КУРСОВА РОБОТА
на тему:
«Геометричні величини в шкільному курсі планіметрії»
ЗМІСТ
Вступ 3
1. Роль і місце вивчення геометричних величин, їх вимірювань
у процесі навчання 4
2. Геометричні величини в курсі планіметрії 6
3. Методика вивчення геометричних величин в планіметрії 12
4. Прикладна спрямованість вивчення довжин у курсі геометрії
основної школи 16
5. Прикладна спрямованість вивчення величин кутів
в курсі геометрії основної школи 19
6. Прикладна спрямованість вивчення площ фігур в курсі
геометрії основної школи 22
7. Аналіз діючих підручників з геометрії основної школи 23
Висновки 25
Список використаних джерел 26
Вступ
Однією з найважливіших проблем сьогодні в нашій країні є проблема освіти, сутність якої полягає в тому, що в учнів знизився інтерес до вивчення, як усіх предметів, так і математики, зокрема. Тому мета роботи полягає у підвищенні інтересу до математики за рахунок використання прикладних задач, які виникають за межами математики, але їх розв’язування вимагає застосування математичного апарату. Такі задачі стимулюють учнів до здобуття нових знань, збагачують їх теоретичними і практичними знаннями. У процесі навчання важливо досягти розуміння школярами того факту, що математичні поняття, з якими вони оперують на уроках, є абстракціями реальних явищ та процесів навколишнього світу.
Уявлення учнів про взаємозв'язок геометрії і навколишнього світу досягається поєднанням теоретичного і сучасних прикладних аспектів шкільного курсу геометрії. Цьому сприяє й той факт, що в програмі та навчальних посібниках відображені внутрішньо предметні та міжпредметні зв'язки. Великий інтерес представляють ті поняття, які знаходять застосування у кількох шкільних предметах. Одним з таких понять є поняття величини.
Величина – одне з основних математичних понять. Вимірювання геометричних величин – одна з основних ліній шкільного курсу геометрії, яка знайомить учнів з важливими ідеями, поняттями і методами метричної геометрії. Вимірювання геометричних величин пов'язано з ідеєю аксіоматичного методу, теорією дійсного числа, методами математичного аналізу. Знайомство учнів з різними формулами розширює можливості застосування в шкільному курсі геометрії аналітичного методу. Головна особливість викладу матеріалу - поєднання різних математичних ідей та методів, наприклад, в темі «Площі фігур» використовується традиційно-синтетичний та аналітичний методи.
Через поняття величини описуються реальні властивості предметів і явищ, відбувається пізнання навколишньої дійсності; знайомство з залежностями між величинами допомагає створити у дітей цілісні уявлення про навколишній світ; вивчення процесу вимірювання величин сприяє набуттю практичних умінь і навичок необхідних людині в її повсякденній діяльності.
1. Роль і місце вивчення геометричних величин, їх вимірювань у процесі навчання
Довжина, площа, маса, час, об’єм – це величини. Про зростання ролі величин у пізнанні природи говорить той факт, що вони проникають і є складовою частиною таких наук, як біологія, психологія, педагогіка, соціологія та ін. Але для математики і фізики поняття величини є найбільш характерним.
Без величин вивчення природи обмежувалося б лише спостереженнями і залишалося на описовому рівні. Саме кількісні моделі різних об'єктів, явищ найбільш описові. Характерним загальним поняттям для всіх моделей є поняття "величина".
Кожен об'єкт має багато різних властивостей, які відображені у відповідних величинах.
Величини не існують самі по собі, як певні субстанції, відірвані від матеріальних об'єктів і їх властивостей. З іншого боку, величини в деякій мірі ідеалізують властивості об'єктів і явищ. У процесі абстракції завжди відбувається огрубіння дійсності, відволікання від ряду обставин. Тому величини - це не сама реальність, а лише її відображення. Але практика показує, що величини точно відбивають властивості навколишньої дійсності.
Розрізняють декілька видів величин: скалярні, векторні, тензорні. У шкільному навчанні знайшли широке застосування скалярні (величини, які цілком визначаються одним чисельним значенням. Такими, наприклад, є довжина, площа, об'єм, маса та інші.) і векторні величини.
Величини дозволяють перейти від описового до кількісного вивчення властивостей об'єктів, тобто математизувати знання про природу.
Величини тісно пов'язані з поняттям вимірювання. Виміри є одним із шляхів пізнання природи людиною, об'єднуючим теорію з практичною діяльністю людини. Роль і значення вимірювань у процесі розвитку природничих і технічних наук безперервно зростає, так як зростає кількість і якість різних вимірів величин.
Говорячи про геометричні величинах, слід чітко розрізняти саму геометричну фігуру, величину, і числове значення цієї величини. Наприклад:
| Геометрична фігура | Величина | Значення величини | |
| Відрізок АВ:
| Довжина відрізка АВ: АВ = 4 см | Числове значення довжини відрізка АВ: 4 |
В Відмінність довжини відрізка від числового значення довжини в тому, що перше залишається незмінним, а друге залежить від обраної одиниці виміру. [18. 146 – 153 с].
Поряд з вивченням конкретних величин в школі важливо, щоб учні отримали досить повне і в той же час доступне уявлення про:
поняття величини, способи її вимірювання;
роль і місце величин в пізнанні природи;
властивості величини, її види;
суть математичної обробки результатів вимірювань.
Розуміння цих питань сприяє формуванню в учнів наукового світогляду. Вивчаючи величини, учні знайомляться також з основними метрологічними поняттями: розмір, значення, розмірність величини, еталони одиниць вимірювання і т.д.
