Глава 1. Рівняння, системи рівнянь. 1. Лінійні рівняння. 1. Рівняння першого ступеня виду
, Називається лінійним рівнянням. Де
-
Змінні, числа
і
стоять перед змінними називаються коефіцієнтами, а
і
- Вільні члени. Запишемо лінійне рівняння
(1)
Для рішення рівняння (1) перенесемо
змінні містять коефіцієнти, в ліву частину рівняння з позитивним знаком, а вільні члени в праву частину рівняння з негативним знаком, отримаємо рівняння виду
(2)
Нехай
, А
, Тоді рівняння (2) буде
мати вигляд
(3)
Приклади.
1) Розв'язати рівняння
Перенесемо невідомі з коефіцієнтами в ліву частину рівняння, а вільні члени в праву частину, одержимо
Використовуючи рівняння (3) отримаємо
Відповідь:
2) Розв'язати рівняння
Видно, що в цьому рівнянні є один негативний вільний член - 4. Але, переносячи його в праву частину рівняння ще з одним негативним знаком, отримаємо
, Тоді
Звідси
Відповідь:
3) Розв'язати рівняння
У цьому рівнянні один коефіцієнт негативний, переносячи його і ще з позитивним знаком у ліву частину немає сенсу, тому що
, Тоді
Звідси
Відповідь:
4)
Використовуючи пояснення до рівняння 2), отримаємо
Звідси
Відповідь:
5)
Використовуючи пояснення, наведені до рівнянь 1), 2), 3), 4), отримаємо
Звідси
Відповідь:
4
2. Нехай дано лінійне рівняння виду
(4)
На відміну від рівняння (1) змінні, що містять коефіцієнти, переносяться в ліву частину з негативним знаком, в праву частину вільні члени переносяться теж зі знаком негативним. Але вільний член
в рівнянні (4) і так стоїть в правій частині, тому він не буде міняти
знак, поміняє знак лише член
. І так, вирішимо рівняння (4).
Перенесемо змінні з коефіцієнтами в ліву частину з негативним знаком, а член
в праву частину теж з негативним знаком, отримаємо
(5)
Звідси
Якщо
, То
Рішення рівняння (4) можна записати у вигляді системи
(6)
Приклад. Розв'язати рівняння
Перенесемо невідомі з коефіцієнтами в ліву частину з негативним знаком, а член
в праву частину зі знаком «мінус», тоді
Звідси
Відповідь:
3. Лінійне рівняння з двома змінними має вид:
(7)
Для рішення рівняння (7) виразимо змінну
через змінну
, Тобто отримаємо рівняння виду
(8)
Для знаходження розв'язку рівняння (7) в рівнянні (8) вибирається довільне (будь-яке) значення
. Таким чином, рівняння (7) має безліч рішень.
Приклад. Розв'язати рівняння
Скористаємося формулою (8), тоді
Тепер виберемо абсолютно будь-яке значення ікса, наприклад, при
, Отримаємо
Відповідь:
2. Квадратні рівняння. Рівняння другого ступеня виду
називається квадратним. Для вирішення такого рівняння скористаємося наступними формулами:
і
(9)
Де
і
- Коріння квадратного рівняння
Нехай
, Тоді якщо
, То можна записати
(10)
Якщо
, То рівняння не має рішень.
Приклад. Розв'язати рівняння
Користуючись
формулами (9) отримаємо
Відповідь:
і
3. Рівняння третього ступеня. Рівняння третього ступеня виду
називається кубичной рівнянням. Для вирішення такого рівняння замінимо невідоме -
на коефіцієнт
і вводячи підстановку
Отримаємо більш спрощене рівняння третього ступеня
(11)
Оскільки рівняння в третього ступеня, то
відповідно рішеннями цього рівняння будуть три корені, які зараз визначимо з наступної системи
(12)
Коріння
- Є рішення рівняння, де
- Комплексне число.
4. Рівняння вищих ступенів зводяться до квадратних. 1.Рассмотрім рівняння, у якого одна змінна знаходиться в четвертого ступеня, тобто дано рівняння виду
(13)
Для вирішення такого рівняння, висловимо
через
, Отримаємо,
(14)
Вирішуючи це рівняння за наступними формулами, маємо
і
(15)
Приклад. Розв'язати рівняння.
Висловимо
через
, Отримаємо
, Вирішуючи це рівняння за формулами (19) отримаємо
Звідси отримуємо безліч коренів (рішень)
Відповідь:
2. Розглянемо рівняння, у якого одна ступінь знаходиться в п'ятому ступені, тобто є рівняння виду
(16)
Для вирішення такого рівняння виберемо змінну, у якій ступінь сама менша, в порівнянні з іншими ступенями, це буде мінлива
, Виносячи її за дужку отримаємо
(17)
Звідси
, Тобто ми отримали деяке безліч нулів. Рівняння
, Вирішується через дискримінант.
Приклад. Розв'язати рівняння
Винесемо
за дужку, отримаємо
, Звідси
, Який має безліч коренів (0; 0; 0). Далі, вирішуючи рівняння
отримаємо
і
. Таким чином, отримали безліч рішень (0, 0, 0; -2;
).
5. Системи рівнянь. Нехай дана система рівнянь
(18)
де
- Коефіцієнти при невідомих
і
,
і
- Вільні члени.
Система (18) вирішується трьома способами 1) Графічний спосіб; 2) Спосіб підстановки; 3) Спосіб складання. Перший спосіб розглядати не будемо. Інші способи розглянемо при вирішенні таких систем рівнянь.
1) Спосіб підстановки.
Візьмемо перше рівняння системи
і з цього рівняння висловимо
через
, Отримаємо
Підставивши цей вираз в друге рівняння системи, отримаємо
Звідси,
Запишемо останнє рівняння і вирішимо його
Підставивши тепер знайдене значення
в вираз, що стоїть вище, отримаємо
Відповідь:
і
2) Спосіб складання.
Помножимо перше і друге рівняння система на 2, отримаємо
Потім, склавши почленно рівняння системи, отримаємо
. Знайдемо значення ігрек, для цього знайдене значення ікса
підставимо в будь-яке рівняння вихідної (початкової) системи, отримаємо
3) Метод складання.
Запишемо систему
Помножимо перше рівняння на 2, а друге на 2, отримаємо:
Складемо 6x і 8x, отримаємо 14x і 12 +6 = 18, звідси
.
Підставивши тепер значення x в будь-яке рівняння системи, отримаємо
Відповідь:
7. Система трьох рівнянь з трьома змінними. (19)
де
- Коефіцієнти при невідомих
,
- Вільні члени.
Для вирішення системи (19) складемо визначник
(20)
Перше число в індексу вказує число (номер) рядка, друге число - номер стовпця. Сам визначник позначається літерою d.
Для обчислення визначника користуються правилом Крамера, тобто
d =
=
Коріння системи (24) знаходяться за формулами
Де
- Числа, які слід визначити за наступним правилом
Таким же методом визначаються інші визначники