1   2   3
Ім'я файлу: Новий Документ Microsoft Word.docx
Розширення: docx
Розмір: 141кб.
Дата: 20.07.2021
скачати
Пов'язані файли:
Стаття Антошук.doc

Лемма 2.5. Любое слово в алфавите X X−1 эквивалентно точно одному редуцированному слову.

Доказательство. Пусть f = aε1 . . . aεn – произвольное слово

1 n

в алфавите X X−1. Опишем процесс стандартного редуцирова-

ния слова f. Он состоит в построении некоторой последователь-

ности редуцированных слов f1, f2, . . . , fn, для которой f fn.


1

m+1

m+1
Положим f1 = aε1 . Пусть слово fmуже построено и m < n. Через fm+1 = fmaεm+1 обозначим слово, полученное из fmприпи- сыванием буквы aεm+1 , если последняя буква слова fmотлична от


m+1
буквы aεm+1 , и слово, полученное из fmотбрасыванием послед- ней буквы в противном случае.

Заметим теперь, что процесс стандартного редуцирования пе- реводит соседние слова в одинаковые редуцированные слова. Дей- ствительно, пусть

f = aε1 . . . aεlaεl+1 . . . aεn

1 l l+1 n

и

g = aε1 . . . aεlxεxεaεl+1 . . . aεn.

1 l l+1 n

Совершая теперь процесс стандартного редуцирования, получа- ем f1 = g1, . . . , fl= gl, gl+1 = glxε, gl+2 = gl+1xε = gl, fl+1 = gl+3, . . . , fn= gn+2.

Через f будем обозначать редуцированное слово, полученное из f с помощью процесса стандартного редуцирования. Конечно, f f.

Пусть f и g — два эквивалентных редуцированных слова. То-

гда существует последовательность слов

f = f0, f1, . . . , ft= g,

в которой слова fiи fi+1 являются соседними (i = 0, . . . , t − 1). В силу доказанного получаем

f = f = f = f = . . . = f = g = g.

0 1 t

Q

В силу леммы 2.5 каждый класс [f ] ∈ FG(X) можно отожде- ствить с единственным редуцированным словом, лежащим в [f ]. Таким образом, можно считать, что элементами группы FG(X) являются редуцированные слова, а операция умножения на них определяется с помощью конкатенации с последующим приведе- нием полученного слова к редуцированному виду.

5.

Теорема 3.1. Любая коммутативная полугруппа с сокраще- ниями изоморфно вложима в группу.

Доказательство. Пусть (S, +) — произвольная коммутатив- ная полугруппа с сокращениями.

Если полугруппа S содержит нуль, то положим S0 = S. Если в S нет нуля, то через S0 обозначим полугруппу, полученную из S присоединением нуля 0.

Заметим, что S0 — полугруппа с сокращениями. Действитель- но, пусть S0 /= S и a + c = b + c для некоторых a, b, c S0. По- скольку в S выполняется закон сокращения, от противного можно

считать, что a 0, b = 0 и c /= 0. Тогда a + c = c, откуда следует

a + d + c = d + c для любого d S. В силу закона сокращения в S

получаем a + d = d, т. е. a — нуль в S, что невозможно.

На множестве S0 × S0 определим бинарное отношение ρ, пола- гая (a, b)ρ(c, d) тогда и только тогда, когда a + d = b + c. Покажем, что ρ — отношение эквивалентности.

      1. Рефлексивность ρ. Очевидно, (a, b)ρ(a, b), так как a + b =

b + a.

      1. Симметричность ρ. Если (a, b)ρ(c, d), то последовательно по- лучаем a + d = b + c, c + b = d + a, (c, d)ρ(a, b).

      2. Транзитивность ρ. Пусть (a, b)ρ(c, d)ρ(u, v). Тогда a + d = b + c и c + v = d + u, откуда получаем a + v + d + c = b + u + d + c. Теперь в силу закона сокращения a + v = b + u, т. е. (a, b)ρ(u, v).

Отношению ρ соответствует разбиение множества S0 × S0 на классы эквивалентности. Через [a, b] обозначим класс, содержа- щий (a, b). Положим

G = {[a, b] : a, b S0}.

На множестве G определим операцию +, полагая

[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d] (a, b, c, d S0).

