1   2   3
Ім'я файлу: диплом.docx
Розширення: docx
Розмір: 556кб.
Дата: 14.11.2020
скачати

Приклад 2.5. Розглянемо рівняння Бесселя

Будемо шукати розв’язок цього рівняння, що задовольняє початковим умовам

Розв’язування.

Нехай Тоді

Далі за теоремою диференціювання зображень маємо

Тоді рівняння Бесселя в зображеннях буде мати вигляд:

або

Для розв’язування рівняння введемо нову незалежну змінну і нову шукану функцію формулами

Рівняння перейде при цьому в наступне

Загальний розв’язок якого має вигляд

Оскільки , то одержимо . Враховуючи вирази для і через показникові функції, знаходимо

Так що

Отже, для одержуємо

Знайдемо сталі інтегрування і . Покладаючи і , відповідно одержуємо

Користуючись граничною теоремою і враховуючи, що і , маємо

Звідси Тоді

Таким чином,

2.4 Диференціальні рівняння в частинних похідних
Операційний метод успішно застосовується до розвязування так званих нестаціонарних задач для рівнянь математичної фізики. Для простоти обмежимось випадком, коли шукана функція и залежить від двох змінних та , з яких першу трактуватимемо як координату, а другу як час. Крім того, припустимо, що диференціальне рівняння має вигляд

, (2.4.1)

де - функції, які залежать тільки від , задані та неперервні на проміжку .

Нестаціонарна задача в нашому випадку формулюється так.

Знайти розвязок диференційного рівняння (2.4.1) для та який задовольняє заданим початковим умовам

(2.4.2)

(друга умова задається тільки, коли завжди ) та крайовим умовам

, (2.4.3)

де - сталі.

Нестаціонарність задачі полягає в тому, що розглядається розвязок, який істотно залежить від початкових умов („перехідний” режим фізичного процесу).

Припустимо, що та , які розглядаються як функції t, є оригіналами, і позначимо зображення функції и через

.

Відповідно до наших припущень тоді

≓ , ≓ .

(диференціювання U по х ми позначаємо з допомогою символу d, а не , бо розглядаємо р тільки як параметр). За правилом диференціювання оригіналів дістаємо також

≓ , ≓ ,

або, враховуючи початкові умови,

≓ , ≓ .

Припустимо ще, що є оригіналом і ≓ , тоді крайові умови дають

.

Отже, операційний метод приводить розвязання поставленої вище нестаціонарної задачі для рівняння (1.2.6) в частинних похідних до розвязання звичайного диференційного рівняння

, (2.4.4)

де

і - комплексний параметр, при таких граничних умовах:

. (2.4.5)

Зауваження. Наведені вище міркування показують, що при заданих умовах зображення U розвязку и нестаціонарної задачі задовольняє рівнянню (2.4.4) і граничній задачі (2.4.5). Якщо відомо, що нестаціонарна задача має єдиний розвязок, який задовольняє разом зі своїми частинними похідними перших двох порядків по х умовам - , накладеними на оригінали, і якщо задача (2.4.5) для рівняння (2.4.4) має єдиний розвязок U , то розвязок сформульованої вище задачі (2.4.3) для рівняння (2.4.4) можна дістати як оригінал для U. [27]

Розділ ІII. Застосування Операційного числення до розвязування систем диференціальних рівнянь
3.1 Застосування операційного методу до розв’язування систем лінійних рівнянь.
Все, що було викладено стосовно операційного методу розв’язування лінійних диференціальних рівнянь -го порядку, можна майже повністю застосувати до розв’язування систем лінійних рівнянь. Відмінність полягає в тому, що невідомих функцій декілька, а замість одного зображувального рівняння дістають систему рівнянь. Як ілюстрацію методу розглянемо систему трьох рівнянь першого порядку.

