Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
«Гомельський державний університет
ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Опис кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп для формації сверхразрешімих груп Курсова робота
Виконавець:
Студентка групи М-32
____________ Лякішева А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2007
Зміст Перелік умовних позначень
Введення
Опис кінцевих груп з щільною системою
-Субнормальних підгруп для формації
сверхразрешімих груп
Висновок
Література
Перелік умовних позначень У роботі всі розглянуті групи передбачаються кінцевими. Використовуються позначення, прийняті в книгах. Літерами
позначаються прості числа.
Будемо розрізняти
знак включення множин
і знак
суворого включення
;
і
---
Відповідно знаки перетину та об'єднання множин;
--- Пусте безліч;
--- Безліч всіх
, Для яких виконується умова
;
--- Безліч всіх простих чисел;
--- Деякий безліч простих чисел, тобто
;
--- Додаток до
в безлічі всіх простих чисел; зокрема,
;
Примарна число --- будь-яке число виду
;
--- Безліч всіх цілих позитивних чисел.
--- Деякий лінійне впорядкування
множини всіх простих чисел
.
Запис
означає, що
передує
в упорядкуванні
,
.
Нехай
--- Група. Тоді:
--- Порядок групи
;
--- Порядок елемента
групи
;
--- Одиничний елемент і одинична підгрупа групи
;
--- Безліч всіх простих дільників порядку групи
;
--- Безліч всіх різних простих дільників натурального числа
;
- Група --- група
, Для якої
;
- Група --- група
, Для якої
;
--- Підгрупа Фраттіні групи
, Тобто те що всіх максимальних підгруп групи
;
--- Підгрупа Фиттинг групи
, Тобто твір всіх нормальних нільпотентних підгруп групи
;
--- Коммутант групи
;
---
- Холлівських підгрупа групи
;
--- Сіловская
- Підгрупа групи
;
--- Додаток до сіловской
- Підгрупі у групі
, Тобто
- Холлівських підгрупа групи
;
--- Група всіх автоморфізмів групи
;
---
є підгрупою групи
;
нетривіальна підгрупа --- непоодинокі власна підгрупа;
---
є нормальною підгрупою групи
;
--- Підгрупа
характеристичні в групі
, Тобто
для будь-якого автоморфізм
;
--- Індекс підгрупи
в групі
;
;
--- Централізаторів підгрупи
в групі
;
--- Нормалізатор підгрупи
в групі
;
--- Центр групи
;
--- Циклічна група порядку
;
Якщо
і
--- Підгрупи групи
, То:
--- Прямий добуток підгруп
і
;
--- Полупрямой твір нормальної підгрупи
і підгрупи
.
Група
називається:
примарной, якщо
;
біпрімарной, якщо
.
Дужки
застосовуються для позначення підгруп, породжених деякими безліччю елементів або підгруп.
--- Підгрупа, породжена всіма
, Для яких виконується
.
Групу
називають
- Нільпотентні, якщо
.
Групу
порядку
називають
- Дісперсівний, якщо виконується
і для будь-якого
має нормальну підгрупу порядку
. Якщо при цьому упорядкування
таке, що
завжди тягне
, То
- Дісперсівний група називається дісперсівний по Оре.
Ланцюг --- це сукупність вкладених одна в одну підгруп. Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю. Ланцюг
називається
-Ланцюгом (з індексами
); Якщо при цьому
є максимальною підгрупою в
для будь-якого
, То зазначена ланцюг називається максимальною
-Ланцюгом.
Ряд підгруп
називається:
субнормальний, якщо
для будь-якого
;
нормальним, якщо
для будь-якого
.
Нормальний ряд називається головним, якщо
є мінімальною нормальною підгрупою в
для всіх
.
Класи груп, тобто сукупності груп, замкнуті щодо ізоморфізмів, позначаються прописними готичними літерами. Так само позначаються формації, тобто класи груп, замкнуті щодо факторгрупою і подпрямих творів. За деякими класами закріплені
стандартні позначення:
--- Клас всіх груп;
--- Клас всіх абелевих груп;
--- Клас всіх нільпотентних груп;
--- Клас всіх розв'язаних груп;
--- Клас всіх
- Груп;
--- Клас всіх сверхразрешімих груп.
