[
Застосування точкових та інтервальних оцінок в теорії ймовірності та математичної статистики
]
<div style="font-size:16px;text-align:justify;"> <div> <b>Кримський Економічний Інститут</b> <br /> <b>Київського Національного Економічного Університету</b> <br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /> Реферат з дисципліни: «Теорія ймовірності та <a href="Математика" title="Математика">математична</a> статистика» <br /> на тему: <br /> <b>«Застосування точкових та інтервальних оцінок в теорії ймовірності та <a href="Математика" title="Математика">математичної</a> статистики»</b> <br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /> <b>Виконав: Апаз С.В.</b> <b>група ЕП - 21</b> <br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /><b> </b><br /> <b>Сімферополь - 2002</b> <b> </b><br /> <b>Точкове оцінювання</b> <br /> Як і відомо, вибірка х <sub>1,</sub> х <sub>2,</sub> х <sub>3,</sub> ..., х <sub>n</sub> є реалізацією випадок-ного вектора (Х <sub>1;</sub> Х <sub>2;</sub> ... Х <sub>n).</sub> Це значить, що кожна числова характеристика вибірки є реалізація випадкової величини, яка від вибірки до вибірки може приймати різні значення і, отже, сама є випадковою. Таку випадкову величину називають вибіркової <a href="Функції" title="Функції">функцією</a> або <a href="Статистика" title="Статистика">статистикою</a> і позначають г = р. Цей запис виражає залежність вибіркової <a href="Функції" title="Функції">функції</a> від випадкових компонент Х <sub>i,</sub> i = <o:lock v:ext=edit aspectratio=t /><img width=29 height=33 src=dopb309.zip v:shapes=_x0000_i1025><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1025 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299879></o:OLEObject></xml> ,<a href="Векторы" title="Векторы"> Вектора</a> (Х <sub>1;</sub> Х <sub>2;</sub> ... Х <sub>n).</sub> Наприклад, вибірковими <a href="функція" title="функція">функціями</a> є середнє арифметичне <img width=25 height=28 src=dopb310.zip v:shapes=_x0000_i1026><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1026 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299880></o:OLEObject></xml> ,<a href="Статистика" title="Статистика"> Статистична</a> дисперсія <img width=32 height=36 src=dopb311.zip v:shapes=_x0000_i1027><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1027 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299881></o:OLEObject></xml> , <a href="Мода" title="Мода">Мода</a> <img width=37 height=29 src=dopb312.zip v:shapes=_x0000_i1028><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1028 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299882></o:OLEObject></xml> , Медіана <img width=36 height=29 src=dopb313.zip v:shapes=_x0000_i1029><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1029 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299883></o:OLEObject></xml><br /> Так як вибіркова <a href="Статистика" title="Статистика">статистика</a> величина випадкова, то вона має закон расрпделенія, що залежить від закону розпаду випадкової величини Х в генеральній сукупності. <br /> Нехай потрібно підібрати розподіл для досліджуваної випадкової величини Х за вибіркою х <sub>1,</sub> х <sub>2,</sub> х <sub>3,</sub> ..., х <sub>n,</sub> витягнутої з генеральної сукупності <img width=37 height=31 src=dopb314.zip v:shapes=_x0000_i1030><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1030 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299884></o:OLEObject></xml> з невідомою функцією розподілу F (х). Вибравши розподіл (нормальне, біномінальної, показове або ін), виходячи з аналізу вибірки (наприклад, по вигляд гістограми або по виду полігону відносних частот), ми за даними вибірки мають оцінити параметри <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідного</a> розподілу. Наприклад, для нормального розпо-ділення треба оцінити параметри m і <img width=17 height=19 src=dopb315.zip v:shapes=_x0000_i1031><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1031 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299885></o:OLEObject></xml> ; Для розподілу Пуасона - параметр l і т.