Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини"
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
КЛАСИ КІНЦЕВИХ ГРУП
, ЗАМКНУТІ Про Взаємно прості
ІНДЕКСІВ ЩОДО ТВОРУ УЗАГАЛЬНЕННЯ Субнормальний
-Підгрупі
Курсова робота
Виконавець:
Студентка групи М-53 Мокеева О. А.
Науковий керівник:
доктор ф-м наук, професор Семенчук В.М.
Гомель 2009
Зміст
ПЕРЕЛІК УМОВНИХ ПОЗНАЧЕНЬ
Введення
1 Деякі базисні леми
2 Критерій приналежності груп, факторізуемих узагальнено субнормальний
-Підгрупами,
індекси яких взаємно прості, спадково насиченим формаціям
Висновок
Список використаних джерел
Перелік умовних позначень
Розглядаються тільки кінцеві групи. Вся
термінологія запозичена з [44, 47].
--- Безліч всіх натуральних чисел;
--- Безліч всіх простих чисел;
--- Деякий безліч простих чисел, тобто
;
--- Додаток до
в безлічі всіх простих чисел; зокрема,
;
Примарна число --- будь-яке число виду
.
Літерами
позначаються прості числа.
Нехай
--- Група. Тоді:
--- Порядок групи
;
--- Безліч всіх простих дільників порядку групи
;
-Група --- група
, Для якої
;
-Група --- група
, Для якої
;
--- Коммутант групи
, Тобто підгрупа, породжена комутаторами всіх елементів групи
;
--- Підгрупа Фиттинг групи
, Тобто добуток всіх нормальних нільпотентних підгруп групи
;
--- Найбільша нормальна
-Нільпотентна підгрупа групи
;
--- Підгрупа Фраттіні групи
, Тобто перетин всіх максимальних підгруп групи
;
--- Найбільша нормальна
-Підгрупа групи
;
---
-Халловей підгрупа групи
;
--- Сіловская
-Підгрупа групи
;
--- Додаток до сіловской
-Підгрупі в групі
, Т. е.
-Халловей підгрупа групи
;
--- Нільпотентна довжина групи
;
---
-Довжина групи
;
--- Мінімальне число породжують елементів групи
;
--- Цоколь групи
, Тобто підгрупа, породжена всіма мінімальними нормальними підгрупами групи
;
--- Циклічна група порядку
.
Якщо
і
--- Підгрупи групи
, То:
---
є підгрупою групи
;
---
є власною підгрупою групи
;
---
є нормальною підгрупою групи
;
--- Ядро підгрупи
в групі
, Тобто перетин всіх підгруп, пов'язаних з
в
;
--- Нормальне замикання підгрупи
в групі
, Тобто підгрупа, породжена всіма сполученими з
підгрупами групи
;
--- Індекс підгрупи
в групі
;
;
--- Нормалізатор підгрупи
в групі
;
--- Централізаторів підгрупи
в групі
;
--- Взаємний коммутант підгруп
і
;
--- Підгрупа, породжена підгрупами
і
.
Мінімальна нормальна підгрупа групи
--- Непоодинокі нормальна підгрупа групи
, Не містить власних непоодиноких нормальних підгруп групи
;
---
є максимальною підгрупою групи
.
Якщо
і
--- Підгрупи групи
, То:
--- Прямий добуток підгруп
і
;
--- Полупрямой твір нормальної підгрупи
і підгрупи
;
---
і
ізоморфні;
--- Регулярне сплетіння підгруп
і
.
Підгрупи
і
групи
називаються переставних, якщо
.
Групу
називають:
-Замкнутої, якщо сіловская
-Підгрупа групи
нормальна в
;
-Нільпотентні, якщо
-Халловей підгрупа групи
нормальна в
;
-Розв'язною, якщо існує нормальний ряд, фактори якого або
-Групи, або
-Групи;
-Сверхразрешімой, якщо кожен її головний фактор є або
-Групою, або циклічної групою;
нільпотентні, якщо всі її сіловскіе підгрупи нормальні;
розв'язною, якщо існує номер
такий, що
;
сверхразрешімой, якщо вона має головний поруч, всі індекси якого є простими числами.
Монолітичних група --- непоодинокі група, що має єдину мінімальну нормальну підгрупу.
-Замкнута група --- група, що має нормальної холлівських
-Підгрупою.
-Спеціальна група --- група, що володіє нільпотентні нормальної холлівських
-Підгрупою.
-Розкладені група --- група, що є одночасно
-Спеціальної та
-Замкнутою.
Група Шмідта --- це кінцева ненільпотентная група, всі власні групи якої нільпотентні.
Додаванням до підгрупи
групи
називається така підгрупа
з
, Що
.
