Реферат Предмет: Теорія автоматичного керування Тема: Стійкість дискретних систем управління
1. Основні поняття стійкості дискретних систем Основні визначення стійкості безперервних систем справедливі і для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей.
Необхідною і достатньою умовою стійкості безперервної лінійної системи є розташування в лівій півплощині всіх коренів її характеристичного рівняння. Зіставимо, як виглядають рівняння для безперервних і для дискретних систем.
Для безперервних систем передавальні
функції ставлення дробово - раціональних функцій і мають вигляд
. (1)
Характеристичне рівняння
являє собою статечне рівняння, при цьому число коренів рівняння дорівнює ступеня полінома -
n. Наприклад, для передавальної функції
Для дискретних систем передавальні функції мають вигляд
. (2)
Характеристичне рівняння
являє собою трансцендентне рівняння, при цьому число коренів рівняння нескінченно, тому що вони мають періодичний характер.
Наприклад, для передавальної функції
(3)
коріння визначаються зі співвідношень
.
Кожному з
n коренів у площині
Р, відповідає безліч періодичних коренів у площині
Р *, віддалених один від одного на відстані частоти квантування і розташованих по групах у кожній смузі. Для аналізу властивостей системи досить аналізувати розташування коренів в одній, так званої основній смузі, в якості якої зазвичай вважають смугу частот
.
Розташування коренів цього рівняння в комплексній площині наведено на рис. 1.
Рис. 1
Дискретна система автоматичного
управління стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги.
Приклад 1. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією
.
Рішення: Характеристичне рівняння системи має вигляд
Визначимо коріння характеристичного рівняння
.
Система стійка, так як всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги.
Приклад 2. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією
Характеристичне рівняння має вигляд
.
Визначимо коріння характеристичного рівняння заданої системи
.
Система на
межі стійкості, тому що один корінь розташований на уявної осі, а другий стійкий.
2. Визначення стійкості дискретних систем у формі z -
перетворення Використання
z-перетворення дозволяє перетворити трансцендентний поліном в ступеневій, що дозволяє спростити
процес дослідження дискретних систем управління.
Застосування
z-перетворення (рис. 2.3) відображає основну смугу на площину
Z, відрізок уявної осі
в коло одиничного радіуса, а ліву частину смуги в коло одиничного радіусу.
Отже, дискретна система стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині у межах основної смуги (тобто умова стійкості
).
Приклад 3. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією
.
Характеристичне рівняння має вигляд
.
Визначимо коріння характеристичного рівняння
Визначимо модуль коренів
.
Система не стійка, тому що програмі коренів її характеристичного рівняння менше одиниці.
Приклад 4. Визначити стійкість дискретної системи, структурна схема якої представлена на рис. 2.
-
Рис. 2
Рішення: Передавальна
функція розімкнутої дискретної системи
.
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі
z -
перетворення , Де
.
Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі
z - перетворення
.
Характеристичне рівняння має вигляд
.
Визначимо коріння характеристичного рівняння
При цьому модуль кореня
за будь-яких допустимих
T, отже, система стійка.
3. Визначення стійкості дискретних систем у формі w - перетворення З теорії функцій комплексного змінного відомо, що білінійної перетворення
(w-перетворення, перетворення Мізеса) відображає коло одиничного радіуса в площині
Z у всю ліву полуплоскость площині
W, при використанні підстановки
або
. (4)
Встановимо зв'язок між площинами
Z і
W (див. рис. 3).
Рис. 3
1. При ½
z ½ =
1, ½
w +1 ½ = ½
w-1 ½, що відповідає осі
j. 2. При ½
z ½
<1, ½
w +1 ½ <½
w-1 ½ - відповідає лівій півплощині пл.
W. 3. При ½
z ½>
1, ½
w +1 ½> ½
w-1 ½ - відповідає правій півплощині.
Дискретна система автоматичного управління стійка, якщо всі корені її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині площині
W. Отже, при використанні білінійної перетворення умови стійкості безперервних систем можна використовувати для дискретних систем управління.
Приклад 5. Визначити стійкість дискретної системи з передавальної функцією
.
Характеристичне рівняння має вигляд
.
