БЛАГОВІЩЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ Курсова на тему
Ефект Холла Виконала:
Перевірив:
2005
Зміст 1. Загальні сведенія__________________________3
2. Пояснення ефекту Холла за допомогою електронної теоріі_______________________6
3.
Ефект Холла в ферромагнетіках___________9
4. Ефект Холла в полупроводніках__________10
5. Ефект Холу на енерціонних електронах в полупроводниках_________________________11
6. Датчик ЕРС Холла_______________________15
7. Кут Холла_____________________________18
8. Постійна Холла_______________________19
9. Вимірювання ефекту Холла________________20
10. Ефект Холла при домішкової проводимости_____________________________22
11. Ефект Холла при власної проводимости_____________________________25
12. Список використовуваної літератури_________27
1.Загальні відомості. Ефектом Холла називається поява у провіднику зі струмом щільністю
j, вміщеному в
магнітне поле
Н, електричного поля
Е х, перпендикулярного Н і
j. При цьому напруженість електричного поля, званого ще полем Холла, дорівнює:
Рис 1.1
E x = RHj sin a, (1) де a кут між векторами
Н і
J (a <180 °). Коли
H ^ j, то величина поля Холла
Е х максимальна:
E x = RHj. Величина
R, звана коефіцієнтом Холла, є основною характеристикою ефекту Холла. Ефект відкритий Едвіном Гербертом Холом в 1879 в тонких пластинках золота. Для спостереження Холла ефекту вздовж прямокутних пластин з досліджуваних речовин, довжина яких
l значно більше ширини
b і товщини
d, пропускається струм:
I = jbd (див. рис.);
тут магнітне поле
перпендикулярно площині платівки. На середині бічних граней, перпендикулярно струму, розташовані електроди, між якими вимірюється ЕРС Холла
V x: V x = Е х b = RHj / d. (2) Так як ЕРС Холла змінює
знак на зворотний при зміні напрямку магнітного поля на протилежне, то Холла ефект відноситься до непарних гальваномагнітних явищам.
Найпростіша теорія Холла ефекту пояснює появу ЕРС Холла взаємодією носіїв струму (електронів провідності і дірок) з магнітним полем. Під дією електричного поля носії заряду набувають спрямований рух (дрейф), середня швидкість якого (дрейфова швидкість)
v ін ¹ 0. Щільність струму в провіднику
j = n * ev ін, де
n - концентрація числа носіїв,
е - їх заряд. При накладенні магнітного поля на носії діє Лоренца сила:
F = e [Hv дp], під дією якої частинки відхиляються в напрямку,
перпендикулярному v ін і
Н. У результаті в обох гранях провідника кінцевих розмірів відбувається накопичення заряду і виникає
електростатичне поле - поле Холла. У свою чергу поле Холла діє на заряди і врівноважує силу Лоренца. В умовах рівноваги
eE x = еНv ін, E x = 1/ne Hj, звідси
R = 1/ne (cм
з / кулон).
Знак R збігається зі знаком носіїв струму. Для металів, у яких концентрація носіїв (електронів провідності) близька до щільності атомів
(n »10
22 см -3), R ~ 10
-3 (см
3 / кулон), в
напівпровідників концентрація носіїв значно менше і
R ~ 10
5 (см
3 / кулон). Коефіцієнт Холла
R може бути виражений через рухливість носіїв заряду
m = е t / m * і питому електропровідність
s = j / E = еnv лр / Е: R = m / s (3) Тут
m * - ефективна
маса носіїв,
t - Середній час між двома послідовними зіткненнями з розсіюючими центрами.
Іноді при описі Холла ефекту вводять кут Холла
j між струмом
j та напрямком сумарного поля
Е: tg j = E x / E = W t, де
W - циклотронна частота носіїв заряду. У слабких полях
(W t <<1) кут Холла
j »W t, можна розглядати як кут, на який відхиляється рухомий заряд за час
t. Наведена теорія справедлива для ізотропного провідника (зокрема, для полікристала), у якого
m * і
t їх-постійні величини. Коефіцієнт Холла (для ізотропних напівпровідників) виражається через парціальні провідності
s е і
s д і концентрації електронів
n е і дірок
n д: (A) для слабких полів
(4) (Б) для сильних полів.
При
n е = n д, = n для всієї області магнітних полів:
,
а
знак R вказує на переважаючий тип провідності.
Для металів величина
R залежить від зонної структури та форми Фермі
поверхні. У разі замкнутих поверхонь Фермі і в сильних магнітних полях
(W t »1) коефіцієнт Холла Ізотропія, а вирази для
R збігаються з формулою 4, б. Для відкритих поверхонь Фермі коефіцієнт
R анізотропії. Однак, якщо напрямок
Н відносно
кристалографічних осей вибрано так, що не виникає відкритих перерізів поверхні Фермі, то вираз для
R аналогічно 4, б.
