Федеральне агентство з освіти Російської Федерації
САРАТОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ Н. Г. ЧЕРНИШЕВСЬКОГО
Кафедра комп'ютерної алгебри та теорії чисел
Основна теорема алгебри
Курсова робота студента 1 курсу 121 групи механіко-математичного факультету
Батура Ірина Сергіївна
Науковий
керівник Є.В. Коробченко, асистент
Зав. кафедрою В. М. КУЗНЄЦОВ, д.т.н., професор
САРАТОВ
2009
ЗМІСТ
1. Введення
2. Основні визначення, використовувані в
курсовій роботі
3. Елементи теорії меж для комплексних чисел
4.
Доказ основної теореми
5. Список використаної літератури
1. ВСТУП
Дана робота присвячена Основний теоремі Алгебри, вивченню
існування коренів у полі
.
Як припущення ця теорема вперше зустрічається у німецького
математика Пітера роутити (1617г.). Д'Аламбер першим в 1746г. опублікував доведення цієї теореми. Його
доказ грунтувалося на лемі.
Доказ це було б абсолютно строгим, якби Д'Аламбер міг довести, що щось на комплексній площині значення модуля многочлена досягає найменшого значення. У другій половині 18 століття з'являються
докази Ейлера, Лапласа, Лагранжа і інших. У всіх цих доказах передбачається заздалегідь, що якісь "ідеальні" коріння многочлена існують, а потім доводиться, що, принаймні, один з них є комплексним числом. З часів доведення теореми в алгебрі було відкрито дуже багато нового, тому сьогодні "основний" цю теорему назвати вже не можна: ця
назва тепер є історичною.
Метою моєї
роботи є виявлення, що поле
комплексних чисел алгебраїчно замкнуто. Для доказу Основний теореми Алгебри я використовувала ряд лем: лема Даламбера і лема про досягнення точної нижньої
межі значень.
При написанні роботи мною була використана наступна
література: Д. К. Фадєєв "
Лекції з алгебри", Л. Д. Кудрявцев "Курс математичного аналізу". А. Г. Курош "Курс вищої алгебри".
2. Основні визначення, використовувані в курсовій роботі
Множини, що задовольняють вимогам :1-операція додавання ,2-операція множення ,3-зв'язок операцій додавання і множення, і містять хоча б один елемент, відмінний від нуля, називається полями.
Безліч комплексних чисел
можна визначити як безліч впорядкованих пар
дійсних чисел,
,
, В якому введено операції додавання і множення згідно з наступним визначенням:
У результаті цього визначення безліч зазначених пар перетворюється на полі, тобто задовольняє умовам 1,2,3. Отримане таким чином поле, називається полем комплексних чисел.
Послідовність комплексних чисел - це
функція, визначена на множині натуральних чисел і що має своїми значеннями
комплексні числа.
Послідовність
називається підпослідовність
, Якщо для будь-якого k існує таке натуральне
, Що
=
, Причому
Б
тоді і тільки тоді, коли
.
Комплексне число - розширення безлічі дійсних чисел, зазвичай позначається
. Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума
, Де x і y-дійсні числа, i-уявна одиниця, тобто число, яке задовольняє рівнянню
.
Дійсне число (дійсне число) - будь-яке позитивне число, від'ємне число або нуль.
Функція - 1) Залежна змінна величина, 2) Відповідність
між змінними величинами, у силу якого кожного розглянутого значенням деякої величини x (аргумент чи незалежної змінної)
відповідає певне значення величини y (залежної змінної або
функції у значенні 1).
Теорема Больцано-Вейєрштрасса: з будь-якої обмеженої
послідовності можна витягти сходящуюся підпослідовність.
Послідовність називається обмеженою на множині Е, якщо існує така постійна М> 0, що для всіх
і всіх
виконується нерівності
Послідовність сходиться до функції f рівномірно безлічі Е, якщо для будь-якого
існує такої номер
, Що якщо
, То для всіх
виконується нерівність
.
