи, одержимо:
, 
, 
Відповідь. а= −1, або а=3.
Приклад 11. При яких значеннях параметра а корені рівняння
більші 1? Розв’язання
Очевидно, що задача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а корені квадратного тричлена
більші 1.Перехід від одного формулювання задачі до іншого, підкреслює загальну ідею, що пов’язана з описом тих чи інших властивостей квадратного тричлена в їх геометричній інтерпретації на графіку.
Для того, щоб корені квадратного тричлена були більші числа
, необхідно і достатньо виконання умов: При а=0 рівняння має корінь х = −1, який не задовольняє умову задачі.
Розглянемо випадок
. При таких а умови запишуться у вигляді 
.Розв’язуючи цю систему, знаходимо, що
. Очевидно, що цей же результат ми отримали б і розв’язуючи нерівність 
, де − менший корінь рівняння.Відповідь.
.Приклад 12. При яких значеннях параметра а один із коренів рівняння тричлена (а2 −
+ (а2 + а – 1) – а3 + а = 0 більший, ніж число а, а другий менший а? Розв’язання
Задача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а корені квадратного тричлена у(х) = (а2 −
+ (а2 + а – 1) – а3 + а = 0 лежать на дійсній осі по різні сторони від точки х = а?Для розв’язування цієї задачі скористаємося тим загальним фактом, що для того щоб корені квадратного тричлена лежали на дійсній осі по різні сторони від числа
, необхідно і достатньо виконання умови .
У нашому випадку ця умова набуває вигляду (а2 −
< 0. Тобто, вимогу задачі задовольняють розв’язки нерівності
(а2 −
( а2 −2) а2 + (а2− а −1)а – а3 + а) < 0, де (а2 −
≠ 0(а = ±
не задовольняють умову задачі).Розв’язуючи отриману нерівність, знаходимо, що а
Варто сказати, що розв’язувати цю задачу іншим способом, розглядаючи нерівності
і 
, досить складно.Відповідь. а
Приклад 13. При яких значеннях параметра а корені
та рівняння (3а + + (а – 1)
+ 4а +3 = 0 задовольняють умовам < − 1 < < 1? Розв’язання
Задача рівносильна наступній: при яких значеннях параметра а тільки один, а саме – більший корінь квадратного тричлена
f(x) = (3а +
+ (а – 1
+ 4а +3 , де 3а + 
належить інтервалу (-1; 1), а другий – менший -1.
Вимоги в даній задачі виконуються тільки з-за умов:
.Таким чином ми приходимо до системи:
Розв’язуючи цю систему, приходимо до висновку, що
а
.Відповідь. а
Приклад 14. При яких значеннях параметра а корені рівняння
= 0 мають різні знаки і обидва по модулю менші 4?Розв’язання
Нехай
. Тоді вимоги задачі виконуються, якщо сумісна система 
, яку запишемо у вигляді 
і якій задовольняють всі а
.Відповідь. а
Приклад 15. При яких значеннях параметра а квадратний тричлен (k – 1)х2 + (k+ 4)х + k+ 7 можна представити у вигляді повного квадрата?
Розвязання
Квадратний тричлен ax2 +bx + cможна представити у вигляді a(х –x0 )2, якщо його корені рівні х1 = х2 = x0. Тобто коли D = 0. В даному випадку D = (k +4)2 −4(k − 1)( k + 7) = 0.
Розв’язавши останнє рівняння, отримуємо k = -
і k = 2. Відповідь. k = -
і k = 2.Приклад 16. Знайти всі значення параметра
, при кожному з яких корені рівняння 
належать інтервалу 
.Розв’язання
Нехай
. 
, 
Якщо
, то 
.Якщо
, то задача рівносильна виконанню умов:
Відповідь. 
.Приклад 17. Знайти всі значення параметра
, при кожному з яких лише один корінь рівняння 
належать інтервалу 
.Розв’язання
Рівняння квадратне.
9.Корені х = а – 1 і х = а + 2.
1< а − 1 < 5,
2< а < 6.
1< а + 2 < 5,
−1 < а < 3.
Бачимо, що рівно один корінь належить інтервалу
при −1 < а ≤2 або 3 ≤ а < 6.Відповідь:
.Приклад 18. Знайти всі значення параметра
, при кожному з яких корені рівняння 
має корені різних знаків і модуль додатного кореня більший, ніж модуль від’ємного.Розв’язання
Корені цього квадратного рівняння задовольняє умову тоді і тільки тоді, коли їх добуток буде від’ємним числом, а сума – додатним. За теоремою Вієта отримаємо систему:
Відповідь.
.Приклад 19. Знайти всі значення параметра
, при кожному з яких корені рівняння 
більші 3.Розв’язання
І спосіб. D 2a2 ; x1 3a
, x2 3a .Щоб корені були більші 3 ( 3 ≤ x1 ≤x2), досить розв’язати тільки одну нерівність: 3a −
3, відокремивши радикал, отримаємо нерівність 3a3, яка рівносильна системі:
ІІ спосіб. Розглянемо функцію: f(x) x2 2ax9a2 2a2.
Її корені більші 3, якщо виконується система:
Відповідь.
.1 2 3