Проверим корректность этого определения. Пусть

(a, b)ρ(a1, b1) и (c, d)ρ(c1, d1). Тогда a + b1 = b + a1 и c + d1 = d + c1,

откуда вытекает (a + c) + (b1 + d1) = (b + d) + (a1 + c1), т. е.

(a + c, b + d)ρ(a1 + c1, b1 + d1).

Покажем, что (G, +) — абелева группа.

  1. Ассоциативность.

([a, b] + [c, d]) + [u, v] = [a + c, b + d] + [u, v] =

= [(a + c) + u, (b + d) + v] = [a + (c + u), b + (d + v)] =

= [a, b] + [c + u, d + v] = [a, b] + ([c, d] + [u, v]).

  1. Коммутативность.

[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d] = [c + a, d + b] = [c, d] + [a, b].

  1. Очевидно, [0, 0] является нулем.

  2. −[a, b] = [b, a]. Действительно,

[a, b] + [b, a] = [a + b, b + a] = [0, 0],

так как (a + b, b + a)ρ(0, 0).

Зададим теперь отображение ϕ из S в G, положив

ϕ(a) = [a, 0] (a S).

Это отображение инъективно, так как из ϕ(a) = ϕ(b) следу- ет (a, 0)ρ(b, 0), т. е. a = b, и является гомоморфизмом, так как ϕ(a + b) = [a + b, 0] = [a, 0] +[b, 0] = ϕ(a) + ϕ(b) для любых a, b S. Итак, ϕ осуществляет изоморфное вложение полугруппы S в

группу G. Q

Отметим, что в предыдущих обозначениях выполняется [a, b] = [a, 0] + [0, b] = [a, 0] − [b, 0] для любых a, b S. Если те- перь отождествить x с [x, 0] для любого x S, то [a, b] = a b для любых a, b S.

6.

Теорема 2.2. Любая группа является гомоморфным образом свободной группы FG(X) для подходящего алфавита X.

Доказательство. Пусть G — произвольная группа. Зафик- сируем множество X такое, что |X| ≥ |G|. Тогда существует отоб- ражение ϕ из X на G. Теперь в силу леммы 2.4 группа G есть гомоморфный образ группы FG(X). Q

Слово в алфавите X X−1 называется редуцированным, если оно не содержит подслов вида aεaε, где a X и ε ∈ {1, −1}. Очевидно, любое слово эквивалентно некоторому редуцированно- му слову. Более того, справедлива

7.

Теорема 8.2. Zn является полем тогда и только тогда, когда

n — простое число.

Доказательство. Очевидно, Zn— ассоциативно-коммута- тивное кольцо с единицей 1 = [1] и нулем 0 = [0].

Пусть n — простое число и [a] 0, где a ∈ Z. Тогда n не

делит a и, следовательно, (n, a) = 1. Существуют u, v ∈ Z такие, что au + nv = 1. Тогда 1 = [1] = [au] = [a][u], т. е. [a]−1 = [u]. Следовательно, Zn— поле.

Пусть n = n1n2 — составное число, где 1 < n1, n2 < n. Тогда [n1][n2] = [n] = 0, т. е. [n1] и [n2] — делители нуля. Таким образом, в этом случае Znне является полем.

8.

Поле F называется простым, если оно не содержит собствен- ных подполей. Очевидно, поле Q и поле Zpдля любого простого числа p — простые поля.

Теорема 9.1. Поле F является простым тогда и только тогда, когда оно изоморфно Q или Zp для некоторого простого числа p.

Доказательство. Пусть F — простое поле и e — его единица. Очевидно, отображение ϕ(m) = me (m ∈ Z) является гомомор- физмом кольца Z в поле F.

1 случай. Пусть Ker ϕ = {0}, т. е. ϕ осуществляет изоморф- ное вложение кольца Z в поле F.

Продолжим ϕ до отображения ψ поля Q в поле F, полагая

ψ(0) = 0 и ψ

m

=

n

ϕ(m)

ϕ(n)

для любых m, n ∈ Z таких, что (m, n) =

1 и n > 0. Тогда для любого ненулевого d ∈ Z имеем

0

ψ = ψ(0) = 0 =

d

ϕ(0)

,

ϕ(d)



md

ψ = ψ

nd

m

=

n

ϕ(m)

=

ϕ(n)

ϕ(m)ϕ(d)

ϕ(n)ϕ(d)

ϕ(md)

= .