Визначимо коріння характеристичного рівняння
Система стійка, оскільки коріння її характеристичного рівняння розташовані в лівій півплощині.
Приклад 6. Визначити стійкість дискретної системи, структурна схема якої представлена на рис. 4.
-
Рис. 4
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі
z - перетворення
, Де
.
Передавальна функція замкнутої дискретної системи
.
Характеристичне рівняння системи має вигляд
.
Виконавши білінійної перетворення, отримаємо
Умова стійкості:
1 - b> 0, 1 + b + d> 0, де
b = [k (1-d) - (1 + d)]. 4. Застосування критеріїв стійкості для дискретних систем Всі критерії стійкості, які використовуються для аналізу стійкості безперервних систем, можуть бути використані для дискретних систем з урахуванням деяких особливостей.
Критерій Гурвіца Критерій стійкості Гурвіца можна використовувати при застосуванні білінійної перетворення. Розглянь алгоритм його використання.
1. Записуємо характеристичне рівняння
D (z) = 0 . (5)
2. Виконуємо підстановку
, При цьому одержимо характеристичне рівняння
D (w) = 0, тобто у формі білінійної перетворення
. (6)
3. Складаємо визначник Гурвіца
. (7)
4. Визначаємо стійкість також як і для безперервних систем.
Лінійна дискретна система стійка, якщо при
визначник Гурвіца і всі його діагональні мінори позитивні.
Розглянемо окремі випадки.
При
n = 1 характеристичне рівняння має вигляд
Умова стійкості:
a 0> 0, a 1> 0, а також:
a 0 - a 1> 0. При
n = 2 характеристичне рівняння має вигляд
Умова стійкості:
a 0> 0, a 1> 0, a 2> 0, а також:
a 0 - a 1 + a 2> 0, a 0 - a 2> 0. Приклад Визначити стійкість дискретної системи, якщо передаточна функція розімкнутої системи у формі
z - перетворення, має вигляд
.
Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі z - перетворення
.
Характеристичне рівняння має вигляд
.
Виконаємо білінійної перетворення
Система не стійка.
Критерій стійкості Михайлова Доказ частотних критеріїв стійкості базується на слідстві з принципу аргументу. Розглянемо, як він формулюється для дискретних систем.
Нехай задано характеристичне рівняння замкнутої системи
. (8)
Розглянемо комплексну площину
Z (рис. 7), нехай
z 2 розташований всередині кола одиничного радіуса, а
z 1 поза нього.
При цьому
(9)
Якщо замкнута система стійка, то всі корені розташовані в межах окружності одиничного радіуса, а значить
(10)
Замкнута дискретна система стійка, якщо характеристична крива D * (jw) при зміні частоти 0 £ w £ p / T послідовно проходить 2n квадрантів.
Порядок побудови характеристичної кривої: визначаємо
D (z); виконуємо підстановку
; Визначаємо вираз
;
змінюючи
0 £ w £ p / T будуємо
D * (j w) (Рис. 5).
+ J n = 1 D * (jw) + w = p / Tw = 0
|
+ J zz 1 z 1 + P / 2 -P / 2 z-z 2 z 2
|
а) б)
Рис. 5
Приклад 8. Визначити стійкість за критерієм Михайлова системи, схема якої наведена на рис. 6, якщо
T = 1 с, k v = 2 c
-1. -
Рис.6
Рішення: Передавальна функція розімкнутої системи
.
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи
.
Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі
z - перетворення
Передавальна функція замкнутої дискретної системи у формі
z - перетворення
.
Характеристичний поліном має вигляд
.
Визначаємо вираз
Змінюючи частоту в межах 0 £ w £ p (0 £ w £ p / T) будуємо годограф Михайлова (рис. 7).
Таблиця 1
\
w
| 0
| p / 4
| p / 2
| p3 / 4
| p
|
X * (w)
| 2
| 1 + Ö2 / 2
| 1
| 1-Ö2 / 2
| 0
|
Y * (w)
| 0
| Ö2 / 2
| 1
| Ö2 / 2
| 0
|
Як видно з малюнка система знаходиться на межі стійкості.
Перевіримо за критерієм Гурвіца при
k v T = 2; z +1 = 0; z 1 = -1; 1 z 1 січня = 1. Корінь знаходиться на кола одиничного радіуса, отже, система знаходиться на межі стійкості.
