МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ Іммануїла Канта
з дисципліни «Економіко -
математичні методи в управлінні»
варіант № 30
КАЛІНІНГРАД
2008
Завдання Завдання 1.2. Суміш можна скласти з
n продуктів
З j (J = 1, n). У кожному з продуктів міститься
m компонентів. Мінімально допустимий обсяг змісту i-го компонента в суміші виражається величиною
b i (I = 1,3). Зміст i-го компонента в одиниці j-го продукту виражається величиною
а ij. Ціна одиниці
j-го продукту дорівнює
з j. Скласти суміш, мінімальну за вартістю, вибравши для вирішення даної задачі найбільш раціональний спосіб.
| C 1
| C 2
| C 3
| b i
|
c j
| 9
| 6
| 7
| |
a 1j
| 7
| 5
| 8
| 70
|
a 2j
| 8
| 2
| 3
| 40
|
a 3j
| 9
| 6
| 7
| 50
|
Завдання 2.2. Знайти графоаналітичним методом оптимальне рішення
задачі нелінійного програмування.
maxZ = 3.6x
1 - 0.2x
1 2 + 0.8x
2 - 0.2x
2 лютого 2x
1 + x
2 ≥ 10
x
1 2-10x 1 + x
2 ≤ 75
x
2 ≥ 0
Завдання 3.1. Після декількох років експлуатації обладнання може опинитися в одному з трьох станів:
1) потрібна профілактичний ремонт;
2) потрібна заміна окремих деталей і вузлів;
3) потрібен
капітальний ремонт.
Залежно від ситуації керівництво підприємства може прийняти наступні рішення:
1) відремонтувати обладнання своїми силами, що зажадає витрат
а; 2) викликати спеціальну бригаду ремонтників,
витрати в цьому випадку складуть
b; 3) замінити обладнання новим, реалізувавши застаріле за залишковою вартістю .. Сукупні витрати на цей захід складуть
с. Потрібно знайти оптимально рішення даної проблеми за критерієм мінімізації витрат з урахуванням наступних припущень:
а) на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначені ймовірності настання
відповідних станів -
q; б) наявний досвід свідчить про рівної ймовірності настання відповідних станів;
в) про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.
| П 1
| П 2
| П 3
|
a
| 13
| 9
| 15
|
b
| 20
| 12
| 11
|
c
| 18
| 10
| 14
|
q
| 0.3
| 0.45
| 0.25
|
λ = 0.7
Завдання 1.2. Суміш можна скласти з
n продуктів
З j (J = 1, n). У кожному з продуктів міститься
m компонентів. Мінімально допустимий обсяг змісту i-го компонента в суміші виражається величиною
b i (I = 1,3). Зміст i-го компонента в одиниці j-го продукту виражається величиною
а ij. Ціна одиниці
j-го продукту дорівнює
з j. Скласти суміш, мінімальну за вартістю, вибравши для вирішення даної задачі найбільш раціональний спосіб.
| C1
| C2
| C3
| bi
|
cj
| 9
| 6
| 7
| |
a1j
| 7
| 5
| 8
| 70
|
a2j
| 8
| 2
| 3
| 40
|
a3j
| 9
| 6
| 7
| 50
|
Суміш, мінімальна за вартістю:
7x
1 + 5x
2 + 8x
3 ≥ 70
8x
1 + 2x
2 + 3x
3 ≥ 40
9x
1 + 6x
2 + 7x
3 ≥ 50
x
1 ≥ 0; x
2 ≥ 0; x
3 ≥ 0
F = 9x
1 + 6x
2 + 7x
3 → min
Після транспонування
матриці елементів
a ij, cсімметрічная двоїста задача матиме вигляд:
S (y
1, y
2, y
3) = 70y
1 + 40y
2 + 50y
3 → max, при обмеженнях:
7y
1 + 8y
2 + 9y
3 ≥ 9
5y
1 + 2y
2 + 6y
3 ≥ 6
8y
1 + 3y
2 + 7y
3 ≥ 7
y
1 ≥ 0; y
2 ≥ 0; y
3 ≥ 0
Для рішення двоїстої задачі лінійного
програмування симплекс - методом, приведемо систему
нерівностей до виду системи рівнянь:
7y
1 + 8y
2 + 9y
3 + y
4 ≥ 9
5y
1 + 2y
2 + 6y
3 + y
5 ≥ 6
8y
1 + 3y
2 + 7y
3 + y
6 ≥ 7
y
1 ≥ 0; y
2 ≥ 0; y
3 ≥ 0; y
1 ≥ 0; y
2 ≥ 0; y
3 ≥ 0
S (y
1, y
2, y
3) = 70y
1 + 40y
2 + 50y
3 → max
За правилом відповідності змінних, базисним змінним прямої задачі
відповідають вільні
змінні двоїстої задачі:
x
1 x
2 x
3 x
4 x
5 x
6 y
1 y
2 y
3 y
4 y
5 y