Нехай дано систему

і початкові умови

Припустимо, що кожна із шуканих функцій є оригіналом і

а також

Застосовуючи перетворення Лапласа до кожного з рівнянь системи (3.1.1), з урахуванням теореми про диференціювання оригіналу дістаємо

або після перетворень

Назвемо систему (3.1.3) системою в зображеннях. Це система алгебраїчних рівнянь. Її розв’язок подамо за відомими формулами Крамера. Для цього складемо визначник системи

і відповідні визначники

Тоді

Розглянемо докладніше один з розв’язків (3.1.4), наприклад . Визначник за відомою властивістю визначників запишемо у вигляді суми:

Перший доданок правої частини здобутої рівності можна розписати за елементами останнього стовпця:

Тепер розв’язок можна подати у вигляді

Останній доданок правої частини є дробово-раціональною функцією комплексної змінної . У п. 2.2 було показано, як знаходити для неї оригінал. Другі множники трьох перших доданків також є дробово-раціональними функціями. Знайдемо оригінали цих функцій. Тепер для знаходження оригіналів кожного з перших трьох доданків засто­суємо теорему про згортку, оскільки оригінали для зображень і дробово-раціональних функцій відомі. Аналогічні міркування можна повторити і для зображень та . У випадку однорідної системи рівнянь (2.3.1) у розв'язку залишаються лише останні доданки:

де – розв’язки у просторі зображень однорідної системи диференціальних рівнянь. [18]

3.2 Розвязування систем лінійних диференційних рівнянь

зі сталими коефіцієнтами
Цілком аналогічно застосовується операційний метод і до розвязування систем лінійних диференційних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Нехай, наприклад, потрібно розвязати систему п диференційних рівнянь другого порядку

. (3.2.1)

при заданих початкових умовах

. (3.2.2)

Якщо вважати та оригіналами і позначити через та їх зображення, то система (3.2.1) з початковими умовами (3.2.2) заміниться операторною системою

(3.2.3)

Розвязуючи її як алгебраїчну систему лінійних рівнянь, знаходимо , а потім і їхні оригінали .

Відзначимо, що для системи диференційних рівнянь першого порядку викладки спрощуються. [32]
Приклад 3.5. Розвязати задачу Коші

.

Розв’язування. Операторна система буде такою:

Виражаючи з першого рівняння через і підставляючи в друге, після простих перетворень знаходимо

,

а тоді й

.

Переходячи до оригіналів (див. формули 2 та 8 в таблиці оригіналів та зображень), дістаємо потрібний розвязок даної задачі Коші:

.
Приклад 3.6. Розвязати систему

при початкових умовах .

Розв′язування. Переходимо до операторної системи

Додавши та віднявши ці два рівняння, матимемо

звідки, розділиши обидві частини отриманої першої рівності на , а другої – на , дістаємо

.

З останніх рівностей легко знаходимо

,

.

Переходячи до оригіналів та використовуючи формули 2, 3 та 4 з таблиці, остаточно дістаємо

Приклад 3.7. Розв'язати систему

З початковими умовами

Розв’язування. Вважаючи шукані функції оригіналами, введемо такі позначення:

Згідно з теоремою про диференціювання оригіналу

Систему для зображень можна записати у вигляді

або

Обчислюємо визначник системи

Знаходимо визначники

За формулами Крамера запишемо розв’язки системи:

Для відшукання оригіналів скористаємося таблицею відповідностей, попередньо перетворивши дроби:

Тепер можна записати розв’язок задачі Коші:

Висновки
Виникнення операційного числення як самостійної дисципліни можна віднести до кінця XIX ст. Вперше строге обгрунтування операційного числення було сформульовано із допомогою застосування інтегрального перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів дійсної змінної t в функцію-зображення комплексної змінної .

Застосування методів, що використовують перетворення Лапласа знайшло широке застосування в розв’язанні різноманітних задач електротехніки, гідродинаміки, механіки, радіотехніки, а також і ряду інших областей науки та техніки, тому що воно дозволяє мінімалізувати і спростити обчислення складних задач диференціальних рівнянь, рівнянь в частинних похідних, інтегро-диференціальних рівнянь типу згортки. Зокрема, в силу властивості лінійності перетворення Лапласа і його означення розв’язання звичайного лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами буде зведене до алгебричного рівняння першого ступеня, а отже може бути легко знайдене.