2. Пояснення ефекту Холла за допомогою електронної теорії.
Якщо металеву пластинку, уздовж якої тече
постійний електричний струм, помістити до перпендикулярного до неї магнітне поле, то між гранями, паралельними напрямками струму і поля виникає різниця потенціалів U = j
1-j 2 (дивись рис 2.1). Вона називається холлівських різницею потенціалів (у попередньому пункті - ЕРС Холла) і визначається виразом:
u h = RbjB (2.1) Тут
b - ширина пластинки,
j - густина струму,
B -
магнітна індукція поля,
R - коефіцієнт пропорційності, який отримав назву постійної Холла. Ефект Холла дуже просто пояснюється електронної теорією, відсутність магнітного поля струм у платівці обумовлюється електричним полем
Е о (дивись рис 2.2). Еквіпотенціальні поверхні цього поля утворюють систему
перпендикулярних до вектора
Е о швидкостей. Дві з них зображені на малюнку суцільними прямими лініями. Потенціал у всіх точках кожного поверхні, а отже, і в точках 1 і 2 однаковий. Носії струму - електрони - мають негативний заряд, тому швидкість їх упорядкованого руху і направлена протилежно вектору щільності струму
j. При включенні магнітного поля кожен носій опиняється під дією магнітної сили
F, спрямованої вздовж сторони
b платівки і рівної по модулю
F = euB (2.2) У результаті у електронів з'являється складова швидкості, спрямована до верхньої (на малюнку) грані платівки. У цієї
межі утворюється надлишок негативних,
відповідно у нижній грані - надлишок позитивних зарядів. Отже, виникає додаткове поперечне
електричне поле Е B. Тоді напруженість цього поля досягає такого значення, що його дія на заряди буде врівноважувати силу (2.2),
встановиться стаціонарний розподіл зарядів в поперечному напрямку.
Відповідне значення
E B визначається умовою:
eE B = euB. Звідси:
Е B = Uв. Поле
Е B складається з полем
Е о в результуюче поле
E. Еквіпотенціальні поверхні
перпендикулярні до вектора напруженості поля. Отже, вони повернуться і займуть положення, зображене на рис. 2.2 пунктиром. Точки 1 і 2, які раніше лежали на одній і тій же еквіпотенційної поверхні, тепер мають різні потенціали. Щоб знайти напруга виникає між цими точками, потрібно помножити відстань між ними
b на напруженість
Е B: UH = bE B = buB Висловимо
u через
j, n і
e відповідно до формули
j = neu. У результаті отримаємо:
U H = (1/ne) bjB (2.3) Останній вираз збігається з (2.1), якщо покласти
R = 1/ne (2.4) З (2.4) випливає, що, вимірявши постійну Холла, можна знайти концентрацію носіїв струму в даному металі (тобто число носіїв в одиниці об'єму).
Важливою характеристикою речовини є рухливість в ньому носіїв струму. Рухливістю носіїв струму називається середня швидкість, що купується носіями при напруженості електричного поля, що дорівнює одиниці. Якщо в полі напруженості
Е носії набувають швидкості
u то рухливість їх
u 0 дорівнює:
U 0 = u / E (2.5) Рухливість можна пов'язати з провідністю
s і концентрацією носіїв
n. Для цього розділимо співвідношення
j = neu на напруженість поля
Е. Прийнявши до уваги, що ставлення
j до
Е дає
s, а ставлення
u до
Е - рухливість, отримаємо:
s = neu 0 (2.6) Вимірявши постійну Холла
R і провідність
s, можна за формулами (2.4) та (2.6) знайти концентрацію і рухливість носили струму у
відповідному зразку.
- - - - - - - - - - 1 - - - - - - - - - - -
|
|
Рис 2.1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+++++++++++++ 2 +++++++++++++
|
|
Рис 2.2
3. Ефект Холла в
феромагнетиках.
У феромагнетиках на електрони провідності діє не тільки зовнішнє, але і внутрішнє магнітне поле:
В = Н + 4pМ
Це призводить до особливого ефекту Холла феромагнітному. Експериментально виявлено,
E x = (RB + R а M) j, де
R - звичайний,
a R a - незвичайний (аномальний) коефіцієнт Холла. Між R
a і питомою електроопору
феромагнетиків встановлена кореляція.
4. Ефект Холла в
напівпровідниках.
Ефект Холла спостерігається не тільки в металах, але і в напівпровідниках, причому за знаком ефекту можна судити про приналежність напівпровідника до n-або p-типу, так як в напівпровідниках n-типу знак носіїв струму негативний, напівпровідниках p-типу - позитивний. На рис. 4.1 сопоставлен ефект Холла для зразків з позитивними і негативними носіями. Напрямок магнітної сили змінюється на протилежне як при зміні напрямку руху заряду, так і при зміні його знаку. Отже, при однаковому напрямі струму і поля
магнітна сила, що діє на позитивні і негативні носії, має однаковий напрямок. Тому в разі позитивних носіїв потенціал верхньої (на малюнку) грані вище, ніж нижній, а в разі негативних носіїв - нижче. Таким чином, визначивши знак холлівських різниці потенціалів, можна
встановити знак носіїв струму. Цікаво, що у деяких металів знак U
н відповідає позитивним носіям струму. Пояснення цієї аномалії дає квантова теорія.
