Завдання 1. У партії з 80 виробів 5 - бракованих. Визначити ймовірність того, що серед вибраних навмання для перевірки 3 виробів виявляться бракованими:
а) рівно 2 вироби;
б) не більше 2 виробів.
Рішення.
А)
Використовуючи класичне визначення ймовірності:
Р (А) - ймовірність події А, де А - подія, коли серед обраних навмання виробів для перевірки 5 виробів виявляться бракованими рівно 2 вироби;
m - кількість сприятливих результатів події А;
n - кількість всіх можливих результатів;
Б)
Р (А ') - ймовірність події А', де А '- подія, коли серед обраних навмання виробів для перевірки 5 виробів виявляться бракованими не більше 2 виробів,
;
- У сприятливих результатів події ;
n '- кількість всіх можливих результатів;
Відповідь: ймовірність того, що серед вибраних навмання для перевірки 5 виробів виявляться бракованими: а) рівно 2 виробу дорівнює 16%. б) не більше 2 виробів дорівнює 97%.
Завдання 2. У складальний цех заводу надходять деталі з трьох автоматів. Перший автомат дає 1% браку, другий - 2%, третій - 3%. Визначити ймовірність попадання на складання небракованной деталі, якщо з кожного автомата в цех надійшло відповідно 20, 10, 20 деталей.
За формулою повної ймовірності:
де А - взяття хорошою деталі, - Взяття деталі з першого (другого / третього) автомата, - Імовірність взяття деталі з першого (другого / третього) автомата, - Імовірність взяття хорошою деталі з першого (другого / третього) автомата, - Ймовірність попадання на складання небракованной деталі.
; (Т. к. ) = 1% = 0.01)
Відповідь: Вірогідність потрапляння на складання небракованной деталі дорівнює 98%.
Завдання 3. У складальний цех заводу надходять деталі з трьох автоматів. Перший автомат дає 1% браку, другий - 2%, третій - 3%. З кожного автомата надійшло на складання відповідно 20, 10, 20 деталей. Узята на складання деталь виявилася бракованою. Знайти ймовірність того, що деталь надійшла з 1-го автомата.
де А '- взяття бракованої деталі, - Взяття деталі з першого (другого / третього) автомата, - Імовірність взяття деталі з першого (другого / третього) автомата, - Імовірність взяття бракованої деталі з першого (другого / третього) автомата, - Ймовірність попадання на складання бракованої деталі.
; (Згідно з умовою)
Відповідно до формули Байєса:
Відповідь: Вірогідність того, що деталь надійшла з 1-го автомата дорівнює 20%.
Задача 4. Робочий обслуговують 18 верстатів. Ймовірність виходу з ладу верстата за зміну дорівнює . Яка ймовірність того, що робочому доведеться ремонтувати 5 верстатів? Яке Найімовірніше число верстатів, що вимагають ремонту за зміну?
Використовуючи формулу Бернуллі, обчислимо, яка ймовірність того, що робочому доведеться ремонтувати 5 верстатів:
де n - кількість верстатів, m - кількість верстатів, які доведеться лагодити, p - ймовірність виходу з ладу верстата за зміну, q = 1-р - імовірність, не виходження верстата з ладу за зміну.
.
Відповідь: Вірогідність того, що робочому доведеться ремонтувати 5 верстатів дорівнює 15%. Найімовірніше число верстатів, що вимагають ремонту за зміну дорівнює 3.
Задача 5. У двох магазинах, що продають товари одного виду, товарообіг (в тис. грн.) За 6 місяців представлений у таблиці. Чи можна вважати, що товарообіг в першому магазині більше, ніж у другому? Прийняти = 0,05.
Всі проміжні обчислення помістити в таблиці.
Магазин № 1
Магазин № 2
20, 35
20,01
20, 60
23,55
32, 94
25,36
37, 56
30,68
40, 01
35,34
25, 45
23,20
Нехай, a 1 - товарообіг в 1 магазині, a 2 - товарообіг в 2 магазині.
Формулюємо гіпотези Н 0 і Н 1:
Н 0: a 1 = a 2
Н 1: a 1 ≠ a 2
xi
xi-a1
(Xi-a1) 2
yi
yi-a2
(Yi-a2) 2
20,35
-9,135
83,44823
-6,35
40,32
20,6
-8,885
78,94323
-2,81
7,896
32,94
3,455
11,93703
-1
1
37,56
8,075
65,20563
18,66
40,01
10,525
110,7756
4,32
80,64
25,45
-4,035
16,28123
8,98
9,98
Σ
176,91
366,591
158,14
-3,16
158,496
a 1 = = = 29,485, a 2 = =
1 = = 73.32
2 = =
n 1 = n 2 = n = 6
Обчисли вибіркове значення статистики:
Z В = * =
Нехай = 0,05. Визначаємо необхідний квантиль розподілу Стьюдента: (N 1 + n 2 -2) = 2.228.
Отже, так як Z В = 0,74 < = 2,228, то ми не станемо відкидати гіпотезу Н 0, бо це означає, що немає вірогідності того, що товарообіг в першому магазині більше, ніж у другому.
Задача 6. За даним статистичного ряду:
Побудувати гістограму частот.
Сформулювати гіпотезу про вид розподілу.
Знайти оцінки параметрів розподілу.
На рівні значущості = 0,05 перевірити гіпотезу про розподіл випадкової величини.