Ланцюг --- це сукупність вкладених одна в одну підгруп.
Ряд підгруп --- це ланцюг, що складається з кінцевого числа членів і що проходить через одиницю.
Ряд підгруп
називається:
субнормальний, якщо
для будь-якого
;
нормальним, якщо
для будь-якого
;
головним, якщо
є мінімальною нормальною підгрупою в
для всіх
.
Клас груп --- сукупність груп, що містить з кожною своєю групою
і все їй ізоморфні групи.
-Група --- група, що належить класу груп
.
Формація --- клас груп, замкнутий щодо факторгрупою і подпрямих творів.
Якщо
--- Клас груп, то:
--- Безліч всіх простих дільників порядків всіх груп з
;
--- Безліч всіх тих простих чисел
, Для яких
;
--- Формація, породжена класом
;
--- Насичена формація, породжена класом
;
--- Клас всіх груп
, Які представлені у виді
де
,
;
;
--- Клас всіх мінімально не
-Груп, тобто груп не належать
, Але всі власні підгрупи яких належать
;
--- Клас всіх
-Груп з
;
--- Клас всіх кінцевих груп;
--- Клас всіх розв'язаних кінцевих груп;
--- Клас всіх
-Груп;
--- Клас всіх розв'язаних
-Груп;
--- Клас всіх розв'язаних
-Груп;
--- Клас всіх нільпотентних груп;
--- Клас всіх розв'язаних груп з нільпотентні довжиною
.
Якщо
і
--- Класи груп, то:
.
Якщо
--- Клас груп і
--- Група, то:
--- Те що всіх нормальних підгруп
з
таких, що
;
--- Твір всіх нормальних
-Підгруп групи
.
Якщо
і
--- Формації, то:
--- Твір формацій;
--- Перетин всіх
-Абнормальної максимальних підгруп групи
.
Якщо
--- Насичена формація, то:
--- Істотна характеристика формації
.
-Абнормальної називається максимальна підгрупа
групи
, Якщо
, Де
--- Деяка непорожня формація.
-Гіперцентральной підгрупою в
називається здійсненне нормальна підгрупа
групи
, Якщо
володіє субнормальний поруч
таким, що
(1) кожен фактор
є головним чинником групи
;
(2) якщо порядок фактора
є ступінь простого числа
, То
.
---
-Гіперцентр групи
, Тобто добуток всіх
-Гіперцентральних підгруп групи
.
Введення
Відомо, що формація всіх сверхразрешімих груп не замкнута щодо твору нормальних сверхразрешімих підгруп, але замкнута щодо твору нормальних сверхразрешімих підгруп взаємно простих
індексів. У зв'язку з цим можна сформулювати наступну проблему.
Проблема. Класифікувати спадкові насичені формації
з тим властивістю, що будь-яка група
, Де
і
---
-Субнормальний
-Підгрупи взаємно простих індексів, належить
.
Саме вивченню таких формацій присвячена дана робота. Зокрема, в класі кінцевих розв'язаних груп отримано повне рішення даної проблеми.
1 Деякі базисні леми
У даному розділі доведені леми, які істотно використовуються при доказі основного розділу даної глави.
1.1 Лемма [18-A]. Нехай
--- Насичена формація,
належить
і має нормальну сіловскую
-Підгрупу
для деякого простого числа
. Тоді справедливі наступні твердження:
1)
;
2)
, Де
--- Будь-яке доповнення до
в
.
Доказ. Так як
, То
, А значить,
. Так як
і формація
насичена, то
не міститься в
. Так як
--- Елементарна група, то згідно теореми 2.2.16,
має
-Допустимим доповненням
в
. Тоді
,
. Якщо
, То
відмінна від
і, значить, належить
. Але тоді, зважаючи на рівності
, Маємо
звідси випливає
і
. Тим самим доведено, що
.
Доведемо твердження 2). Очевидно, що
є
-Корадікалом і єдиною мінімальної нормальною підгрупою групи
, Причому
. Тому, зважаючи на теореми 2.2.17,
Очевидно,
. Якщо
, То
звідси
. Значить,
. Лема доведена.
Нехай
і
--- Довільні класи груп. Дотримуючись [55], позначимо через
--- Безліч всіх груп, у яких усе
-Підгрупи належать
.
Якщо
--- Локальний екран, то через
позначимо локальну функцію, що володіє рівністю
для будь-якого простого числа
.
1.2 Лемма [18-A]. Нехай
і
--- Деякі класи груп. Тоді справедливі наступні твердження:
1)
--- Спадковий клас;
2)
;
3) якщо
, То
;
4) якщо
, То
--- Клас всіх груп;
5) якщо
--- Формація, а
--- Насичений гомоморф, то
--- Формація;
6) якщо
,
,
--- Деякі класи груп і
--- Спадковий клас, то
в тому і тільки в тому випадку, коли
;
7) якщо
і
--- Гомоморфи і
, То
.