Вивчення залежностей між величинами дозволяє учням бачити не тільки якісні зв'язки різних сторін об'єктивної реальності, тобто на описовому рівні, а й оцінювати їх кількісно.
У процесі вивчення різних величин учні повинні знати не тільки їх числові характеристики, але і ті властивості об'єктів, які характеризуються даними величинами. [16. 10 c.]
Отже, вивчення геометричних величин в шкільному курсі геометрії має важливе значення для розвитку пізнавальних процесів особистості. Величини дозволяють перейти від описового до кількісного вивчення властивостей об'єктів, тобто математизувати знання про навколишній світ. Без величин вивчення природи обмежувалося б лише спостереженнями і залишалося б на описовому рівні. Розуміння поняття величин та їх вимірюваннь сприяє формуванню в учнів наукового світогляду. Виміри є одним із шляхів пізнання природи людиною, об'єднуючи теорію з її практичною діяльністю.
2. Геометричні величини в курсі планіметріїПоняття величини, як і поняття числа, є одним з провідних у шкільному курсі математики і суміжних предметів природничого циклу (фізика, хімія, біологія), трудового навчання, спеціальних та загальнотехнічних дисциплін в професійно-технічних училищах, технікумах. Зміст загального поняття «величина» не піддається розкриттю ні через означення, ні через систему аксіом (непрямий спосіб), ні описанням суттєвих ознак. Непрямому означенню через систему аксіом піддаються лише класи окремих величин, зокрема скалярних і векторних величин. Уперше аксіоматику скалярних величин сформулював А. М. Колмогоров. В його працях системою скалярних величин називається деяка множина, яка задовольняє 10 аксіом.
Узагальненням додатних скалярних величин є такі скалярні величини, які змінюються в двох протилежних напрямах (температура) і значення яких можуть виражатись нулем, додатним або від’ємним числами. Узагальненням скалярних величин є також вектори, тензори та інші нескалярні величини. У деяких абстрактних математичних дослідженнях введено неархімедові величини, для яких не виконується аксіома Архімеда.
Оскільки множина дійсних чисел задовольняє систему 10 аксіом скалярних величин, то правомірно самі дійсні числа називати величинами. Особливо зручно це при розгляді змінних величин.
Н. Я. Віленкін (нар. 1920) пропонував інше означення скалярної величини: величиною, заданою відношенням а b і а = b
с у множині 
, називають розбиття цієї множини на класи еквівалентності за відношенням а = b («Математика в шк.», 1973, № 4, с 5.).З дидактичних міркувань жодна абстрактна теорія скалярних величин не може бути предметом вивчення в середній школі. Проте, починаючи з початкової школи, протягом вивчення всього шкільного курсу математики та суміжних предметів у учнів треба сформувати правильне уявлення про різні скалярні та векторні величини шляхом розгляду різноманітних прикладів і безпосередніх вимірювань. При цьому важливо дотримуватись єдиного підходу до термінології та символіки, що стосується величин та їх вимірювання.
Зазначимо, що в школі і навчально-методичній літературі трапляються некоректності, і навіть помилки, щодо терміна «величина». Часто він ототожнюється з термінами «кількість», «значення величини». Вживаються вирази на зразок «величина площі» (площа сама є величиною), «величина числа» (число - теж величина), «абсолютна величина числа».
Геометричні величини (довжина відрізка, величина кута і його синонім - міра кута, площа, об’єм) одночасно є і фізичними величинами. В учнів поступово повинно сформуватися уявлення про те, що величина - це загальна властивість певного класу об’єктів, їхніх станів або процесів, що в них відбуваються. З кількісного боку ця загальна властивість може бути індивідуальною для кожного об’єкта. Наприклад, два різні трикутники можуть мати різні площі. Треба прагнути до того, щоб на прикладах конкретних геометричних фігур учні усвідомили, що довжина відрізка показує розмір частини прямої, яку він становить, властивість протяжності цієї фігури; площа фігури показує розмір частини площини, яку обмежує ця фігура, а об’єм - розмір частини простору, яку обмежує певне геометричне тіло.
Вимірюються величини, а не об’єкти (фігури). Тому слід вживати вираз «виміряти довжину відрізка», «виміряти величину кута», а не «виміряти відрізок, кут». Проте слід мати на увазі, що терміном «кут» у геометрії називають і геометричну фігуру, і величину. Наприклад, кут між двома прямими-не фігура, а величина. Тому в другому розумінні терміна «кут» вираз «виміряти кут» правомірний.
У підручниках з математики для 5-6 класів Е. Р. Нурка і А. Е. Тельгмаа , Н. Я. Віленкіна та ін. стосовно відрізків вживається правильний вираз «виміряти довжину відрізка», а щодо кутів в обох розуміннях цього терміна вживається лише вираз «вимірювання кутів».
В обох паралельних чинних підручниках з геометрії використовуються неправомірні вирази «вимірювання відрізків», «вимірювання кутів». Для скорочення вимови їх вживати можна, але після відповідної домовленості, як це зроблено, наприклад, у підручник Атанасяна.
Щодо величин вживаються три терміни: 1) розмір величини; 2) значення величини; 3) числове значення величини.
Розмір величини - кількісне вміщення тієї властивості даного об’єкта, яка відповідає поняттю величина. Розмір величини для даного об’єкта існує об’єктивно і не залежить від вибору одиниці вимірювання. Наприклад, розмір довжини відрізка АВ існує об’єктивно, хоч довжина його може виражатись різними числами залежно від вибору одиниці вимірювання довжини.
