МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Державна освітня установа
Вищої професійної освіти
«Волгоградський державний технічний університет»
Камишинський технологічний інститут (філія)
Волгоградського державного технічного університету
Кафедра «Вищої математики»
Типовий розрахунок Частина II
з дисципліни: «Економіко-математичні методи»
на тему: «Рішення задачі лінійного програмування
симплексним методом »
Виконала:
студентка гр. КБА-081 (вво)
Тітова
Марія Дмитрівна
Перевірила:
Старший викладач каф. ВМ
Мягкова
Світлана Василівна
Камишин - 2009 р.
Завдання II
Для виготовлення двох видів продукції P1 і P2 використовують три види сировини S1, S2, S3. На виготовлення одиниці продукції P1 використовують сировину S1 = 4ед., S2 = 5 од., S3 = 4ед. На виготовлення одиниці продукції P2 використовують сировину S1 = 3ед., S2 = 4ед., S3 = 3ед. Запаси сировини S1 становлять не більш ніж 320 од., S2 не більш ніж 318 од., S3 не більш ніж 415 од.
Прибуток від одиниці продукції P1 складає 4 рублі, від P2 становить 5 рублів.
Необхідно скласти
такий план випуску продукції, щоб при її реалізації отримати максимальний
прибуток.
Рішення:
Таблиця даних:
Вид сировини
| Запас сировини, од.
| Кількість одиниць продукції
|
P1
| P2
|
S1
| 320
| 4
| 3
|
S2
| 318
| 5
| 4
|
S3
| 415
| 4
| 3
|
Прибуток від одиниці продукції, грн.
| 4
| 5
|
Нехай х1 - кількість одиниць продукції P1, а х2 - кількість одиниць продукції P2, тоді цільова
функція: max Z = 4х1 +5 х2
Обмеження:
4х1 + 3х2 ≤ 320;
5х1 + 4х2 ≤ 318;
4х1 + 3х2 ≤ 415;
х1, х2 ≥ 0.
Наведемо систему обмежень до канонічного вигляду:
4х1 + 3х2 + х3 = 320;
5х1 + 4х2 + х4 = 318;
4х1 + 3х2 + х5 = 415;
хj ≥ 0 (j = 1, ..., 5)
Тоді цільова функція: max Z = 4х1 +5 х2 +0 +0 х3 х4 +0 х5
Складемо сімплексною таблицю:
№
| БП
| СБ
| У
| х1
| х2
| х3
| х4
| х5
| Θ
| min Θ
|
4
| 5
| 0
| 0
| 0
|
0
| х3
| 0
| 320
| 4
| 3
| 1
| 0
| 0
| 320 / 3
| |
х4
| 0
| 318
| 5
| 4
| 0
| 1
| 0
| 318 / 4
| 318 / 4 ▲
|
х5
| 0
| 415
| 4
| 3
| 0
| 0
| 1
| 415 / 3
| |
Zj-cj
| 0
| -4
| -5 ▲
| 0
| 0
| 0
| | |
Δ0 = 320Ч0 + 318Ч0 + 415Ч0 = 0; Δ1 = 4Ч0 + 5Ч0 + 4Ч0 - 4 = -4;
Δ2 = 3Ч0 + 4Ч0 + 3Ч0 - 5 = -5; Δ3 = Δ4 = Δ5 = 0.
Початковий опорний план Х = {0, 0; 320; 318; 415} не оптимальний.
Так як │ -5 │> │ -4 │, то другий стовпець - дозволяє. Мінімальна симплексного ставлення min Θ = 318 / 4, значить другий рядок роздільна і А22 = 4 - дозволяє елемент.
Перший ітерація: мінлива х2 записується в стовпець базисних змінних замість х4. Елементи 2-го рядка діляться на А22 = 4, а другий стовпець заповнюється нулями, всі інші елементи перераховуються за правилом прямокутника.
№
| БП
| СБ
| У
| х1
| х2
| х3
| х4
| х5
|
4
| 5
| 0
| 0
| 0
|
1
| х3
| | 326 / 4
| 1 / 4
| 0
| 1
| -3 / 4
| 0
|
х2
| 318 / 4
| 5 / 4
| 1
| 0
| 1 / 4
| 0
|
х5
| 706 / 4
| 1 / 4
| 0
| 0
| -3 / 4
| 1
|
Zj-cj
| 1590 / 4
| 9 / 4
| 0
| 0
| 5 / 4
| 0
|
Після заповнення
таблиці бачимо, що всі Δj ≥ 0, тому опорний план Х * = {0; 318 / 4} = {0; 79,5} є оптимальним, а максимальне значення цільової
функції одно max Z = 4Ч0 + 5Ч79, 5 = 397,5
З симплексного таблиці max Z = 1590 / 4 = 397,5, значить рішення вірне.
Відповідь: max Z = 1590 / 4 = 397,5, при х1 = 0; х2 = 318 / 4 = 79,5
Висновок: Таким чином, щоб отримати максимальний прибуток, у розмірі 397,5 рублів, необхідно запланувати
виробництво 79,5 одиниць продукції P2, а виробництво продукції P1
економічно не доцільно.