Доказ.
Доказ тверджень 1), 2), 3) і 4) слід безпосередньо з визначення класу груп
.
Нехай
,
--- Нормальна підгрупа групи
і
---
-Підгрупа з
. Нехай
--- Додавання до
в
. Покажемо, що
. Припустимо протилежне. Нехай
не входить до
. Тоді
має максимальну підгрупою
, Не містить
. Тому
, А значить,
, Що
суперечить визначенню додавання.
Так як
--- Насичений гомоморф, то
. Але тоді
і
. Значить, клас
замкнутий щодо гомоморфним образів.
Нехай
. Нехай
---
-Підгрупа з
. Тоді
, А значить через визначення класу
, Маємо
Так як
--- Формація і
, То звідси отримуємо, що
. Таким чином,
.
Доведемо твердження 6). Нехай
,
. Якщо
не входить до
, То виходить, що кожна
-Підгрупа з
належить
, А значить,
. Отримали протиріччя. Тому
.
Покажемо, що
. Припустимо, що безліч
непорожньо, і виберемо в ньому групу
найменшого порядку. Тоді
не входить до
. Нехай
--- Власна підгрупа з
. Так як класи
і
--- Спадкові класи, то
. Зважаючи мінімальності
маємо
. Значить,
. Отримали протиріччя. Тому
.
Доведемо твердження 7). Нехай
і
---
-Підгрупа з групи
. Звідси випливає, що
,
. А це означає, що
. Звідси неважко помітити, що
. Отже,
. Отже,
. Лема доведена.
1.3 Лемма [18-A]. Нехай
--- Спадкова насичена формація,
--- Її максимальний внутрішній локальний екран. Тоді і тільки тоді
-Корадікал будь мінімальної не
-Групи є сіловской підгрупою, коли:
1)
;
2) формація
має повний локальний екран
такий , Що
для будь-якого
з
.
Доказ. Необхідність. Нехай
--- Максимальний внутрішній локальний екран формації
. Нехай
--- Довільне просте число з
. Так як
--- Насичений гомоморф, то за лемі 4.1.2,
--- Формація.
Нехай
--- Формація, що має локальний екран
такий, що
для будь-якого
з
. Покажемо, що
. Згідно з теоремою 2.2.13,
--- Спадкова формація для будь-якого
з
. Звідси неважко помітити, що
для будь-якого
з
. А це означає, що
.
Нехай
--- Група мінімального порядку з
. Так як
--- Спадкова формація, то очевидно, що
--- Спадкова формація. А це означає, що
і
. Покажемо, що
--- Повний локальний екран, т. е.
для будь-якого
з
. Дійсно. Нехай
--- Довільна група з
. Звідси
. Нехай
--- Довільна
-Група з
. Так як
, То
. Звідси
. Так як
--- Повний екран, то
. А це означає, що
. Отже,
. Звідси неважко помітити, що
. Тепер, згідно теоремі 2.2.5,
, Де
--- Єдина мінімальна нормальна підгрупа групи
,
---
-Група і
. Так як
і
, То
. Звідси
. Протиріччя. Отже,
. Покажемо, що
для будь-якого
з
. Нехай
і
---
-Група. Нехай
--- Довільна
-Підгрупа з
. Тоді
. Звідси
. А це означає, що
. Протиріччя.
Достатність. Нехай
--- Довільна мінімальна не
-Група. Так як
розв'язна, то згідно теореми 2.2.5,
де
---
-Група,
. Згідно з умовою,
---
-Група. А це означає, що
---
-Замкнута група. Але тоді,
---
-Замкнута група. Згідно лемі 4.1.1,
--- Сіловская підгрупа групи
. Лема доведена.
1.4 Лемма [18-A]. Нехай
--- Спадкова насичена формація,
--- Її максимальний внутрішній локальний екран. Тоді і тільки тоді будь-яка мінімальна не
-Група біпрімарна і
-Замкнута, де
, Коли:
1)
;
2) формація
має повний локальний екран
такий, що
і будь-яка група з
є примарной
-Групою для будь-якої простої
з
.
Доказ. Необхідність. Нехай
--- Довільна мінімальна не
-Група. Згідно з умовою,
--- Біпрімарная
-Замкнута група, де
. За лемі 4.1.1,
. Згідно лемі 4.1.3, формація
має повний локальний екран
такий, що
і
для будь-якої простої
з
. Покажемо, що будь-яка група з
Примарна. Припустимо протилежне. Тоді існує група
і
. Нехай
--- Група найменшого порядку така, що
. Очевидно, що
і
. Неважко помітити, що
і
має єдину мінімальну нормальну підгрупу. Значить, по лемі 2.2.18, існує точний непріводімий
-Модуль
, Де
--- Поле з
елементів.