На основі аналізу літературних джерел мною було вивчено та відібрано матеріал по темі бакалаврсьої роботи. Було вивчено застосування операційного числення до розв’язування систем диференціальних рівнянь і розв’язано деякі диференціальні рівняння зі сталими та змінними коефіцієнтами. Також у роботі розглянуто дві прикладні задачі на знаходження струму та знаходження розподілу температур.

Матеріал даної бакалаврської роботи може бути використаний студентами при поглибленому вивченні вищої математики та при написанні курсових робіт.

Список використаної літератури


  1. Араманович И.Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости./ Араманович И.Г., Лунц Г.Л., Эльсгольц Л.Э. – М.: Наука, 1968. – 574 с.

  2. Березанский Ю.М. Функциональный анализ./ Березанский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. – К.:, Вища школа, 1990.

  3. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного./ Бицадзе А.В. — М., 1972.

  4. Ван-дер-Поль Б. Опреционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа./ Ван-дер-Поль Б., Бреммер Х. – М.: ИЛ, 1952.

  5. Владимиров В. С. Уравнения математической физики: Учебник для физ.-тех. спец. вузов./ В. С. Владимиров– М.: Физматлит, 2004. – 327с.

  6. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров – М.: Наука, 1988.-512 с.

  7. Гольдберг А.А. Аналітичні функції: Навчальний посібник./ Гольдберг А.А., Шеремета М.М. – К.: : УМК ВО, 1991. – 116 с.

  8. Горгула В.І. Теорія функцій комплексної змінної і операційне числення: Навчальний посібник./ Горгула В.І., Сікора Б.С., Волковецький С.В. – Івано-Франківськ: ІФДТУНГ, 1998. – 80 с.

  9. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для вузов. В 2 ч./ Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. – М., Высшая школа, 1986. – Ч. 2. – 478с.

  10. Дасюк Я.І.. Функції комплексної змінної. Пертворення Лапласа. / Дасюк Я.І., Каленюк П.І., Костробій П.П та ін - ДУ "Львівська політехніка", 1999, - 270 ст.,

  11. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. / Г. Деч - М.:”Наука”, 1971.

  12. Диткин В. А. Операционное исчисление. – 2-е изд. / Диткин В. А., Прудников А. П. – М.: Высшая школа, 1975. – 406 с.

  13. Диткин В.А. Интегральные преобразования и операционное исчисление./ Диткин В. А., Прудников А. П. – М.: Гос. Изд-во физ-мат. лит-ры. 1961. —524с.

  14. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексной переменной. / Лаврентьев М.А, Шабат Б.В — М., 1973.

  15. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного. / Лаврентьев М.А, Шабат Б.В – М.: Наука, 1987. – 736 с.

  16. Лаврик С. Про наближене розв'язування суттєво-просторової задачі Діріхле для рівняння Гельмгольца у випадку областей з гладкими поверхнями./ Лаврик С – Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та інформатика. 2006. Вип. 11. С. 60–68.

  17. Ладыженская О. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа./ Ладыженская О., Солонников В., Уральцева Н. – М.: Наука, 1967.

  18. Лопатинский Я.Б. Обыкновенные дифференциальные уравнения. / Лопатинский Я.Б. - К.:Вища школа, 1984.

  19. Лурье А.И. Операционное исчисление и его применение к задачам механики. / Лурье А.И. – М.-Л.:Гостехиздат, 1950.

  20. Любін О. Г. Математичні методи у задачах радіоінженерії. / Любін О. Г., Лисова Л. О. – К.: Либідь, 1994.

  21. Мантуров О. В. Курс высшей математики: Учебник для втузов./ Мантуров О. В., Матвеев Н. М. – М.: Высшая школа, 1986. – 426с.

  22. Mapыненко В. С. Операционное счисление: Учеб, пособие. —4-е иэд.,перераб. и доп. / Mapыненко В. С —К.: Высш. шк.. 1990.—359с.

  23. Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. / Маркушевич А.И. – М.: Наука, 1978. – 416 с.

  24. Овчинников П. П. Вища математика: Підручник для студ. вищ. техн. навч. закладів у 2 ч. Ч.2. / Овчинников П. П – К.: Техніка, 2004. – 790с.