6 Перша симплексна таблиця:
Базис
| Сб
| А0
| y1 70
| y2 40
| y3 50
| y4 0
| y5 0
| y6 0
|
y4
| 0
| 9
| 7
| 8
| 9
| 1
| 0
| 0
|
y5
| 0
| 6
| 5
| 2
| 6
| 0
| 1
| 0
|
y6
| 0
| 7
| 8
| 3
| 7
| 0
| 0
| 1
|
| | 0
| -70
| -40
| -50
| 0
| 0
| 0
|
Друга симплексна таблиця:
Базис
| Сб
| А0
| y1 70
| y2 40
| y3 50
| y4 0
| y5 0
| y6 0
|
y4
| 0
| 23 / 8
| 0
| 43 / 8
| 23 / 8
| 1
| 0
| -7 / 8
|
y5
| 0
| 13 / 8
| 0
| 1 / 8
| 13 / 8
| 0
| 1
| -5 / 8
|
y1
| 70
| 7 / 8
| 1
| 3 / 8
| 7 / 8
| 0
| 0
| 1 / 8
|
| | 245 / 4
| 0
| -55 / 4
| 45 / 4
| 0
| 0
| 35 / 4
|
Третя симплексна таблиця:
Базис
| Сб
| А0
| y1 70
| y2 40
| y3 50
| y4 0
| y5 0
| y6 0
|
Y2
| 40
| 23/43
| 0
| 1
| 23/43
| 8 / 43
| 0
| -7/43
|
y5
| 0
| 67/43
| 0
| 0
| 67/43
| -1/43
| 1
| -26/43
|
y1
| 70
| 29/43
| 1
| 0
| 29/43
| -3/43
| 0
| 8 / 43
|
| | 2950/43
| 0
| 0
| 800/43
| 110/43
| 0
| 280/43
|
В останній
таблиці в рядку Δ немає негативних елементів.
Відповідно до критерію оптимальності точка максимуму S
max = 2950/43 досягнута при значеннях: y
1 = 29/43; y
2 = 23/43; y
3 = 0.
По теоремі подвійності: F
min = S
max = 2950/43.
На підставі правила відповідності між змінними, оптимальне рішення прямої задачі:
y
4 x
1 = 110/43 y
5 x
2 = 0 y
6 x
3 = 280/43
Відповідь: У суміш мінімальної вартості 2950/43 доцільно включити 110/43 одиниць продукту C
1, 280/43 одиниць продукту C
3, а продукт C
2 не включати.
Завдання 2.2. Знайти графоаналітичним методом оптимальне рішення задачі нелінійного програмування.
maxZ = 3.6x
1 - 0.2x
1 2 + 0.8x
2 - 0.2x
2 лютого 2x
1 + x
2 ≥ 10
x
1 2-10x 1 + x
2 ≤ 75
x
2 ≥ 0
У цьому завданню є нелінійна цільова
функція з нелінійної системою обмежень. Графічна схема дозволить визначити положення точки оптимуму.
Спочатку необхідно перетворити формулу цільової
функції так, щоб отримати її графічне відображення. Скористаємося методом виділення повного квадрата двочлена щодо x
1 і x
2, розділивши ліву і праву частини формули на -0.2:
-5Z = x
1 2-18x 1 + x
2 2 - 4x
2 Додамо до лівої і правої частин рівняння числа, необхідні для виділення повних квадратів двочлена у правій частині виразу:
9 лютого і
2 2 в сумі складають 85:
85 - 5Z = (x
1 - 9)
2 + (x
2 -
2) 2
У результаті вийшла формула, що дозволяє графічно зобразити цільову функцію у вигляді лінії рівня на площині X
1 OX
2. Дані лінії рівня представляють собою окружності із загальним центром у точці O (9, 2). Дана точка є точкою абсолютного екстремуму цільової функції.
Для визначення
характеру екстремуму потрібно провести аналіз цільової функції на опуклість / увігнутість. Для цього необхідно визначити другий приватні похідні і скласти з них матрицю:
Z
"x1x1 Z" x1x2 = -0.4 0
Z
"x2x1 Z" x2x2 0 -0.4
Визначимо знаки головних мінорів даної матриці.
Головний мінор першого порядку -0.4 <0.
Головний мінор другого порядку 0.16> 0.
Оскільки знаки миноров чергуються, функція Z - суворо ввігнута. Екстремум увігнутих функцій - max, отже в точці О у цільової функції знаходиться абсолютний максимум.
Для побудови області допустимих значень перетворимо друга нерівність системи обмежень:
x
1 2 - 10x
1 + x
2 ≤ 75
x
1 2 - 10x
1 + 25 + x
2 ≤ 100
(X
1 - 5)
2 + x
2 ≤ 100
(X
1 - 5)
2 ≤ 100 - x
2 Рівняння (x
1 - 5)
2 = 100 - x
2 виразимо через змінні x
1 * і x
2 *: x
1 * = x
1 - 5
x
2 * = 100 - x
2 Рівняння прийме вигляд: x
1 * 2 = x
2 *. У системі координат X
1 * O
* X
2 * дане рівняння є канонічним рівнянням параболи.