Нехай
--- Деякий клас груп і
--- Група, тоді:
---
- Корадікал групи
, Тобто те що всіх тих нормальних підгруп
з
, Для яких
. Якщо
--- Формація, то
є найменшою нормальною підгрупою групи
, Факторгрупою по якій належить
. Якщо
--- Формація всіх сверхразрешімих груп, то
називається сверхразрешімим корадікалом групи
.
Формація
називається насиченою, якщо завжди з
випливає, що і
. Клас груп
називається спадковим або
-Замкнутим, якщо з
того, що
, Випливає, що і кожна підгрупа групи
також належить
.
Нехай
--- Деяка непорожня формація. Максимальна підгрупа
групи
називається:
-Нормальною, якщо
;
-Абнормальної, якщо
.
Максимальна
-Ланцюг
називається
-Субнормальний, якщо для будь-якого
підгрупа
-Нормальна у
. Підгрупа
групи
називається
-Субнормальний, якщо існує хоча б одна
-Субнормальная максимальна
-Ланцюг.
Група
називається групою з щільною системою
-Субнормальних підгруп, якщо для будь-яких двох різних підгруп
і
групи
, З яких перша міститься в другій і не максимальна в ній, у групі
існує така
-Субнормальная підгрупа
, Що
. У цьому випадку також кажуть, що безліч
-Субнормальних в
підгруп щільно.
Введення Вивчення будови груп за заданими властивостями системи їх підгруп є одним з основних напрямків у теорії кінцевих груп. Зазначимо, що темп і глибина таких досліджень безперервно зростають. Цей напрямок вивчення груп бере свій початок з груп Міллера-Морено, груп Шмідта. Як властивостей, що накладаються на системи підгруп, розглядалися абелевої, нормальність, субнормального, доповнюваність і ін Цей напрямок одержав широкий
розвиток в
роботах багатьох провідних алгебраїстів.
З Дедекінда груп, тобто груп, у яких нормальні все підгрупи, почалося вивчення різних (як кінцевих, так і нескінченних) груп, у яких деяка система підгруп
задовольняє умові нормальності.
Опис кінцевих Дедекінда груп дано в роботі Р. Дедекінда, а нескінченних в роботі Р. Бера. Ці
роботи визначили важливий напрям досліджень у теорії груп. Головною метою цього напрямку є
опис узагальнено Дедекінда груп. Ці узагальнення Дедекінда груп здійснюються або шляхом звуження системи підгруп
, Тобто підгруп нормальних у всій групі, або ослаблення властивості нормальності для підгруп із
. Серед таких узагальнень виділимо наступні дослідження.
Перше істотне узагальнення Дедекінда груп належить О.Ю. Шмідту.
Він описав кінцеві групи з одним і двома класами пов'язаних ненормальних підгруп, а також
встановив нільпотентності кінцевої групи, у якої нормальні всі максимальні підгрупи. Кінцеві групи з нормальними
-Прищеплені максимальними підгрупами вивчали Б. Хупперт та З. Янко. Д. Баклі вивчав кінцеві групи, у яких нормальні всі мінімальні підгрупи.
Значні розширення класу Дедекінда груп виникають при переході від умови нормальності до різних її узагальнень, як, наприклад, до квазінормальності, субнормального, нормалізаторним умов і ін
На початку 70-х років з ініціативи С. М. Чернікова почалося вивчення груп з щільними системами підгруп. Система підгруп групи
, Що володіє деякими властивістю
, Називається щільною в
, Якщо для будь-яких двох підгруп
з
, Де
не максимально в
, Знайдеться
-Підгрупа
така, що
. Групи з щільною системою доповнюваних підгруп були вивчені С. М. Черніковим.
У 1974 році С. М. Черніков поставив таке запитання: яке будова групи
, В якій множина всіх її субнормальних підгруп щільно?
Відповідь на це питання було отримано А. Манном і В. В. Пилаевим.
