Приклад 1.4. Знайдемо зображення для оригіналу .
Оскільки (див. (1.3.5)) , то за формулою (1.3.19) дістаємо
Відзначимо, що можна було б вираз проінтегрувати і після цього скористатись формулами (1.3.17), але це було б значно складніше.
Інтегрування зображення
Якщо інтеграл збіжний, то він є зображенням функції :
(інтегрування зображення рівносильне діленню на оригінала).
Справді, враховуючи (1.1.3), маємо
Вважаючи, що шлях інтегрування увесь знаходиться в півплощині , дістаємо оцінку внутрішнього інтеграла
з якої зрозуміла його рівномірна збіжність відносно . Тому ми можемо в (1.3.21) змінити порядок інтегрування:
Отримана рівність рівносильна формулі (1.3.20). [17]
Приклад 1.5. Скориставшись (1.3.2), маємо
звідки, застосовуючи формулу (1.3.19), дістаємо
Приклад 1.6. З формули (1.3.4), застосовуючи (1.3.20), матимемо
тобто
Використовуючи (11.18), знаходимо зображення інтегрального синуса:
Теорема про згортку (множення зображень)
Добуток двох зображень та також буде зображенням, причому
Перш за все переконаємось, що інтеграл в правій частині співвідношення (1.3.25) є оригіналом. Справді, умови та очевидні, а для доведення зауважимо, що якщо позначити найбільший з показників зростання та через , то
Звідси і випливає, що інтеграл в (1.3.25) не перевищує деякої сталої, помноженої на , де - довільне мале додатне число. [19]
Розглянемо тепер зображення інтеграла в (1.3.25):
Праворуч тут стоїть повторний інтеграл, який поширюється на сектор площини (рис. 2.3), бо при фіксованому інтегрування по проводиться в межах від 0 до , а потім змінюється від 0 до . Оскільки цей двократний інтеграл при абсолютно збігається, то в ньому можна змінити порядок інтегрування, і ми дістанемо (замінюючи ще ):
що й потрібно було довести. [20]
Зауваження. Для довільних двох функцій та (не обовязково оригіналів), визначених на і таких, що при усіх збігається інтеграл
цей інтеграл називається згорткою функцій та і позначається символом .
Якщо та - оригінали, то при і при , тому
Отже, співвідношення (1.3.25) можемо переформулювати ще так: добутку зображень відповідає згортка оригіналів:
(1.3.27)
Наслідок. Розглянемо
Скориставшись правилом диференціювання оригіналу (формула (1.3.9)) та доведеною теоремою множення, дістаємо так званий інтеграл Дюамеля:
Скориставшись властивістю симетрії згортки, цей інтеграл можемо записати ще й так:
Зміна функцій на і навпаки приводить до формул
Сформулюємо без доведення властивість, двоїсту до (1.3.25).
Нехай дано два оригінали та з показниками росту та . Їхній добуток також буде оригіналом, причому
де [14]
Теореми розкладу
На практиці досить часто доводиться знаходити оригінал за відомим його зображенням. Для цього можна користуватися відомою нам формулою (1.2.6). Однак обчислення за цією формулою можуть бути доволі складними. Cформулюємо два результати, які полегшують знаходження оригіналу і стосуються розкладу в ряди оригіналів чи зображень. [30]
Перша теорема розкладу. Якщо аналітична в нескінченно віддаленій точці і має в її околі розклад в ряд Лорана
то оригіналом для буде (помножена на ) функція
При цьому є цілою функцією.
Приклад 1.7. Функція аналітична в нескінченно віддаленій точці і має там нуль. Скориставшись розкладом і поклавши , дістанемо розклад в ряд Лорана в околі :
Тому, скориставшись щойно сформульованою теоремою, матимемо:
Друга теорема розкладу. Нехай функція : 1) аналітична в усій комплексній площині за винятком полюсів, які не мають скінченної граничної точки і усі знаходяться в деякій півплощині ; 2) існує система кіл , на якій прямує до нуля рівномірно відносно ; 3) для будь-якого абсолютно збігається інтеграл. . Тоді оригіналом для буде (помножена на ) функція
,
де сума лишків береться у всіх особливих точках в порядку неспадання їх модулів. [23]
Зауваження. Досить часто у застосуваннях апарату операційного числення одержують зображення у вигляді раціональної функції
, (1.3.31)
де та - многочлени степенів відповідно та . Умова (1.1.6) забезпечує правильність дробу (1.3.31). А, як відомо, довільний правильний раціональний дріб можна зобразити у вигляді суми елементарних дробів. Для кожного ж з таких доданків можна знайти оригінал, використовуючи розглянуті вище приклади, а також властивості перетворення Лапласа.
