Конспект лекцій з дисципліни ««цифрова обробка зображень»» для студентів 4 курсу денної форми навчання сторінка 7

62
Статистичні методи дозволяють виробляти класифікацію, яка в середньому є найбільш правильною. Методи статистичного розпізнавання образів використовують функції розподілу ймовірностей, пов’язані з класами образів. У деяких випадках форма функцій розподілу ймовірностей вважається відомою (наприклад, нормальної) і по навчальним вибіркам необхідно оцінити тільки окремі параметри, які пов’язані з цими функціями (математичне сподівання, дисперсія, функція кореляції). Метод називається параметричним.
Якщо форма функцій розподілу ймовірностей не відома, метод є
непараметричним.
При статистичному підході до розпізнавання часто використовується теорема Байєса – одна з фундаментальних теорем теорії ймовірностей. Мова йде про випадкові події, тобто такі, для яких неможливо заздалегідь передбачити точний результат у кожному конкретному випадку. Однак, при великому числі реалізацій ці події можна характеризувати середніми результатами, стабільними і відтворюваними.
Якщо можуть відбутися дві події А і В, то слід говорити про три різні ймовірності:
– подія А відбувається з ймовірністю
 
A
P
;
– подія А відбувається з імовірністю
 
B
P
;
– події А і В відбуваються одночасно з імовірністю


B
A
P

, її називають ймовірністю спільної події (спільної ймовірності).
Нехай


n
i
A
i
.,
,
2
,
1


і В – випадкові події. Ймовірність того, що подія
i
A відбудеться, за умови, що подія В вже відбулася (умовна ймовірність), прийнято записувати у вигляді [8]:






B
A
P
i
(3.11)
Умовну ймовірність (3.11) називають апостеріорною, її можна обчислити за теоремою Байєса. Так як
 
 








i
i
A
B
P
A
P
B
P
, то


 
 
 























i
i
i
i
i
i
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
B
P
B
A
P
B
A
P
(3.12)

63
У (3.12) апріорна ймовірність події
i
A позначається як
 
i
A
P
Використовуючи апостеріорні ймовірності, можна розробити різні методи автоматичної класифікації. Нехай
k
X – вектор вимірювань, що представляє k-й клас. Апріорна ймовірність того, що ця реалізація відноситься до класу з номером k, є


k
X
P
Зазвичай, апріорна ймовірність вважається заданою самою постановкою завдання. Наприклад, для лісових територій буває відомий відсоток площі, зайнятої листяними і хвойними породами. Необхідно віднести невідомий спостережуваний об’єкт Z (наприклад, деякий піксель зображення) до одного з відомих класів
k
C з мінімальною помилкою. Яскравість пікселя задана в m спектральних каналах. Результатом є вектор вимірювань
m
X (вектор яскравості пікселя), для якого можна знайти умовну ймовірність (або її щільність):






k
m
C
X
P
(3.13)
Шукані ймовірності можуть бути обчислені згідно теоремі Байєса з використанням умовних ймовірностей






k
m
C
X
P
, отримаємо:


 
1 2
2 1
C
P
C
P
C
X
P
C
X
P
m
m













(3.14)
У лівій частині нерівності дріб називають відношенням правдоподібності.
Рішення про те, що спостерігається об’єкт першого класу, приймається тоді, коли відношення правдоподібності перевищує вираз у правій частині. Права частина містить тільки відомі члени і є величиною порогу, не залежного від спостережуваної величини.
Помилки класифікації
Процес класифікації пов’язаний з деяким ризиком, оскільки можливі помилки. Підрахуємо ймовірність помилки, яка може виникнути під час використанні цієї процедури. Вирішуючи (2.14), знайдемо поріг

X , такий, що при

 X
X
m
вважається, що об’єкт належить до першого класу, інакше – до другого.

64
Нехай через випадковий характер величини
m
X прийнято помилкове рішення, що об’єкт належить до першого класу, насправді він належить до другого класу.
Виникає помилкова тривога, ймовірність якої виражається через умовну щільність ймовірності






2
C
X
w
m
[8]:
m
X
m
т
п
dX
C
X
w
P











2
(3.15)
Можливо, що

 X
X
m
, але об’єкт належить до першого класу, виникає
пропуск виявлення, ймовірність якого виражається через умовну щільність ймовірності






1
C
X
w
m
:
m
X
m
в
п
dX
C
X
w
P











1
(3.16)
Сумарна помилка класифікації дорівнює сумі двох ймовірностей:
в
п
т
п
пом
P
P
P


