Тема «Чотирикутники» вивчається у восьмому класі в розділі «Паралельність».
У першому параграфі розглядаються паралельні прямі. Дається визначення паралельних прямих, січної. Визначаються
, внутрішні навхрест лежачі і внутрішні односторонні кути. Доводиться ознака паралельності двох прямих, і розглядаються три слідства даної теореми. Також доводиться теорема про рівність внутрішніх навхрест лежачих кутів.
Наступний параграф присвячений сумі кутів багатокутника. Спочатку доводиться, що сума кутів трикутника дорівнює 180
а потім переходять до доказу загального випадку.
У третьому параграфі розглядають паралелограм. Дається визначення паралелограма, доводиться три його властивості. Розглянуто приклад на застосування властивостей паралелограма. На ознаки паралелограма відводиться четвертий параграф, в якому доводяться перший і другий ознаки паралелограма. Наведено два приклади на застосування цих ознак.
У п'ятому параграфі розглянуті прямокутник, ромб і квадрат. Прямокутник і ромб визначаються через паралелограм. Автори відзначають, що прямокутник є окремим випадком паралелограма. Тому він має всі властивості паралелограма і призводять доказ ознаки прямокутника (якщо в параллелограмме діагоналі рівні, то це прямокутник).
Ромб також є параллелограммом, отже, він має всі його властивостями. Наводиться доказ ознаки ромба (якщо в параллелограмме діагоналі перпендикулярні, то це ромб).
Квадрат визначається через прямокутник. Автори відзначають, що квадрат також є ромбом, у якого всі кути прямі. На підставі цього випливає, що квадрат має всі властивості прямокутника і ромба.
Перед вивченням трапеції автори розглядають теорему про середньої лінії трикутника. Дають визначення середньої лінії трикутника і призводять доказ теореми. Цей крок виправданий, тому що при доведенні теореми про середню лінії трапеції використовується теорема про середньої лінії трикутника. Визначення трапеції таке ж, як і в інших підручниках (див. [1], [2], [14]). Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні. Дається визначення равнобокой, прямокутної трапецій, середньої лінії трапеції. Наводиться доказ теореми про середню лінії трапеції і розглядається наслідок з даної теореми.
2. Приватні види чотирикутників В усіх діючих в даний час посібниках (див. [1], [2], [14], [18]) здійснюється однаковий підхід у введенні приватних паралелограмів: прямокутників, ромбів і квадратів. Приватні види чотирикутників розглядаються відповідно до умовної єдиної
методичної схемою:
ü дається визначення (через раніше вивчений вид чотирикутників);
ü вказуються елементи;
ü формулюються і доводяться властивості і ознаки;
ü розглядається задача на побудову цього чотирикутника.
Квадрат в одних підручниках вводиться як чотирикутник, який одночасно є прямокутником і ромбом. В інших - квадрат визначається як окремий вид прямокутника. У більшості підручників трапеція розглядається після паралелограма і його приватних видів. Тема має великі можливості для розвитку логічного мислення.
· Легко виявляється логічна структура теми. Корисно використовувати структурно-логічні схеми;
· Використовуються формально-логічні означення (через найближчий рід і видову відмінність).
Визначити поняття, значить перелічити його суттєві властивості, а це часто буває нелегко. Однак, завдання спрощується, якщо використовувати раніше вивчені поняття. Сказане обумовило спосіб визначення поняття, званий «через найближчий рід і видову відмінність».
Конструювання визначення цим способом полягає в наступному:
1. Вказується рід, до якого входить визначається поняття як вид.
2. Вказуються видові відзнаки та зв'язок між ними.
Приклад: трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші ні.
Рід - чотирикутник.
Видове відмінність, - у якого дві сторони паралельні, а дві інші ні.
2.3 Вивчення властивостей і ознак чотирикутників Вивчення
властивостей чотирикутників зазвичай не викликають утруднень. При встановленні різних властивостей і ознак паралелограма широко використовуються властивості і ознаки рівних трикутників, властивості кутів, утворених при перетині двох паралельних прямих третин, ознаки паралельності.