Зауважимо, що в теорії формацій
поняття субнормального узагальнюється наступним чином. Кажуть, що підгрупа
є
-Субнормальний в
, Якщо існує ланцюг підгруп
така, що
є
-Нормальної максимальної підгрупою в
для будь-якого
. Якщо
збігається з класом всіх нільпотентних груп (який є, звичайно,
-Замкнутої насиченою формацією), то
-Субнормальная підгрупа виявляється субнормальний.
У зв'язку з розвитком теорії формацій велика
увага стала приділятися дослідженню кінцевих груп, насичених
- Підгрупами,
- Субнормальний або
- Абнормальної підгрупами. У цьому напрямі проводили свої дослідження Л. А. Шеметков, Гашюц, Картер, Шмід, Хоукс і інші.
Ясно, що питання С. Н. Чернікова можна сформулювати в такій загальній формі: якщо
---
-Замкнута насичена формація, то яке будова групи, в якій множина всіх її
-Субнормальних підгруп щільно?
У такому вигляді запитання С. Н. Чернікова був досліджений в роботі для випадку, коли
--- Клас всіх
-Нільпотентних груп. У цій роботі ми досліджуємо це питання у випадках, коли
--- Довільна
-Замкнута насичена формація або
-Нільпотентних, або
-Дісперсівний, або сверхразрешімих груп.
Опис кінцевих груп з щільною системою -Субнормальних підгруп для формації сверхразрешімих груп Нехай --- Довільна -Замкнута насичена формація сверхразрешімих груп, --- Несверхразрешімая група з щільною системою -Субнормальних підгруп. Тоді кожна -Абнормальної максимальна підгрупа з або належить , Або є мінімальної не -Групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Доказ. Припустимо, що
НЕ
-Дісперсівний, де
таке, що
рівносильно
. Так як
--- Формація
-Дісперсівний груп, то, за лемі GOTOBUTTON GEQ211 REF GEQ211 \ * MERGEFORMAT (??), лема вірна. Нехай тепер
-Дісперсівний. У цьому випадку лема вірна по лемі GOTOBUTTON GEQ146 REF GEQ146 \ * MERGEFORMAT (??). Лема доведена.
Нехай
--- Довільна насичена
-Замкнута формація сверхразрешімих груп,
--- Несверхразрешімая
-Група з щільною системою
-Субнормальних підгруп. Тоді
--- Група одного з наступних типів:
1)
--- Мінімальна несверхразрешімая група, у якої
,
;
2)
, Де
,
містить таку абелева підгрупу
, Нормальну в
, Що
--- Мінімальна несверхразрешімая група, яка є в
максимальної підгрупою непростого індексу, підгрупа
сверхразрешіма, де
--- Будь-яка максимальна підгрупа з
;
3)
,
,
--- Мінімальна нормальна підгрупа групи
, Підгрупа
, Де
--- Довільна максимальна підгрупа з
, Є або сверхразрешімой, або мінімальної не
-Групою, або групою типу 2) з даної теореми;
4)
,
, Де
--- Мінімальна нормальна підгрупа групи
,
, Підгрупа
,
є або мінімальної несверхразрешімой групою, або групою типу 2) з даної теореми;
5)
,
,
--- Мінімальна нормальна підгрупа з
,
--- Абелева група,
і
--- Мінімальні несверхразрешімие групи, підгрупа
або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, де
--- Довільна максимальна підгрупа з
;
6)
,
, Де
,
--- Мінімальні нормальні підгрупи групи
,
,
--- Мінімальна несверхразрешімая група;
7)
,
), Де
--- Мінімальна нормальна підгрупа групи
,
сверхразрешіма, підгрупа
, Де
--- Довільна максимальна підгрупа групи
, Або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) або 4) з даної теореми;
8)
,
і має точно чотири класи максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи
,
,
,
з наступними властивостями:
,
--- Мінімальні несверхразрешімие групи, підгрупи
і
належать
, Де
--- Максимальна підгрупа з
,
--- Максимальна підгрупа з
;
9)
,
і має точно чотири класи максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи
,
,
,
з наступними властивостями:
сверхразрешіма,
--- Або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) з даної теореми,
, Де
--- Максимальна підгрупа з
, Або належить
, Або
і
є мінімальною несверхразрешімой групою або групою типу 2) з даної теореми,
, Де
--- Максимальна підгрупа з
, Або належить
, Або
і
є мінімальною несверхразрешімой групою або групою типу 2) з даної теореми.