Нехай
. Покажемо, що
. Оскільки
і
, То
.
Нехай
--- Власна підгрупа з
. Покажемо, що
. Нехай
. Якщо
, То
. Отже,
. Нехай
. Тоді
--- Власна підгрупа з
. А це означає, що
і
. Так як
і
--- Спадкова формація, то
. Але тоді і
, А значить і
.
Нехай тепер
. Так як
, То
і
. Звідси випливає, що
. Отже,
. Згідно умові,
біпрімарна, що неможливо, тому що
.
Достатність. Нехай
--- Довільна мінімальна не
-Група. Згідно з умовою,
можна вирішити. По теоремі 2.2.5,
де
---
-Група,
.
Згідно з умовою,
--- Примарна
-Група. А це означає, що
--- Біпрімарная
-Замкнута група. Але тоді
--- Біпрімарная
-Замкнута група. Лема доведена.
2 Критерій приналежності груп, факторізуемих узагальнено субнормальний -Підгрупами, індекси яких взаємно прості, спадково насиченим формаціям
У даному розділі в класі кінцевих розв'язаних груп отримана класифікація спадкових насичених формацій
, Замкнутих щодо твору узагальнено субнормальних
-Підгруп, індекси яких взаємно прості.
2.1 Теорема [18-A]. Нехай
--- Спадкова насичена формація,
--- Її максимальний внутрішній локальний екран. Тоді наступні твердження еквівалентні:
1) формація
містить будь-яку групу
, Де
і
---
-Субнормальний
-Підгрупи та індекси
,
взаємно прості;
2) будь-яка мінімальна не
-Група
або біпрімарная
-Замкнута група
, Або група простого порядку;
3) формація
має повний локальний екран
такий, що
і будь-яка група з
є примарной
-Групою для будь-якої простої
з
.
Доказ. Покажемо, що з 1) слід 2).
Нехай
--- Довільна мінімальна не
-Група. Припустимо, що
, Де
--- Характеристика формації
. Покажемо, що
--- Група простого порядку. Нехай
. Тоді існує просте число
,
. Так як
, То
, Що неможливо. Отже,
--- Примарна
-Група. Так як
, То, очевидно, що
.
Нехай тепер
. Розглянемо
випадок, коли
.
Покажемо, що
має єдину мінімальну нормальну підгрупу
. Припустимо протилежне. Тоді
містить, принаймні, дві мінімальні нормальні підгрупи
і
. Так як
, То в групі
знайдуться максимальні підгрупи
і
такі, що
,
. Так як
і
належать
,
,
, То
,
. Так як
--- Формація, то
. Отримали протиріччя. Отже,
, Де
--- Єдина мінімальна нормальна
-Підгрупа групи
.
Покажемо, що
--- Примарна
-Група, де
. Припустимо, що існують прості числа
, Де
. Тоді в
знайдуться максимальні підгрупи
і
такі, що
---
-Число,
---
-Число. Розглянемо підгрупи
і
. Очевидно, що індекси
і
взаємно прості. Так як
і
, То
. Згідно лемі 3.1.4, підгрупи
і
-Субнормальний в
. Так як
--- Мінімальна не
-Група,
і
--- Власні підгрупи групи
, То
і
. Так як
, То згідно з умовою,
. Отримали протиріччя.
Покажемо, що
---
-Група, де
. Припустимо, що
. Так як
, То згідно лемі 3.1.4,
---
-Субнормальная подгуппа групи
. Розглянемо підгрупу
. Так як
--- Власна підгрупа
і
, То
. Згідно лемі 3.1.4,
---
-Субнормальная підгрупа
. Очевидно, що
---
-Субнормальная підгрупа
. За лемі 3.1.4,
---
-Субнормальная підгрупа групи
. Так як
, То з
та умови теореми випливає, що
. Отримали протиріччя. Отже,
---
-Група. Тоді
--- Біпрімарная
-Замкнута група, де
.
Нехай
. Розглянемо фактор-групу
. Так як
, То, як показано вище,
--- Біпрімарная
-Замкнута група. Звідси випливає, що
--- Біпрімарная
-Замкнута група.
З леми 4.1.4 випливає, що затвердження 3) випливає з 2).
Покажемо, що з 3) слід 1).
