у у = е
х якщо основа а показникової функції у = а
х зростає від 2 до 3, то величина кута
зростає і приймає значення від 34
0 до 47
0. Отже, існує таке значення
, при якому дотична, проведена до графіка функції у = а
х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі ОХ кут 45
0 (рис.31). Таке значення
прийнято позначати буквою е, е – число ірраціональне, е = 2,718281828459...
0
Таким чином, дотична до графіка функції у = е
х в точці (0; 1) утворює з додатним напрямком осі абсцис, який дорівнює 45
0.
У відповідності з
геометричним змістом похідної даний висновок означає, що значення похідної функції
в точці х
0 дорівнює
=1. Отже,
.
Знайдемо тепер формулу похідної функції
.
Нехай аргумент х
0 одержав приріст
, тоді:
1)
2)
3)
.
Таким чином, похідна функції е
х дорівнює самій функції:
Знайдемо похідну функції
, скориставшись основною логарифмічною тотожністю та правилом знаходження похідної складеної функції:
.
Отже,
Похідна показникової функції дорівнює добутку цієї функції на натуральний логарифм її основи.
Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:
а) у = 5
х; б) у = е
3-2х; в)
; г)
.
Розв’язання а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Виконання вправ. № 2 (2, 4, 6, 8, 10, 12), №2 (20, 22, 24, 26, 28, 30) із
підручника (розділ Х).
ІІІ. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну логарифмічної функції Розглянемо функцію
. За основною логарифмічною тотожністю:
для всіх додатних х.
Диференціюючи обидві частини цієї рівності, одержимо:
, або
.
Звідси
.
Отже, SHAPE \\\\* MERGEFORMAT
Знайдемо похідну функції
. Так як
, то
SHAPE \\\\* MERGEFORMAT
.
Отже, SHAPE \\\\* MERGEFORMAT
Приклад 1. Знайдіть похідну функцій:
а)
; б)
;
в)
; г)
.
а)
;
б)
;
в)
;
г)
=
.
Виконання вправ. № 2 (14, 16, 18, 32, 34, 36, 38, 40, 42), із підручника (розділ Х).
IV. Сприймання і усвідомлення матеріалу про похідну степеневої функції , де Ми довели, що
для
.
Розглянемо функцію
, де
.
Знайдемо похідну цієї функції:
.
Отже,
для всіх
.
ТЕМА УРОКУ: Розв’язування вправ Мета уроку: Формування умінь учнів знаходити похідні функцій.
І. Перевірка домашнього завдання 1 перевірити правильність виконання домашніх вправ шляхом
порівняння відповідей.
№ 2. 3) -е
-х; 5)
; 7)
; 9)
; 11)
13)
; 15)
; 17)
.
№ 8. 1) 100х
99; 3)
; 5)
; 7) -20х
19; 9)
;
11)
.
2. Усне розв’язування вправ.
Знайдіть похідні функцій, поданих в таблиці.
ІІ. Формування умінь знаходити похідні функцій 1) Виконання вправ № 10 (12; 11; 13; 17; 19) розділу
VІІ
підручника.
2) Виконання вправ № 2 (23; 24; 31; 34; 35; 36) розділу Х підручника.
3) Знайдіть похідну функції
та обчисліть її значення, якщо
.
.
.
Відповідь: 4.
4)
Тіло рухається за законом
.
Знайдіть швидкість точки через 2 секунди після початку руху. (Відстань вимірюється в метрах).
Розв’язання ;
.
Відповідь: .
ІІІ. Домашнє завдання Підготуватися до
контрольної роботи. Вправи ; 10 (15; 16; 20; 25) розділу VІІ; № 2 (22; 26; 38; 42), 8 (14; 18) розділу Х.
ТЕМА УРОКУ:
Тематична контрольна робота № 1 Мета уроку: Перевірити навчальні досягнення учнів з теми „Границя, неперервність та похідна функцій”.
Варіант 1 1. Знайдіть похідну функції:
а)
. (
2 бали)
б)
. (
2 бали)
в)
. (
2 бали)
г)
. (
2 бали)
2. Знайдіть похідну функції
та обчислити її значення, якщо
. (
2 бали)
3. Точка рухається за законом
. Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах).
(2бали) Варіант 2 1. Знайдіть похідну функції:
а)
. (
2 бали)
б)
. (
2 бали)
в)
. (
2 бали)
г)
. (
2 бали)
2. Знайдіть похідну функції
та обчислити її значення, якщо
. (
2 бали)
3. Точка рухається за законом
. Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=1 с (s вимірюється в метрах).
(2бали) Варіант 3 1. Знайдіть похідну функції:
а)
. (
2 бали)
б)
. (
2 бали)
в)
. (
2 бали)
г)
. (
2 бали)
2. Знайдіть похідну функції
та обчислити її значення, якщо
. (
2 бали)
3. Точка рухається за законом
. Знайдіть миттєву швидкість точки моменту t=5 с (s вимірюється в метрах).
(2бали) Варіант 4 1. Знайдіть похідну функції:
а)
. (
2 бали)
б)
. (
2 бали)
в)
. (
2 бали)
г)
. (
2 бали)
2. Знайдіть похідну функції
та обчислити її значення, якщо
. (
2 бали)
3. обертання тіла навколо осі здійснюється за законом
. Знайдіть кутову швидкість точки при t=4 с (
вимірюється в радіанах).
(2бали) Відповідь: В-1. 1. а)
; б)
;
в)
,; г)
.
2.
,
.
3. 10
В-2 1. а)
; б)
;
в)
,; г)
.
2.
,
.
3. 9
В-3. 1. а)
; б)
;
в)
,; г)
.
2.
,
.
3. 35
В-4. 1. а)
; б)
;
в)
,; г)
.
2.
,
.
3. 20