Доказ. За лемі, група
можна вирішити. Якщо група
НЕ дісперсівний по Оре, то до неї застосовна теорема, і дана теорема вірна. Тому далі ми будемо вважати, що група
дісперсівний по Оре.
1. Розглянемо спочатку
випадок , Де
і
--- Різні прості числа. За лемі в групі
будь-яка
-Абнормальної максимальна підгрупа або сверхразрешіма, або є мінімальною несверхразрешімой групою у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Ці два випадки ми і розглянемо.
1.1. Нехай у
є несверхразрешімая
-Абнормальної максимальна підгрупа
. За лемі,
є мінімальною несверхразрешімой групою і
--- Абелева група. Так як
, То або
, Або
. Якщо припустити, що
, То
і
. Тому
немаксімальна в
і, по лемі,
-Субнормальная в
. Звідси, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??),
. Протиріччя. Значить,
,
і
. З того, що група дісперсівний по Оре,
і
, Випливає, що
. Нехай
--- Довільна максимальна підгрупа з
. За умовою, в
існує
-Субнормальная підгрупа
така, що
. Ясно, що
і, значить,
сверхразрешіма. Отже,
-Субнормальная в
і в
, Де
--- Формація всіх сверхразрешімих груп. Застосовуючи теорему, отримуємо. що підгрупа
сверхразрешіма. Отже, в даному випадку
--- Група типу 2) з даної теореми.
1.2. Нехай тепер у
всі
-Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі,
---
-Група. За лемі, або
--- Максимальна підгрупа в
, Або
--- Максимальна в
-Абнормальної максимальної підгрупі
групи
.
Нехай спочатку
максимальна в
. Нехай
--- Довільна максимальна підгрупа з
. Розглянемо підгрупу
. Якщо
-Субнормальная в
, То, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??),
. Припустимо, що
НЕ
-Субнормальная в
. Тоді
міститься в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
з
. Так як
, То
. Якщо
, То, згідно лемі,
--- Мінімальна не
-Група. Нехай
. Тоді
і
. Застосовуючи теорему Машка, отримуємо, що
і
. Якщо
, То
. Протиріччя. За лемі,
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Якщо
--- Довільна максимальна підгрупа з
, То, зважаючи на леми,
-Субнормальная в
. Застосовуючи теорему, отримуємо, що підгрупа
. Значить,
--- Група типу 2) з даної теореми, а
--- Група типу 3) з даної теореми.
Нехай тепер
немаксімальна в
. Тоді, за лемі,
міститься в якості максимальної підгрупи в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
групи
. Тоді група
бути подана в вигляді
, Де
---
-Група. Припустимо, що
. Тоді будь-яка
-Нормальна максимальна підгрупа групи
має вигляд
, Де
--- Деяка максимальна підгрупа з
, І, отже, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??), належить формації
. Отримали, що група
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо, що
. Тоді, по теоремі Машка GOTOBUTTON GEQ173 REF GEQ173 \ * MERGEFORMAT (??),
. Зважаючи наступного рівності
отримуємо протиріччя з тим, що
. Отже,
--- Група типу 1) з даної теореми. Якщо ж
, То група
має вигляд
і
. Так як
максимальна в
, То
. Розглянемо підгрупу
. Якщо
, То
-Субнормальная в
. Враховуючи, що
дісперсівний по Оре, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??), отримуємо, що
. Протиріччя. Кожна власна підгрупа з
буде немаксімальна в
і, по лемі,
-Субнормальная в
. Якщо
максимальна в
, То
--- Мінімальна несверхразрешімая група. У цьому випадку
--- Група типу 4) з даної теореми. Якщо припустити, що
не максимально в
, То вона міститься в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
з
. Отримали, що
і
. Це означає, що
. Протиріччя з тим, що
--- Максимальна підгрупа в
.
2. Розглянемо випадок
, Де
,
і
--- Різні прості числа. Згідно лемі, в групі
або всі
-Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми, або є мінімальними несверхразрешімимі групами, у яких нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Розглянемо ці два випадки.