Критерій стійкості Михайлова з використанням білінійної перетворення При цьому вихідним є характеристичний поліном у формі
z-перетворення. Виконаємо підстановку
z = (1 + w) / (1-w). (11)
Нехай:
w = j l, де
l-фіктивна частота
(0 £ l £ ¥). При цьому критерій Михайлова для дискретних систем застосовується в такому ж вигляді, як і для безперервних систем.
Приклад 9. Визначити умова стійкості за критерієм Михайлова дискретної системи, схема якої наведена на рис. 6.
Рішення: Характеристичний поліном має вигляд
.
Виконавши підстановку
z = (1 + w) / (1-w), в характеристичний поліном отримаємо
.
Виконавши підстановку
w = j l, в характеристичний поліном отримаємо
Будуємо графік рис. 8. Система стійка при
k v T> 2. Критичний коефіцієнт посилення дорівнює
k v кр = 2 / T. k v T> 2 k v T = 2 + k v T <2
|
Рис. 8
Критерій стійкості Найквіста Розглянемо функцію, яка пов'язує характеристики розімкнутих і замкнутих дискретних систем
(12)
де
D * (p) - характеристичний поліном замкнутої системи;
A * (p) - характеристичний поліном розімкнутої системи.
У відповідності зі слідством з принципу аргументу
(13)
Розглянемо різні випадки.
Система, стійка в розімкнутому стані Так як розімкнена дискретна система стійка, то вона не містить коренів у правій півплощині (тобто
m = 0), для
того щоб і замкнута дискретна система була стійка, повинна виконуватися умова
(14)
Формулювання критерію Найквіста:
Замкнута дискретна система стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої стійкої системи не охоплює струму з координатами (-1, j0).
Графічно це означає, що годограф вектора
W * (j w) не охоплює початку координат, а вектора
K * (j w)-точку з координатами (-
1, j0). Система, нестійка в розімкнутому стані Так як розімкнена система нестійка, то вона містить
m коренів у правій півплощині, для того щоб замкнута система була стійка, повинна виконуватися умова:
Графічно це означає, що годограф вектора
K (j w) охоплює точку з координатами
(-1, j0) m-раз. Формулювання критерію Найквіста: Замкнута дискретна система стійка, якщо амплітудно-фазова частотна характеристика розімкнутої нестійкою системи, що має m коренів у правій півплощині, охоплює струму з координатами (-1, j0) m разів.
Приклад 10. Визначити умови стійкості та величину критичного коефіцієнта підсилення за критерієм Найквіста дискретної системи, схема якої наведена на рис. 6.
Рішення: Передавальна функція розімкнутої дискретної системи у формі
z - перетворення
При цьому вираз для частотної характеристики має вигляд
Будуємо частотну характеристику дискретної системи
відповідно до таблиць 2 і 3 (рис. 9).
Характеристику будуємо на інтервалі частот
0 £ w £ p / T надалі характеристики повторюються, так як вони носять періодичний характер.
Умова стійкості даної дискретної системи визначається співвідношенням
k v T / 2 = 1. 0 £ w £ p / T
Таблиця 2
w
| 0
| p/2T
| p / T
|
P * (w)
| -K v T / 2
| -K v T / 2
| -K v T / 2
|
Q * (w)
| - ¥
| -K v T / 2
| 0
|
+ J -K v T / 2 + K * (jw)
|
Таблиця 3
a
| 0
| 30
| 45
| 60
| 90
|
ctga
| - ¥
| Ö3
| 1
| 1/Ö3
| 0
|
Критичний коефіцієнт посилення системи дорівнює
k v кр = 2 / Т. Література 1. Дорф Р., Бішоп Р. Автоматика. Сучасні
системи управління. 2002р. - 832с.
2. Харазов В. Г.
Інтегровані системи управління технологічними процесами: Довідник. Видавництво:
ПРОФЕСІЯ, ВИДАВНИЦТВО, 2009. - 550С.
3. Чебурахін І. Синтез дискретних керуючих систем і
математичне моделювання:
теорія, алгоритми, програми. Вид-во: НДЦ РХД, Фізматліт ®, 2004. - 248c.