(3.17)
Геометричні перетворення та прив’язка зображень
Багато задач тематичного дешифрування зводяться до взаємного зіставленню між собою зображень, сформованих за допомогою датчиків різних фізичних полів. Яскравим прикладом може служити розвиток дистанційних методів контролю природних ресурсів та динаміки екосистем, що зводиться до співставлення знімків однієї і тієї ж території, отриманих у різний час і за допомогою різних датчиків.
Найчастіше використовуються оптичне, радіолокаційне, радіотеплове, магнітне та інші поля. Спільне використання різних фізичних полів вимагає попередньої обробки відповідних їм зображень, наприклад, з метою переведення зображень в одну спектральну область.
На практиці зображення одного і того ж об’єкта або ділянки місцевості, отримані в різний час або за допомогою різних датчиків, можуть значно відрізнятися один від одного. Звідси випливає ряд важливих задач прив’язки, а також точної взаємної геометричної та амплітудної корекції для подальшого спільного аналізу.

65
У кожному разі це вимагає встановлення відповідності між елементами вихідних зображень, що зводиться до виділення так званих опорних (реперних або сполучених) точок на зображеннях, за якими можна здійснити координатну прив’язку знімків з одночасною геометричною корекцією.
Наприклад, аерокосмічний комп’ютерний моніторинг передбачає наявність дискретного за часом спостереження з невеликим тимчасовим
інтервалом, тому, коли рухома камера фіксує яскравісний образ спостережуваного об’єкта (оптичну поверхню) у вигляді послідовності зображень, то цей образ від знімку до знімку деформується внаслідок перспективних спотворень і зміни положення камери. Геометрія відповідних деформацій моделюється проективними перетвореннями, які складають більш великий клас, ніж відомі перетворення евклідової геометрії (довжини і кути в проективній геометрії не зберігаються, а паралельні лінії можуть перетинатися).
Відновлення просторового рельєфу по стереознімку призводить до проблеми ідентифікації: встановлення точної координатної (поточечної) відповідності елементів стереозображень.
Вирішення цього завдання полягає у виділенні пар реперних фрагментів і оцінюванні параметрів «розбіжності» відповідних точок, за якими можна відновити функцію геометричного перетворення і оцінити поверхню тривимірної сцени (рельєф).
Після оцінювання параметрів геометричного перетворення виникає задача геометричної корекції або відновлення зображення у перетворених координатах.
У практиці обробки зображень завдання пошуку відповідності набуло великого поширення та відоме як проблема «пошуку за зразком». Формально його можна розглядати як процес ототожнення еталонного зображення (образу фрагмента) на першому знімку з одним із множини образів фрагментів, що лежить у деякій (що задається) області (зоні пошуку) другого знімка.
Алгоритми встановлення подібності у своїх основоположних варіантах у тій чи іншій мірі пов’язані з отриманням характеристик стохастичної взаємозв’язки порівнюваних фрагментів зображень. Всі вони ґрунтуються на
ідеях кореляційної та спектральної теорії сигналів, для відповідних критеріїв отримані експериментальні характеристики основних процедур пошуку за зразком.

66
3.2 Лінійна просторово-інваріантна фільтрація та фільтрація
у просторовій області
План
1. Модель спотвореного зображення.
2. Лінійні просторово-інваріантні фільтри.
3. Двовимірне перетворення Фур’є.
4. Глобальна фільтрація.
5. Інверсна фільтрація.
6. Лінійні згладжують фільтри.
7. Лінійні фільтри для виділення контурів.
8. Нелінійні фільтри.
Модель спотвореного зображення
Реальні зображення разом з корисною інформацією містять різні перешкоди. Джерелами перешкод є власні шуми фотоприймальних пристроїв, зернистість фотоматеріалів, шуми каналів зв’язку. Можливі геометричні та радіометричні спотворення, зображення може бути розфокусованим (не типово для супутникових зображень з роздільною здатністю 10 м та більше).
Для зображень з роздільною здатністю 1 м і менше турбулентність атмосфери призводить до розмивання дрібних деталей при коротких експозиціях. Модель спотвореного завадами безперервного зображення має вигляд [8, 9, 14]:








y
x
n
y
x
Qs
y
x
m
y
x
f
,
,
,
,



,
(3.18) де


y
x
f
,
– спотворене зображення;


y
x
m ,
– мультиплікативна перешкода, що моделює зображення за яскравістю;


y
x
s ,
– вихідне зображення;
Q – функціонал, що описує геометричні і радіометричні спотворення, а також розфокусування;


y
x
n ,
– адитивна перешкода, що накладається на зображення.
Модуляція супутникового зображення за яскравістю може відбуватися через те, що атмосфера над різними точками Землі має різну прозорість, випромінювання від цих точок проходить різний шлях в атмосфері.