2.1. Припустимо, що в
є несверхразрешімая
-Абнормальної максимальна підгрупа
. За лемі,
є мінімальною несверхразрешімой групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Припустимо, що
. Так як
, То
і
,
. Застосовуючи лему та враховуючи, що
, Отримуємо
. З того, що
розв'язна, слід, що або
, Або
нормальна в
. По теоремі, в
існує підгрупа
. Підгрупа
міститься в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
групи
. Припустимо, що
. Тоді
буде немаксімальна в
і, за умовою, знайдеться
-Субнормальная підгрупа
така, що
. Ясно, що
. Тому
, А це означає, що
-Субнормальная в
. Тоді, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??),
. Це означає, що
. Ясно також, що
і
максимальна в
. Тоді
--- Мінімальна несверхразрешімая група, у якої
--- Абелева група. Нехай
--- Довільна максимальна підгрупа з
. Розглянемо підгрупу
. Припустимо, що
. Так що або
, Або
, То нехай для визначеності
. З того, що
, Випливає, що
і
. Маємо
і
--- Мінімальна нормальна підгрупа в
, Тому
. Значить, підгрупа
міститься в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
з
. Нехай
--- Довільна підгрупа з
, Відмінна від
. Тоді, за умовою, в
існує
-Субнормальная підгрупа
така, що
. Ясно, що
. Тому
. Звідси випливає, що
-Субнормальная в
. Припустимо, що
. Згідно лемі GOTOBUTTON GEQ192 REF GEQ192 \ * MERGEFORMAT (??),
--- Мінімальна несверхразрешімая група. У цьому випадку
--- Група типу 5). Нехай
. Тоді
, Де
---
-Група. Якщо
, То, зважаючи на леми GOTOBUTTON GEQ192 REF GEQ192 \ * MERGEFORMAT (??),
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Якщо
, То, застосовуючи теорему GOTOBUTTON GEQ184 REF GEQ184 \ * MERGEFORMAT (??), отримуємо, що
--- Циклічна група. Протиріччя. Припустимо, що
. Тоді
. Підгрупа
самонормалізуема в
, Так як в
і
, Підгрупа
є максимальною. Значить,
--- Група Фробеніуса з ядром
і додатковим множником
. По теоремі GOTOBUTTON GEQ179 REF GEQ179 \ * MERGEFORMAT (??),
. Протиріччя. Залишається розглянути випадок, коли
. По теоремі Машка GOTOBUTTON GEQ173 REF GEQ173 \ * MERGEFORMAT (??),
і
. Звідси отримуємо, що
і
. Протиріччя. Значить,
. Якщо
, То проводячи міркування,
аналогічно вищевикладеним, отримуємо, що
або належить формації, або є мінімальною несверхразрешімой групою. Отже,
--- Група типу 5) з даної теореми.
Нехай тепер
--- Мінімальна несверхразрешімая група і
. Так як
, То
,
і
. Припустимо, що
. По теоремі GOTOBUTTON GEQ182 REF GEQ182 \ * MERGEFORMAT (??), в
існує підгрупа
, Що містить
. Так як
, То
і
міститься в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
з
. Припустимо, що
. Застосовуючи лему, отримуємо, що
, А значить,
. Підгрупа
немаксімальна в
, Так як
,
і
. За умовою, в
існує
-Субнормальная підгрупа
така, що
. Звідси випливає, що
-Субнормальная в
, А значить, і в
. Протиріччя. Отже,
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Так як
, То
. Приходимо до випадку, розглянутому вище, звідки випливає, що в
немає
-Абнормальної максимальних підгруп, порядок яких ділиться на три різних простих числа. Отже,
,
і
. Ясно, що
і
. З огляду на те, що група
дісперсівний по Оре, отримуємо, що
--- Найбільший простий дільник
і
, А значить,
. З
випливає, що
. Нехай
--- Довільна максимальна підгрупа з
. За умовою, в
існує така
-Субнормальная підгрупа
така, що
. Ясно, що
. Тому
сверхразрешіма. Звідси випливає, що
-Субнормальная в
, Де
--- Формація всіх сверхразрешімих груп. Застосовуючи теорему, отримуємо, що підгрупа
сверхразрешіма. Отже,
--- Група типу 2) з даної теореми.
