2. Теорема 1 (Кэли). Любая полугруппа изоморфно вложма в симметрическую полугруппу t (X) для подходящего множества X. Доказательство сторінка 3

Доказательство. Пусть H — неприводимое порождающее множество алгебры A = ⟨a₁, . . . , a_n⟩. В силу теоремы 17.1 суще- ствуют термы f_jи элементы h_j₁, . . . , h_jkj ∈ H такие, что

a_j= f_j(h_j₁, . . . , h_jkj ) (j = 1, . . . , n).

Положим H₁ = {h₁₁, . . . , h₁_k1 , . . . , h_n₁, . . . , h_nkn }. Тогда в силу тео- ремы 17.1 имеем a₁, . . . , a_n∈ ⟨H₁⟩. Откуда получаем ⟨a₁, . . . , a_n⟩ ⊆

⟨H₁⟩, т. е. A = ⟨H₁⟩, где H₁ — конечное подмножество из H. Отсю- да в силу неприводимости H получаем H = H₁, т. е. H конечно.

14.

Теорема 18.2. Свободная алгебра многообразия K, порож- денная множеством P, единственна с точностью до изоморфизма.

K
Доказательство. Пусть F_K(P ) и F ^′ (P ) — две алгебры, удо-

влетворяющие свойствам (1)–(3).

K

K

K

K

K
Пусть ϕ и ϕ^′ — тождественные вложения множества P соответ- ственно в F ^′ (P ) и F_K(P ), а ψ и ψ^′ — продолжения отображений ϕ и ϕ^′ соответственно до гомоморфизма из F_K(P ) в F ^′ (P ) и до гомоморфизма из F ^′ (P ) в F_K(P ). Тогда ψ^′ψ(p) = p и ψψ^′(p) = p для любого p ∈ P. Поскольку P — порождающее множество для F_K(P ) и F ^′ (P ), отсюда следует, что ψ^′ψ и ψψ^′ — тождественные преобразования соответственно F_K(P ) и F ^′ (P ). Это означает, что

ψ — биекция.

K
Итак, ψ — изоморфизм F_K(P ) и F ^′ (P ). Q

Для произвольного класса алгебр K сигнатуры Ω через Eqv(K) обозначим множество всех тождеств, истинных на каж- дой алгебре из K. Для произвольного множества тождеств Φ сигнатуры Ω через Var(Φ) обозначим класс всех алгебр сигна- туры Ω, на которых истинно каждое тождество из Φ. По опре- делению класс K является многообразием тогда и только тогда, когда K = Var(Φ) для некоторого множества тождеств Φ или, что эквивалентно, K = Var(Eqv(K)).