67
Під час реставрації зображень необхідно відновити початкове зображення. Якщо спотворення відсутні,


1
,

y
x
m
, то






y
x
n
y
x
Qs
y
x
f
,
,
,


,
(3.19)
Результат реставрації




y
x
g
y
x
s
,
,
ˆ

запишемо як наслідок впливу на


y
x
f
,
деякого оператора




y
x
Tf
y
x
g
,
,

Оператор T (системний оператор) вказує на правило, за яким «вхідному сигналу»


y
x
f
,
ставиться у відповідність «вихідний сигнал»


y
x
g ,
Для того, щоб модель була повною, необхідно вказати області допустимих значень


y
x
f
,
та


y
x
g ,
. Під час реставрації застосовують оператор Т, що мінімізує відстань між


y
x
g ,
і


y
x
s ,
при заданих статистичних характеристиках випадкових полів


y
x
s ,
,


y
x
n ,
і відомому F.
Як критерій близькості


y
x
g ,
і


y
x
s ,
часто використовують критерій мінімуму середньоквадратичної помилки:






2
,
,
min
y
x
s
y
x
g

(3.20)
Лінійні просторово-інваріантні фільтри
У задачах поліпшення зображень, зазвичай, вважається, що


0
,

y
x
n
, функцією оператора Т є згладжування різких перепадів яскравості, підкреслення або виділення контурів.
Розглянемо просторово-інваріантні оператори, вихідна реакція яких не залежить від зміни початку відліку по x і по y, від орієнтації об’єктів на зображенні. Перша умова означає, що оператор переводить однорідне випадкове поле в однорідне. Друга умова означає, що оператор переводить в
ізотропне поле. Властивості просторової інваріантності виконуються строго, якщо області допустимих значень координат x, y потрапляють в інтервал від -∞ до ∞. Реальні зображення мають кінцеві розміри A ≤ x ≤ B, C ≤ y ≤ D, умова просторової інваріантності виконується наближено.
Оператор називається лінійним, якщо для нього справедливий принцип суперпозиції – реакція на суму сигналів


y
x
f
,
1
і


y
x
f
,
2
дорівнює сумі реакцій на кожне з впливів окремо










y
x
Tf
y
x
Tf
y
x
f
y
x
f
T
,
,
,
,
2 1
2 1



(3.21)

68
Для будь-якого довільного числа

справедливо




y
x
f
T
y
x
f
T
,
,



(3.22)
Властивості лінійності виконуються строго, якщо область допустимих значень яскравості f, g потрапляють в інтервал (-∞; ∞). Під час цифрової обробки яскравість
– величина речова, невід’ємна
і обмежена, зазвичай,
255
,
0


g
f
. Якщо кожному


y
x
g ,
відповідає єдине


y
x
f
,
, то оператор Т може бути подано у вигляді:



 

y
d
x
d
y
x
y
x
h
y
x
f
y
x
g









,
,
,
,
,
(3.23)
В (3.23) інтегрування ведеться по всій області, де визначені x та y, характеризує перетворення всього зображення цілком – глобальну фільтрацію.
Можна обробляти зображення по частинам, у цьому випадку здійснюється локальна фільтрація.
Ядро перетворення (3.23)


y
x
y
x
h

,
,
,
в оптиці іменують функцією
розсіювання точки, це зображення точкового джерела на виході оптичної системи, що вже є не точкою, а деякою плямою. Всі точки зображення


y
x
f

,
перетворюються у плями, відбувається підсумовування (інтегрування) усіх плям. Не слід думати, що ця процедура обов’язково приводить до розфокусування зображення, навпаки, можна підібрати таку функцією розсіювання точки, яка дозволить сфокусувати розфокусовані зображення.
Для того, щоб для функції розсіювання точки виконувалася умова просторової інваріантності, тобто, щоб вона не змінювалася при зміні початку відліку по x і по y, функція розсіювання точки повинна мати вигляд:




y
y
x
x
h
y
x
y
x
h







,
,
,
,
(3.24)
Функція розсіювання точки повинна володіти осьовою симетрією.
При обробці растрових зображень на прямокутній сітці простіше всього реалізувати функцію розсіювання точки кінцевих розмірів у вигляді прямокутної матриці форматом
N
N 
, наприклад,
3 3
Нехай


y
x
f
,
– функція двох змінних, визначена на інтервалах







x
,







y
, яка задовольняє умові абсолютної інтегрованості:




 



dxdy
y
x
f
,
(3.25)