Нехай
--- Група найменшого порядку така, що
, Де
і
---
-Субнормальний
-Підгрупи групи
взаємно простих індексів, то
. Так як
--- Здійсненне група і
, Де
, То неважко помітити, що
, Де
і
--- Холлівських підгрупи групи
,
і
,
, Де
,
--- Деякі елементи групи
.
Нехай
--- Власна підгрупа групи
. Покажемо, що
. Так як
--- Здійсненне група, то згідно теоремі Ф. Холла [63],
, Де
,
, Де
,
--- Деякі елементи з
. Згідно лемі 3.1.4,
і
---
-Субнормальний підгрупи групи
. Так як
і
, А
--- Спадкова формація, то
і
---
-Субнормальний підгрупи
і
відповідно. Згідно лемі 3.1.4, неважко показати, що
і
---
-Субнормальний підгрупи групи
, А отже, відповідно до лемі 3.1.4 і в
. Так як
, То по індукції, отримуємо, що
. А це означає, що
--- Мінімальна не
-Група.
Якщо
--- Група простого порядку, то її не можна представити у вигляді добутку власних підгруп взаємно простих індексів.
Нехай
--- Біпрімарная група. Тоді згідно лемі 4.1.4,
. Згідно лемі 4.1.1,
. А це означає, що всі підгрупи групи
, Що містять
-Абнормальної, тобто група
НЕ бути подана в вигляді твору власних
-Субнормальних
-Підгруп взаємно простих індексів. Отримали протиріччя. Теорема доведена.
Нагадаємо, що формація
називається 2-кратно насиченою, якщо вона має локальний екран
такий, що
--- Насичена формація для будь-якого простого числа
з
.
Наступна теорема доведена в класі кінцевих розв'язаних груп.
2.2 Теорема [18-A]. Нехай
--- Спадкова 2-кратно насичена формація. Тоді наступні твердження еквівалентні:
1) формація
містить будь-яку групу
, Де
і
---
-Субнормальний
-Підгрупи з
взаємно простих індексів;
2)
--- Формація Шеметкова;
3) формація
містить будь-яку групу
, Де
і
---
-Субнормальний
-Підгрупи з
;
4)
.
Доказ. Покажемо, що з 1) слід 2).
Нехай
--- Довільна мінімальна не
-Група. Розглянемо випадок, коли
.
Як і в теоремі 4.2.1 можна показати, що або
--- Група простого порядку
, Де
, Або
, Де
і
з
. А також неважко показати, що
--- Єдина мінімальна нормальна підгрупа групи
. А це означає, що
. Нехай
--- Максимальний внутрішній локальний екран формації
. Якщо
, То з повноти екрану
випливає, що
. Так як
--- Внутрішній екран, то
. А це означає, що
. Протиріччя. Отже,
.
Покажемо, що
. Припустимо, що це не так. Тоді в
знайдеться непоодинокі власна підгрупа
. Розглянемо підгрупу
. Так як
--- Мінімальна не
-Група і
--- Власна підгрупа
, То
. Покажемо, що
. Якщо це не так, то в
існує непоодинокі нормальна
-Підгрупа
. Тоді
. Так як
, То
, Що неможливо. Згідно лемі 2.2.12,
. Звідси
. Так як
, То
. А це означає, що
. Так як
--- Насичена формація, то
. Отже,
, Що неможливо. Отже,
, Значить,
--- Група Шмідта. Отже,
--- Група Шмідта. За лемі 3.1.1,
--- Група Шмідта.
Той факт, що з 2)
3) випливає з теореми 2.2.19; 3)
4) випливає з теореми 2.2.10; 4)
1) випливає з теореми 2.2.10. Теорема доведена.
Очевидно, що будь-яка надрадикальних формація
містить будь-яку групу
, Де
і
-Субнормальний в
і належать
і мають взаємно прості індекси в
.
Наступний приклад показує, що існує несверхрадікальная спадкова насичена формація
, Яка містить будь-яку групу
, Де
і
-Субнормальний в
і належать
і мають взаємно прості індекси в
.
2.3 Приклад. Нехай
--- Формація всіх сверхразрешімих груп, а
--- Формація всіх
-Груп, де
,
і
--- Різні прості числа. Розглянемо формацію
. Так як існують мінімальні НЕ
-Групи, які не є або групою Шмідта, або групою простого порядку, то
не є формацією Шеметкова. Так як
, То згідно теореми 3.3.9, формація
не є надрадикальних формацією.
З іншого боку добре відомо, що будь-яка мінімальна несверхразрешімая група
-Замкнута, де
. Очевидно, що будь-яка мінімальна не
-Група
є або групою простого порядку, або біпрімарной
-Замкнутої групою, де
. Тепер з теореми 4.2.1 випливає, що
містить будь-яку групу
, Де
,
і
належать
і
і
--- Субнормальний в
.