Послідовність називається рівномірно збіжної на безлічі Е, якщо існує
функція f, до якої вона рівномірно сходиться на Є.
3. Елементи теорії меж для комплексних чисел
У моїй роботі
поліноми розглядаються тільки над полями
і
як функції від комплексної або дійсної змінної, так що моя робота є швидше главою математичного аналізу, а не алгебри, хоча теорема про існування кореня у будь-якого відмінного від константи полінома з комплексними коефіцієнтами (тобто встановлення замкнутість алгебри поля
) Називається основний теореми алгебри.
Визначення: Нехай задана послідовність комплексних чисел
. Число
називається її межею, якщо для будь-якого дійсного числа
існує
такий номер
, Що при
виконується нерівність
. У цьому випадку пишуть lim
, А = lim
, B = lim
.
Граничне співвідношення lim
= C рівносильно співвідношенню
, Бо
max
Послідовність
така, що
R, при деякому R, називається обмеженою.
Для дійсних змінних відома теорема Больцано-Вейєрштрасса: з будь-якої обмеженої послідовності можна витягти сходящуюся підпослідовність. Те ж
саме вірно і для
послідовностей, складених з комплексних чисел.
Дійсно, нехай
обмежена послідовність, тобто
, Тоді
, Так що
є обмежена послідовність дійсних чисел. З неї можна вибрати сходящуюся підпослідовність
. Розглянемо
відповідну підпослідовність уявних частин
. Вона обмежена, і з неї можна витягти сходящуюся підпослідовність
.
Відповідна підпослідовність комплексних чисел має сходяться послідовності дійсних і уявних частин і, отже, сходяться, і її межа дорівнює
.
4.
Доказ основної теореми
Перш ніж приступити до формального доказу, намітимо його ідею. Нехай
-Поліном, що розглядається як функція від комплексної змінної
. Уявімо собі "графік" функції
, Вважаючи, що значення
зображуються на горизонтальній площині,
перпендикулярної до площини креслення, а значення
відкладаються вгору в напрямку осі
. Ми
встановимо, що
є неперервними
функціями від
на всій площині комплексної змінної.
Функція від комплексної змінної
називається безперервної в точці
, Якщо достатньо близьким до
значеннями
відповідає як завгодно близькі до
значення
. У більш точних
термінах - для будь-якого
знайдеться таке
, Що
, Як тільки
.
Безперервність
дає
підстави уявляти собі графік
у вигляді безперервної
поверхні, що накриває площину
, І місцями доходить до цієї площини. Власне кажучи, нам і потрібно довести, що існує таке значення
, В якому
, І, тим самим,
, Тобто що поверхня
доходить до площини
в точці
. Ми доведемо, що якщо дана точка на поверхні
, Яка розташована вище площини
, То в її околиці знайдеться точка поверхні розташована нижче даної точки. Тоді залишиться тільки довести, що на поверхні
існує найнижча точка, скажімо, при
. Вона не може знаходитися вище площини
, Бо тоді вона була б найнижчою точкою. Отже,
і, отже
, Тобто
корінь полінома
.
Тепер приступимо до доведення основної теореми, розбивши це доказ на ланцюжок лем.
Лемма 1. Дан поліном
c нульовим вільним членом.
Тоді для будь-якого
знайдеться таке
, Що
, Як тільки
.
Доказ: Нехай
. Тоді
Покладемо
Якщо
то
що й потрібно було довести.
Лемма 2.
Поліном є безперервна функція у всіх точках площини комплексної змінної.
Доказ: Нехай дано поліном
і крапка
. Розташуємо поліном по ступенях
,
Тоді
так що
Права частина є поліном від
з нульовим вільним членом.
За Лемма 1 для будь-якого
знайдеться таке
, Що
як тільки
що й потрібно було довести.
Лемма 3. Модуль полінома є безперервна функція.