Значення величини - оцінка величини у вигляді деякого числа прийнятих для неї одиниць. Наприклад, 25 м, 2500 см. Значення величини завжди записується числом разом з найменуванням вибраної одиниці величини. Це те, що раніше в шкільних підручниках називали «іменованим числом»; нині цей термін, як правило, не вживається. Отже, значення тієї самої величини для даного об’єкта може бути різним залежно від вибору одиниці вимірювання.
Числове значення величини - це число, яке входить до значення величини. Наприклад, 25 дм3 - значення об’єму тіла, а 25 - числове значення об’єму тіла. Числове значення величини теж залежить від вибору одиниці вимірювання.
У зв’язку з вимірюванням величин вживаються два терміни: «одиниця величини» і «одиниця вимірювання величини», зміст яких відрізняється, хоч в підручниках і методичній літературі вони часто ототожнюються (можливо для скорочення вимови).
У метрології, яка визначає державні стандарти щодо термінології і символіки, і в фізиці одиниця величини-це величина, якій, за означенням, присвоюють числове значення, що дорівнює одиниці. Термін «одиниця величини» застосовується також для позначення одиниці, що входить множником до значення величини. Наприклад, 1 см, 1°, 1 м3.
У навчальному посібнику з геометрії за редакцією А. М. Колмогорова значення будь-якої величини а записувалось у вигляді рівності а = х
, де – одиниця величини, х – числове значення величини. Відношенням значень величин а = х
,.b = y , де 
, називали відношення 
їх числових значень за одної і тієї самої одиниці є величини. Такий запис величин, як правило, використовується в фізиці, хімії.Одиниці даної величини можуть різнитися за своїм розміром. Наприклад: 1° і 1 радіан =57°; 1м і 1 фут = 0,3048 м; 1м і 1 дюйм = 25,4•10-3м.
При вимірюванні геометричних величин послуговуються і термінами «одиниця вимірювання довжини», «одиниця вимірювання величини кута», «одиниця вимірювання площі», «одиниця вимірювання об’єму». Ці одиниці вимірювання являють собою відповідні фігури. Одиниця вимірювання довжини - одиничний відрізок, тобто такий, довжина якого є одиницею довжини (1 мм, 1 м, 1 дм, 1 км і т. д.). Одиниця вимірювання кутів - центральний кут, величина якого береться за одиницю міри кута (1°- в градусній системі, 1 радіан - в радіанній системі). Одиниця вимірювання площі – одиничний квадрат, тобто квадрат, у якого сторона – одиничний відрізок. Площа одиничного квадрата є одиницею площі.
Слід мати на увазі, що перше уявлення про величини і їх вимірювання учні дістають ще в дошкільному .віці: уявлення про величину як просторову ознаку предметів – шляхом накладання і прикладання, навички порівнювати різні предмети, утворювати впорядковані сукупності (за довжиною, об’ємом та ін.), розвиток окоміру, початкові уявлення про вимірювання величин.
У шкільному курсі величини, їх вимірювання та обчислення вивчаються концентрично. У першому концентрі (1-4 класи) формуються на наочній основі уявлення про довжину, площу, масу, час, швидкість, вартість. Вводяться одиниці величин і їх вимірювання, розглядаються залежності між величинами (між ціною, кількістю і вартістю;’ швидкістю, часом і шляхом; площею і довжинами сторін прямокутника), учні застосовують здобуті знання і одержані уявлення при розв’язуванні текстових задач, що містять величини, вчаться практично вимірювати довжини відрізків, ламаних в сантиметрах, дециметрах, міліметрах, будувати відрізок за даною довжиною, обчислювати периметр і площу прямокутника, квадрата. Вводяться одиниці площі (квадратний метр, квадратний дециметр, квадратний сантиметр), розв’язуються вправи на знаходження площ фігур підрахунком. У 4 класі учні ознайомлюються із співвідношеннями між одиницями величин.
Після закінчення початкової школи учні повинні знати: назви і позначення одиниць найважливіших величин - довжини (км, м, дм, см, мм), маси (кг, г), площі (м2, дм2, см2), швидкості (км/год, м/с), часу (год, хв, с); вміти: вимірювати довжину відрізка, довжину ламаної; будувати відрізок даної довжини; обчислювати периметр і площу прямокутника і многокутника (за допомогою палетки).
У 5-6 класах відомості про величини, їх вимірювання і обчислення повторюються і розширюються. Тут учнів ознайомлюють з двома новими величинами - мірою кута (вводиться градусна міра кута) й об’ємом прямокутного паралелепіпеда. У програмі 5–6 класів є вимога виконувати найпростіші вимірювання і побудови відрізків, кутів за даною градусною мірою кута.
Другий концентр щодо вивчення величин, їх вимірювання й обчислення здійснюється в два етапи. На першому етапі, у 7-9 класах, учні знову повертаються до відомих їм геометричних величин, але вивчають їх уже на дедуктивній основі: запроваджуються первісні поняття «довжина відрізка», «градусна міра кута» та аксіоми, що виражають суттєві властивості цих понять. У 9 класі програмою передбачено вивчення площ многокутників, довжини кола і площі круга. У підручнику О. В. Погорєлова вводиться означення площі простої фігури, а в підручнику Л. С. Атанасяна та ін. тема «Площа многокутників» вивчається у 8 класі й означення площі фігури не вводиться. Автори обмежуються описанням на прикладах поняття площі, тобто фактично спираються на ті уявлення, які створились в учнів раніше.