ϕ(nd)

Покажем, что ψ инъективно. Пусть ψ

m

n

= ψ m1

n1

для

некоторых m, m1 ∈ Q. Тогда ϕ(m) = ϕ(m1) , откуда последова-

n n1

ϕ(n) ϕ(n1)

тельно получаем ϕ(mn

1nm1) = 0, mn1nm1

= 0 и m = m1 .

n n1

Покажем, что ψ — гомоморфизм.

ψ m + m1

= ψ mn1 + m1n = ϕ(m)ϕ(n1) + ϕ(m1)ϕ(n) =

n n1

nn1




m m1

= ψ+ ψ , n n1

ϕ(n)ϕ(n1)



ψ m · m1

n n1

= ϕ(m)ϕ(m1) = ψ

ϕ(n)ϕ(n1)

m

ψ

n

m1 .

n1

Итак, ψосуществляет изоморфное вложение Q в F, т. е. Q ∼= Im ψF. В силу простоты поля F отсюда следует Q ∼= Im ψ = F.

2 случай. Пусть Ker ϕ /= {0}.

Так как все идеалы кольца Z имеют вид nZ, где n ∈ N ∪ {0} и ϕ(1) = e, имеем Ker ϕ = nZ для некоторого n ≥ 2. В силу теоремы о гомоморфизме для колец Zn= Z/nZ =∼ Im ϕ F. Поскольку в поле F нет делителей нуля, отсюда, в частности, следует, что n — простое число. Тогда Zn— поле и Zn=∼ Im ϕ = F. Q

Очевидно, пересечение P всех подполей поля F является наи- меньшим подполем в F и P — простое поле. Если P ∼= Q, то говорят, что поле F имеет характеристику 0. Если P ∼= Zpдля некоторого простого числа p, то характеристика поля F по опре-

делению равна p. Отметим, что в последнем случае из равенства pe = 0 следует pu = 0 для любого u F, причем p — наименьшее натуральное число такое, что pu = 0 для любого u F.

9.

Теорема 10.1. Любая область целостности изоморфно вло- жима в подходящее поле.

Доказательство. Пусть R — область целостности. На мно-

жестве R × (R \ {0}) = {(a, b) : a, b R, b 0} определим отно-

шение ρ, полагая (a, b)ρ(c, d) тогда и только тогда, когда ad = bc.

Проверим, что ρ — отношение эквивалентности.

    1. Рефлексивность. Так как ab = ba, имеем (a, b)ρ(a, b).

    2. Симметричность. Из (a, b)ρ(c, d) последовательно получаем

ad = bc, cb = da, (c, d)ρ(a, b).

    1. Транзитивность. Пусть (a, b)ρ(c, d)ρ(u, v). Тогда ad = bc и

cv = du, откуда получаем (av)(cd) = (bu)(cd). Если c /= 0, то

cd 0 и av = bu, так как в области целостности справедлив закон

сокращения на ненулевые элементы. Пусть c = 0. Тогда, очевидно,

a = u = 0 и опять av = bu. Итак, в любом случае (a, b)ρ(u, v).

Через [a, b] будем обозначать класс эквивалентности ρ, содер- жащий пару (a, b) (a, b R, b =/ 0). Положим

F = {[a, b] : a, b R, b 0}.

Определим на F операции сложения и умножения, полагая

[a, b] + [c, d] = [ad + bc, bd],

[a, b][c, d] = [ac, bd].

Проверим корректность этих определений. Пусть (a, b)ρ(a1, b1) и (c, d)ρ(c1, d1). Тогда ab1 = ba1 и cd1 = dc1, откуда получаем (ad + bc)b1d1 = ab1dd1 + bb1cd1 = ba1dd1 + bb1c1d = bd(a1d1 + b1c1) и acb1d1 = bda1c1. Следовательно, (ad + bc, bd)ρ(a1d1 + b1c1, b1d1) и (ac, bd)ρ(a1c1, b1d1).

Покажем, что (F, +) — абелева группа.

  1. Ассоциативность.

([a, b] + [c, d]) + [u, v] = [ad + bc, bd] + [u, v] =

= [adv + bcv + bdu, bdv] = [a, b] + [cv + du, dv] =

= [a, b] + ([c, d] + [u, v]).



  1. Коммутативность.

[a, b] + [c, d] = [ad + bc, bd] = [cb + da, db] = [c, d] + [a, b].

  1. Существование нуля. [a, b] + [0, d] = [ad, bd] = [a, b], т. е.

