[ Теорія ймовірності та її застосування в економіці ] |
б) Дисперсія визначається як:
Таблиця 4
Х | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Сума |
Х-M (Х) | 0.850 | 1.850 | 2.850 | 3.850 | 4.850 | 5.850 | 6.850 | 7.850 | 8.850 | 9.850 | 53.500 |
(Х-M (Х)) 2 | 0.723 | 3.423 | 8.123 | 14.823 | 23.523 | 34.223 | 46.923 | 61.623 | 78.323 | 97.023 | 368.725 |
Pn (Х) | 0.129 | 0.010 | 4.84E-04 | 1.82E-05 | 5.45E-07 | 1.36E-08 | 2.92E-10 | 5.47E-12 | 9.12E-14 | 1.37E-15 | 0.139 |
(Х-M (Х)) 2P (m) | 0.093 | 0.033 | 3.93E-03 | 2.69E-04 | 1.28E-05 | 4.66E-07 | 1.37E-08 | 3.37E-10 | 7.14E-12 | 1.33E-13 | 0.131 |
Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.
D (Х) =0,131.
в) середнє квадратичне відхилення δх знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.
Завдання 5
Побудувати графік функції щільності розподілу неперервної випадкової величини Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М (Х) =а і проходить через задані точки.
a=5
x | 1 | 2 | 4 | 5 |
f (x) | 0,033 | 0,081 | 0,081 | 0,033 |
a=2
x | 0,5 | 1 | 3 | 3,5 |
f (x) | 0,13 | 0,24 | 0,24 | 0,13 |
Розв’язання.
а) М (Х) =5.
Нормальний закон розподілу описується формулою:
Знайдемо середньоквадратичне відхилення.
Дисперсія визначається як:
,
де М (Х) - математичне сподівання.
Математичне сподівання обчислюється за формулою:
Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 5.
Таблиця 5
Допоміжні розрахунки
|
|
|
|
| Сума | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x
Отже, D (X) = 5,928
Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:
б) М (Х) =2. Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 6. Таблиця 6 Допоміжні розрахунки
Отже, D (X) = 1,07.
Підставивши значення у вираз для ймовірності, отримаємо:
Завдання 6 Задано вибірку, яка характеризує місячний прибуток підприємців (у тисячах гривень). скласти варіаційний ряд вибірки. побудувати гістограму та полігон частот, розбивши інтервал на чотири-шість рівних підінтервалів. обчислити моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду. Розв’язання. Складемо варіаційний ряд.
Побудуємо інтервальний ряд (4 інтервали) з рівними інтервалами. Ширина інтервалу ряду визначається співвідношенням: , де і - відповідно максимальне та мінімальне значення реалізацій випадкових величин. ; ; n = 4. . Таблиця 7
Побудуємо гістограму розподілу. Рис.1. Гістограма розподілу Побудуємо полігон частот як лінію, що сполучає середини інтервалів Рис.2. Полігон частот 3) Обчислимо моду, медіану, середнє арифметичне, дисперсію та ексцес варіаційного ряду. Мода Мо - найпоширеніше значення ознаки, тобто варіанта, яка в ряду розподілу має найбільшу частоту. Мода визначається, як: , де хо та h - відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу; - частоти модального, передмодального та післямодального інтервалу. З таблиці 2.1 найбільше число реалізацій величини з інтервалу 65,00 - 68,25. Це модальний інтервал, ширина якого h=3,25, нижня межа xo=65,00, частота fmo=7, передмодальна частота fmo-1=0, післямодальна частота fmo+1=6. Маємо:
Медіана Ме - це варіанта, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його дві рівні за обсягом частини: , де fme - частота медіанного інтервалу; Sfme-1 - кумулятивна частота передмедіанного інтервалу:
В інтервальному ряду медіанним буде значення ознаки, для якої кумулятивна частота перевищує або дорівнює половині обсягу сукупності. Кумулятивна частота Sme3 = 13, Sme2-1 = 7, fme = 6, хо = 68,25, h=3,25. Підставивши у (2.2), маємо:
Середнє арифметичне обчислюється за формулою:
Дисперсія обчислюється за формулою:
Тому знайдемо спочатку середній квадрат значень.
Ексцес Ek характеризує крутизну кривої розподілу. , де - центральний момент четвертого порядку. У нашому випадку:
Отже, крива розподілу має лівосторонній нахил. Результати обчислень наведені у табл.8. Таблиця 8
| 1.00 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xjdj | 23.32 | 20.96 | 18.28 | 7.64 | 70.20 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
xj2dj | 1 553.61 | 1 464.75 | 1 336.82 | 583.31 | 4 938.50 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(xcp-m) 3 | -45.69 | -0.03 | 25.03 | 235.46 | 214.76 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(xcp-m) 3dj | -15.99 | -0.01 | 6.26 | 23.55 | 13.80 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(xcp-m) 4 | 163.34 | 0.01 | 73.20 | 1 453.94 | 1 690.50 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(xcp-m) 4dj | 57.17 | 0.00 | 18.30 | 145.39 | 220.87 |
Завдання 7
Перевірити, чи справджується статистична гіпотеза про нормальний розподіл генеральної сукупності за даними вибірки:
xi | 2 | 5 | 9 | 11 | 12 | 15 | 18 | 19 | 21 |
mi | 1 | 2 | 3 | 8 | 19 | 18 | 16 | 13 | 9 |
Рис.1.
Нормальний розподіл задається функцією:
Розрахуємо значення середньоквадратичного відхилення (таблиця 9.1).
.
Таблиця 9.1
xi | 2 | 5 | 9 | 11 | 12 | 15 | 18 | 19 | 21 | Всього | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
mi | 1 | 2 | 3 | 8 | 19 | 18 | 16 | 13 | 9 | 89 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
pі | 0,01 | 0,02 | 0,03 | 0,09 | 0,21 | 0, 20 | 0,18 | 0,15 | 0,10 | 1,00 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Σхірі | 0,02 | 0,11 | 0,30 | 0,99 | 2,56 | 3,03 | 3,24 | 2,78 | 2,12
За методом χ2-критерію узгодженості Пірсона порівнюється з критичним значенням відносна сума квадратів відхилень дослідного числа попадань в кожний інтервал hk від теоретичного їх числа fpk, де pk -ймовірність попадання величини х в k-й інтервал. Теоретичний розподіл можна вважати правдоподібним при рівня значущості α, якщо буде виконуватись нерівність: , де -квантиль χ2-критерію розподілу Пірсона, що відповідає значенню параметра f=k-3; pj=F (bk - ak) = - теоретичне значення попадання параметру в к-й інтервал Параметри теоретичного розподілу вибираємо, виходячи з принципу максимальної правдоподібності: . Таблиця 9.2 Результати обчислень перевірки гіпотези про нормальний розподіл
Рис.1. Емпіричні дані розподілу === 10,48773. Оскільки 79,45 > 10,4873, то гіпотеза про нормальний закон розподілу не справджується. Список використаної літератури
|