У підручнику О. В. Погорєлова вводиться означення площі доцільної фігури через поняття простої фігури з неявним використанням ідеї граничного переходу: «Дана фігура має площу 5, якщо існують прості фігури, що містять її і що містяться в ній і площі яких як завгодно мало відрізняються від 5». Далі на основі цього означення вводиться формула площі круга, кругового сектора і сегмента.
В обох підручниках не вводиться означення довжини кола, а, користуючись наочними уявленнями про це поняття, автори доводять формулу довжини кола, як і площі круга, неявно використовуючи ідею граничного переходу, хоч поняття границі учні ще не знають.
Програма на цьому етапі навчання обмежується вимогою: обчислювати значення геометричних величин (довжин, міри кутів, площ), застосовуючи вивчені властивості фігур і формули.
Другий етап - 10-11 класи. Тут у курсі стереометрії вивчаються питання вимірювання площ поверхонь і об’ємів геометричних тіл. Вимоги програми сформульовані аналогічно до вивчення геометричних величин у планіметрії. У підручнику О. В. Погорелова у зв’язку з вивченням теми «Тіла обертання» вводяться на рівні означення поняття «тіло» (тілом називається скінчена замкнена область) і «поверхня тіла» (границя тіла називається поверхнею тіла). Однак попередньо запроваджуються означення внутрішньої точки фігури й області. Поняття і способи обчислення площі поверхні многогранників не викликають труднощів в учнів. Що ж до площі поверхонь тіл обертання, то строге обґрунтування відповідних формул пов’язане з певними труднощами. Можна було б обмежитись виведенням формул площ поверхонь тіл обертання, користуючись їх розгортками. У попередніх варіантах шкільної програми це передбачалось. Чинна програма орієнтує вії класі вводити поняття площі поверхні на рівні строгого означення, але з опорою на наочні уявлення учнів.
В історії розвитку шкільного курсу геометрії і методики його викладання було кілька методичних і теоретичних підходів до введення поняття про площу поверхні. У підручнику А. П. Кисельова спочатку вивчались формули площ поверхонь, а завершувалось вивчення стереометрії виведенням формул об’ємів геометричних тіл. В цьому разі площі бічних поверхонь тіл обертання означались як границі площ бічних поверхонь правильних вписаних n-кутних призм, пірамід (для циліндра і конуса) й описаного многогранника (для сфери).
У період модернізації шкільного курсу геометрії в 60-х роках було змінено послідовність вивчення площ поверхонь і об’ємів. Спочатку вивчалась тема «Об’єми тіл», а завершувався курс доведенням формул площ поверхонь тіл обертання. Пов’язано це було з такою обставиною. К. Шварц (1843-1921) показав, що спосіб вписування й описування многогранників при обчисленні площ поверхонь можливий не для будь-яких тіл, оскільки границі площі поверхні вписаного многогранника може не існувати (зокрема, границі площ поверхонь вписаного й описаного многогранників можуть бути різними). Тому А. Лебег (1875–1941) запропонував інший загальний спосіб обчислення площ поверхонь тіл. Ідея його полягала в тому, що площа поверхні тіла означалась (і обчислювалась) як границя об’єму шару, яким покривалось тіло, при умові прямування до нуля товщини шару .
Цей спосіб був представлений у навчальному посібнику за редакцією 3. А. Скопця , а пізніше – і в попередніх виданнях посібника О. В. Погорєлова.
В останньому виданні підручника О. В. Погорєлов повернувся до традиційного підходу до виведення формул площ поверхонь тіл обертання й об’ємів тіл. В цьому разі саме поняття площі поверхні не означається, а при виведенні формул неявно використовується поняття границі. Такий підхід правомірний, оскільки неважко довести, що границя площі поверхні вписаного й описаного навколо тіл обертання многогранників існує.
3. Методика вивчення геометричних величин в планіметрії
Повторення і розширення відомостей про довжини відрізків і міру кутів та їх вимірювання у 5-6 класах доцільно спрямувати на зв’язок з розв’язуванням текстових задач, перспективні зв’язки з наближеними обчисленнями, оскільки результати вимірювань довжин і значень міри кутів виражаються наближеними значеннями. Доцільно також дати учням чіткі алгоритми вимірювання відповідних величин. Наприклад, для кутів алгоритм може мати такий вигляд. Щоб виміряти величину кута, треба:
накласти на кут транспортир так, щоб вершина кута збіглася з центром транспортира, а одна сторона кута пройшла через початок відліку на шкалі;
знайти штрих на шкалі, через який пройде друга сторона кута;
визначити градусну міру кута, користуючись цим штрихом і шкалою, через початок якої пройшла перша сторона кута.
Поширеною помилкою учнів при вимірюванні кутів за допомогою транспортира є неправильний вибір шкали з тих двох шкал, які позначені на деяких транспортирах. Тому треба звернути увагу учнів на правильний вибір шкали в третій вказівці алгоритму.
Аналогічно можна сформулювати алгоритм вимірювання довжин відрізка лінійкою. У ньому треба передбачити вказівку на випадок, коли другий кінець відрізка не суміщається з штрихом шкали лінійки, а міститься між двома сусідніми штрихами.
Вводячи алгоритми вимірювання відрізків і кутів, зручно скористатися демонстраційною лінійкою і транспортиром або їх прозорими моделями для демонстрації процесу вимірювання через кодоскоп.
При вимірюванні геометричних величин, як і будь-яких інших, треба попередньо вказати використовувану одиницю величини, за допомогою якої буде записане одержане значення величини.
Вивчаючи формулу довжини кола в 6 класі, варто звернути увагу учнів на те, що виміряти безпосередньо довжину цієї замкненої кривої лінії масштабною лінійкою, яка є відрізком прямої, не можна. Однак можна знайти формулу, яка дає змогу обчислити довжину кола через його радіус або діаметр, тобто через відрізки прямої.