100 90 80 70
60 50 40 30 20 10
|
На малюнку область допустимих значень - обмежена частина площині ABCD. З отриманого графіка видно, що точка абсолютного максимуму Z лежить всередині ОДР. Отже, цільова функція приймає максимальне значення в цій точці:
max Z = Z (O) = Z (9, 2) = 17
Завдання 3.1 Після декількох років експлуатації обладнання може опинитися в одному з трьох станів:
1) потрібна профілактичний ремонт;
2) потрібна заміна окремих деталей і вузлів;
3) потрібен капітальний ремонт.
Залежно від ситуації керівництво підприємства може прийняти наступні рішення:
1) відремонтувати обладнання своїми силами, що зажадає витрат
а; 2) викликати спеціальну бригаду ремонтників, витрати в цьому випадку складуть
b; 3) замінити обладнання новим, реалізувавши застаріле за залишковою вартістю .. Сукупні витрати на цей захід складуть
с. Потрібно знайти оптимально рішення даної проблеми за критерієм мінімізації витрат з урахуванням наступних припущень:
а) на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначені ймовірності настання відповідних станів -
q; б) наявний досвід свідчить про рівної ймовірності настання відповідних станів;
в) про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.
| П1
| П2
| П3
|
a
| 13
| 9
| 15
|
b
| 20
| 12
| 11
|
c
| 18
| 10
| 14
|
q
| 0.3
| 0.45
| 0.25
|
λ = 0.7
Складемо платіжну матрицю, в якій П
j -
стану обладнання, А
i - альтернативи прийняття рішень:
| П1
| П2
| П3
|
А1
| -13
| -9
| -15
|
А2
| -20
| -12
| -11
|
А3
| -18
| -10
| -14
|
Для прийняття оптимального рішення у випадку а). скористаємося критерієм Байєса; у разі б). критерієм Лапласа; у випадку в). критеріями Вальда, Севіджа, Гурвіца.
а). на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначені ймовірності настання відповідних станів:
q 1 = 0.3;
q 2 = 0.45;
q 3 = 0.25
Критерій Байєса. Для кожної альтернативи знайдемо середній виграш:
`a i = Σ a ij Ч q j `A
1 = -11.7` a
2 = -14.15 `a
3 = -13.4
| П1
| П2
| П3
| `Ai
|
А1
| -13
| -9
| -15
| -11.7
|
А2
| -20
| -12
| -11
| -14.15
|
А3
| -18
| -10
| -14
| -13.4
|
qj
| 0.3
| 0.45
| 0.25
| |
Із середніх виграшів вибираємо максимальний:
max a i = `a 1 = -11.7 - перша альтернатива оптимальна в разі відомих ймовірностей настання подій при виборі рішення за критерієм Байєса.
б). наявний досвід свідчить про рівної ймовірності настання відповідних станів;
Критерій Лапласа. Для кожної альтернативи знайдемо середній виграш:
`a i = 1/3Σ a ij `A
1 = -12.3` a
2 = -14.3 `a
3 = -14
| П1
| П2
| П3
| `Ai
|
А1
| -13
| -9
| -15
| -12.3
|
А2
| -20
| -12
| -11
| -14.3
|
А3
| -18
| -10
| -14
| -14
|
Із середніх виграшів вибираємо максимальний:
max a i = `a 1 = -12.3 - перша альтернатива оптимальна в разі рівної ймовірності настання подій при виборі рішення за критерієм Лапласа.
в). про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.
Критерій Вальда. Для кожної альтернативи визначимо найгірший результат. d
i - мінімальний елемент рядка. З найгірших результатів вибираємо найкращий, тобто максимальний d
i. | П1
| П2
| П3
| di
|
А1
| -13
| -9
| -15
| -15
|
А2
| -20
| -12
| -11
| -20
|
А3
| -18
| -10
| -14
| -18
|
max d i = d 1 = -15 - перша альтернатива оптимальна за критерієм Вальда.
Критерій Севіджа. Для кожного стовпця знаходимо максимальний елемент β
j. | П 1
| П 2
| П 3
|
А 1
| -13
| -9
| -15
|
А 2
| -20
| -12
| -11
|
А 3
| -18
| -10
| -14
|
β j
| -13
| -9
| -11
|
Побудуємо матрицю ризиків, елементи якої:
r ij = β j - a ij | | | max ri
|
0
| 0
| 4
| 4
|
7
| 3
| 0
| 7
|
5
| 1
| 3
| 5
|
У матриці ризиків у кожному рядку знайдемо максимальний ризик, і з них виберемо мінімальний:
min r = r 1 = 4 - перша альтернатива оптимальна за критерієм Севіджа.
Критерій Гурвіца. Для кожного рядка знаходимо мінімальний d
i і максимальний β
j. | П1
| П2
| П3
| di
| βj
| χi
|
А1
| -13
| -9
| -15
| -15
| -9
| -13.2
|
А2
| -20
| -12
| -11
| -20
| -11
| -17.3
|
А3
| -18
| -10
| -14
| -18
| -10
| -15.6
|
χ i = λ Ч d i + (1 - λ) Ч β j λ = 0.7
Максимальний з елементів останнього стовпця:
max χ i = χ 1 = -13.2 - перша альтернатива оптимальна за критерієм Гурвіца.