Матеріал про параллелограммах і їхніх приватних видах дуже зручний для формування та розвитку логічного мислення учнів.
Саме тут учитель має широкі можливості по роботі з визначеннями: наприклад, запропонувати учневі дати визначення прямокутника через поняття чотирикутника, паралелограма і т.д. учням під силу самим встановити, а потім і довести різні властивості і ознаки паралелограма і трапеції.
Наприклад:
Властивості
|
Ознака
|
Теорема: У параллелограмме протилежні сторони рівні і протилежні кути рівні. Дано: - Паралелограм Довести: 1.
2.
|
Теорема: Якщо в чотирикутнику протилежні сторони попарно рівні, то цей чотирикутник паралелограм. Дано: - Чотирикутник
Довести:
- Паралелограм
|
При доведенні теорем учні, як показує досвід, часто плутають, ознаки, властивості визначення, не вірно будують логічні ланцюжки, умовиводи. Тому при роботі з
поняттями необхідно вже на цій темі формувати дедуктивне мислення, вчити побудови схем, таблиць, виявляти залежності, робити правильні класифікації, наприклад, використовуючи круги Ейлера.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
У курсі планіметрії основним способом допомагає організувати матеріал, засвоїти всю сукупність властивостей фігури, є створення деякого образу, що пов'язується з поняттям. Справді, що ми уявляємо собі, коли вимовляємо або читаємо
слово «паралелограм». Звичайний паралелограм, з діагоналями, які в точці перетину діляться навпіл. Створення такого образу допомагає багаторазове виконання одного і того ж креслення, на якому всі властивості видно. Цьому сприяють і такі методичні прийоми, як огляд всіх властивостей, наведених вчителем, чи опитування не по окремих властивостями або теоремам, а по всій сукупності властивостей фігури: «Що ви знаєте про трапеції?», «Перерахуйте всі властивості прямокутника» і т.д .
Таким чином, навчання учнів самостійного вирішення завдань вимагає певної методики вивчення теоретичного матеріалу курсу, заснованої на системному засвоєнні понять.
Кожне математичне поняття є деяка система властивостей і відносин, що володіє всіма ознаками системи.
У різних підручниках виклад матеріалу розглянуто по-різному, з цього вчителю треба поєднувати свою роботу з матеріалом викладу на сторінках інших підручників.
2.3 Застосування методів наукового пізнання при вивченні чотирикутників
Розглянемо можливості
використання методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники».
2.3.1 Аналіз і синтез Як було сказано в першому розділі, емпіричні методи не є характерними для математики, тому вони не застосовуються для вивчення чотирикутників.
Найбільш часто у вивченні чотирикутників застосовують логічні методи пізнання. Аналіз найчастіше застосовується для розв'язання задач на доказ.
Приклад 1. Доведіть, що якщо в параллелограмме хоча б один кут прямий, то він є прямокутником.
Дано:
ABCD - Паралелограм,
A = 90 º.
Довести:
ABCD - Прямокутник.
Аналіз:
Приклад 2. Довести, що якщо діагональ паралелограма є бісектрисою його кутів, то він є ромбом.
Дано:
ABCD - паралелограм,
AC - діагональ.
Довести:
ABCD - ромб.
Визначення A = B = C = D = 90 º
|
B = D = (360 º -2 * A) / 2 = 90 º Сума кутів у параллелограмме дорівнює 360 º
|
A = C = 90 º По властивості паралелограма (протилежні кути рівні)
|
Аналіз:
У наведених прикладах видно як після проведення аналізу потрібно вирішувати задачу. У даних випадках застосовується висхідний аналіз. Розглянемо приклад застосування низхідного аналізу.
Приклад 3. Довести, що в рівнобедреної трапеції квадрат діагоналі дорівнює квадрату бічної сторони, складеної з твором підстав.
Дано:
ABCD - трапеція.
Довести:
.