Всі проміжні обчислення поміщати у відповідні таблиці.
Інтервал
Частота випадкової величини
1 - 2
5
2 - 3
8
3 - 4
19
4 - 5
42
5 - 6
68
6 -7
44
7 - 8
21
8 - 9
9
9 - 10
4
1. Гістограма частот:
2. Припустимо, що моя вибірка статистичного ряду має нормальний розподіл.
3. Для оцінки параметрів розподілу зробимо попередні розрахунки, занесемо їх у таблицю:
№
Інтервали
Частота,
m i
Середина
Інтервалу, x i
x i * m i
x i 2 * m i
1-2
4,5
7,5
112,5
2
2-3
2,5
20
50
3
3-4
3,5
66,5
232,75
4-5
189
350,5
5-6
5,5
374
2057
6
6-7
6,5
286
1859
7
7-8
157,5
1181,25
8-9
8,5
76,5
650,25
9-10
9,5
38
361
n = 220
1215
7354,25
Знайдемо оцінки параметрів розподілу:
= = 5,523
2 = 2 = 2,925 = = 1,71
4. всі обчислення для перевірки гіпотези про розподіл занесемо в таблиці.
Частоти, mi
t 1
t 2
Ф (t 1)
Ф (t 2)
p i
- ∞ - 2
- ∞
-2,06
0
0,0197
-1,47
0,0708
0,0511
-0,89
0,1867
0,1159
-0,31
0,3783
0,1916
0,28
0,6103
0,232
0,86
0,8051
0,1948
1,45
0,9265
0,1214
2,03
0,9788
0,0523
9 - ∞
∞
0,0212
Де: t 1 = , T 2 = , A i, b i - Межі інтервалу, Ф (t) - Функція розподілу нормального закону.
p i = Ф (t 2) - Ф (t 1)
Так як перевірка гіпотези про розподіл проводиться за критерієм , Складаємо ще одну таблицю для обчислень:
№ інтервалу
n * p i
13
15,57
0,4242
25,5
1,6569
42,15
0,0005
51,04
5,6336
42,86
0,0303
26,71
1,2207
0,0735
16,17
0,6214
9,5876
Згідно з розрахунками, = = 9,5876
Вибираємо рівень значущості = 0,05 і обчислюємо 1 - α (K - r -1), де k - число підмножин, r - число параметрів в розподілі.
0,95 (7-2-1) = 0,95 (4) = 9,49.
Порівнявши отримане значення з розрахунковим можна зробити висновок, що оскільки розрахункове значення більше, отже, гіпотеза про нормальний розподіл вибірки статистичного ряду не приймається.
Задача 7. За даними вибірки обчислити:
а) вибіркове значення коефіцієнта кореляції;
б) на рівні значущості = 0,05 перевірити гіпотезу про значущість коефіцієнта кореляції.
Рішення
(Yi-а2) 2
xi * yi
4,40
-0,476
0,2266
3,27
-0,47
0,2209
14,388
5,08
0,204
0,0416
4,15
0,41
0,1681
21,082
4,01
-0,866
0,7499
2,95
-0,79
0,6241
11,829
3,61
-1,266
1,6027
1,96
-1,78
3,1684
7,075
6,49
1,614
2,605
5,78
2,04
4,1616
37,512
4,23
-0,646
0,4173
3,06
-0,68
0,4824
12,944
5,79
0,914
0,8354
4,45
0,71
0,5041
25,765
5,52
0,644
0,4147
0,49
0,2401
23,349
4,68
-0,196
0,0384
3,54
-0,2
0,04
16,567
4,95
0,074
0,0055
0,27
0,0729
19,849
48,76
-
6,9371
37,4
9,6626
190,36
a 1 = = 4,876, a 2 = = 3,74
1 = = 0,7708
2 = = 1,0736
а) Обчислимо вибіркове значення коефіцієнта кореляції
=
б) Перевіримо на рівні значущості = 0,05 гіпотезу про значущість коефіцієнта кореляції:
(N -2) = 2,306
Обчислимо величину
отримуємо, що > 0.6319 тобто потрапляє в критичну область, отже, коефіцієнт кореляції можна вважати значимим.
Завдання 8. За даними вибірки знайти:
а) точкові оцінки математичного сподівання і дисперсії;
б) з довірчою ймовірністю р = 1 - знайти довірчі інтервали для математичного сподівання і дисперсії.
α
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
0.01
3, 85
8,87
21,26
6,72
0,29
15,48
7,48
0,33
0,34
1,37
а) Обчислимо математичне сподівання і дисперсію. Проміжні значення помістимо в таблицю.
x i
m i x i
m i x i 2
3,85
14,822
78,677
451,987
45,158
0,0840
239,630
55,950
0,109
0,115
1,877
Σ 65,99
10
65,99
888,409
Математичне сподівання:
m = =
Дисперсія:
δ 2 = =
б) з довірчою ймовірністю р = 1 - знайти довірчі інтервали для математичного сподівання і дисперсії, вважаючи, що вибірка отримана з нормальної сукупності.
Визначимо з таблиць значення , Де ;
Довірчий інтервал для математичного сподівання має вигляд:
Підставивши отримані значення, знайдемо довірчий інтервал для математичного сподівання:
0,271
Довірчий інтервал для дисперсії має вигляд:
Довірчий інтервал для дисперсії дорівнює: 23,192