Доцільно також ознайомити учнів з різними вимірювальними приладами, якими послуговуються в техніці, на виробництві та в інших галузях народного господарства. Довжини відрізків креслярі вимірюють масштабною лінійкою, теслярі, столяри, будівельники - складаним метром, рулеткою, землеміри - польовим циркулем, геодезисти - мірною стрічкою (ланцюгом, рулеткою, звичайною мотузкою), кравці - клейончастим «сантиметром», слюсарі, фрезерувальники, токарі - штангенциркулем, кронциркулем. Спеціальний лічильник підраховує відстань, яку подолав автомобіль.
При повторенні систематичного курсу геометрії, де геометричні величини вивчаються на дедуктивній основі, треба звернути увагу учнів на те, що довжина відрізка і градусна міра кута – первісні поняття, а аксіоми вимірювання описують властивості цих понять. Разом з тим поняття площі в 9 класі і поняття об’єму п 11 класі вже вводяться в підручнику Погорєлова шляхом означення. При цьому в тлумаченні всіх «трьох» геометричних величин і в розумінні їх вимірювання здійснюється єдиний підхід:
рівні фігури мають рівні відповідні величини (довжини, міри кута, площі, об’єми);
якщо фігура розбивається на частини, то відповідна цій фігурі величина (довжина, міра кута, площа, об’єм) дорівнює сумі відповідних величин її частин;
існує одиниця вимірювання, тобто фігура, відповідна величина якої береться за одиницю (одиничний відрізок, центральний кут в 1°, квадрат і куб, сторони яких є одиничним відрізком).
Довжина кола в 9 класі вивчається на більш високому теоретичному рівні, хоч формула і не доводиться строго дедуктивно. Справді, строге доведення потребує використання поняття границі, з яким учні на цьому етапі навчання ще не знайомі. З метою здійснення перспективних зв’язків, пропедевтики поняття границі і наочної ілюстрації ідеї граничного переходу можна запропонувати учням готову таблицю значень периметрів правильних вписаних і описаних многокутників стосовно кола радіуса 1 і 3. Аналізуючи рисунки і числові значення периметрів, учні переконуються, що, коли R=1, при збільшенні кількості сторін многокутника значення периметрів прямують до того самого числа, що наближено дорівнює 6,28
. Якщо взяти R = 3, то це число дорівнюватиме 6,28 • 3 
. Після доведення теореми про відношення довжини кола до його діаметра, з якої безпосередньо випливає формула довжини кола, варто запропонувати учням самостійно вивести формулу довжини дуги кола, яка має градусну міру n°.У курсі геометрії й алгебри основної школи розширюються відомості про кути та вимірювання їх. У курсі алгебри вводиться поняття про кут повороту (як величину, а не фігуру), який може виражатися в градусах будь-яким дійсним числом від -
до+ . У геометрії (й алгебрі) запроваджується поняття про радіанну міру кута. Для реалізації зв’язків з іншими предметами та виробничою практикою доцільно розповісти учням про різні інші одиниці вимірювання величин кутів.В астрономії за одиницю вимірювання кутів взято кутовий час – кут, який становить
частину прямого. У картографії кути вимірюються в градах. Град дорівнює 
частині розгорнутого кута і позначається буквою g. Наприклад: 
АОВ = 52g.У техніці за одиницю вимірювання кутів береться повний оберт. Зокрема, йдеться про число обертів вала, шківа, махового колеса.
В артилерії кути вимірюють у великих і малих поділках кутоміра. Повний оберт ділять на 60 рівних частин, кожну з яких називають великою поділкою кутоміра. Велику поділку розділяють на 100 малих. Значення кута, виміряне в таких одиницях, записують так: 25-47, що означає 25 великих і 47 малих поділок кутоміра. У цій системі, як і в радіанній, не введено символу для позначення одиниці міри кута.
У курсі планіметрії на основі наочних, інтуїтивних уявлень про площу, які учні дістали в 1-6 класах, теоретичні відомості про площі фігур будуються на дедуктивній основі. У підручнику О. В. Погорєлова в 9 класі формулюється означення площі простої фігури. У ньому перелічуються суттєві властивості площі, і на їх основі доводиться формула площі прямокутника та інших видів многокутників.
У підручнику Л. С. Атанасяна та ін. здійснюється інший методичний варіант вивчення теми «Площі». Означення простої фігури і площі простої фігури тут не вводиться. Автори обмежуються наочним, інтуїтивним уявленням про площу многокутника, описово вводять основні її властивості. Ці властивості використовуються для доведення формули площі квадрата. На основі цієї формули доводиться теорема про площу прямокутника. З формули площі прямокутника виводиться формула площі паралелограма. За допомогою виведених формул доводяться теореми про площу трикутника.
При вивченні теореми про площу трапеції доцільно скористатися дослідницьким методом навчання, а саме - запропонувати учням самостійно вивести формулу площі трапеції, використовуючи властивості площі та відомі формули площ інших многокутників. Різні учні виберуть різні шляхи пошуку формули, що дасть можливість завершити роботу колективним обговоренням знайдених способів доведення.
Через систему спеціально підібраних задач корисно ознайомити учнів з іншими формулами площ многокутників. Ці формули стануть у пригоді при розв’язуванні різноманітних задач. їх доцільно звести в таблицю, яку учні записують в довідковий зошит, призначений для формул, правил-орієнтирів методів доведень та методів і способів розв’язування певних класів задач.