Визначення AB = BC = CD = AD
|
Δ ABC = Δ ADC За першою ознакою
|
DAC = ACD AC - бісектриса A і C
|
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Аналіз: Припускаємо, SHAPE \ * MERGEFORMAT що вірно рівність
(1). Намагаємося отримати з нього вірне слідство. Зменшуємо число параметрів. Так як (
,
)
(
, То з рівності (1) отримуємо
,
,
.
що вірно.
Наведемо приклад використання синтетичного методу.
Приклад 4. Довести, що діагоналі ромба взаємно перпендикулярні.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
а) розглянемо
, В ньому
(За умовою);
б)
(По властивості паралелограма);
в)
- Медіана;
г)
= Висоті в
;
д)
.
2.3.2 Порівняння та аналогії Порівняння паралелограма і трапеції дозволяє виявити їх загальні властивості: вони обидва чотирикутники, обидва мають паралельні сторони, - і відмінність: в одному - дві пари паралельних сторін, в іншому - одна.
Якщо, наприклад, включили б в загальні властивості паралелограма і трапеції той факт, що вони обидва позначені одними і тими ж літерами
АВС D, або вважали б відмінністю позначення їх різними літерами, то це було б помилковим підходом до порівняння.
Аналогія може бути використана при вивченні властивостей прямокутника, ромба і квадрата. Так як прямокутник це паралелограм, у якого всі кути прямі, то він має властивості паралелограма.
Аналогічно для ромба. Ромб це паралелограм, у якого всі сторони рівні, отже він має властивості паралелограма. Квадрат це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Прямокутник є параллелограммом, тому й квадрат є параллелограммом, у якого всі сторони рівні, тобто ромбом. Звідси випливає, що квадрат має всі властивості прямокутника і ромба.
2.3.3 Узагальнення Розглянемо перехід від єдиного до загального, від загального до більш загального.
Формування поняття «квадрат» на ранньому етапі навчання починається показом безлічі предметів, що відрізняються один від одного формою, розмірами, забарвленням, матеріалом, з якого вони зроблені. Діти, після того як їм показують на одну з цих фігур і кажуть, що це квадрат, безпомилково відбирають з безлічі фігур всі ті, які мають таку ж форму, нехтуючи відмінностями, що стосуються розмірів, забарвлення, матеріалу. Тут виділення з безлічі предметів підмножини проводиться по одному ще недостатньо проаналізовано ознаки - за формою. Діти ще не знають властивостей квадрата, вони розпізнають його тільки за формою. Таке розпізнавання зустрічається у дітей 4-5 років. Подальша
робота з формування поняття квадрата полягає в аналізі цієї форми з метою виявлення її властивостей. Учням пропонується шляхом спостереження знайти, що є спільного у всіх відібраних фігур, що мають форму квадрата, чим вони відрізняються від інших. Встановлюється, що у всіх квадратів 4 вершини і 4 сторони. Але у деяких фігур, які ми не віднесли до квадратах, теж 4 вершини і 4 сторони. Виявляється, у квадрата всі сторони рівні і всі кути прямі. Всі відібрані фігури, що володіють цими властивостями, ми об'єднуємо в один клас - квадрати (перехід від одиничного до загального).
У подальшому навчанні цей клас входить у ширший клас прямокутників (перехід від загального до більш загального). При цьому переході до більш широкого класу відбувається звуження характеристики класу, одна з властивостей, які характеризують клас квадратів (рівність усіх боків), опускається.
У нашому прикладі, якщо до змісту поняття «прямокутник» (до безлічі властивостей, які характеризують клас прямокутників) додати нову властивість (рівність усіх боків), ми отримаємо зміст поняття «квадрат» (безліч властивостей, які характеризують клас квадратів).
Узагальнення так само можна використовувати при систематизації знань по темі. Наприклад, можна розділити клас на групи і кожній групі запропонувати, використовуючи раніше вивчений матеріал, скласти схема відображає види багатокутників. А потім усім класом обговорювати дані схеми, тим самим, повторюючи вивчену тему.