Теорема про граничні співвідношення
Теорема 1. Нехай і - оригінал, тоді
Доведення. Згідно з теоремою про диференціювання оригіналів маємо
Необхідною умовою існування зображення є прямування його до нуля при , тому
Звідси випливає рівність (1.3.32).
Теорема 2. Нехай і – оригінал; тоді, якщо існує границя
Доведення. За теоремою про диференціювання оригіналу
Спрямувавши у цій рівності до нуля, дістанемо
Невласний інтеграл подамо у вигляді
Повертаючись у рівності (1.3.34) від до , перепишемо (1.3.33) таким чином:
або
Одержані формули (1.3.32) і (1.3.35) дають змогу скласти уявлення про процес, що досліджується на його початку і на нескінченності. А цього іноді буває достатньо. [25]
1.4 Зображення періодичного оригіналу
Розглянемо функцію-оригінал , визначену на обмеженому проміжку . Припустимо, що всюди поза . Тоді
Побудуємо періодичну функцію з періодом , що збігається на з . Отже,
Знайдемо зображення періодичної функції . Введемо змінну . Очевидно, у кожному з інтервалів змінна має різні значення. Тому формально записаний ряд Лапласа
треба записати через суму:
Враховуючи умову періодичності оригіналу (1.4.1), останній вираз можна записати у вигляді
Розглянемо множник
Цей вираз є збіжною геометричною прогресією. Дійсно , тоді і
Нагадаємо, що
Тоді періодичний оригінал, визначений всюди при , має зображення
яке можна записати таким чином:
1.5 Зображення оригіналу, заданого різними способами в
області визначення
У застосуванні часто зустрічаються оригінали, область визначення яких розбивається на декілька інтервалів, і в кожному з них використовуються різні функціональні залежності. Як приклад розглянемо функцію (рис 1.1.)
Рис 1.4
Запишемо тепер дану функцію у вигляді однієї формули, скориставшись одиничною функцією:
де
Застосуємо тепер до здобутого виразу перетворення Лапласа:
Кожен з інтегралів у правій частині легко обчислюється. Слід звернути увагу на те, що у другому інтегралі нижню межу інтегрування треба взяти рівною . Крім того, з означення функції випливає, що . Тому
1.6 Зображення деяких функцій
Одинична функція Хевісайда
Функція
називається функцією Хевісайда. Графік її наведено на рис. 1.1. Застосуємо до неї перетворенння Лапласа.
Рис. 1.5
Зауваження. Питання про визначення функції Хевісайда у точці 0 залишається відкритим, оскільки для обчислення інтеграла Лапласа не має значення, чому дорівнює . Приймають . Далі вважатимемо, що = 1.
Розглянемо тепер функцію Ф(t), яка задовольняє умови 1) і 3) оригіналу, а умова 2) не виконується. Наприклад, маємо функції 1, і т.д. Домноживши Ф(t) на , дістанемо Ф(t) =0 при t < 0, тобто Ф(t ) тепер є оригіналом. Введення функції розширює клас оригіналів. Надалі заради стислості викладу оригінали Ф(t ) записуватимемо без множника .
Введемо, як це прийнято, позначення оператора Лапласа . Тоді зображення деякого оригіналу запишемо у вигляді . Символічній рівності
відповідатиме звичайна рівність
Тепер
Якщо Re = > 0, то .
Отже, зображенням одиничної функції є
Оскільки s = 0, то зображення існує, якщо Re > 0. Зображення сталої С
Показникова функція
Як наслідок застосування перетворення Лапласа маємо
якщо .