Доказ: З нерівності
випливає, що для даного
то
, Яке "обслуговує"
, Підходить і для
. Дійсно, при
маємо
Лемма 4. (Про зростання модуля полінома). Якщо
-Поліном, відмінний від константи, то для будь-якого М> 0 існує таке R> 0, що
M, як тільки
.
Це означає, що будь-яка горизонтальна площина
відрізає від поверхні
кінцевий шматок, що накриває частина кола | z | ≤ R.
Доказ: Нехай
де
поліном від
c нульовим вільним членом.
У силу леми 1 для
знайдеться таке
, Що при
, Буде
. Модуль
може бути зроблений як завгодно великим, саме, при
буде
. Візьмемо
Тоді при
буде
і
так що
Лемма 5. Точна нижня грань значень
досягається, тобто існує таке
, Що
при всіх
.
Доказ: Позначимо точну нижню межу
через
. Візьмемо послідовністю
прагнуть до
зверху. Кожна з цих чисел не є нижньою межею значень
, Бо
-Точна нижня грань. Тому знайдуться
такі, що
. Скористаємося тепер лемою про зростання модуля. Для
знайдемо таке
, Що при
буде
Звідси випливає, що
при все
.
Послідовністю виявилася обмеженою, і з неї можна витягти сходящуюся підпослідовність
. Нехай її межа дорівнює
. Тоді
в силу безперервності
. Крім того,
. Тому
Отже
, Що й потрібно було довести.
Лемма 6. (Лемма Даламбера). Нехай
поліном відмінний від константи, і нехай
. Тоді знайдеться така точка
, Що
Геометричний зміст цієї леми: якщо на поверхні
дана точка, що знаходиться вище площини
, То на ній знайдеться інша точка, розташована нижче першої.
Доказ: Розташуємо поліном
за ступенями
Тоді
Ідея докази полягає в тому, щоб за рахунок першого відмінного від нуля доданка "відкусити шматочок" від
, А вплив подальших доданків зробити незначним. Нехай
- Перше відмінне від нуля доданок після
, Тож
(Якщо k> 1). Таке доданок є, так як
не константа. Тоді
+
+
(
+ ... +
)) =
=
c
0 (1 +
+
).
Тут
=
є поліном від
з нульовим вільним членом. За Лемма 1 для
=
знайдеться таке
, Що |
| <
, Як тільки |
| <
. Покладемо
=
(
) І
. Тоді
.
Виберемо
так, що
. Для цього потрібно взяти
. Далі, покладемо
, Тобто візьмемо
. При такому виборі буде
. Тепер покладемо
при
і
. Тоді
і
|
| =
.
Лема доведена.
Зауважимо, що з тим же успіхом ми могли б узяти
при
так що при k> 1 (тобто у разі, коли
-Корінь кратності
полінома
) Є k напрямків спуску по поверхні
. Вони поділяються
напрямками підйому при
Дійсно, в цих напрямках
і
Так що якщо
є корінь похідної кратності
, То поверхня
в околі точки
"Гофровані" так, що на ній є
"Долин" cпуска, роздільних
"Хребтами" підйому.
Теорема: Поліном з комплексними коефіцієнтами, відмінний від постійної, має по меншою мірою один комплексний корінь (тобто полі
, Комплексних чисел алгебраїчно замкнене).
Доказ: Нехай
- Даний поліном, відмінний від константи. Нехай, далі,
і
- Точка, в якій
; Вона існує по лемі 5. Тоді
бо інакше, згідно лемі 6, знайшлася б така точка
що
неможливо.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
Д. К. Фадєєв Лекції з алгебри. - СПб.: Изд-во "Лань", 2007. - 416с.
Л. Д. Кудрявцев Курс математичного аналізу. - М.: Изд-во "Вищ. Школа", 1981р. - 687с.
А. Г. Курош Курс вищої алгебри. - М.: Изд-во "Наука", 1971 р. - 431с.