Висновок
У розділі 1 доведені леми, які використовуються для доказу основних результатів глави 2.
У розділі 2 важливу роль відіграв метод екстремальних класів, розроблений в роботі Картера, Фішера, Хоукса [55] та метод критичних груп, розроблений В.М. Семенчук в роботі [19]. За допомогою цих методів в класі кінцевих розв'язаних груп отримано
опис спадкових насичених формацій
, Що містять будь-яку групу
, Де
,
і
належать
і
і
---
-Субнормальний в
, Теорема 2.1.
Доведено, що будь-яка вирішувана
--- Спадкова 2-кратно насичена формація, що володіє зазначеним вище властивістю, є надрадикальних, теорема 2.2.
Список використаних джерел
1.
Васильєв, А.Ф. Про максимальну спадкової подформаціі локальної формації / А.Ф. Васильєв / / Питання алгебри: межведомств. СБ / Мін-во народного обр. БРСР, Гомельський держ. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. - Мінськ: Університетське, 1990. - Вип. 5. - С. 39 - 45.
2. Васильєв, А.Ф. Про грати підгруп кінцевих груп / А.Ф. Васильєв, С.Ф. Каморніков, В.М. Семенчук / / Нескінченні групи і примикають алгебраїчні системи / Ін-т математики Акад.
Україна, Македон.: Н.С. Черніков [и др.]. -
Київ, 1993. - С. 27 - 54.
3. Васильєв, А.Ф. Про вплив Примарна
-Субнормальних підгруп на будову групи / А.Ф. Васильєв / / Питання алгебри: межведомств. СБ / Мін-во обр. і
науки Республіки Білорусь, Гомельський держ. ун-т ім. Ф. Скорини, Македон.: Л.А. Шеметков [и др.]. - Гомель, 1995. - Вип. 8. - С. 31 - 39.
4. Васильєва, Т.І. Про кінцевих групах з
-Досяжними сіловскімі підгрупами / Т.І. Васильєва, А.І. Прокопенко. - Гомель, 2006. - 18 с. - (Препринт / Гомельський держ. Ун-т ім. Ф. Скорини, № 4).
5. Ведерніков, В.А. Про локальних формаціях кінцевих груп / В.А. Ведерников / / матем. нотатки. - 1989. - Т. 46, № 3. - С. 32 - 37.
6. Казарін, Л.С. Ознаки непростоту факторізуемих груп / Л.С. Казарін / / Известия АН
СРСР. - 1980. - Т. 44, № 2. - С. 288 - 308.
7. Казарін, Л.С. Про творі кінцевих груп / Л.С. Казарін / / ДАН СРСР. - 1983. - Т. 269, № 3. - С. 528 - 531.
8. Каморніков, С.Ф. Про деякі властивості формацій квазінільпотентних груп / С.Ф. Каморніков / / матем. нотатки. - 1993. - Т. 53, № 2. - С. 71 - 77.
9. Каморніков, С.Ф. Про двох проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморніков / / Сибір. мат. журнал. - 1994. - Т. 35, № 4. - С. 801 - 812.
10. Коуровская зошит (невирішені питання теорії груп) / / Інститут математики СВ АН СРСР. -
Новосибірськ, 1992. - 172 с.
11. Коуровская зошит (невирішені питання теорії груп) / / Інститут математики СВ РАН. - Новосибірськ, 1999. - 146 с.
12. Легчекова, Є.В. Кінцеві групи з заданими слабо квазінормальнимі підгрупами / Є.В. Легчекова, О.М. Скиба, О.В. Тітов / / Доповіді НАН Білорусі. - 2007. - Т. 51, № 1. - С. 27 - 33.
13. Монахов, В.С. Твір кінцевих груп, близьких до нільпотентних / В.С. Монахов / / Кінцеві групи. - 1975. - С. 70 - 100.
14. Монахов, В.С. Про творі двох розв'язаних груп з максимальним перетином чинників / В.С. Монахов / / Питання алгебри: межведомств. СБ / Мін-во вищ. і порівн. спец. обр. БРСР, Гомельський держ. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. - Мінськ: Університетське, 1985. - Вип. 1. - С. 54 - 57.
15. Мокеева, С.А. Кінцеві групи з переставних
-Субнормальний (
-Досяжними) підгрупами / С.А. Мокеева. - Гомель, 2003. - 25 с. - (Препринт / Гомельський держ. Ун-т ім. Ф. Скорини, № 56).
16. Прокопенко, А.І. Про кінцевих групах з
-Досяжними сіловскімі підгрупами / А.І. Прокопенко / / Известия Гомельського держ. ун-ту ім. Ф. Скорини. - 2004. - № 6 (27). - С. 101 - 103.
