План.
1. Сполучений оператор.
2.
Сполучена однорідна завдання.
3. Умови розв'язності.
Сполучений оператор. Позначимо через
диференціальний оператор другого порядку, тобто
(1)
де
представляють собою безперервні
функції у проміжку
. Якщо
і
- Двічі безперервно диференціюються на
функції, то маємо:
(2)
Як і в попередньому параграфі, інтегрування співвідношення (2) по частинах дає:
(3)
Позначимо
диференціальний оператор, що входить до Фундаментальний вираз в правій частині (3) через
, Тобто
(4)
При цьому співвідношення (3) перепишеться так:
(5)
Оператор
називається зв'язаним по відношенню до оператора
. Множачи співвідношення (4) на
та інтегруючи отриманий результат по частинах, по відношенню до оператора
. Таким чином, оператори
і
взаємно пов'язані.
Як і в попередньому параграфі,
диференціальне рівняння:
(6)
будемо називати зв'язаним диференціальному рівнянню:
(7)
Якщо ж
, То оператор
і диференціальне рівняння
будемо називати сполученими. Порівнюючи вирази (1) та (5), приходимо до висновку, що
тоді і тільки, коли:
Таким чином, оператор
будемо самосполучення тоді і тільки тоді, коли
.
При цьому:
Оскільки будь-яке диференціальне рівняння вигляду (7) можна перетворити в самосполучення форму, помноживши на функцію
.
Диференціюючи співвідношення (5) за
, Отримуємо так звану формулу Лагранжа:
(8)
Права частина цієї формули може бути записана як:
(9)
де
(10)
Відзначимо, що:
і отже, матриця
-Невироджена. Підстановка виразу (9) у співвідношення (8) дає:
(11)
Сполучена однорідна завдання. Введемо наступне невироджені лінійне
перетворення у вектор
:
(12),
де
Зауважимо, що зазначене перетворення може бути виконане безліччю способів, залежно від вибору
матриці А. При заданому ненульовому векторі
два останні рядки матриці А можна вибрати так, щоб надати будь-які необхідні значення компонентів
. Це зауваження використовується в подальшому при знаходженні виду сполучених граничних умов. Оскільки
, Ми можемо звернути перетворення (12) і отримати:
.
При цьому (11) можна переписати як:
або
(13),
де
(14)
Білінійна форма
у співвідношенні (13) називається канонічним уявленням білінійної форми в правій частині тотожності (11).
Для
того щоб знайти граничні умови спряженої задачі, покладемо в співвідношенні (13)
і
і отримаємо:
(15)
З формули (21) випливає, що однорідні граничні умови, еквівалентні равенствам:
(16)
(17)
З урахуванням рівностей (16) і (17) співвідношення (15) приймає вигляд:
(18)
При ненульовому векторі
останні два рядки матриці А можуть бути вибрані так, щоб компоненти
і
брали будь-які необхідні значення, лише б
і
не зверталися в нуль одночасно. Зокрема, нижні рядки матриці А можна вибрати з умови
. При цьому зі співвідношення (11) випливає, що
. Аналогічним чином, нижні рядки матриці А можна вибрати так, щоб виконувалися рівності
. При цьому зі співвідношення (11) випливає, що
. Таким чином, завдання, сполучена завданню
(19)
має вигляд:
(20)
де
і
пов'язані з компонентами
вектора
співвідношенням (14). Крайова задача (19) називається самосполучення тоді і тільки тоді, коли
і кожна з двох компонент
і
є лінійною комбінацією
і
, Тобто
пропорційна
.
Один з визначників:
матриць-блоків
повинен бути відмінним від нуля. Щоб
мати можливість порівняти ці результати з тими. які були отримані в попередньому параграфі, припустимо. що
. Далі, виберемо такі
і
, Щоб рядки матриці А були лінійно незалежні.
Наприклад, покладемо
і
.
При цьому матриця А прийме вигляд:
(21).
З формули (19) випливає, що
.
Тоді
(22)
Підставляючи матриці (20) і (9) у співвідношення (14) маємо (14а):
Отже, граничні умови спряженої задачі мають вигляд:
(22)
(23)
Для того, щоб крайові задачі були самосполучення необхідно, щоб
і щоб кожна з компонент
і
була лінійною комбінацією
і
.
Як вказувалося вище,
тоді і тільки тоді, коли
. При цьому умови (21) і (20) приймають вигляд:
(24)
Вирішуючи рівності щодо
і
при
і замінюючи
на
, Отримуємо:
(25)
Порівнюючи граничні умови (24) і (25), укладаємо, що вони збігаються тоді і тільки тоді, коли:
(26)
Крайова задача при
самосопряжена тоді і тільки тоді, коли виконані співвідношення (24) і рівність
.
Умова розв'язності. Визначивши пов'язану крайову задачу, повернемося до вирішення неоднорідної завдання. Використовуючи визначення (25), перепишемо формулу Гріна у вигляді:
(27)
,
тоді зі співвідношення (27) випливає, що умова розв'язності має вигляд:
(27)
Для того, щоб порівняти умова (27) з умовою розв'язності, використовуємо зв'язок
і
з вектором
, Описувану формулою (14а) тобто:
(28)
При цьому співвідношення (27) приймає вигляд:
Якщо мати справу з граничними умовами загального вигляду можна висловити будь-які два з граничних значень через два інших.