д. <br /> Вирішення питань про "найкращою оцінкою" невідомого параметра і становить теорію статистичного оцінювання. <br /> Вибіркова числова характеристика, яка застосовується для отримання оцінки невідомого параметра генеральної сукупності, називається точкової оцінкою. <br /> Наприклад, Х - середнє арифметичне, може служити оцінкою математичного сподівання М (Х) генеральної сукупності <img width=37 height=31 src=dopb314.zip v:shapes=_x0000_i1032><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1032 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299886></o:OLEObject></xml> . У принципі для невідомого параметра а може існувати багато число-вих характеристик вибірки, які цілком слушно для <a href="Того" title="Того">того</a>, щоб служити оцінками. Наприклад, середнє арифметичне, медіана, мода можуть здатися цілком прийнятними для оцінювання математичного сподівання М (Х) сукупності. Щоб вирішити, яка з статистик в даній безлічі найкраща, необхідно визначити деякі бажані властивості таких оцінок, тобто вказати умови, яким повинні задовольняти оцінки. <br /> Такими умовами є: незміщеності, ефективності спроможність. <br /> Якщо М (г) = а, то г називається незміщеної оцінкою а. <br /> В інших випадках говорять. Що <a href="Оцінка" title="Оцінка">оцінка</a> зміщена. <br /> Незміщеності оцінки означає, що якщо використовувати цю оцінку, то в одних випадках може вийти. Що ми завищуємо шуканий параметр сукупності, в інших - занижуємо. Проте в середньому ми буде "потрапляти в ціль". <br /> Так, наприклад, незміщеної оцінкою для математичного сподівання М (Х) = а випадкової величини Х є середня арифметична <img width=25 height=28 src=dopb310.zip v:shapes=_x0000_i1033><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1033 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299887></o:OLEObject></xml> = Р. <br /> Дійсно, <br /><img width=569 height=59 src=dopb316.zip v:shapes=_x0000_i1034><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1034 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299888></o:OLEObject></xml> , <br /> тому що результати вибірки х <sub>1,</sub> х <sub>2,</sub> х <sub>3,</sub> ..., х <sub>n</sub> <sub> </sub> розглядають як n незалежних випадкових величин Х <sub>1,</sub> Х <sub>2,</sub> Х <sub>3,</sub> ..., Х <sub>n,</sub> кожна з яких розподілена за тим же законом, що і випадкова величина Х. <br /> Їли існує більше однієї незміщеної оцінки, то вибирають більш ефективну оцінку, тобто ту, для якої величина другого моменту М (г - а) <sup>2</sup> менше. <br /> <a href="Оцінка" title="Оцінка"> Оцінка</a> г <sub>1</sub> називається більш ефективною, ніж <a href="Оцінка" title="Оцінка">оцінка</a> г <sub>2,</sub> якщо <br /> М (г <sub>1</sub> - а) <sup>2</sup> <М (г <sub>2</sub> - а) <sup>2.</sup> <br /> Їли позначити через b = М (р) - а зсув оцінки, то <br /> М (г - а) <sup>2</sup> = D (г) + b <sup>2,</sup> так як М (г - М (р) + М (г) - а) <sup>2</sup> = М ((р - М (р)) + + М ( г) - а)) <sup>2</sup> = М ((р - М (р)) + b) <sup>2</sup> = Мг - М (р)) <sup>2</sup> +2 b'M (г - М (р)) + M (b <sup>2)</sup> = = D (г) + b <sup>2</sup> (M (г - М (г)) = 0, M (b <sup>2)</sup> = b <sup>2).</sup> Тому більш ефективної оцінкою будемо вважати ту незміщене оцінку, яка має меншу дисперсію. <br /> Зокрема, середня арифметична <img width=25 height=28 src=dopb310.zip v:shapes=_x0000_i1035><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1035 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299889></o:OLEObject></xml> = Г є найбільш ефективною оцінкою математичного сподівання М (Х) = а, так як <br /><img width=515 height=65 src=dopb317.zip v:shapes=_x0000_i1036><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1036 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299890></o:OLEObject></xml><br /> Всі інші оцінки М (Х) будуть володіти великими дисперсіями. Наприклад, <br /><img width=181 height=59 src=dopb318.zip v:shapes=_x0000_i1037><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1037 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299891></o:OLEObject></xml><br /> Мінімальну величину середньоквадратичної похибки оцінюють, використовуючи нерівність Рао-Крамера <br /><img width=375 height=115 src=dopb319.zip v:shapes=_x0000_i1038><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1038 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299892></o:OLEObject></xml> , Де b (a) - зсув оцінки; n - обсяг вибірки; функція <img width=159 height=59 src=dopb320.zip v:shapes=_x0000_i1039><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1039 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299893></o:OLEObject></xml> носить назву інформації Фішера. Будь-яка несмещенная оцінка, а, для якої b (a) º 0 задовольняє <a href="Нерівності" title="Нерівності">нерівності</a> <br /><img width=377 height=89 src=dopb321.zip v:shapes=_x0000_i1040><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1040 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299894></o:OLEObject></xml><br /> Таким чином, найменше можливе прапора середньоквадратичних відхилень відмінно від нуля і визначається правими частинами наведених вище нерівностей. При використанні тієї чи іншої оцінки бажано, щоб точність оцінювання збільшилася з зростанням обсягу виробленої вибірки. <a href="Граничар" title="Граничар"> Гранична</a> точність буде досягнута в тому випадку, коли чисельне значення оцінки збігається зі значенням