МЕТОД А. Ф. СМИРНОВА ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ КРИТИЧНИХ НАВАНТАЖЕНЬ У стрижнева система 1. ОСНОВНІ ПЕРЕДУМОВИ
1) Навантаження прикладена тільки у вузлах стрижневої системи і до втрати стійкості не викликає вигину стрижнів.
2)
Матеріал працює в пружній стадії.
3) Переміщення при втраті стійкості
малі в порівнянні з розмірами конструкції
4) При визначенні переміщень враховуються поздовжні сили тільки в тих стрижнях, в яких вони виникали до втрати стійкості.
Примітка: Якщо критичні навантаження визначаються статично невизначеної системі, то її статичної невизначеності розкривається методом сил.
Основна система вибирається в момент втрати стійкості.
Основна система-це статично визначні і
геометрично незмінна система, отримана із заданої шляхом видалення зайвих зв'язків у деформованому стані.
Основну систему рекомендується вибирати таким чином, щоб стисло-вигнуті елементи не мали зсувів вздовж своїх осей.
1.2.Алгорітм розрахунку за методом А. Ф. Смирнова
Розглянемо пружну систему, завантажену вузловими навантаженнями.
У момент втрати стійкості система характеризується наявністю стиснуто-зігнутих і вигнутих елементів.
Деформований стан системи характеризується
вектором відхилень Y, які мають розмір (m × 1):
Y
1 Y
2 Y
3 = ...
(M × 1) ...
Y
n, де m-число ненульових координат вектора відхилень, які задаються тільки для стиснуто-зігнутих стрижнів.
Вектор відхилень можна визначити за формулою Мора, яка в матричній формі має вигляд
(1.1)
При визначенні переміщень система розбивається на ділянки. У межах кожної ділянки намічаються
розрахункові перерізу по кінцях кожної ділянки і в тих точках стиснуто-зігнутих стрижнів, переміщення яких підлягає визначенню.
Позначимо: μ-число
розрахункових перерізів
Для складання M
y необхідно в основний системі побудувати епюри моментів від одиничних сил прикладених в напрямку шуканих переміщень Y
1, Y
2, Y
3 ... Y
n. Матриця М
у має розмір (μ × m)
Епюра епюра епюра ... епюра
=
(Μ × m)
G-розміром (μ × μ)-матриця податливості всієї системи.
Вона формується з матриць податливості окремих ділянок.
М
р - матриця-стовпець, елементами якої є ординати епюр згинальних моментів на той період часу, коли задана система перебуває в критичному стані.
Для статично-невизначених систем при визначенні М
р використовується матричний алгоритм методу сил:
(1.2),
де
(1.3)-матриця, яка розкриває статичної невизначеності системи.
Якщо задана система статично визначні, то матриця
перетворюється на одиничну матрицю (μ × μ):
= Е (1.4)
Структура
матриці Епюра епюра епюра ... епюра
=
(Μ × m)
-Матриця стовпець, елементами якої є ординати епюри моментів
, Побудованої від дії зовнішніх вузлових сил в основний системі, з урахуванням її деформованого
стану.
Ординати еп.
залежать від вектора переміщень y
Отримаємо матрицю
у вигляді:
(1.5),
де: H-числова матриця розміром (μ × m), перетворююча вектор відхилень у в епюру моментів вантажного стану
Тоді
(1.6)
Підставляючи (1.6) в (1.1) отримаємо вектор переміщень
(1.7)
Позначимо:
= K ∙ c (1.8),
Де k-загальний множник, отриманий із множників при перемножуваних
матрицях Н і G
Тоді:
або
, Позначимо
(1.9),
де: λ-власне число
матриці ;
-Власний вектор матриці
Перетворимо (1.9)
(1.10)-РІВНЯННЯ СТІЙКОСТІ МЕТОДУ СМИРНОВА,
де
;
.
Вираз (1.10) являє собою систему однорідних рівнянь відносно
, Де матриця складена з коефіцієнтів при невідомих Y
1, Y
2, Y
3 ... Y
N. Рівняння стійкості (1.10) має два рішення
1) Вектор переміщень
дорівнює 0
Y
1 0
Y
2 0
Y
3 0
= ... = ... (1.11)-початкова форма рівноваги
... ...
Y
n 0
2) Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих
дорівнює 0.
= 0 (1.12)-характеристичне рівняння
Якщо розкрити визначник, то отримаємо рівняння m
10 порядку, де невідомим буде λ.
Рішення цього рівняння дає значення λ, λ
1, λ
2, λ
3 ... λ
m. Мінімальне значення Р
кр становить λ
max (
)
minP
кр =
(1.13),
де
-Найбільше власне число характеристичної матриці
.
