-0.000,5 2
"-■ ≡r
•■₽"Фмег„ка. ■ « Доиому r,,,,,J," Х™“="«»х ,'⅛'4uo* l" f‰w ™™“*
..r,^^≈≈'z^
чадвичай
"омилку
1. Ошибки И ИХ источники
любого «фъ«зного^^ ,1С"ремсиной «Равной частью
с помощью ЭВМ. Исходная информация очень
величины являются жстЙрименгальными чанными и ш Х™ Г ',aero исх°Дн«е
Кроме того, сами процессы вычислений мт / основаны на приблизительных оценках. Поэтому, прежде чем начать системное изучение ошибок убедимГ Ра'‘ПИ™ОГО рода ошибки важности такого системного изучения. * убедимся на нескольких примерах в
иг п л 1. Найти один из корней уравнения л? + 0.4002.« + 0 00008 - 0 вычисления с точностью до четвёртой значащей цифры’
I ешеннс. Воспользуемся известной вам формулой
используя
-v1.2
d= _Ь± 4b- - 4ас _ - 0,4002 ± √0,1598... - 0,4002 ± 0,3998
2“ 2
2
-0.000,5 2
"-■ ≡r
•■₽"Фмег„ка. ■ « Доиому r,,,,,J," Х™“="«»х ,'⅛'4uo* l" f‰w ™™“*
..r,^^≈≈'z^
чадвичай
"омилку
1. Ошибки И ИХ источники
любого «фъ«зного^^ ,1С"ремсиной «Равной частью
с помощью ЭВМ. Исходная информация очень
величины являются жстЙрименгальными чанными и ш Х™ Г ',aero исх°Дн«е
Кроме того, сами процессы вычислений мт / основаны на приблизительных оценках. Поэтому, прежде чем начать системное изучение ошибок убедимГ Ра'‘ПИ™ОГО рода ошибки важности такого системного изучения. * убедимся на нескольких примерах в
иг п л 1. Найти один из корней уравнения л? + 0.4002.« + 0 00008 - 0 вычисления с точностью до четвёртой значащей цифры’
I ешеннс. Воспользуемся известной вам формулой
используя
-v1.2
d= _Ь± 4b- - 4ас _ - 0,4002 ± √0,1598... - 0,4002 ± 0,3998
2“ 2
Отсюда нетрудно найти, например, JC1 =-0,00015. Этот результат обычно приводится в курсах алгебры без всяких оценок точности. Однако, ограничение точности вычислений четырьмя значащими цифрами приводит к тому, что результат имеет ошибку 25%; правильный корень, найденный при вычислениях с восемью значащими цифрами, равен -0,0002. В данном случае, камнем преткновения оказалась четырехзначная арифметика. Однако нс думайте, что восемь значащих цифр решает все проблемы.
, И'
ПРИМЕР 2. Рассмотрим известный вам ряд Тейлора для синуса:
2л*1
sin х
2n+l
Вам известно, что этот ряд справедлив для любого конечного угла, а ошибка, происходящая от ограничения ряда (лейбницевого типа) конечным числом членов, не превосходит по абсолютной величине первого отброшенного члена ряда. Всё это было бы справедливо, если бы существовал способ производить арифметические вычисления с бесконечным числом значащих цифр - это. во-первых. Во-вторых, для больших углов этот ряд совершенно бесполезен’.'. Предположим, что нужно вычислить ≡1470o (ясно, что sin 1470° = $/71(30° + 4 • 360° )= 0,5). Очевидно, что 1470° ≈ 25,7 рад и пусть мы намерены производить вычисления с восемью значащими цифрами и остановимся тогда, когда очередной член ряда по абсолютной величине будет меньше чем 10^s. Выданный машиной результат будет равен 24,25401855, с большим числом десятичных знаков и совершенно без всякого смысла2. В этом примере трудность была обусловлена тем, что вычисления производились с конечным числом значащих цифр.
' 11онятие значащей цифры будет дано немного позднее.
1 При сложении терялись значащие цифры. Эта потеря является безвозвратной. По мере
суммирования возрастает число потерянных значащих цифр!! В конце концов, приходим, таким образом, к потере всех значащих цифр. Источник неприятностей состоит также в том. что сложение производилось далеко не в наилучшей последовательности и т.д.