параметра при необмеженому збільшенні обсягу вибірки. Такі оцінки буде називатися заможними. <br /> Оцінка г називається заможної оцінкою а, якщо при n ® ¥ вона сходиться по ймовірності до а, тобто якщо <img width=139 height=68 src=dopb322.zip v:shapes=_x0000_i1041><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1041 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299895></o:OLEObject></xml> . <br /> Наприклад, середня арифметична <img width=25 height=28 src=dopb310.zip v:shapes=_x0000_i1042><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1042 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299896></o:OLEObject></xml> = Г є заможної оцінкою математичного сподівання М (Х) = а сукупності, так як, <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідно</a> до закону великих чисел, <img width=192 height=68 src=dopb323.zip v:shapes=_x0000_i1043><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1043 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299897></o:OLEObject></xml><br /> Нарешті, при побудові оцінки р повинна використовуватися вся інформації, що міститься у вибірці, про невідомий параметрі а, тобто оцінка повинна бути достатньою. Якщо р - достатня оцінка. То ніяка друга оцінка не може дати про невідомому параметрі а додаткових відомостей. <br /> При виборі оцінок слід <a href="Брати" title="Брати">брати</a> до уваги перераховані свій властивості і враховувати відносну простоту обчислень. Нерідко вибирається не ефективна оцінка тільки тому, що її обчислення набагато <a href="Простір" title="Простір">простіше</a>, ніж обчислення ефективної оцінки. Наприклад, при контролі якості продукції мірою розкиду сукупності часто служить вибірковий розмах, використовуваної замість більш складної і більш ефективної оцінки - вибіркового <a href="Стандарт" title="Стандарт">стандартного</a> відхилення. Відзначимо, що при оцінюванні на основі малого числа спостережень розходження в ефективності оцінок невелика. <br /> <b>Інтервальне оцінювання</b> <br /> Ми розглянули оцінки невідомих параметрів закону розподілу випадкової величини Х за даними вибірки. Отримані при цьому точкові оцінки р <sub>i</sub> не збігаються (за виключення рідкісних випадків) з істинним значенням невідомих параметрів а <sub>i.</sub> Отже, завжди є деяка похибка при заміні невідомого параметра його оцінкою, тобто | Р - а | <d: <br /><img width=468 height=36 src=dopb324.zip v:shapes=_x0000_i1044><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1044 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299898></o:OLEObject></xml> (1.1) <br /> І якщо ця ймовірність близька до одиниці, тобто якщо <img width=228 height=28 src=dopb325.zip v:shapes=_x0000_i1045><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1045 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299899></o:OLEObject></xml> , То діапазон практично можливих значень помилки, що виникає при заміні а на, дорівнює ± d. Причому великі про абсолютну величину помилки з'являються з імовірністю e, e> 0. <br /> Чим менше для даного e> 0 буде d> 0, тим точніше оцінка р. Зі співвідношення (1.1) видно, що ймовірність тог, що інтервал] г - d; г + d [з випадковими кінцями накриє невідомий параметр, дорівнює 1 - e . Ця ймовірність називається <i>довірчою ймовірністю.</i> <br /> Випадковий інтервал, який визначається результатами спостережень, який із заданою вірогідністю а = 1 - e накриває невідомий параметр а, званий довірчим інтервалом для параметра а, <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідним</a> довірчої ймовірності а = 1 - e. <br /> <a href="Граничар" title="Граничар"> Граничні</a> точки довірчого інтервалу називаються відповідно нижньою і верхньою довірчим межами. <br /> Заданому а = 1 - e <a href="Відповідь" title="Відповідь">відповідає</a> неєдиним довірчий інтервал. Довірчі інтервали можуть змінюватися від вибірки до вибірки. Більше тог, для даної вибірки різні методи побудови довірчих інтервалів можуть призвести до різних інтервалах. Тому вироблені певні правила. Використовуючи їх і ефективні оцінки невідомих параметрів, отримують найкоротші інтервали для заданої довірчої ймовірності а = 1 - e. <br /> Розглянемо загальні принципи побудови довірчих інтервалів. Припустимо, що довірчий інтервал знаходимо для деякого параметра а сукупності і як точкової оцінки цього параметра візьмемо вибіркову незміщене М (г) = а і ефективну оцінку г = г (Х <sub>1;</sub> Х <sub>2;</sub> ... Х <sub>n),</sub> що має середнє квадратичне відхилення s <sub>р.