Векторна алгебра
Вектор в декартовій системі координат
Визначення. Вектором називається впорядкована пара точок (початок вектора і його кінець). Якщо , , То вектор має координати .
Вектор в координатному просторі Oxyz, може бути представлений у вигляді
, Де трійка називається координатами вектора. Вектори - Одиничні вектори (орти), спрямовані в позитивну сторону координатних осей Ox, Oy і Oz, відповідно. Довжиною (модулем) вектора називається число .
Лінійні операції з векторами
Складання векторів визначається за правилом паралелограма: вектор є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і (Рис.1а).
Різниця двох векторів і визначається за формулою , Де - Вектор тієї ж довжини, що і вектор , Але протилежно спрямований. Щоб знайти вектор-різниця потрібно відкласти вектори і із загальної точки, з'єднати кінці векторів вектором, спрямованим від «від'ємника» до «зменшується» (тобто від до ) (Рис.1б). Побудований вектор і буде шуканої різницею.
При додаванні декількох векторів кожна координата суми є сума відповідних координат доданків векторів, при множенні вектора на дане число на це ж число множаться і координати вектора:
а) ;
б) , Де - Скалярний множник.
Кілька векторів називаються колінеарними (компланарними), якщо вони паралельні одній і тій же прямій (площині). Вектори і паралельні (колінеарні), то є відповідні координати цих векторів пропорційні з одним і тим же коефіцієнтом пропорційності: .
Базис на площині і в просторі
Визначення. Базисом на площині (у просторі) називається впорядкована пара (трійка) неколінеарних (некомпланарних) векторів. Будь-який вектор однозначним чином розкладається по базису. Коефіцієнти розкладання називаються координатами цього вектора щодо даного базису. Вектори утворюють базис в декартовому координатному просторі Oxyz.
Приклад 1.
Дано вектори . Показати, що вектори і утворюють базис на площині і знайти координати вектора в цьому базисі.
Рішення. Якщо два вектори неколінеарних ( ), То вони утворюють базис на площині. Так як , То вектори і неколінеарних і, отже, утворюють базис. Нехай у цьому базисі вектор має координати , Тоді розкладання вектора по векторах і має вигляд , Або в координатній формі
або
Вирішивши отриману систему рівнянь будь-яким чином, отримаємо, що .
Значить . Таким чином, в базисі вектор має координати .
Скалярний, векторний, змішаний твір векторів.
Визначення. Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке визначається рівністю:
,
де - Кут між векторами і . Якщо , То .
Знаючи скалярний твір, можна визначити кут між двома векторами за формулою: .
Умова перпендикулярності ненульових векторів (кут між ними дорівнює 90 °) має вигляд: , Або , А умова їх коллинеарности: , Або .
Властивості скалярного твори:
1) , 2) , 3) ; 4) , Причому .
Приклад 2. Знайти кут між векторами і , Якщо , , , .
Рішення. Використовуємо формулу . Визначимо координати векторів і , Враховуючи, що при додаванні векторів ми складаємо однойменні координати, а при множенні вектора на число - множимо на це число кожну координату цього вектора, а: , .
Знайдемо скалярний добуток векторів і і їх довжини. , , . Підставивши в формулу, отримаємо . Звідси .
Визначення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор (Інше позначення ), Який:
а) має довжину , Де - Кут між векторами і ;
б) перпендикулярний векторах і ( ) (Тобто, перпендикулярний площині, в якій лежать вектори і );
в) спрямований так, що вектори , , утворюють праву трійку векторів, тобто з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого до другого видно проти годинникової стрілки (рис.2).
Координати векторного добутку вектора на вектор визначаються за формулою:
Геометричний сенс векторного твори: модуль вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і .
Властивості векторного твори:
1) , 2) ;
3) ; 4) і колінеарні.
Приклад 3. Паралелограм побудований на векторах і , Де , , . Обчислити довжину діагоналей цього паралелограма, кут між діагоналями і площа паралелограма.
Рішення.
, ,
.
Кут між діагоналями позначимо буквою , Тоді
Отже, .
Використовуючи властивості векторного добутку, обчислимо площа паралелограма:
Визначення. Змішаним твором трьох векторів , , називається скалярний добуток вектора на вектор :
.