2.2. Нехай тепер у
всі
-Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі
---
-Група. За лемі або
--- Максимальна підгрупа в
, Або
--- Максимальна в
-Абнормальної максимальної підгрупі
групи
.
Нехай
максимальна в
. Так як
, То
. Згідно доведеному вище, одержуємо, що в цьому випадку
група типу 7) з даної теореми.
Припустимо тепер, що
не максимально в
. Тоді
, Де
---
-Група. Припустимо, що
. Тоді будь-яка
-Нормальна максимальна підгрупа групи
має вигляд
, Де
--- Деяка максимальна підгрупа з
, І, отже, по теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??) Належить формації
. Отримали, що група
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо, що
. Тоді, по теоремі Машка,
. Зважаючи наступного рівності
отримуємо протиріччя з тим, що
. Отже,
--- Група типу 1) з даної теореми. Нехай тепер
. У цьому випадку
. Так як
, То
. Згідно лемі GOTOBUTTON GEQ191 REF GEQ191 \ * MERGEFORMAT (??), підгрупи
і
будуть
-Субнормальний в
. Очевидно, що
,
. Тому
і
. Розглянемо підгрупу
. Підгрупа
міститься в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
групи
. Якщо
, То
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо, що
. Тоді
, Де
---
-Група і
. Так як
, То
--- Елементарна абелева група. Значить,
і
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Отже,
--- Група типу 6) з даної теореми.
3. Розглянемо випадок
, Де
,
,
і
--- Різні прості числа. Згідно лемі, в групі
або всі
-Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми, або є мінімальними несверхразрешімимі групами, у яких нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Розглянемо ці два випадки.
3.1. Припустимо, в
є несверхразрешімая
-Абнормальної максимальна підгрупа
. За лемі,
є мінімальною несверхразрешімой групою, у якої нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Так як
, То
і
,
. Звідси отримуємо, що
і
. Застосовуючи леми і отримуємо, що
. Розглянемо підгрупу
. Така група існує згідно теоремі GOTOBUTTON GEQ182 REF GEQ182 \ * MERGEFORMAT (??). Так як
, То
міститься в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
з
. Якщо
, То
і, згідно лемі,
. Підгрупа
немаксімальна в
. Тому, по лемі GOTOBUTTON GEQ191 REF GEQ191 \ * MERGEFORMAT (??),
-Субнормальная в
, А значить, і в
. Протиріччя. Отже,
і, згідно лемі,
--- Мінімальна несверхразрешімая група, у якої
є мінімальною нормальною підгрупою. Звідси випливає, що
і
. Розглянемо підгрупу
. Підгрупа
циклічна згідно теоремі. Тому
--- Абелева група. Так як
, То
.
Аналогічно отримуємо, що коммутантам групи
. є
. Нехай
. Легко бачити, що
сверхразрешіма. Зважаючи теореми,
. Так як
і
, То
і
. Звідси отримуємо, що
. Значить,
і
. Нехай
--- Довільна максимальна підгрупа з
. За умовою, в
існує
-Субнормальная максимальна підгрупа
така, що
. Ясно, що
. Тому
належить
і
-Субнормальная в
. Застосовуючи теорему, отримуємо
. Так як
і
--- Циклічні групи, згідно теореми, то в
два класи максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи
і
, Де
--- Максимальна підгрупа з
,
--- Максимальна підгрупа з
. Значить, підгрупи виду
і
належать
, І
--- Група типу 8) з даної теореми.
3.2. Нехай тепер у
всі
-Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі,
---
-Група. За лемі, або
--- Максимальна підгрупа в
, Або
максимальна в
-Абнормальної максимальної підгрупі
групи
.
