Метод контурних струмів Раніше розглядалися
найпростіші одноконтурні (двоконтурні)
електричні схеми, схеми з двома вузлами. Були описані способи
перетворення схем, за допомогою яких у ряді випадків вдається спростити розрахунок розгалуженої електричного кола.
У разі, коли
електрична схема досить складна і не наводиться до схеми одноконтурною ланцюга, користуються більш загальними методами розрахунку. Описані нижче методи застосовні для ланцюгів постійного і змінного струму.
Метод контурних струмів дозволяє зменшити кількість рівнянь системи до числа
- Число рівнянь (упор. по II закону Кірхгофа).
Якщо в ланцюзі деякі вузли з'єднуються гілками, не міняють провідність (вони можуть містити джерела струму), то число рівнянь
К, який складають за методом контурних струмів зменшується на
N T. Метод грунтується на тому властивості, що струм у будь-якої гілки ланцюга може бути представлений
у вигляді алгебраїчної суми незалежних контурних струмів, що протікають в цій галузі. При користуванні методом спочатку вибирають і позначають незалежні контурні струми (за будь-якої гілки повинен протікати хоча б один вибраний струм).
- Число незалежних контурних струмів, їх необхідно вибирати проходять по гілці, що не містять джерел струму.
Нехай електричний ланцюг містить
n контурів (незалежних). Згідно II закону Кірхгофа отримуємо таку систему з
n лінійних рівнянь:
При цьому слід вважати
, Якщо умовні позитивні напрямки контурних струмів в однієї гілки контурів
K і
m збігаються, і
, Якщо вони протилежні.
де D
1 D
2 D
n - доповнення
D - визначник системи.
Розрахунок усталеного режиму в ланцюзі змінного струму комплексним методом виконується в такій послідовності:
1. Складається електрична схема, на якій всі джерела і пасивні елементи представляються комплексними величинами
відповідно напруг, струмів, опорів (провідностей).
2. Вибирається умовно позитивний напрямок для комплексних значень напруг, ЕРС і струмів.
3. Згідно рівнянням електричних ланцюгів (Ома, Кірхгофа) в комплексній формі складаються алгебраїчні рівняння для розраховується ланцюга.
4. Рівняння ланцюга дозволяються щодо шуканих змінних (струмів, напруг) у їх комплексній формі.
Метод вузлових потенціалів
Метод дозволяє зменшити кількість рівнянь системи до числа
, Де
N y - число вузлів електричної схеми.
Суть методу полягає в тому, що спочатку визначаються потенціали всіх вузлів схеми, а струми гілок, що з'єднують вузли, визначаються за допомогою законів Ома.
При складанні рівнянь по МУП спочатку думають рівним нулю потенціал будь-якого вузла, для решти
складають рівняння за I-му закону Кірхгофа.
Якщо в ланцюзі деякі вузли з'єднуються гілками, що не мають опорів (вони можуть містити джерела напруги), то число
K I рівнянь, складених за МУП, зменшується на
N н (число гілок з нульовими опорами).
- Число рівнянь по МУП.
Перш, ніж перейти до викладу самого методу, нагадаємо, що у разі, коли між двома вузлами є кілька паралельних гілок з
джерелами ЕРС (або без них), їх можна привести до однієї еквівалентної схеми.
Це уявлення еквівалентною схемою паралельних гілок з джерелами ЕРС дає нам
право без обмеження спільності вважати,
що між будь-якою парою вузлів включена тільки одна гілка. Далі будемо припускати, що
, Тобто між вузлами ланцюга не включені ідеальні джерела ЕРС.
В якості прикладу складемо рівняння за методом вузлових напруг для ланцюга, зображеної на рис. 3.
Визнач: і параметри всіх елементів.
Розрахунок ланцюга виробляємо комплексним методом:
Для вузлів 1, 2, 3 маємо рівняння:
(1)
Y 11 = Y 12 + Y 10 + Y 13; Y 22 = Y 20 + Y 12 + Y 23; Y 33 = Y 30 + Y 13 + Y 23 Вирішивши систему з 3-х рівнянь щодо вузлових напруг, знаходимо напруги на гілках і струми в них. Метод вузлових напруг застосуємо до незалежних контурів.
Позитивне спрямування всіх вузлових напруг прийнято вважати до опорного вузла. Перше рівняння Кірхгофа для деякого вузла
До можна записати:
(1)
Для 1-ого вузла:
Значення
Z 1; Z 2; Z 3; E 1 і
E 2 у нас були визначені раніше (див. 1-й спосіб рішення).
Відповідь: Між вузлами
К і
m є гілка з джерелами ЕРС
(E Km), опором
Z Km, то струм у цьому ланцюзі (гілки), спрямований від
К до
m пов'язаний співвідношеннями:
Перший закон Кірхгофа для рис. 1 має вигляд (1).
Напругу можна виразити через вузлові напруги у вигляді:
.
Одержуємо:
або
Позначивши
, Де
Y KK - сума провідностей всіх гілок, приєднаних до
К-ому вузла, маємо:
- Що і є основним рівнянням для
К-ого вузла по МУП.
У розгорнутій формі сукупність рівнянь по МУП має вигляд:
Вирішуючи цю систему, знайдемо вузлові напруги, причому для
К-ого вузла величина
буде:
,
де D - головний визначник системи, D
mK - його алгебраїчне доповнення.
Після
того, як вузлові напруги знайдені, визначення струмів у гілках ланцюги мають вигляд:
Якщо в гілці містяться ЕРС, то струм дорівнює
Метод вузлових напруг застосовується до незалежних вузлів.
Якщо до
К-ому вузлу підтікає струм від джерела струму, то він повинен бути включений у ток
I KK зі знаком «+», якщо витікає, то зі знаком «-».
Якщо між якими-небудь двома вузлами немає гілки, то
відповідна провідність дорівнює 0.
Y ii - власна провідність всіх гілок, які підходять до вузла
i (завжди зі знаком «+»).
Y i до - взаємна провідність між вузлами
i і
до (входить в рівняння завжди зі знаком «-» при обраному напрямку всіх вузлових напруг до базисного вузла).
Струм
I 1 називається
вузловим струмом першого вузла. Це
розрахункова величина, що дорівнює алгебраїчній сумі струмів, отриманих від ділення ЕРС гілок, що підходять до 1-го вузла, на опору даних гілок. У цю суму зі знаком «+» входять струми тих гілок, ЕРС яких спрямована до 1-го вузла.
Y 11 - провідність всіх гілок, що сходяться в 1-му вузлі.
Y 12 - провідність взаємна - дорівнює сумі провідностей всіх гілок, що з'єднують вузол 1 з вузлом 2 (береться зі знаком «-»).
Приклад: Е 2 = Е 3 = 1 У I K3 = 1 A I K2 = 1 A R 1 = 13 Ом R 2 = 5 Ом R 3 = 9 Ом R 4 = 7 Ом R 5 = 1 Ом R 6 = 4 Ом Визначити струми в гілках.
Для визначення напруги між двома довільними точками схеми необхідно ввести в ліву частину рівнянь шукане напруга уздовж шляху, як би доповнює незамкнений контур до замкнутого.