2.3.4 Спостереження і досвід Спостереження і досвід можна використовувати при відкритті властивостей паралелограма, прямокутника, ромба, квадрата. Наприклад, при вивченні ромба учням можна запропонувати самим знайти властивості даної фігури і довести їх. На уроці вчитель показує модель, що відображає рівність протилежних сторін і протилежних кутів. Учитель може запропонувати учням самостійно перевірити дослідним шляхом, що діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.
2.3.5 Індукція Розглянемо застосування індукції, а саме методу математичної індукції.
Приклад 5. Доведіть, що
n довільних квадратів можна розрізати на частини так, що з отриманих частин можна скласти новий квадрат.
Рішення. При
n = 1 твердження очевидне. Доведемо, що з двох квадратів
(n = 2) можна розрізати один так, що з отриманих його частин і другого квадрата можна скласти третій квадрат.
Нехай дано
квадрати: ABCD, AB = BC = CD = DA = x і
STKZ, ST = TK = KZ = ZS = y і нехай
x y. SHAPE \ * MERGEFORMAT
На кожній стороні квадрата
ABCD відкладемо від вершини відрізки
AM = BN = CP = DQ = (X + y) і разрєжєм квадрат
ABCD по відрізкам
MP і
NQ на чотири рівні частини. Ясно, що
MP NQ, так як в кожному окремому чотирикутнику (наприклад,
OMBN) сума внутрішніх кутів дорівнює 360
0, сума тупого і гострого кутів дорівнює 180
0 (вони суміжні рівним кутах), а один кут прямий (це кут даного квадрата). Ці шматки докладемо до квадрату
STKZ.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Отримана фігура є квадратом, так як
= 90
0 і
. Отже, при
n = 2 твердження завдання істинно.
Припустимо, що твердження завдання вірно при
n = k і доведемо, що при цьому воно вірно і для
n = k +1.
Нехай дано
k +1 квадратів
. Для будь-яких двох квадратів з них вірно, як вже доведено, затвердження завдання. Розрізаючи один з них і прикладаючи шматки його до іншого квадрату, отримаємо квадрат
, А разом з рештою
k -1 квадратами - всього
k квадратів, для яких доведене твердження вірне за пропозицією. Таким чином, для
k +1 квадратів затвердження завдання істинно.
Тому, на аксіомі індукції, n довільних квадратів можна розрізати на частини так, що з отриманих частин можна скласти новий квадрат.
Глава III. Дослідне викладання
Для того щоб показати ефективність
використання методів наукового пізнання при вивченні теми «Чотирикутники» одного теоретичного обгрунтування недостатньо. Будь-яка теорія повинна бути підтверджена практикою. У зв'язку з цим у Левинський середній загальноосвітній школі проводилася експериментальна робота. В експерименті брало участь 42 учнів восьмих класів (21 - експериментальний клас (ЕК), 21 -
контрольний клас (КК)). Обидва класи навчаються в одного викладача і по одному і тому ж
підручника (одного авторського
колективу [2]). У ЕК, на відміну від КК, були проведені уроки з використанням методів наукового пізнання (див.
Додаток 1). Експеримент був спрямований на перевірку гіпотези цієї дипломної роботи, згідно з якою, вивчення теми «Чотирикутники» буде більш ефективним, якщо застосовувати методи наукового пізнання.
З метою оцінки результатів експерименту за допомогою застосування
статистичних методів учням було запропоновано дві письмові
контрольні роботи (перша - на початку, другий - в кінці навчального експерименту) (див.
Додаток 2). Результати
контрольних робіт у восьмих класах на початку і наприкінці експерименту представлені відповідно у
таблицях 1 і 2, а також у діаграмах 1 і 2.