Припустимо, що
--- Максимальна підгрупа в
. У
існує максимальна підгрупа
, Не
-Субнормальная в
і
. Розглянемо підгрупу
. Так як
і
, То
міститься в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
групи
. Якщо
, То, за лемі GOTOBUTTON GEQ192 REF GEQ192 \ * MERGEFORMAT (??),
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Тоді
. Якщо
, То, за лемі GOTOBUTTON GEQ213 REF GEQ213 \ * MERGEFORMAT (??),
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Припустимо тепер, що
. Тоді
, Зважаючи на леми. Підгрупа
, Тому, згідно теореми Машка,
і
. Розглянемо підгрупу
. Підгрупа
буде мінімальною нормальною підгрупою групи
, У противному випадку в
існує мінімальна нормальна підгрупа
, Для якої
і
. Застосовуючи лему, отримуємо, що
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Отже, ми показали, що в
існує підгрупа
така, що
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Значить,
,
і
--- Циклічні групи. Остання справедливо зважаючи теореми GOTOBUTTON GEQ184 REF GEQ184 \ * MERGEFORMAT (??). За доведеним вище,
може бути групою типу 2), 7) з даної теореми. Якщо
--- Група типу 7), то оскільки згідно лемі будь-яка максимальна підгрупа з
-Субнормальная в
,
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Отже, ми показали, що підгрупа
--- Або мінімальна несверхразрешімая група, або є групою типу 2) з даної теореми.
Так як підгрупа
максимальна в
і
, То
і
. З того, що всі сіловскіе підгрупи з
циклічні, випливає, що в
лише чотири класи максимальних сполучених підгруп. Так як
і
--- Циклічна група, то максимальна підгрупа
з
нормальна в
. Підгрупа
максимальна в
. Розглянемо тепер підгрупу
. Якщо
, То
. Якщо припустити, що
, То
міститься в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
з
. Якщо
, То
--- Мінімальна несверхразрешімая група і
. Протиріччя. Нехай
. Тоді
максимальна в
, Причому
--- Мінімальна несверхразрешімая група і
. Протиріччя. Отже,
. Нехай
. Тоді
і, згідно з доведеним вище,
або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) з даної теореми.
Нехай
, Де
--- Максимальна підгрупа з
. Розглянемо підгрупу
. Якщо
, То
і, по доведеному,
-Субнормальная в
. По теоремі GOTOBUTTON GEQ170 REF GEQ170 \ * MERGEFORMAT (??),
. Нехай
. Тоді
і, згідно з доведеним вище,
або сверхразрешіма, або мінімальна несверхразрешімая група, або група типу 2) з даної теореми.
Підгрупа
,
і
циклічні, тому в
три класи максимальних сполучених підгруп і, значить, у
три класи
-Нормальних максимальних сполучених підгруп, представниками яких є підгрупи:
,
і
. Група
в цьому випадку є групою типу 9) з даної теореми.
Нехай тепер
не максимально в
. Тоді
, Де
. Якщо
, То
--- Мінімальна несверхразрешімая група і
. Протиріччя. Нехай
. Тоді
. Зважаючи дісперсівний групи
. Нехай
--- Довільна
-Нормальна максимальна підгрупа. Якщо
---
-Число, то
сверхразрешіма. Припустимо, що
--- Ступінь
. Тоді
.
міститься в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
з
. Якщо
, То
--- Мінімальна несверхразрешімая група і
. Протиріччя. Значить,
. Підгрупа
максимальна в
, Тому що в противному випадку
сверхразрешіма. За лемі GOTOBUTTON GEQ192 REF GEQ192 \ * MERGEFORMAT (??)
--- Мінімальна несверхразрешімая група і
. Протиріччя. Отже,
сверхразрешіма. Зважаючи на довільності вибору
, Отримуємо, що
--- Мінімальна несверхразрешімая група і
. Протиріччя.
4. Розглянемо випадок
. Згідно лемі в групі
-Абнормальні максимальні підгрупи або сверхразрешіми, або є мінімальними несверхразрешімимі групами, у яких нормальна сіловская підгрупа є мінімальною нормальною підгрупою. Якщо в
є несверхразрешімая
-Абнормальної максимальна підгрупа
, То
і, зважаючи на розв'язності групи
,
. Протиріччя. Нехай тепер у
всі
-Абнормальні максимальні підгрупи сверхразрешіми. За лемі,
---
-Група. За лемі, або
--- Максимальна підгрупа в
, Або
--- Максимальна в
-Абнормальної максимальної підгрупі
групи
. Якщо
немаксімальна в
, То, за доведеному вище,
. Залишається випадок, коли
--- Максимальна підгрупа в
. У цьому випадку
і в
знайдеться максимальна підгрупа
, Не
-Субнормальная в
. Розглянемо підгрупу
.