У випадку
якщо .[21]
1.7. Приклади розв’язування задач з застосуванням перетворення Лапласа.
Задача 1.
Нехай контур, наведений на рис. 3.1., має опір , індуктивність і ємкість . На ці послідовно ввімкнені елементи діє електрорухома сила . Початкове значення струму .
Початкове значення заряду конденсатора рівне . Потрібно знайти струм .
Розв’язування.
На підставі законів Кірхгофа струм ланцюга визначається з інтегро – диференціального рівняння
.
Операторне зображення має вигляд
звідки
Оператори, які входять до останнього співвідношення, представлені за допомогою елементарних функцій:
де
Якщо , тоді
.
При , будемо мати
При , маємо
Відповідно, вигляд розв’язку залежить від співвідношення між , і . Для останньої складової в правій частині рівняння (3.3.1) маємо
Оператор обчислимо за допомогою розкладу
тоді
Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях , отримаємо
звідки
де
Нехай
тоді
Відповідно отримаємо рівняння
та
Шуканий розв’язок інтегро – диференціального рівняння має вигляд
Задача 2.
Знайти розподіл температури в напівобмеженому стержні , Якщо температура кінця стержня змінюється за законом , а початкова температура рівна 0.
Розв’язування.
Температура в точці в момент часу повинна задовольняти рівняння
де
Операторне зображення задачі буде мати вигляд
звідки, враховуючи обмеженість при , отримаємо
Маємо операційне відношення
Тому
Підстановкою
рівність (3.3.8) набуває вигляду
Легко побачити, що
Розділ ІІ. Застосування перетворення лапласа до розв’язування диференціальних рівнянь
2.1 Операційний метод розв’язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами
Операційний метод особливо просто застосовується до розвязування задач Коші для звичайних диференційних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
Отже, нехай дано диференційне рівняння
, (2.1.1)
де , з початковими умовами
(2.1.2)
Вважатимемо, що , а функція і розвязок з його похідними до п–го порядку є оригіналами. Позначимо , , , . За правилом диференціювання оригіналу (формули (1.3.10) та (1.3.11)) та властивістю лінійності замість диференційного рівняння (2.1.1) з початковими умовами (2.1.2) дістаємо операторне рівняння
або
, (2.1.3)
де та - відомі многочлени. З цього рівняння легко знаходимо операторний розвязок:
. (2.1.4)
Якщо рівняння (2.1.1) з початковими умовами (2.1.2) має розвязок , що задовольняє умовам, накладеним на оригінали (такий розвязок в прийнятих умовах існує завжди), то цей розвязок є оригіналом для .[15]
Розглянемо приклади.
Приклад 2.1. Розвязати задачу Коші
.
Розв’язування.
Відповідно до (2.1.3) операторне рівняння запишеться так: . Його розвязок
є раціональною функцією, тому, розкладемо його на суму елементарних дробів:
.
Скориставшись формулою 2 із додатку, а також властивістю лінійності, знаходимо оригінал для цього зображення, який і буде шуканим розвязком задачі Коші:
.
Приклад 2.2. Розвязати задачу Коші
.
Розв’язування.
Операторне рівняння дістанемо у вигляді , звідки легко дістаємо його розвязок:
.
Очевидно, він є аналітичною функцією в усій комплексній площині, за винятком точок , які є полюсами третього порядку. Тому, за другою теоремою розкладу, маємо:
Приклад 2.3. Знайти розвязок рівняння
з нульовими початковими умовами.
Розв′язування.
За властивістю лінійності та теоремою запізнення
Враховуючи нульові початкові умови, маємо
Отже, операторне рівняння буде таким:
Тоді . Розклавши раціональний дріб на суму елементарних і скориставшись формулами 1 і 4 з таблиці додатку, дістанемо
≓ ,
і за теоремою запізнення
≓ ,
тому .
Відзначимо особливу роль інтеграла Дюамеля. Нехай потрібно розвязати лінійне диференційне рівняння зі сталими коефіцієнтами
при нульових початкових умовах.
Якщо відомий розвязок рівняння
з тією ж лівою частиною і правою рівною одиниці, також з нульовими початковими умовами, то інтеграл Дюамеля дозволяє записати розвязок рівняння (2.1.5) без особливих труднощів.