У чинних підручниках з геометрії при виведенні формули площі круга традиційно послуговуються ідеєю граничного переходу від площі вписаного (описаного) правильного многокутника до площі круга при прямуванні до нескінченної кількості п сторін правильного п- кутника.
Працюючи за підручником О. В. Погорєлова, треба звернути увагу учнів на те, що круг не є простою фігурою, тобто такою, яку можна розбити на скінчену кількість трикутників. Тому доводиться ввести умову існування площі і фігур, які не є простими: дана фігура має площу.?, коли існує проста фігура, яка міститься в ній і яка містить її з площами, що як завгодно мало відрізняються від і.
Після виведення формули площі круга, кругового сектора і сегмента варто повідомити учнів про те, що надалі в курсі алгебри і початків аналізу вони ознайомляться із загальним методом обчислення площ плоских фігур, обмежених графіками функцій, за допомогою інтеграла.
4. Прикладна спрямованість вивчення довжин у курсі геометрії основної школи
У традиційній школі вивчення величин починається з довжини предметів.
Перші уявлення про довжину, як про властивість предметів, у дітей виникає задовго до школи. З перших днів навчання у школі ставиться завдання уточнити просторові поняття дітей. Важливим кроком у формуванні даного поняття є знайомство з прямою лінією і відрізком, як «носієм» лінійної протяжності, позбавленим, по суті, інших властивостей.
Про походження поняття «відрізок» говорить навіть його назва. Очевидно, що перш ніж учені ввели в геометрію це поняття, людям неодноразово доводилося відрізувати куски палиць, мотузок тощо.
Рис. 1
Прикладний – прикладений до діла, той, що має практичне значення, у свою чергу практичний – це той, що відноситься до області життєвого досвіду, реальних потреб. Спрямованість – зосередженість думок, інтересів, направлених на досягнення певної мети [2. 4 c. ]. Тож потрібно щоб учні вміли порівнювати різні предмети, їх довжину, для цього вчитель повинен наводити різноманітні приклади, які зустрічаються в нашому житті.
Рис. 2
Спочатку учні порівнюють предмети за довжиною, не вимірюючи їх. Роблять вони це накладенням (додатком) та візуально («на око»). Доцільно показати учням плакат, що ілюструє зв'язок геометричного поняття «відрізок» з об’єктами матеріального світу (рис. 2). Наприклад, учням пропонується розглянути малюнки і відповісти на питання: «Яка відстань довша, а яка коротша?» (рис. 1).
Для практичних цілей часто виникає необхідність проводити геометричні побудови на місцевості. Такі побудови потрібні і при будівництві будівель, і при прокладанні доріг, і при різних вимірах об'єктів на місцевості. Можна подумати, що робота на рівній поверхні землі нічим, по суті, не відрізняється від роботи циркулем і лінійкою на звичайному аркуші паперу. Це не зовсім так. Адже на папері циркулем ми можемо проводити будь-які окружності або їх дуги, а лінійкою - будь-які прямі. На місцевості ж, де відстані між точками досить великі, для подібних дій знадобилася б довга мотузка або величезна лінійка, які не завжди є під руками. Та й взагалі креслити прямо на землі, які б то не було лінії-дуги або прямі - представляється досить складним. [10. 89 - 91 c. ]Таким чином, побудови на місцевості мають свою специфіку та сприяють розумовій діяльності школярів.
Необхідно відмовитися від проведення справжніх прямих на землі. Будемо ці прямі прокладати, наприклад, кілочками, досить густу мережу точок. Для практичних потреб цього зазвичай вистачає, оскільки пересування по прямій від одного кілочка до іншого, розташованому на близькій відстані від першого, – дія, цілком здійсненна. Такі способи вимірювання на місцевості вчителі повинні проводити з своїми учнями, що розвиває в них просторову уяву та мислення в цілому. [10. 92 c. ]
Вимірювати довжину відрізків лінійкою з поділками учні починають ще в 1-му класі. У 7-му класі слід нагадати як це робиться. У крамницях довжину тканини відмірююсь суцільними дерев’яним або металевим метром; швачки, кравці користуються клейончастою сантиметровою стрічкою; теслярі, слюсарі – складним метром; будівельники, геодезисти – рулеткою; землеміри – польовим циркулем (сажнем).
Бажано показати семикласникам кожний з цих вимірювальних інструментів і розповісти, як ними користуватись.
Слюсарі, токарі, фрезерувальники розміри деталей визначають штангенциркулем (рис. 3), а якщо потрібна особливо висока точність,- мікрометром (рис. 1.4).
Рис. 3
Рис. 4
Дерев’яним інструментом подібним до штангенциркуля, лісники вимірюють діаметри дерев. Учням можна показувати ці прилади, але спеціально розглядати будову їх на уроці геометрії не обов’язково.
5. Прикладна спрямованість вивчення величин кутів в курсі геометрії основної школи
Висока ефективність прикладної спрямованості навчання ні в кого з науковців та вчителів сучасної школи не викликає сумніву, однак його використання в шкільній практиці – явище не таке вже й часте. Однією з причин цього є порівняно складна технологія його реалізації. Треба зазначити, що у педагогічній літературі дуже мало задач на прикладну спрямованість, виняток не становить вивчення кутів в шкільному курсі геометрії.
При вивченні кутів, діти повинні мати чітке уявлення про кут та знати його основні властивості.
Традиційно, в основній школі поняття кута можна сформулювати так:
кут – геометрична фігура, утворена двома променями (сторонами кута), які виходять з одної точки, що називається вершиною кута.