. Зважаючи леми, кожна власна підгрупа з
-Субнормальная в
. Підгрупа
міститься в деякій
-Абнормальної максимальної підгрупі
з
. Якщо
, То, за лемі,
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Протиріччя. Значить,
і
максимальна в
. За лемі,
--- Мінімальна несверхразрешімая група. Тоді
. Протиріччя. Теорема доведена.
У випадку, коли
--- Формація всіх сверхразрешімих груп, з теореми випливає результат Л. М.
Закревської.
Зауважимо, що в роботі при описі груп з щільною системою
-Субнормальних підгруп, де
--- Формація всіх сверхразрешімих груп, Л. М. Закревської була допущена помилка. Так в ситуації, коли
є Холловей
-Абнормальної максимальної підгрупою, порядок якої ділиться на просте число
, І Холловей
-Підгрупа
групи
сверхразрешіма, стверджується, що Холловей
-Підгрупа з
не максимально в
, Що в загальному випадку не вірно.
Висновок У даній роботі розглянуті кінцеві групи з щільною системою
-Субнормальних підгруп у випадках, коли
--- Або довільна
-Замкнута формація
-Нільпотентних груп, або довільна
-Замкнута формація
-Дісперсівний груп, або довільна
-Замкнута формація сверхразрешімих груп. Основний висновок, який випливає з теорем полягає в тому, що за винятком кількох цілком доступних для огляду випадків у будь-якій групі
, Що не належить
, Існують не
-Субнормальний підгрупи
і
такі, що
,
не максимально в
, І з
завжди слід, що
НЕ
-Субнормальная в
.
Література 1.Гольфанд Ю.А. Про групи, всі підгрупи яких спеціальні / / Докл. АН
СРСР. --- 1948. --- Т. 60, № 8. --- C. 1313 - 1315.
2.Закревская Л.М. Кінцеві групи з щільною системою
-Субнормальних підгруп / / В кн: Дослідження нормального і підгруповий будови кінцевих груп. --- Мінськ:
Наука і
техніка, 1984. --- 71 - 88.
3.Закревская Л.М. Кінцеві групи з
-Щільною системою підгруп / / В кн: Арифметичне і підгруповий будова кінцевих груп. --- Мн.: Наука і техніка, 1986. --- 59 - 69.
4.Каморніков С.Ф., Селькін М.В. Подгрупповие функтори і класи кінцевих груп. --- Мінськ: Бел. навука, 2003. --- 254 с.
5.Кехмадзе Ш.С. Квазінільпотентние групи / / Докл. АН СРСР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003 - 1005.
6.Монахов В.С. Про вплив властивостей максимальних підгруп на будову кінцевої групи / / матем. заст. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183 - 190.
7.Пилаев В.В. Кінцеві групи з щільною системою субнормальних підгруп / / В кн: Деякі питання теорії груп. ---
Київ: Інст.
математики АН УРСР, 1975. --- С. 197 - 217.
8.Пилаев В.В. Кінцеві групи з узагальнено щільною системою субнормальних підгруп / / В кн: Дослідження з теорії груп. --- Київ: Інст. математики АН УРСР, 1976. --- С. 111 - 138.
9.Семенчук В.М. Мінімальні НЕ
-Групи / /
Алгебра і логіка. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348 - 382.
10.Черніков С.М. Групи з щільною системою доповнюваних підгруп / / Деякі питання теорії груп. --- Київ: Ін-т математики АН УРСР, 1975. --- С. 5 - 29.
11.Черніков С.М. Групи з заданими властивостями системи нескінченних підгруп / / Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111 - 131.
12.Черніков С.М. Про нормалізаторном умови / / Мат. нотатки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45 - 50.
13.Чуніхін С.А. Про
-Властивості кінцевих груп / / матем. СБ --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- С. 321 - 346.