  25. Перестюк М. О. Теорія рівнянь математичної фізики: Підручник для студентів фіз.-мат. та інж. спец. ун-тів./ Перестюк М. О., Маринець В. В – К.: Либідь, 2006. – 419с.

  26. Пискунов Н. С. Диференциальное и интегральное исчисление./ Пискунов Н. С. – М.: Наука, 1985.– 340с.

  27. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного./ Привалов И.И. – М.: Наука, 1984. – 432 с.

  28. Самойленко А.М. Диференціальні рівняння в прикладах і задачах. / Самойленко А.М., Перестюк М.О., Парасюк І.О. - Київ, Либідь, 1994.

  29. Сборник задач по теории аналитических функций.[ Евграфов М. А., Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И., Бежанов К. А.]— М.: Наука, 1969.

  30. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функцій комплексного переменного. / Сидоров Ю.В. М.В. Федорюк М.И. Шабунин – М.: Наука, 1982. -488с

  31. Тальянський І. І. Методи математичної фізики. Тексти лекцій. Львівський державний унівенситет ім. І. Франка. / Тальянський І. І. — Львів, 1996.

  32. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики. / Тихонов А. Н., Самарский А. А. – М.: «Наука», 2004. – 735с.

  33. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч. I. Функции одного переменного./ Шабат Б.В. – М.: Наука, 1985. – 336 с.

  34. Atkinson K.E. Quadrature of singular integrands over surfaces. El. Tran. Numer. Anal. 2004. Vol. 17. P. 133–150.

  35. Chapko R., Kress R. Rothe’s method for the heat equation and boundary integral equations . J. of Integral Equations and Applications. 1997. Vol. 9. P. 47–69.

  36. Chapko R., Kress R., Yoon J.R. On the numerical solution of an inverse boundary value problem for the heat equation. Inv. Problems. 1998. Vol. 14. P. 853–867.

ДОДАТОК



п/п

Оригінал

Зображення

1

1



2





3





4





5





6





7





8





9





10





11





12





13





14





15





16





17





18





19





20





21





22





23





24





25





26





27





28





29





30





31





32





33





34





35





36





37





38





39





40





41





42





43





44





45





46





47





48





49





50





51





52





53





54





55





56





57





58





59





60





61





62





63





64





65





66





67





68





69





70





71





72





73





74





75







РЕЦЕНЗІЯ

на бакалаврську роботу з вищої математики студентки факультету математики та інформатики Рівненського державного гуманітарного університету ТРОЦЮК Юлії Олександрівни на тему «Застосування перетворення Лапласа до розв’язування прикладних задач».

Бакалаврська робота, об’ємом 70 машинописних сторінки, складається із вступу, трьох основних розділів, висновків, списку використаної літератури, додатків, присвячена актуальній на даний час темі – операційне числення.

В першому розділі бакалаврської роботи вводяться основні поняття перетворення Лапласа, описуються основні їх властивості, вводиться поняття оберненого перетворення Лапласа, зображення деяких функцій, а також деякі приклади прикладних задач з застосуванням перетворення Лапласа.

В другому розділі розглянуто застосування операційного числення до розв’язування диференціальних рівнянь.

В третьому розділі наведено ряд прикладів з застосуванням методу розв’язування лінійних диференціальних рівнянь n-го порядку до розв’язування систем лінійних рівнянь, а також рівнянь зі сталими коефіцієнтами.

Робота має як наукову, так і методичну цінність. Матеріал даної бакалаврської роботи може бути використаний викладачами та студентами при організації вивчення курсу операційне числення та при написанні курсових робіт з вищої математики.

Виходячи з вищесказаного, вважаю, що тематика бакалаврської роботи студентки факультету математики та інформатики РДГУ Троцюк Юлії Олександрівни на тему «Застосування перетворення Лапласа до розв’язування прикладних задач» - актуальна, робота має творчий характер, відповідає всім вимогам, що ставляться перед бакалаврськими роботами і тому заслуговує оцінки «відмінно».
1   2   3

скачати

© Усі права захищені
написати до нас