Рис 4.1
5. Ефект Холу на інерційних електронах в напівпровідниках.
Передбачений новий фізичний ефект, обумовлений дією сили Лоренца на електрони напівпровідника, що рухається прискорено. Отримано вираз для поля Холла і виконані оцінки холлівських напруги для реальної двовимірної гетероструктури. Виконано аналіз можливої схеми підсилення холлівських поля на прикладі двох холлівських елементів, один з яких - генератор напруги, а другий - навантаження.
Відомий досвід Толмена і
Стюарта, в якому спостерігався імпульс струму
j, пов'язаний з інерцією вільних електронів. При інерційному поділі зарядів в провіднику виникає
електричне поле напруженістю
E. Якщо
такий провідник помістити в магнітне поле
B, то слід очікувати появи ерс, аналогічної ефекту Холла, зумовленої дією сили Лоренца на інерційні електрони.
У провіднику, що рухається з прискоренням
dv x /
dt, виникає струм
j x і поле
E x , (1)
, (2)
де s =
en m - провідність,
m - рухливість. У магнітному полі
B (0, 0;
B z) порушується поле
E y = (1 /
ne) j x B z або
(3)
Останній вираз еквівалентно
E y =
E x m B z. Найбільш підходящий об'єкт для експериментального спостереження ефекту - двовимірні електрони в гетеросистемах
n-Al x Ga
1-x As / GaAs. В одиничному зразку (1x1 см
2) у полі 1 Тл і m @ 10
4 см
2 (В * с) для
dv x / dt @ 10 м / с
2 слід очікувати
сигнал V y @ 6 * 10
-11 B, що цілком доступно для сучасної техніки вимірів.
Розглянемо одну з можливостей посилення ефекту на прикладі двох холлівських елементів, один з яких (I) є генератором поля Холла, а другий (II)-навантаженням. Схема з'єднань холлівських елементів I і II показана на малюнку.
Отже, в магнітному полі
B z (напрям якого на малюнку позначено знаком Å) в першому холлівських елементі (I) збуджується струм
j (1) x, поле
E (1) x і холлівських поле
E (1) y, що даються виразами (1 ) - (3). Замкнув потенційні (холлівських) контакти
X 1 -
X 1 на струмові контакти
T 2 -
T 2 холлівських елемента II, в останньому додатково до первинного полю
E (2) x =
E (1) x, що визначається виразом (2), маємо і поле
E (1) y. Так що результуюче поле має два компоненти -
E (2) x =
E (1) x + E (1) y. Це можливо, якщо холлівських елемент I розглядати як генератор напруги, навантажений на холлівських елемент II. У цьому випадку повинен виконуватися режим "холостого ходу", для чого необхідно виконати умову
R (X 1 -
X 1) < 2 - T 2), де R - опір між відповідними контактами. У такому випадку в холлівських елементі II збуджується полі
E (2) y = (E (1) y + E (1) y) mB z (4)
З огляду на співвідношення E (1) y = E (1) x m B z, одержуємо
E (2) y = (1 + mB z) mB z E (1) x (5)
Безпосереднє спостереження ефекту, мабуть, утруднено. Більш реально здійснити досліди з вібрацією зразка в магнітному полі. Корисний сигнал e y при цьому може бути відділений від наведення e * y по квадратичної залежності від частоти коливань w (наведення пропорційна 1-го ступеня частоти коливань).
У самому справі, для даної геометрії досвіду (див малюнок) у магнітному полі B (0, 0; B z) при зміні координати x з часом за законом x = x 0 cos wt, де w - частота генератора, що задає, навантаженого на п'єзоелемент, і x 0 - амплітуда коливань останнього маємо зі співвідношення (3)
(6)
де l y - відстань між холлівських контактами зразка (X 1 - X 1) тобто E y = E y l y. Паразитна наводка e * y, що виникає в сполучних проводах у відповідності з законом електромагнітної індукції Фарадея, визначається виразом
(7)
де l * y - ефективна довжина сполучних провідників, що включають зразок у схему вимірів. Таким чином, корисний сигнал e y має відмінні риси по відношенню до наводкою e * y. Перша особливість це пропорційність величиною w 2, тоді як e * y »w. Одночасно e y у часі змінюється синфазно, а e * y - противофазно напрузі задає генератора. Істотно відзначити, що маса, що входить у вираз (1) - (3), це маса вільного електрона; величина ж рухливості m визначається ефективною масою.