Таблиця 1
Оцінка
|
Кількість учнів, які отримали ці оцінки
|
Контрольний клас
|
Експериментальний клас
|
2
|
2
|
1
|
3
|
6
|
7
|
4
|
10
|
10
|
5
|
3
|
3
|
Таблиця 2
Оцінка
|
Кількість учнів, які отримали ці оцінки
|
Контрольний клас
|
Експериментальний клас
|
2
|
1
|
0
|
3
|
5
|
2
|
4
|
12
|
10
|
5
|
3
|
9
|
Аналіз результатів виконання контрольних робіт на початку експерименту дозволив нам висунути гіпотезу
H 0: «вибірки, представлені в таблиці 1, однорідні (розподіл учнів за балами істотно не розрізняються)» при конкуруючої гіпотезі
H 1: «вибірки, представлені в таблиці 1, неоднорідні ( розподіл учнів за балами різняться суттєво) ». Перевіримо гіпотезу про рівність середніх генеральних значень [3]. Знайдена числова характеристика
, Де
- Середні оцінки в КК і ЕК відповідно.
,
.
- Виправлені дисперсії КК і ЕК відповідно.
.
По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента на рівні значущості
= 0,05 і числа ступенів свободи
. Так як
, То гіпотеза
приймається на рівні значущості 0,05. Тому можна стверджувати, що на початок експерименту якість знань учнів в
контрольному та експериментальному класах істотно не відрізняється.
Для того щоб переконається в позитивному впливі запропонованої методики на якість знань учнів, перевіримо гіпотезу про рівність середніх генеральних значень [3].
Висунуто нульова гіпотеза
:
(Середні оцінки в КК і ЕК істотно не розрізняються) при конкуруючої гіпотезі
:
(Середня оцінка в КК істотно менше середньої оцінки в ЕК). Обчислено числова характеристика
, Де
- Середні оцінки в КК і ЕК відповідно.
,
.
- Виправлені дисперсії КК і ЕК відповідно.
.
По таблиці критичних точок розподілу Стьюдента на рівні значущості
= 0,05 і числа ступенів свободи
. Так як
, То гіпотеза
відкидається. Отже, на рівні значущості 0,05 можна стверджувати, що середня оцінка КК істотно нижче, ніж в ЕК.
Отримані результати дозволяють зробити висновок: якість знань в експериментальному і контрольному класах різні. Результати учнів експериментального класу мають тенденцію бути вище, ніж результати контрольних класів. На підставі цього можна стверджувати, що застосування методів наукового пізнання позитивно впливає на якість знань учнів у восьмому класі.
Представлені результати педагогічного експерименту свідчать про більш високих показниках в учнів експериментальних класів.
Статистична обробка показала значимість побачити відмінностей.
Таким чином, експеримент підтвердив припущення про позитивний вплив методики навчання школярів математики з використанням методів наукового пізнання.
Висновок. По даній главі можна зробити висновок, що проведена експериментальна робота підтверджує висунуту гіпотезу: вивчення теми «Чотирикутники» буде більш ефективно, якщо застосовувати методи наукового
пізнання.
Висновок
У темі «Чотирикутники» закладаються поняття основних видів чотирикутників і тут же учні знайомляться з основними видами завдань, з методами їх вирішення, оформлення запису. У ході вивчення важливо домогтися, щоб кожен учень оволодів усіма
знаннями та вміннями, необхідними для подальшого успішного вивчення нових понять і теорем. Тому при підготовці до уроків геометрії за темою «Чотирикутники» вчителю необхідно ретельно підбирати навчальний матеріал, наочні засоби. На уроках більше часу відводити самостійній роботі, творчої діяльності учнів, використовувати різні методики, форми роботи. Також учителю необхідно застосовувати у своїй роботі різноманітні методи пізнання. Все це буде найбільш повно сприяти кращому засвоєнню геометрії учнями.
При виконанні випускної кваліфікаційної роботи, нами було: розкрито зміст понять методів наукового пізнання; вивчена навчально-методична
література з теми дослідження; показано застосування методів наукового пізнання при вивченні математики. Тим самим завдання дослідження були виконані. У ході дослідного викладання підтверджена гіпотеза. Таким чином, вважаю, мету дослідження досягнуто.