МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Державна освітня установа вищої професійної освіти
РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ,
УПРАВЛІННЯ ТА ПРАВА
ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛІННЯ
Контрольна робота
За «Економіко-математичних методів»
ФІСА А.А.
студента2-го курсу
заочної форми навчання
Москва 2009р
Варіант 2. № 1. Дослідити методом Жордана - Гаусса систему лінійних рівнянь, в разі спільної системи знайти спільне рішення, деякий часте небазисной рішення, всі базисні рішення, вказавши при цьому опорні рішення:
х 1 +
х 2 -
х 3 +2
х 4 = 2
-
Х 1 +
х 2 -3
х 3 -
х 4 = 1
3
х 1 -
х 2 +5
х 3 +4
х 4 = 3.
Рішення: | х 1
| х 2
| х 3
| х 4
| в i
| |
| | 1
| -1
| 2
| 2
| |
| -1
| 1
| -3
| -1
| 1
| |
| 3
| -1
| 5
| 4
| 3
| |
| 1
| 1
| -1
| 2
| 2
| |
| 0
| | -4
| 1
| 3
| |
| 0
| -4
| 8
| -2
| -3
| |
|
| 1
| 0
| 1
|
|
| |
| 0
| 1
| -2
|
|
| |
| 0
| 0
| 0
| 0
| 3
| |
| | | | | | | |
+ II; ∙ (-3) + III
∙ 2 + III;: 2
Отримаємо еквівалентну систему рівнянь
Останнє рівняння системи не має рішень, вихідна система несумісна, тобто не має рішень.
№ 2 Вирішити графічним методом наступні задачі лінійного
програмування:
min f (x) = -6
x 1 +9
x 2 х 1, х 2 ≥ 0.
Рішення. (*)
х 1, х 2 ≥ 0.
Побудуємо граничні прямі
(1)
х 1 0 3
х 2 3
2 (2)
х 1 0
1 х 2 5 7
(3)
х 1 0 0
х 2 0 2
Вибираємо потрібні півплощини (дивися (*))
Отримаємо область рішень Д.
Побудуємо
= (-6; 9);
- Лінія рівня,
. Паралельним переносом лінії рівня визначаємо точки, в яких
функція досягає мінімуму. Це всі крапки променя АВ прямий (3).
Завдання має нескінченну безліч рішень. При цьому значення
функції обмежена і для будь-якого X *
складаємо величину, що дорівнює 0.
Відповідь: (3; 2) +
(6, 4),
; Min
№ 3. Вирішити симплексним методом наступні
завдання лінійного програмування min f ( ) = - 2
x 1 - 3
x 2 Рішення. f ( ) = - 2
x 1 - 3
x 2 + 0
х 3 + 0
х 4 +0
х 5 min x j 0,
j =
| i
| А Б
| З Б
| У
| -2
| -3
| 0
| 0
| 0
|
| |
| А 1
| А 2
| А 3
| А 4
| А 5
| |
| 1 2 3
| А 3 А 4 А 5
| 0 0 0
| 15 9 4
| 3 1 1
| 3 0
| 1 0 0
| 0 1 0
| 0 0 1
| 5 3 min -
| |
| m +1
| | 0
| 2
| 3
| 0
| 0
| 0
| | |
| 1 2 3
| А 3 А 2 А 5
| 0 -3 0
| 6 3 4
| ⅓ 1
| 0 1 0
| 1 0 0
| -1 ⅓ 0
| 0 0 1
| 3 min 9 4
| |
| m +1
| | -9
| 1
| 0
| 0
| -1
| 0
| | |
| 1 2 3
| А 1 А 2 А 5
| -2 -3 0
| 3 2 1
| 1 0 0
| 0
|
| -
| 0
| | |
| m +1
| | -12
| 0
| 0
| 0
| -
| -
| 0
| |
Всі отримані оцінки не позитивні. План оптимальний.
X * =
(х 1 = 3;
х 2 = 2)
f min =
f (X *) = -2 ∙ 3 - 3 ∙ 2 = -12,
f min = -12.
Відповідь: X * =
(х 1 = 3;
х 2 = 2);
f min =
f (X *) = -12.