17. Семенчук, В.М. Про мінімальні НЕ
-Групах / В.М. Семенчук / / ДАН УРСР. - 1978. - № 7. - С. 596 - 599.
18. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з заданими властивостями підгруп / В.М. Семенчук / / ДАН УРСР. - 1979. - № 1. - С. 11 - 15.
19. Семенчук, В.М. Мінімальні НЕ
-Групи / В.М. Семенчук / /
Алгебра і логіка. - 1979. - Т. 18, № 3. - С. 348 - 382.
20. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з системою мінімально не
-Підгруп / В.М. Семенчук / / підгруповий будова кінцевих груп: Тр. / Ін-т математики АН УРСР. - Мінськ:
Наука і
техніка, 1981. - С. 138 - 149.
21. Семенчук, В.М. Мінімальні НЕ
-Групи / В.М. Семенчук / / Дослідження нормального і підгруповий будови кінцевих груп: Тр. / Ін-т математики АН УРСР. - Мінськ: Наука і техніка, 1984. - С. 170 - 175.
22. Семенчук, В.М. Характеризація локальних формацій
за заданими властивостями мінімально не
-Груп / В.М. Семенчук, А.Ф. Васильєв / / Дослідження нормального і підгруповий будови кінцевих груп: Тр. / Ін-т математики АН УРСР. - Мінськ: Наука і техніка, 1984. - С. 175 - 181.
23. Семенчук, В.М.
Опис розв'язаних мінімально не
-Груп для довільної тотально локальної формації / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1988. - Т. 43, № 4. - С. 251 - 260.
24. Семенчук, В.М. Про розв'язаних мінімально не
-Групах / В.М. Семенчук / / Питання алгебри. - Мінськ: Університетське, 1987. - Вип. 3. - С. 16 - 21.
25. Семенчук, В.М. Роль мінімально не
-Груп в теорії формацій / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1991. - Т. 98, № 1. - С. 110 - 115.
26. Семенчук, В.М. Кінцеві групи з
-Абнормальної або
-Субнормальний підгрупами / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1994. - Т. 56, № 6. - С. 111 - 115.
27. Семенчук, В.М. Розв'язні тотально локальні формації / В.М. Семенчук / / Сибір. мат. журн. - 1995. - Т. 36, № 4. - С. 861 - 872.
28. Семенчук, В.М. Розв'язні
-Радикальні формації / В.М. Семенчук / / матем. нотатки. - 1996. - Т. 59, № 2. - С. 261 - 266.
29. Семенчук, В.М. Про одну проблему в теорії формацій / В.М. Семенчук / / Весцi АН Беларусi. - 1996. - № 3. - С. 25 - 29.
30. Семенчук, В.М. Про розв'язаних тотально локальних формаціях / В.М. Семенчук / / Питання алгебри. - 1997. - № 11. - С. 109 - 115.
31. Семенчук, В.М., Поляков Л.Я. Характеризація мінімально не
-Груп / В.М. Семенчук / / Звістки вищих навчальних закладів. - 1998. - № 4 (431). - С. 1 - 4.
32. Семенчук, В.М. Класифікація локальних спадкових формацій критичні групи яких біпрімарни / В.М. Семенчук / / Известия Гомельського держ. ун-ту ім. Ф. Скорини. - 1999. - № 1 (15). - С. 153 - 162.
33. Семенчук, В.М. Надрадикальних формації / В.М. Семенчук, Л.А. Шеметков / / Доповіді НАН Білорусі. - 2000. - Т. 44, № 5. - С. 24 - 26.
34. Семенчук, В.М. Кінцеві групи, факторізуемие
-Досяжними підгрупами / В.М. Семенчук, С.А. Мокеева / / Известия Гомельського держ. ун-ту ім. Ф. Скорини. - 2002. - № 5 (14). - С. 47 - 49.
35. Скиба, О.М. Про один клас локальних формацій кінцевих груп / О.М. Скиба / / ДАН УРСР. - 1990. - Т. 34, № 11. - С. 382 - 385.
36. Скиба, О.М.
Алгебра формацій / О.М. Скиба. - Мінськ:
Беларуская навука, 1997. - 240 с.
37. Старостін, А.І. Про мінімальні групах, що не володіють даними властивістю / А.І. Старостін / / матем. нотатки. - 1968. - Т. 3, № 1. - С. 33 - 37.
38. Тютянов, В.М. Факторизації
-Нільпотентних співмножники / В.М. Тютянов / / матем. СБ - 1996. - Т. 187, № 9. - С. 97 - 102.
39. Чуніхін, С.А. Про спеціальних групах / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1929. - Т. 36, № 2. - С. 135 - 137.