Ряд практичних задач приводить до доцільності розглядати кут як фігуру, що утворюється при обертанні фіксованого променя навколо точки О (з якої виходить промінь) до заданого положення. У цьому випадку кут є мірою повороту променя.
У процесі навчання важливо досягти розуміння школярами того факту, що геометричні поняття, з якими вони оперують на уроках геометрії (кути, площі, довжини), є абстракціями реальних явищ та процесів навколишнього світу. Кожен школяр повинен розуміти глибокий зміст мудрих слів Галілея: «Велика книга природи написана на мові математики».[2. 24 – 28 c.]
Для того, щоб учні вміли застосовувати свої знання в повсякденному житті, набуті під час вивчення даної теми, вони добре повинні володіти даним матеріалом. Лише за таких умов діти зможуть розв’язати прикладну задачу. Так, наприклад шофер повинен уміти визначати кути підйому і спуску, читати відповідні позначення на дорожніх знаках і, звичайно ж, – знати кутові характеристики своєї машини. Для кожного автомобіля характерні передній
і задній 
кути звису (рис 1.5). Наприклад, для автомобіля ГАЗ-24 «Волга» вони відповідно дорівнюють 30° і 18°, а для автомобіля ВАЗ-2121 «Нива» - 40° і 32°. 
Рис. 5
Мірою кутів характеризується багато сільськогосподарських машин, особливо їх ріжучі частини. Наприклад, лапи культиваторів, що підрізують бур’яни в ґрунті, виготовляються такими, що кут між ріжучими кромками дорівнює або 60°, або дещо менше. [2. 31 c.]
Якщо у класі є діти, які займаються певним видом спорту, вчитель може спонукати учнів до вивчення геометрії зацікавивши їх тим, що навіть у спорті кут має велике значення, наприклад: у відповідальних іграх хокеїстам не дозволяють грати ключками, кути яких відрізняються від 138° більше, ніж на 2° тощо.
З кутами мають справу геодезисти, маркшейдери, рідоти, штурмани, артилеристи, інженери, слюсарі, токарі, фрезерувальники, будівельники і багато інших фахівців. Для геодезистів і маркшейдерів кут – найважливіший параметр; щодня вони або вимірюють десятки кутів, або виконують обчислення з великою кількістю кутів.
У шкільному курсі геометрії кути вимірюються градусами за допомогою транспортирів (рис. 6 ).
Рис. 6
З невеликою точністю кути на місцевості можна визначати, користуючись компасом або годинником із звичайним циферблатом (рис.7).
Рис. 7
Прямий кут можна навіть неозброєним оком побачити в будь-якому приміщенні. Відрізки перпендикулярних прямих (точніше, матеріальні моделі їх) можна побачити в кожному будинку, в кожній кімнаті. Будь-який предмет, що має форму прямокутника або прямокутного паралелепіпеда (двері, цеглина, стіна, шафа тощо), містить взаємно перпендикулярні сторони або ребра.
Дорогу рекомендується переходити перпендикулярно до її осі. Сад, поле звичайно обробляють у двох взаємно перпендикулярних напрямах.
Кожна лінія в зошиті в клітинку перпендикулярна до кожної з тих, що її перетинає. За допомогою такої сітки прямих добре ілюструвати теорем; про те, що коли пряма перпендикулярна до однієї з паралельних прямих: то вона перпендикулярна і до другої.
Прикладний зміст теми «Кути» може проявлятися в таких аспектах, як вимірювання на місцевості, задачі геодезії, астрономічні обчислення, задачі техніки та практики, системи вимірювання кутів (в мореплавстві, астрономії, артилерії, картографії, техніці), обертальний рух в техніці, обертальний рух в навколишньому середовищі тощо.
6. Прикладна спрямованість вивчення площ фігур в курсі геометрії основної школи
У процесі вивченні теми «Площі фігур» діти спочатку ознайомлюються з самим поняттям площі, потім вивчають площу прямокутника, паралелограма, трикутника, трапеції, площі подібних фігур та площу круга.
Взагалі, для простих фігур площа – це додатна величина, числове значення якої має такі властивості:
рівні фігури мають рівні площі;
якщо фігура розбивається на частини, що є простими фігурами, то площа цієї фігури дорівнює сумі площ її частин;
площа квадрата із стороною, що дорівнює одиниці вимірювання, дорівнює одиниці. [5. 167 c. ]
Слово «площа» має кілька значень. Ним називають і частину міської території, наприклад, площа Перемоги у Києві. Говорять також про житлову площу, посівну площу. У геометрії площа — одна з величин. Раніше площею називали певну числову характеристику тільки плоскої фігури. Не випадково слова «площа» і «площина» одного кореня. Нині ці поняття слід розрізняти.
Учні мають добре знати співвідношення між одиницями площ:
1 м2 = 100 дм2 = 1000 см2 = 1000 000 мм2.
Площі полів, лісів, ставків вимірюють звичайно в гектарах. Соту частину гектара – ар – у побуті називають соткою.
1 га = 100 а = 10 000 м2 = 0,01 км2.
Найпростішою фігурою щодо обчислення її площі є прямокутник, площа якого обчислюється за формулою: S = ab, де а і b — довжина і ширина сторін прямокутника.
Учні повинні розуміти, що для того, щоб обчислитижитлову площу квартири, треба знайти площу кожної кімнати. Щоб дізнатися, скільки квадратних метрів обштукатурив штукатур, пофарбував маляр, треба визначити площу стіни, стелі, дверей, вікон, підлоги тощо, а вони, за деяким винятком, мають форму прямокутників.