Власний вектор характеристичної матриці
дає форму втрати стійкості.
2. ПОРЯДОК РОЗРАХУНКУ СИСТЕМ НА
СТІЙКІСТЬ МЕТОДОМ А. Ф. СМИРНОВА
1.Заданная система зображується у критичному деформованому стані.
Виявляються стиснуто-зігнуті і вигнуті елементи, призначається число ненульових координат вектора відхилень для стиснуто-зігнутих елементів.
2.Ось системи розбивається на ділянки. Призначаються розрахункові перетину і правило знаків для епюр згинаючих моментів.
3.Определяется ступінь статичної невизначеності n і, якщо n> 0 вибирається основна система методу сил.
4.Форміруются необхідні матриці
.
5.Вичісляется характеристична матриця
,
де
-Для статично невизначених систем;
= Е-для статично визначених систем
6.Решается характеристичне рівняння
= 0 →
7.Определяется значення критичного навантаження:
minP
кр =
3. ФОРМУВАННЯ МАТРИЦІ податливим для стрижневих систем ПРИ РОЗРАХУНКУ НА СТІЙКІСТЬ
Матриця податливості всієї системи формується з матриць податливості окремих ділянок і має таку структуру
0
G = G
k (Μ × μ) G
k-матриця податливості ділянки k
Вид матриці G
k залежить від типу ділянки (яку деформацію він відчуває).
1) Ділянка, що зазнає тільки згин
G
,
де: l
0-довжина будь-якої ділянки, прийнятого за основний
B
0-жорсткість будь-якої ділянки, прийнятого за основну
; 2) Ділянки, які відчувають деформацію стиснення з вигином. Для такої ділянки вигляд матриці G
k залежить від
того, на скільки панелей розбита його довжина
а) Довжина ділянки розбита на дві панелі:
-Довжина ділянки
-Довжина панелі
; б) Довжина ділянки розбита на три панелі:
; ; в) Довжина ділянки розбита на чотири і більше панелей:
У цьому випадку загальна довжина стиснуто-зігнутого елемента компонується з подучастков з двома або трьома панелями.
Відповідно і компонується матриця податливості.
G
Ι G
k = G
Ι Ι 4. ФОРМУВАННЯ МАТРИЦІ H
Матриця H-числова матриця розміром (μ × m), перетворююча вектор переміщень
в епюру моментів вантажного стану.
;
Для побудови матриці H необхідно визначити згинальні моменти у всіх розрахункових перерізах основної системи від вузлових навантажень і побудувати епюру М
0 Епюра М
0 будується з боку розтягнутих волокон з урахуванням деформованого стану системи.
М
0 =
У матрицю H вписуються коефіцієнти при переміщеннях з кожного рівняння.
5. РІШЕННЯ Характеристичне рівняння
Існує кілька методів рішення характеристичного рівняння. Всі методи поділяються на дві групи:
1) Перша-дозволяє обчислити всі власні числа (метод Крилова-Лузіна та ін)
2) Друга-дозволяє обчислити найбільшу власне число (і
відповідно найменше значення критичного навантаження)
До цієї групи відноситься метод послідовних наближень
Метод ітерацій дозволяє обчислити найбільшу власне число характеристичної матриці
. Разом з визначенням власного числа одночасно проводиться визначення власного вектора, що
відповідає цьому числу і задовольняє рівності:
,
де
-Характеристична матриця
-Для статично невизначених систем
= Е-для статично визначених
- Власне число характеристичної матриці
-Власний вектор матриці
Порядок вирішення:
1) Задаємося наближеним вектором переміщень
-Перше наближення;
2) Обчислюється:
,
де
-Друге наближення власного вектора;
-Перше наближення власного числа.
Вектор
слід зробити нормованим, тобто його найбільшу координату треба винести за
знак матриці у вигляді множника
.
3) Далі знову підраховується:
і т.д.
4) Повторення
процесу продовжується до тих пір, поки значення координат
векторів двох останніх наближень не співпадуть.
Величина
знайдена в останньому наближенні приймається за шукане
6. ПРИКЛАД.
Визначити критичну силу методом А. Ф. Смирнова
;
= Е-т.к. система статично визначна
=
;
;
;
;
;
= 0
= 0
З
| С =
|
|
у 1
| 1
| 0,5
| |
Су 1
| 118,5
| 30,5
|
|
у 2
| 1
| 0,257
| |
Су 2
| 109,75
| 25,15
|
|
у 3
| 1
| 0,229
| |
Су 3
| 108,74
| 24,54
|
|
у 4
| 1
| 0,2257
| |
Су 4
| 108,62
| 24,46
|
|
у 5
| 1
| 0,225
| |
= 108,62
у =
minP
кр =
;