Завдання 1
Обчисліть і послідовності .
Рішення.
Розглянемо послідовність .
для будь-якого натурального
Отже, безліч є обмеженим зверху. Це означає, що послідовність має верхню точну грань: .
Отже, безліч не є обмеженим знизу. Це означає, що нижня межа послідовності не існує.
Відповідь. не існує
Завдання 2
Користуючись визначенням границі послідовності, доведіть, що .
Доказ.
Число називається межею послідовності , Якщо для будь-якого позитивного числа існує номер такий, що при виконується нерівність .
Використовуючи визначення границі послідовності, доведемо, що .
Візьмемо будь-яке число .
Якщо взяти , То для всіх буде виконуватися нерівність . Отже, .
Доведено
Завдання 3
Користуючись визначенням меж функції, доведіть, що .
Доказ
Число називається межею функції при , Якщо для будь-якого числа існує число таке, що для всіх , Що задовольняють нерівності , Виконується нерівність .
Використовуючи визначення границі функції, доведемо, що .
Візьмемо будь .
Покладемо .
Якщо взяти , То для всіх , Що задовольняють нерівності , Виконується нерівність . Отже, .
Доведено.
Завдання 4
Обчисліть межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 5
Обчисліть межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 6
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 7
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 8
Обчислити межа .
Рішення
Відповідь.
Завдання 9
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 10
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 11
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 12
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 13
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 14
Обчислити межа .
Рішення.
при функція є нескінченно малою
для будь-якого функція є обмеженою.
Відомо, що твір нескінченно малою функції і обмеженої функції є нескінченно мала функція. Отже, функція є нескінченно малою при . Це означає, що .
Відповідь.