</sub> <br /> Якби закон розподілу оцінки р був відомий, то для знаходження довірчого інтервалу потрібно було б знайти таке значення d, для якого <img width=148 height=28 src=dopb326.zip v:shapes=_x0000_i1046><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1046 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299901></o:OLEObject></xml> . Але закон розподілу оцінки р залежить від закону розподілу випадкової величини Х і, отже, від його невідомого параметра а. Для того щоб не застосовувати закон розподілу випадкової величини Х, надходять у <a href="Такий" title="Такий">такий</a> спосіб. <br /> Так як ми вважаємо значення вибірки х <sub>1,</sub> х <sub>2,</sub> х <sub>3,</sub> ..., х <sub>n,</sub> що мають ті ж закони розподілу, що і досліджувана випадкова величина Х, то, згідно з центральної граничної теореми (теоретичне вибіркове розподіл середніх <img width=25 height=25 src=dopb327.zip v:shapes=_x0000_i1047><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1047 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299902></o:OLEObject></xml> при великому n може побут добре апроксимовані відповідним нормальним розподілом параметрами М ( <img width=25 height=25 src=dopb327.zip v:shapes=_x0000_i1048><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1048 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299903></o:OLEObject></xml> ) = М ( <img width=25 height=23 src=dopb328.zip v:shapes=_x0000_i1049><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1049 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299904></o:OLEObject></xml> ) І <img width=128 height=61 src=dopb329.zip v:shapes=_x0000_i1050><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1050 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299905></o:OLEObject></xml> , Більшість числових характеристик вибірки мають нормальне або близьке значення до нормального вибіркове розподіл. <br /> Тому за допомогою ймовірностей, які знаходимо з таблиць нормального розподілу <img width=304 height=65 src=dopb330.zip v:shapes=_x0000_i1051><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1051 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299906></o:OLEObject></xml> , Де <img width=199 height=76 src=dopb331.zip v:shapes=_x0000_i1052><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1052 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299907></o:OLEObject></xml> , Для заданого d можна знайти таке інтервал] г - d; г + d [, в якому лежить значення г, обчислена за даній вибірці можна вирішити і зворотну задачу: за даними ймовірності знайти значення d <br /><img width=248 height=92 src=dopb332.zip v:shapes=_x0000_i1053><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1053 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299908></o:OLEObject></xml> , Таке що <img width=205 height=28 src=dopb333.zip v:shapes=_x0000_i1054><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1054 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299909></o:OLEObject></xml> . <br /> <a href="Нерівності" title="Нерівності"> Нерівності</a> а - d ≤ р ≤ а + d еквівалентні <a href="Нерівності" title="Нерівності">нерівностям</a> г - d ≤ а ≤ г + d (віднімемо г - d з кожної частини і помножимо на -1). Тим самим вказані методи побудови довірчих інтервалів] г - d; г + d [для параметра а. <br /> Таким чином, при побудові довірчих інтервалів складається випадкова величина Y (наприклад, <img width=103 height=92 src=dopb334.zip v:shapes=_x0000_i1055><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1055 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299910></o:OLEObject></xml> , Пов'язана з невідомим параметром а, його оцінкою і має відому <a href="Щільність" title="Щільність">щільність</a> розподілу ймовірностей <i>p</i> (y). Використовуючи цю щільність, визначимо довірчий інтервал за формулою <img width=249 height=63 src=dopb335.zip v:shapes=_x0000_i1056><xml><o:OLEObject Type=Embed ProgID=Equation.3 ShapeID=_x0000_i1056 DrawAspect=Content ObjectID=_1335299911></o:OLEObject></xml> . <br /> Як довірливо ймовірності (інакше - рівня довіри) зазвичай вважають <br /> а = 0,95 (0,99). Це означає, що при вилученні n вибірок з однієї і тієї ж генеральної сукупності довірчий інтервал приблизно в 95% (99%) випадків буде накривати невідомий параметр (щодо невідомого параметра ймовірні події не допускаються). При збільшенні ж довірчої ймовірності будується ширший довірчий інтервал, який малопридатний для практики. Ще раз підкреслимо, що чим менше довжина довірчого інтервалу, тим точніше оцінка. <br /> Відзначимо, що для точного знаходження довірчих інтервалів необхідно знати закон розподілу випадкової величини Х, тоді як для застосування наближених методів це не обов'язково. <br /> Список використаної літератури: <br /> 1. Гурський Є.І. «Теорія ймовірності та математична статистика». <br /></div> </div>
Будь ласка, не зберігайте тестовий текст.
Ваш ip: 18.119.123.32 буде збережений.
категорії
за типом
за алфавітом
завантажені
© Усі права захищені
написати до нас