Якщо то змішане твір можна обчислити за формулою:
.
Властивості змішаного твори:
1) При перестановці будь-яких двох векторів змішане твір змінює знак;
2) , 3) ;
4) компланарними .
Геометричний сенс змішаного твори: обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах , , (Рис.4), а обсяг утвореної ними трикутної піраміди знаходяться за формулами .
Приклад 4. Компланарними чи вектори , , ?
Рішення. Якщо вектори компланарними, то за властивістю 4) їх змішане твір дорівнює нулю. Перевіримо це. Знайдемо змішане твір даних векторів, обчисливши визначник:
вектори , , некомпланарних.
Розподіл відрізка в даному відношенні.
Нехай відрізок в просторі Oxyz заданий точками і . Якщо він розділений точкою щодо , То координати точки такі:
.
Приклад 5. Знайти точку , Яка ділить відрізок щодо , Якщо .
Рішення. Визначимо координати точки :
. Таким чином, .
Аналітична геометрія.
Рівняння площини. Загальне рівняння площини має вигляд: , , Де - Нормальний вектор площини (тобто перпендикулярний площині), а коефіцієнт пропорційний відстані від початку координат до площини.
Рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно вектору , Має вигляд
.
Рівняння площини, що проходить через три задані точки , і має вигляд:
.
Кут між двома площинами, що мають нормальні вектори і , Визначається як кут між векторами і за формулою:
.
Відстань від точки до площини обчислюється за формулою .
Приклад 6. Написати рівняння площини, що проходить через точки , , .
Рішення. Скористаємося рівнянням площини, що проходить через три задані точки. Обчислимо визначник
, Або - Дані рівняння площини.
Рівняння прямої на площині. Загальне рівняння прямої на площині має вигляд: , Де - Нормальний вектор прямої (перпендикулярний прямій), а коефіцієнт пропорційний відстані від початку координат до прямої.
Рівняння прямої, що проходить через дану точку , Має вигляд
або .
В іншому вигляді , Де - Тангенс кута, утвореного прямий і позитивним напрямом осі Ox, званий кутовим коефіцієнтом, b - ордината точки перетину прямої з віссю Oy.
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і , Має вигляд
.
Кут між двома прямими і визначається формулою
.
Відстань від точки до прямої знаходиться за формулою
.
Приклад 7. Дано рівняння двох сторін прямокутника , і рівняння його діагоналі . Скласти рівняння інших сторін і другий діагоналі цього прямокутника.
Рішення. Зробимо схематичне креслення (Рис.6). Перепишемо дані рівняння у вигляді: , , . Так як кутові коефіцієнти прямих, які задають сторони прямокутника, однакові , То ці рівняння задають паралельні прямі, тобто сторони, на них лежать, протилежні. Знайдемо точки перетину даної діагоналі з цими сторонами. Нехай це будуть точки і . Для цього прирівняємо спочатку 1 і 3, а потім 2 і 3 рівняння:
; . Таким чином, .
Невідомі сторони паралельні між собою і перпендикулярні даними (так як це прямокутник).
Зауваження. Кутові коефіцієнти перпендикулярних прямих і зв'язані співвідношенням .
Таким чином, рівняння невідомих сторін прямокутника такі:
. Підставивши в перше рівняння координати точки , У другу - точки , Отримаємо, що і, отже, , .
Знайдемо координати точок і , Прирівнявши рівняння відповідних сторін:
, Тобто ;
, Тобто .
Рівняння діагоналі отримаємо як рівняння прямої, що проходить через дві задані точки і :
або .
Рівняння прямої в просторі. Пряма у просторі Oxyz визначається як лінія перетину двох площин (Загальні рівняння прямої в просторі).
Канонічні рівняння прямої в просторі мають вигляд
,
де - Точка, через яку проходить пряма, а вектор , Паралельний даної прямої, називається направляючим вектором прямої.
Рівняння прямої в просторі, що проходить через дві задані точки і мають вигляд
.
Кут між двома прямими з напрямними векторами і визначається за формулою
.