№ 4. Вирішити такі
транспортні завдання (тут А - вектор потужностей постачальників,
В - вектор потужностей споживачів, С - матриця
транспортних витрат на одиницю вантажу):
А = (300; 350; 160; 200), С =
;
В = (400, 400, 200),
Рішення н
1 = 0 н
2 = 1 н
3 =- 1
в j a j
| 400
| 400
| 200
|
300
| 4
| 300 1
| 2
|
350
| 50 3
| 100 4
| 200 2
|
150
| 150 1
| 3
| 1
|
200
| 200 1
| 4
| 3
|
u
1 = 0
u
2 = 3
u
3 = 1
u
4 = 1
Опорне рішення отримали за правилом «мінімальних витрат». Зайнятих клітин має бути m + n - 1 = 4 + 3 - 1 = 6.
Визначимо потенціали:
u
1 + н
2 = 1; u
2 + н
1 = 3; u
2 + н
2 = 4; u
2 + н
3 = 2;
u
3 + н
1 =
1; u
4 + н
1 =
1. Нехай u
1 = 0, тоді u
2 = 3; u
1 = 0; u
3 = -1; u
3 = 1; u
4 = 1.
Оцінки вільних клітин
Ѕ
11 = 4 - (0 +0)> 0; Ѕ
13 = 2 - (0-1)> 0; Ѕ
32 = 3 - (1 +1)> 0;
Ѕ
33 = 1 - (1-1)> 0; Ѕ
42 = 4 - (1 +1)> 0; Ѕ
43 = 3 - (1-1)> 0.
План оптимальний, тому що всі оцінки є позитивними. Отримаємо план перевезень
X * =
;
мінімальна вартість Z
min = Z (X *) = 300 ∙ 1 + 50 ∙ 3 + 100 ∙ 4 + ∙ 200 ∙ 2 + + 150 ∙ 1 + 200 ∙ 1 = ∙ 1600.
№ 5. Для випуску чотирьох видів продукції потрібні
витрати сировини, робочого часу та обладнання. Вихідні дані наведені в таблиці:
Тип ресурсу
| Норми витрат ресурсів на одиницю продукції
| Наявність ресурсів
|
1
| 2
| 3
| 4
|
Сировина Робочий час Обладнання Прибуток на одиницю продукції
| 3 22 10 30
| 5 14 14 25
| 2 18 8 8
| 4 30 16 16
| 60 400 128
|
Сформулювати економіко-математичну модель задачі на максимум прибутку і знайти
оптимальний план випуску продукції.
Рішення. Позначимо через
х 1, х 2, х 3, х 4 обсяг випуску кожної з чотирьох видів продукції. Модель задачі прийме вигляд: max Z = 30
х 1 + 25
х 2 + 8
х 3 + 16
х 4 х j 0 (j =
).
Перейдемо до задачі в канонічному вигляді:
х j 0 (j =
).
| i
| А Б
| З Б
| У
| 30
| 25
| 8
| 16
| 0
| 0
| 0
|
|
| А 1
| А 2
| А 3
| А 4
| А 5
| А 6
| А 7
|
| 1 2 3
| А 5 А 6 А 7
| 0 0 0
| 60 400 128
| 3 22
| 5 14 14
| 2 18 8
| 4 30 16
| 1 0 0
| 0 1 0
| 0 0 1
| 20
12,8
|
| m +1
| | 0
| -30
| -25
| -8
| -16
| 0
| 0
| 0
| |
| | | | | | | | | | | | |
min
Z (X) = 30
х 1 + 25
х 2 + 8
х 3 + 16
х 4 + 0
х 5 +0
х 6 +0
х 7 max | i
| А Б
| З Б
| У
| 30
| 25
| 8
| 16
| 0
| 0
| 0
|
| |
| А 1
| А 2
| А 3
| А 4
| А 5
| А 6
| А 7
| |
| 1 2 3
| А 5 А 6 А 7
| 0 0 30
| 21,6 118,4 12,8
| 0 0 1
| 0,8 -16,8 1,4
| -0,4 0,4 0,8
| -0,8 -5,2 1,6
| 1 0 0
| 0 1 0
| -0,3 -2,2 0,1
| | |
| m +1
| | 384
| 0
| 17
| 16
| 32
| 0
| 0
| 3
| | |
| | | | | | | | | | | | | |
Тепер всі оцінки не негативні. План оптимальний.
Отримали оптимальний план випуску продукції X * = (12,8; 0; 0; 0). При цьому максимальна
прибуток складе
max Z = Z (X *) = 30 ∙ 12,8 + 25 ∙ 0 + 8 ∙ 0 + 16 ∙ 0 = 384.
Відповідь: Слід випускати тільки продукцію першого виду в кількості 12,8 од. Максимальний
прибуток складе 384 ден. од.