0 = [0, d] — нуль для любого d R \ {0}.

4) −[a, b] = [−a, b]. Действительно, [a, b] + [−a, b] = [0, b2] = 0.

Очевидно, умножение в F ассоциативно и коммутативно. Кро- ме того, 1 = [1, 1] — единица в F. Пусть [a, b] ∈ F \ {0}. Тогда

a, b

  1. Покажем, что [a, b]−1 = [b, a]. Действительно, [a, b][b, a] =

[ab, ba] = [1, 1] = 1.

Для того чтобы установить, что (F, +, ·) — поле, осталось про- верить дистрибутивность умножения относительно сложения.

[u, v]([a, b] + [c, d]) = [u, v][ad + bc, bd] = [uad + ubc, vbd] =

= [uad + ubc, vbd][v, v] = [uavd + vbuc, vbvd] =

= [ua, vb] + [uc, vd] = [u, v][a, b] + [u, v][c, d].

Итак, F — поле.

Рассмотрим отображение ϕ(x) = [x, 1] (x R) из R в F. Это отображение инъективно, так как из ϕ(a) = ϕ(b) следует [a, 1] = [b, 1], т. е. a = b. Отображение ϕ является гомоморфизмом, так как

ϕ(a + b) = [a + b, 1] = [a, 1] + [b, 1] = ϕ(a) + ϕ(b),

ϕ(ab) = [ab, 1] = [a, 1][b, 1] = ϕ(a)ϕ(b).

Итак, ϕ осуществляет изоморфное вложение области целост- ности R в поле F. Q

Заметим, что если отождествить каждое u R с [u, 1], то

[a, b] = [a, 1][1, b] = [a, 1][b, 1]−1 = ab−1 = a

b

для любых a, b R

таких, что b /= 0, т. е. F — поле дробей для R.

10.

Поле порядка pn, где p — простое число и n ∈ N, называют

полем Галуа и обычно обозначают через GF (pn) или Fpn .

11.

Модуль числа

Впервые с модулем числа мы познакомились в шестом классе, где даётся такое определение: модулем числа называется расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки . Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.

Модуль действительного числа – это абсолютная величина этого числа.

Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.

Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|≥ 0.

|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45

Определение модуля

Свойства модуля

1. Модули противоположных чисел равны

2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа

3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа

4. Модуль числа есть число неотрицательное

5. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля ,

6. Если , то

7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей

Геометрический смысл модуля

Модуль числа – это расстояние от нуля до данного числа.

Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.

Рассмотрим простейшее уравнение |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3. Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения: x = 3 и x = -3.

Пример 1.

|x – 3| = 4.

Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки до точки равно . С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: и .

Пример 2.

Решим неравенство: |x + 7| < 4.

Можно прочитать как: расстояние от точки до точки меньше четырёх. Ответ: (-11; -3).

Пример 3.

Решим неравенство: |10 – x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки больше или равно семи. Ответ: (-∞; 3]υ [17, +∞)

График функции y = |x|

Для x≥ 0 имеем y = x. Для x < 0 имеем y = -x.

Решение уравнений и неравенств, содержащих модуль числа

При решении задач, содержаних модуль вещественного числа, основным приемом является раскрытие знака модуля в соответствии с его свойствами.

Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению:

В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например: , так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых и . Или, так как выражением под модулем не положительно при любых .

12.

Универсальная алгебра — раздел математики, изучающий общие свойства алгебраических систем, использующий сходства между различными алгебраическими структурами — группами, кольцами, модулями, решётками, вводящий присущие им всем понятия и устанавливающий общие для всех них утверждения. Занимает промежуточное положение между математической логикой и общей алгеброй, как реализующий аппарат математической логики в применении к общеалгебраическим структурам.

Центральное понятие — алгебраическая система[⇨], объект максимальной общности, объемлющий значительную часть вариантов алгебраических структур; над этим объектом могут быть построены понятия гомоморфизма и факторсистемы, обобщающие соответствующие конструкции из теорий групп, колец, решёток и так далее. Развитое направление в разделе — изучение классов аксиоматизируемых алгебраических систем, прежде всего таких, как задающихся тождествами многообразия (в том числе свободные алгебры[en]), и определяющихся квазитождествами квазимногообразия. В Математической предметной классификации универсальной алгебре присвоен раздел верхнего уровня.

13.

1   2   3

скачати

© Усі права захищені
написати до нас