Приклад 8. Піраміда задана координатами своїх вершин , , . Потрібно знайти:
1) довжини ребер і , 2) кут між ребрами і ; 3) площа грані, яка містить вершини ; 4) обсяг піраміди; 5) рівняння прямих і ;
6) рівняння висоти , Опущеної з вершини на площину ;
7) відстань від вершини до площини ; 8) кут між ребром і гранню, яка містить вершини .
Решеніе.1) Довжини ребер і визначимо як модуль векторів і за формулами ;
;
2) Знайдемо координати векторів і :
Довжини цих векторів, тобто довжини ребер і , Такі: ,
. Косинус кута між ребрами і обчислимо за формулою ;
3) Площа грані (Трикутника) дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і , Тобто половина модуля векторного добутку цих векторів, що дорівнює
.
Тоді, (Кв. од);
4) Об'єм піраміди дорівнює .
(Куб. од);
5) Рівняння прямих і знайдемо як рівняння прямих, що проходять через дві дані точки:
( ): ,
( ): (Абсциси точок і однакові);
6) спрямовує вектор висоти є нормальний вектор площини . Отримаємо рівняння площини :
,
- Рівняння площини . Тоді нормальний вектор площини має координати . Канонічні рівняння прямої, що проходить через точку паралельно вектору має вигляд: ;
7) Для обчислення відстані від вершини до площини скористаємося формулою . У нашому випадку - Рівняння площини і . Отже, ;
8) Кут між прямою і площиною знаходять за формулою:
, Де - Нормальний вектор площини . і (див. п.7) . Таким чином, ,
.
Криві другого порядку
Визначення. Параболою називається множина точок площині (див. рис.7), для кожної з яких відстань до даної точки (Фокуса параболи) дорівнює відстані до деякої даної прямої (Директриси). Відстань від фокуса параболи до директорки називається параметром параболи. Парабола - симетрична крива; точка перетину параболи з її віссю симетрії називається вершиною параболи.
Канонічне рівняння параболи в декартовій системі координат: .
Визначення. Еліпс є безліч точок площині (див. рис.7б), для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок і (Фокусів) постійна і дорівнює .
Відрізок називається фокусною відстанню і позначається через . Середина є центр еліпса. Пряма, на якій лежать фокуси еліпса, називається першою віссю еліпса. Пряма, що проходить через центр еліпса перпендикулярно його першої осі, називається другою віссю еліпса. Осі еліпса є його осями симетрії. Точки перетину еліпса з осями симетрії називаються його вершинами. - Велика вісь еліпса, - Мала вісь.
Директоркою еліпса, яка відповідає цьому фокусу , Називається пряма , Перпендикулярна першій осі і віддалена від центру еліпса на відстань , Де - Ексцентриситет еліпса.
Канонічне рівняння еліпса в декартовій системі координат: , Де і - Велика і мала півосі еліпса, відповідно.
Визначення. Гіперболою називається безліч точок площині (див. рис.8), модуль різниці відстаней яких до двох даних точок і (Фокусів гіперболи) постійний і дорівнює . Фокусна відстань позначають через . Пряма, на якій лежать фокуси, називається дійсною (або фокальній віссю) гіперболи. Пряма, що проходить через центр гіперболи , Перпендикулярно до дійсної осі, називається
уявної віссю.
Директоркою гіперболи, яка відповідає цьому фокусу , Називається пряма , Перпендикулярна до дійсної осі, віддалена від центру на відстань і лежить від центру по один бік з фокусом, де - Ексцентриситет.
Гіпербола має дві асимптоти, задані рівняннями .
Канонічне рівняння гіперболи в декартовій системі координат: ,
де і - Половини сторін основного прямокутника гіперболи.
Приклад 9. Визначити вид лінії другого порядку, заданої рівнянням
.
Рішення. Виділимо повні квадрати по х і по у, отримаємо:
,
,
,
тобто маємо гіперболу, центр якої лежить в точці , .
Полярні координати. Для точки в площині Oxy її полярні координати визначаються парою чисел , Де - Довжина вектора , А - Кут нахилу вектора до полярної осі (позитивного напрямку осі Ox), - Довжина вектора .
Декартові і полярні координати пов'язані такими співвідношеннями:
.