Справді, операторні рівняння, які відповідають (2.1.5) та (2.1.6), мають вигляд
,
звідки
.
Тоді, враховуючи, що , за формулою Дюамеля (1.3.30) дістаємо потрібний розвязок рівняння (2.1.5) з нульовими початковими умовами
який, з огляду на (1.3.29), може бути записаний ще й так:
(2.1.8)
Приклад 2.4. Розвязати рівняння з початковими умовами
.
Розв’язування. Спочатку шукаємо розвязок задачі
.
Відповідне операторне рівняння матиме вигляд
,
тому ≓
≓ .
Тут ми скористались властивістю лінійності, а також формулами 1, 2 і 7 з таблиці оригіналів та зображень додатку.
Очевидно, . За формулою (2.1.7) знаходимо шуканий розвязок
2.2 Операційний метод розв’язування лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку
Нехай задано рівняння
Вимагатимемо, щоб розв’язок був оригіналом і . Тоді відповідне рівняння у зображеннях можна записати у вигляді
Розв’язком відповідного рівняння у зображеннях буде
Випадок 1. Виконується умова
тоді знаменник можна подати у вигляді , де корені і - дійсні і різні. Отже,
тому оригінал можна записати у вигляді
Випадок 2. Виконуються умови
тоді
Розв’язок відповідного рівняння у зображеннях можна подати у вигляді суми двох дробів:
Перехід до простору оригіналів приводить до виразу
Випадок 3. Виконується умова
Тепер корені і є комплексними. Розв’язок такої задачі можна знайти за методикою випадку 1, скориставшись потім формулою Ейлера:
де
За своїм утворенням невизначені коефіцієнти і будуть також комплексно-спряженими
або
де
Згідно з випадком 1 маємо
Цей самий результат можна дістати іншим шляхом. Маємо
Тут величини і мають той самий зміст, що й раніше, а
Знаходимо оригінали
Знову розв’язок дістаємо у вигляді
2.3 Операційний метод розв’язування лінійних диференціальних
рівнянь зі змінними коефіцієнтами. Метод подібності
Вище було розглянуто розв'язування операційним методом лінійних рівнянь і систем лінійних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Однак перетворення Лапласа дає змогу розв'язувати деякі лінійні рівняння зі змінними коефіцієнтами.
Нехай коефіцієнтами рівняння є многочлен відносно незалежної змінної. У рівнянні
з початковими умовами
Коефіцієнти є многочленами від :
Іншими словами, ліва частина рівняння (2.4.1) є лінійною комбінацією виразів виду
де і - цілі додатні числа.
Застосовуючи перетворення Лапласа у виразі виду (2.3.4) і використовуючи обидві теореми про диференціювання (див. п. 1.3), одержуємо
Виконавши такі перетворення для кожного доданку рівняння (2.3.1), дістанемо зображувальне рівняння, яке у цьому випадку буде диференціальним. Легко помітити, що порядок диференціального рівняння у зображеннях дорівнюватиме показнику найвищого степеня многочленів (2.3.3). Звідси випливає, що застосування операційного методу до лінійних диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами виду (2.3.3) за певних умов може привести до пониження порядку рівнянь. [24]
Метод подібності. В інженерній практиці часто зустрічаються рівняння зі змінними коефіцієнтами більш загального вигляду, ніж розглянуті вище. Як правило, такі рівняння шляхом індивідуальних у кожному випадку перетворень зводяться до рівнянь з відомими розв'язками. Перша спроба систематизації цих методів привела до так званого методу подібності, який полягає в тому, що у вихідному рівнянні шукана функція або незалежні змінні (або одне і друге разом) замінюються на інші змінні за допомогою коефіцієнтів подібності. Якщо ці коефіцієнти сталі, то подібність називається лінійною, а якщо змінні, то подібність називається нелінійною. Заміна змінних у вихідному рівнянні дає змогу перетворити його на простіше або на рівняння, розв'язання якого є відомим. Зокрема, метод подібності дає змогу за певних умов перейти від лінійного рівняння зі змінними коефіцієнтами до лінійного рівняння зі сталими коефіцієнтами.