40. Чуніхін, С.А. Про спеціальних групах / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1933. - Т. 40, № 1. - С. 39 - 41.
41. Чуніхін, С.А. Про групи з наперед заданими підгрупами / С.А. Чуніхін / / матем. СБ - 1938. - Т. 4 (46), № 3. - С. 521 - 530.
42. Чуніхін, С.А. Про
існування підгруп у кінцевої групи / С.А. Чуніхін / / Праці семінару з теорії груп. - Гонти, М. - Л.. - 1938. - С. 106 - 125.
43. Чуніхін, С.А. Підгрупи кінцевих груп / С.А. Чуніхін. - Мінськ: Наука і техніка, 1964. - 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формації кінцевих груп / Л.А. Шеметков. - М.: Наука, 1978. - 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Екрани
твори формацій / Л.А. Шеметков / / ДАН УРСР. - 1981. - Т. 25, № 8. - С. 677 - 680.
46. Шеметков, Л.А. Про творі формацій / Л.А. Шеметков / / ДАН УРСР. - 1984. - Т. 28, № 2. - С. 101 - 103.
47. Шеметков, Л.А. Формації алгебраїчних систем / Л.А. Шеметков, О.М. Скиба. - М.: Наука, 1989. - 256 с.
48. Шмідт, О.Ю. Групи, все підгрупи яких спеціальні / О.Ю. Шмідт / / матем. СБ - 1924. - Т. 31, № 3. - С. 366 - 372.
49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of
-Subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, MD Perez-Ramos / / J. Algebra. - 1992. - Vol. 148, № 2. - P. 42 - 52.
50. Ballester-Bolinches, A. On
-Critical groups / A. Ballester-Bolinches, MD Perez-Ramos / / J. Algebra. - 1995. - Vol. 174. - P. 948 - 958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of LA Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, MD Perez-Ramos / / J. Algebra. - 1996. - Vol. 179. - P. 905 - 917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, LM Ezquerro. - Springer, 2006. - 385 p.
53. Bryce, RA Fitting formations of finite soluble groups / RA Bryce, J. Cossey / / Math. Z. - 1972. - Bd. 127, № 3. - S. 217 - 233.
54. Carter, RO The
-Normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes / / J. Algebra. - 1967. - Vol. 5, № 2. - Р. 175 - 202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes / / J. Algebra. - 1968. - Vol. 9, № 3. - P. 285 - 313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk / / Math. Z. - 1966. - Vol. 91. - P. 198 - 205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. - Berlin -
New York: Walter de Gruyter, 1992. - 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman / / J. Algebra. - 1983. - Vol. 80, № 2. - P. 517 - 536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen / / Math. Z. - 1963. - Vol. 80, № 4. - P. 300 - 305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. - Dordrecht - Boston - London: Kluwer Academic Publishers, 2000. - 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, KP Shum, AN Skiba / / J. Algebra. - 2007. - Vol. 315. - P. 31 - 41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall / / Proc. London Math. Soc. - 1928. - Vol. 3. - P. 98 - 105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall / / Proc. London Math. Soc. - 1937. - Vol. 43. - P. 316 - 323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes / / Math. Z. - 1970. - Vol. 117. - P. 177 - 182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert / / Math. Z. - 1954. - Vol. 60. - P. 409 - 434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito / / Kodai Math. Seminar Report. - 1951. - Vol. 1 - 2. - P. 1 - 6.
67. Kazarin, LS Product of two solvable subgroups / LS Kazarin / / Comm. Algebra. - 1986. - Vol. 14, № 6. - P. 1001 - 1066.
68. Kegel, OH Produkte nilpotenter Gruppen / / Arch. Math. - 1961. - Vol. 12, № 2. - P. 90 - 93.
69. Kegel, OH Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / OH Kegel / / Arch. Math. - 1978. - Bd. 30, № 3. - S. 225 - 228.
70. Miller, GA Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / GA Miller, HC Moreno / / Trans. Amer. Math. Soc. - 1903. - Vol. 4. - P. 398 - 404.
71. Semenchuk, VN Finite groups with permutable
-Subnormal and
-Accessible subgroups / VN Semenchuk, SA Mokeeva / / 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4 - 9. - 2003. - P. 153 - 154.
72. Thompson, JG Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / JG Thompson / / Bull. Amer. Math. Soc. - 1968. - Vol. 74. - P. 383 - 437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen / / H. Wielandt / / Math. Z. - 1939. - Bd. 45. - S. 209 - 244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen / / H. Wielandt / / Math. Z. - 1958. - Bd. 69, № 8. - S. 463 - 465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt / / Illinois Journ. - 1958. - Vol. 2, № 4B. - P. 611 - 618.