Щоб побудувати математичну модель подібної задачі школярі повинні добре володіти основним матеріалом з даної теми. Але не кожному учневі це під силу, тому вчителеві часто доводиться наштовхувати учнів на правильний хід думок.
Зрозуміло, що площі полів, підлоги, стін, стелі та інших подібних об’єктів на практиці обчислюють наближено, інколи навіть «на око». Непогано, якщо й учні матимуть у цьому хоч деякі навички, наприклад, зуміють «прикинути», яка площа класної кімнати, спортивного майданчика, футбольного поля тощо, тому при прогулянках чи екскурсіях, для кращого розвитку розумової діяльності учнів, потрібно тренувати навики учнів шляхом наближеного вимірювання площ.
Слід звернути увагу учнів на те, що в польових умовах далеко не завжди можна вимірювати і обчислювати площі так, як це робиться на папері. Якщо, наприклад, на полі, що має форму трапеції, колоситься пшениця, топтати її, щоб виміряти безпосередньо висоту цієї трапеції, ніхто не буде. І якщо на аркуші паперу легко визначити точку перетину двох будь-яких непаралельних прямих, то в польових умовах це зробити нелегко, а інколи неможливо. Вимірюючи площі земельних ділянок, звичайно йдуть по контуру. Для вимірювання найчастіше користуються польовим циркулем, значно рідше – кутомірними інструментами.
7. Аналіз діючих підручників з геометрії основної школи
Проаналізувавши діючі підручники з геометрії було виявлено, що в багатьох з них немає задач прикладного характеру. Майже в усіх підручниках розглядаються задачі стандартного вигляду, які не потребують певних роздумів та міркувань.
У підручнику з геометрії , авторами якої є М. І. Бурда та Н. А. Тарасенко під час вивчення теми «Вимірювання відрізків», можна побачити зображення вимірювальних приладів, таких як міліметрову лінійку, штангенциркуль, мікрометр, рулетку та польовий циркуль, що збільшує знання та світогляд учнів. Після блоку стандартних задач учням пропонується розв’язати кілька прикладних задач.
За підручником Г. П. Бевза, В. Г. Бевза, Н. Г. Владімірова учні розглядають стандартні задачі по темі «Кути та їх виміри», «Площі фігур» так як і в підручнику за М. І. Бурдою, Н. А. Тарасенком, але в кінці цього підручника учням пропонується кілька задач прикладного характеру, які обов’язково повинні розглядатися при вивченні даних тем.
Так як задач даного типу практично немає в діючих підручниках, вчителям потрібно самостійно складати прикладні задачі, які будуть доповнювати систему задач та сприятимуть гармонійному розвитку учнів. Подібні задачі розкривають прикладну спрямованість шкільного курсу геометрії і дають можливість застосувати здобуті учнями знання, вміння і навички, отримані в школі, до реальних потреб у різних сферах життя.
Висновки
Кожна особистість повинна володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань до розв’язання конкретних практичних задач. Тому перед сучасною школою поставлені завдання щодо поєднання теоретичного навчання з подальшим практичним застосуванням, а саме підвищення шкільної математичної освіти за умов посилення її прикладного та практичного спрямування.
Побудова суворої теорії вимірювання геометричної величини в шкільному навчанні наштовхується на серйозні труднощі. Це не означає відмови у шкільному курсі від будь якої теорії вимірювання геометричних величин. Головне – прагнення до строгості не повинно бути самоціллю, але не слід приховувати від учнів вимушених логічних прогалин. Наприклад, площа багатокутника визначається як сума площ трикутників, на які його можна розбити. Природно виникає питання, чи отримаємо те ж саме число, якщо розіб'ємо даний багатокутник на трикутники іншим способом і складемо площі трикутників розбиття. У школі не вивчається теорема про незалежність суми площ трикутників розбиття від способу розбиття, але про її існування слід повідомити учням про існування такого факту.
Задачі прикладного характеру досить вдало доповнюють систему задач шкільного курсу математики і можуть використовуватись на різних етапах навчання і з різною метою. Залучення учнів до розв’язування таких задач на уроках математики сприяє розвитку творчого мислення, свідомому, якісному засвоєнню навчального матеріалу, активізує навчально-пізнавальну діяльність, дозволяє здійснювати перенесення отриманих знань і умінь в ту чи іншу галузь, що у свою чергу, активізує інтерес до завдань прикладного характеру і вивчення математики в цілому.
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
Бевз Г. П. Прикладна спрямованість шкільного курсу геометрії: Посібник для вчителя / Бевз Г. П. – К. , 1999 – 97 с.
Бурда М. І. Геометрія: Підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закл / Бурда М. І., Тарасенко Н. А. – К.: Зодіак-ЕКО, 2007. – 208 с.
Бурда М. І. Геометрія: Підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл / Бурда М. І., Тарасенко Н. А. – К.: Зодіак-ЕКО, 2007. – 226 с.
Коваль В. В. Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики/ Коваль В. В. – Кривий Ріг: КДПУ, 2001. – 248 c.
Кравчук В. Геометрія: Підручник для 7 класу / Кравчук В., Янченко Г.– Тернопіль : Підручник і посібники, 2007. – 224 с.
Математика в школах України, №27(219), 2008. – 21- 23 с.
Погорєлов О. В. Планіметрія: Підруч. Для 7 – 9 кл. серед. шк. – 5-те вид. – К.: Освіта, 2001. – 223 с.
Слобода І. В. Математичне моделювання в процесі розв’язування текстових задач / Слобода І. В. – Кривий Ріг: КДПУ, 2001. – 87 с.