Припустимо, що задане лінійне рівняння другого порядку
де - неперервно диференційовна функція; – неперервна функція.
Заміною шуканої функції співвідношенням
де - коефіцієнт подібності, рівняння (2.3.7) зі змінними коефіцієнтами можна звести до рівняння зі сталими коефіцієнтами і :
Після підстановки дістаємо рівняння
яке шляхом нескладних перетворень зводиться до вигляду
Для остаточного переходу до рівняння (2.4.9) треба, щоб виконувалися рівності
Одержані умови (2.3.12) є необхідними і достатніми. Припускаючи, що відоме, розв’яжемо перше рівняння системи (2.4.11):
Якщо підстановка (2.3.12) перетворює друге рівняння системи (2.3.11)
на тотожність, то задача перетворення рівняння (2.3.7) на (2.3.9) є розв’язаною. Щоб виконати цю підстановку, знаходимо похідні
Підставляючи (2.3.12) і (2.3.14) в (2.3.13) і скорочуючи на експоненту, дістаємо
Після спрощень маємо
Отже, необхідною і достатньою умовою перетворення вихідного рівняння (2.3.7) на рівняння (2.3.9) зі сталими коефіцієнтами є інваріант, що складається з коефіцієнтів вихідного рівняння:
Звідси випливає умова, що дає змогу вибрати коефіцієнти:
Залишаючи довільним, дістаємо
Тому
Загальна схема переходу від рівняння зі змінними коефіцієнтами до рівняння зі сталими коефіцієнтами є такою: а) складаємо вираз інваріанта І(х) за формулою (2.3.16) і знаходимо величину ; б) вибираємо значення коефіцієнта і обчислюємо значення коефіцієнта за формулою (2.3.20).
Загальний розв'язок рівняння (2.3.19) можна знайти операційним методом. Перехід до розв'язання вихідного рівняння (2.3.7) здійснюємо за формулою (2.3.8). Якщо рівняння (2.3.7) було доповнено початковими умовами
, то рівняння (2.3.19) треба розв'язувати за таких початкових умов:
де обчислюють за формулою (2.3.14) при .
Покажемо, як і за яких умов здійснюється заміна незалежної змінної. Нехай дано лінійне однорідне рівняння другого порядку
де - неперервна, а - неперервно диференційована функція у деякій області.
Здійснюємо перехід від незалежної змінної до аргументу за формулою
таким чином, щоб рівняння (2.4.21) перейшло у рівняння зі сталими коефіцієнтами
де - коефіцієнт подібності для незалежної змінної, а . Перетворимо похідні:
Підставивши (2.3.23) у (2.3.20), дістанемо
Домноживши другий і третій доданки відповідно на і , дістанемо умови, за яких рівняння (2.3.24) переходить у (2.3.22):
Із двох рівнянь системи (2.3.25) вибираємо одне:
Його розв’язок неважко знайти, оскільки змінні відокремлюються:
Задача перетворення рівняння (2.3.20) на (2.3.22) буде розв’язана, якщо вираз (2.3.27) задовольняє і друге рівняння системи (2.3.25):
Отже, підставивши (2.3.27) в (2.3.28), дістанемо умови перетворення рівняння. Із (2.3.27) випливає, що
Підставивши (2.3.29) у (2.3.28), отримаємо
Після перетворення знову дістанемо інваріант, який позначимо через :
Здобутий інваріант дає змогу визначити клас рівнянь вигляду (2.3.20), які можна перетворити на множину рівнянь вигляду (2.3.22) зі сталими коефіцієнтами, оскільки умова (2.3.30) є необхідною і достатньою.
Розв’язуючи (2.3.30) відносно першого коефіцієнта , дістаємо
Звідси робимо висновок, що рівняння виду
підстановкою
можна перетворити на рівняння зі сталими коефіцієнтами:
У формулах (2.3.32) і (2.3.34) коефіцієнти не мають індексів, оскільки вони всюди однакові. Якщо інваріант (2.3.30) дорівнює нулю перетворене рівняння набуває вигляду
1 2 3