Численное интегрирование с использованием метода Монте-Карло сторінка 5

N
e
I
∆
10 5
1.98226 · 10 20 0.11 · 10 20 10 7
1.98148 · 10 20 0.0099 · 10 20
Очевидно, что при увеличении количества испытаний в 100 раз, погреш- ность уменьшилась в 10 раз.
Задача интересна тем, что если тела нельзя считать точечными, то вме- сто формулы (2.11) нужно вычислять значение силы, пользуясь формула- ми (2.7), (2.8), (2.9),(2.10), которые дают более точный результат. Также аналитические расчеты сильно усложнились бы, если бы плотности тел зависели от координат. Метод Монте-Карло позволяет значительно упро- стить задачу. Аналогичные интегралы возникают в задаче о притяжении двух заряженных тел.
53

Заключение
В работе были изучены особенности применения метода Монте-Карло в решении задач численного интегрирования. Для знакомства с теоретиче- скими основами метода было проанализировано 11 источников.
Для более глубокого понимания метода Монте-Карло приведены необ- ходимые сведения из теории вероятностей и математической статистики,
рассмотрены методы получения случайных чисел, сформулированы идея метода и оценка погрешности метода.
Разобраны различные способы вычисления одномерных интегралов,
приведен наиболее типичный способ вычисления многомерных интегралов.
В процессе работы возникла необходимость оценки погрешности вычис- ления кратных интегралов. Для оценки этой погрешности получена форму- ла и в качестве ее следствия – формула для оценки количества испытаний для достижения указанной точности.
Сформулирован подробный алгоритм для вычисления интегралов мето- дом Монте-Карло, рассмотрены примеры, демонстрирующие особенности применения метода.
На основе изученного материала был создан электронный информацион- ный ресурс на тему «Численное интегрирование с использованием метода
Монте-Карло».
Для проведения численного эксперимента в среде MATLAB написа- на модифицируемая программа для вычисления интегралов. Проведен- ные численные эксперименты указывают на работоспособность получен- ных оценок.
Созданный информационный ресурс может быть использован в учеб- ном процессе в качестве дополнительного материала в курсе Численные методы или дисциплин специализации.
54

Литература
[1] Бермант А.Ф., Арманович И.Г. Краткий курс математического анализа для вту- зов. - М., 1967г. 736 стр. с илл.
[2] Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. - М.:Наука, 1965г. 608 стр. с илл.
[3] Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. - М.:Наука, 1973г. 312 стр. с илл.
[4] Соболь И.М. Метод Монте-Карло (Популярные лекции по математике, вып. 46). -
М.:Наука, 1968г. 64 стр.
[5] Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. - М.:Мир,
1978г.
[6] Брусленко М.П., Шрейдер Ю.А. Метод статистических испытаний (Монте-Карло)
и его реализация на цифровых вычислительных машинах. - М.: ФИЗМАТГИЗ,
1961г.
[7] Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. - М.:Наука, 1975г. 472 стр.
с илл.
[8] Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математи- ческой статистике: Учебное пособие для студентов ВТУЗов. - 3-е изд.,перераб. и доп. - М.:Высш.школа, 1979г. 400 стр. с илл.
[9] Reuven Y. Rubinstein, Dirk P. Kroese. Simulation and monte carlo method. -
2nd ed. Published by John Wiley and Sons, Inc., Hoboken, New Jersey. Published simultaneously in Canada.
[10] Кетков Ю.Л., Кетков А.Ю., Шульц М.М. MATLAB 7, программирование, числен- ные методы. - СПб.:БХВ-Петербург, 2005г. 752 стр. с илл.
[11] Зубова С.В. Приложения кратных интегралов. Учебно-методическое пособие для студентов. - Воронеж, 2006 55

Приложение 3. Код основной программы
Файл Dannie.m function [I,MF,Omega,S1,S2,n,V, tB]=Dannie(N)
sumF=0;
sumDf=0;
n=0;
%-------------------------------------------
%Параметр tB, соответствующий коэффициенту доверия B
tB=3;
%-------------------------------------------
%-------------------------------------------
%Параллелепипед, ограничивающий область интегрирования:
%вектор начал сторон параллелепипеда a=[0,0];
%вектор концов сторон параллелепипеда b=[2,4];
%-------------------------------------------
V=1;
m=numel(a);
for i=1:m
V=V*(b(i)-a(i));
end for j=1:N
x=a+(b-a).*rand(size(a));
%-------------------------------------------
%Область интегрирования:
if (0<=x(1))&&(x(1)<=2)&&(x(1)^2<=x(2))&&(x(2)<=2*x(1))
%------------------------------------------- n=n+1;
58

%-------------------------------------------
%Подынтегральная функция:
fx=x(1)+x(2);
%------------------------------------------- sumF=sumF+fx;
sumDf=sumDf+fx^2;
end end
MF=sumF/n;
I=V*sumF/N;
Df=sumDf/n-(sumF/n)^2;
S1=sqrt(Df);
Omega=n/N;
S2=sqrt(Omega*(1-Omega));
Файл Integrirovanie.m rand(’state’,sum(100*clock));
N=input(’Введите N=’);
[I,MF,Omega,S1,S2,n,V, tB]=Dannie(N);
c=V*tB*(sqrt(Omega)*S1+MF*S2);
E=c/sqrt(N);
disp(’Значение интеграла I=’)
disp(I)
disp(’Погрешность интегрирования E=’)
disp(E)
E1=input(’Введите желаемую точность, E=’);
N1=ceil((V*tB*(S1*sqrt(Omega)+S2*MF)/E1)^2);
disp(’N1=’)
disp(N1)
[I1,MF1,Omega1,S3,S4,n1,V1, tB]=Dannie(N1);
c1=V1*tB*(sqrt(Omega1)*S3+MF1*S4);
59

Приложение 4. Код модифицированной программы
Файл IntegrirovanieModif.m rand(’state’,sum(100*clock));
q=1000;
for k=0:4
[I,MF,Omega,S1,S2,n,V,tB]=Dannie(q*10^k);
c=V*tB*(sqrt(Omega)*S1+MF*S2);
E=c/sqrt(q*10^k);
disp(’При количестве испытаний N=’)
disp(q*10^k)
disp(’Значение интеграла I=’)
disp(I)
disp(’Погрешность E=’)
disp(E)
disp(’Среднее значение функции равно MF=’)
disp(MF)
disp(’Объем области интегрирования Omega=’)
disp(Omega)
disp(’Ошибка вычисления MF
DeltaF=’)
disp(tB*S1/sqrt(n))
disp(’Ошибка вычисления Omega
DeltaOmega=’)
disp(tB*S2/sqrt(q*10^k))
disp(’Величина c=’)
disp(c)
disp(’------------’)
end
61