[ Алгебра логіки ] | ||||||
f 0 (X 1, X 2) | 0 | 0 | 0 | 0 | Константа "нуль" | f (X 1, X 2) = 0 |
f 1 (X 1, X 2) | 0 | 0 | 0 | 1 | Кон'юнкція, твір | f (X 1, X 2) = X 1 & X 2 f (X 1, X 2) = X 1 X 2 f (X 1, X 2) = X 1 · X 2 f (X 1, X 2) = X 1 X 2 |
f 2 (X 1, X 2) | 0 | 0 | 1 | 0 | Заборона по X 2 | X 1 Δ X 2 |
f 3 (X 1, X 2) | 0 | 0 | 1 | 1 | Мінлива X 1 | f (X 1, X 2) = X 1 |
f 4 (X 1, X 2) | 0 | 1 | 0 | 0 | Заборона по X 1 | X 2 Δ X 1 |
f 5 (X 1, X 2) | 0 | 1 | 0 | 1 | Мінлива X 2 | f (X 1, X 2) = X 2 |
f 6 (X 1, X 2) | 0 | 1 | 1 | 0 | Складання по mod2 (нерівнозначність) | f (X 1, X 2) = X 1 X 2 |
f 7 (X 1, X 2) | 0 | 1 | 1 | 1 | Диз'юнкція | f (X 1, X 2) = X 1 X 2 f (X 1, X 2) = X 1 + X 2 |
f 8 (X 1, X 2) | 1 | 0 | 0 | 0 | Стрілка Пірса | f (X 1, X 2) = X 1 X 2 |
f 9 (X 1, X 2) | 1 | 0 | 0 | 1 | Рівнозначність | f (X 1, X 2) = X 1 X 2 f (X 1, X 2) = X 1 ~ X 2 |
f 10 (X 1, X 2) | 1 | 0 | 1 | 0 | Інверсія X 2 | f (X 1, X 2) = ^ X 2 f (X 1, X 2) = X 2 |
f 11 (X 1, X 2) | 1 | 0 | 1 | 1 | Імплікація від X 2 до X 1 | f (X 1, X 2) = X 2 X 1 |
f 12 (X 1, X 2) | 1 | 1 | 0 | 0 | Інверсія X 1 | f (X 1, X 2) = ^ X 1 f (X 1, X 2) = X 1 |
f 13 (X 1, X 2) | 1 | 1 | 0 | 1 | Імплікація від X 1 до X 2 | f (X 1, X 2) = X 1 X 2 |
f 14 (X 1, X 2) | 1 | 1 | 1 | 0 | Штрих Шеффера | f (X 1, X 2) = X 1 | X 2 |
f 15 (X 1, X 2) | 1 | 1 | 1 | 1 | Константа "одиниця" | f (X 1, X 2) = 1 |
Ці функції введені формально. Проте їм можна надавати певний "логічний" смисл. Алгебра логіки часто називається обчисленням висловлювань.
При цьому під висловлюваннями розуміється всяке пропозицію, щодо якого можна стверджувати, що воно істинне або хибне.
Наприклад:
В = <один плюс один - два>
є справжнє висловлювання.
Розглянемо, яке смислове зміст можна вкласти в деякі складні висловлювання на прикладі ФАЛ 2-х аргументів.
Інверсія
Читається НЕ Х або Х з рисою, заперечення Х.
Візьмемо, наприклад, такий вислів: А = <Київ-столиця Франції>, тоді складне висловлювання НЕ А означає: не вірно, що А, тобто не вірно, що «Київ-столиця Франції>.
З простих висловлювань можна будувати більш складні, застосовуючи так звані зв'язку.
Логічні зв'язки - це ФАЛ, аргументами яких є прості висловлювання.
Кон'юнкція
Візьмемо 2 висловлювання:
А = <Москва - столиця РФ>
В = <двічі два - чотири>
тоді складне висловлювання: А & В буде істинним, так як істинні обидва цих висловлювання.
Оскільки таблиця істинності для кон'юнкції збігається з таблицею множення, якщо істинному висловом приписати значення '1', а помилковому - '0', то складне висловлювання можна назвати витвором.
X 1 | X 2 | f 1 (X 1, X 2) |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Функція кон'юнкції істинна тоді, коли істинні одночасно обидва висловлювання.
Диз'юнкція
Це складне висловлювання істинна, коли істинно хоча б одне висловлювання, що входить в нього.
X 1 | X 2 | f 1 (X 1, X 2) |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
Читається X 1 АБО X 2: Деякий відміну від сенсу союзу "або", прийнятого в російській мові: в даному випадку цей союз вживається в значенні об'єднання, а не роз'єднання.
Логічна рівнозначність
Це складне висловлювання істинно тоді, коли істинні або помилкові одночасно обидва висловлювання.
Звідси випливає, що незалежно від змісту, рівнозначними є як істинні, так і помилкові висловлювання.
Наприклад,
А = <двічі два - п'ять>
B = <один плюс два - шість>
А ~ В рівнозначні.
Імплікація
Це складне висловлювання ложно тільки тоді, коли X 1 - істинно, а X 2 - помилково.
X 1 | X 2 | f 1 (X 1, X 2) | ||||||||||||||||||||||||||||||
0 | 0
Читається: якщо X 1, то X 2. При цьому X 1 - посилка, X 2 - наслідок. Якщо подивитися на таблицю істинності, то може здатися дивним назва цієї функції, тому що з нього випливає, що справжнім може бути вислів, складене з двох помилкових. Але насправді, все вірно, тому що змістом висловлювань в алгебрі логіки не цікавляться. Тоді з помилкової посилки може слідувати помилкове слідство і це можна вважати вірним: <якщо Київ - столиця Франції>, то <2-квадрат 3>. Еквівалентності У деяких випадках складне і довге висловлювання можна записати більш коротким і простим без порушення істинності вихідного висловлювання. Це можна виконати з використанням деяких еквівалентних співвідношень. Диз'юнкція: х х х х ... х х х = х, тобто істинність висловлювання не зміниться, якщо його замінити більш коротким, таким чином, це правило приведення подібних членів:
- Постійно справжнє висловлювання. 0 x = x x 1 x 2 = x 2 x 1 - (Переместительному) комунікативний закон. x 1 х 2 х 3 = (x 1 х 2) х 3 = x 1 (Х 2 х 3) - Сполучний закон. Кон'юнкція: х х х х ... х х х = х правило приведення подібних членів:
- Постійно хибне висловлювання - Постійно хибне висловлювання Додавання за mod 2
1
при непарному числі членів, 0 - при парному числі членів Правило де Моргана
Доведемо для двох змінних за допомогою таблиці істинності:
Операція поглинання: Х XY = X або в загальному вигляді X X * f (X, Y, Z. ..) = X; Операція повного склеювання: (По Y) (По Х) Операція неповного склеювання: Будь ласка, не зберігайте тестовий текст. |