Лабораторна робота № 4
Планування машинного експерименту з імітаційної моделлю системи масового обслуговування
1. Мета роботи
Метою роботи є:
1. Вивчення методів планування машинного експерименту з моделлю системи.
2. Придбання практичних навичок з оцінки коефіцієнтів моделі заданої функціональної залежності
3. Проведення імітаційного експерименту у відповідності з побудованим планом
2.Теоретичні відомості
2.1 Планування експерименту
Ефективність машинних експериментів з імітаційними моделями систем масового обслуговування істотно залежать від вибору плану експерименту, так як план визначає обсяг і порядок проведення обчислень на ЕОМ, прийоми накопичення та статистичної обробки результатів моделювання системи і в цілому впливає на ефективність використання ЕОМ при моделюванні.
Планування експерименту - це засіб побудови математичних моделей різних процесів, спосіб скорочення часу і засобів, підвищення продуктивності праці дослідника.
Під плануванням експерименту розуміється процедура вибору числа дослідів та умов їх проведення, необхідних для вирішення поставленого завдання з необхідною точністю. Результати експерименту представляються у вигляді математичної моделі, що володіє хорошими статистичними властивостями.
Такою моделлю є абстрактна схема типу «чорного ящика» виду:
Y = F (x), (1)
Де Y = {y 1, y 2 ... ym} - безліч вихідних перемінних, які називаються реакціями або відгуками (ендогенні змінні)
X = {x 1, x 2, ... xn} - безліч змінних званих факторами (екзогенні змінні)
F - функція, що зв'язує реакцію з факторами, звана функцією реакції або відгуку.
При проведенні машинного експерименту з моделлю для оцінки характеристик процесу функціонування досліджуваної системи необхідно створити також умови, які сприяли б виявлення факторів, що впливають на реакцію системи. Для цього необхідно, в першу чергу, встановити область експериментування.
Локальна область експерименту задається вибором комбінації основних рівнів факторів xi (i = 1, n), їх інтервалами варіювання xi (i = 1, n) і центром експерименту х i 0 (i = 1, n). Потім слід описати функціональну залежність, оцінити необхідну кількість реалізацій і їх порядок в експерименті.
При класичному методі планування досвіду варіюється один фактор, а при математичному плануванні експерименту одночасно змінюються всі фактори.
Одним із завдань математичного планування експерименту є отримання моделі описує реакції одержуваної системи на багато факторні екзогенні змінні. Найбільш поширеними і повно відповідають завданням статистичного моделювання є поліноміальні моделі виду:
y = a 0 + a i x i + a ij x i x j + a ij kx i x j x k + ... ... (2)
Для оцінки коефіцієнтів даного рівняння використовується метод множинної регресії, підстав на методі найменших квадратів.
Після вибору моделі планування наступним завданням є планування і проведення експерименту.
Для планування експерименту складається матриця планування, в якій відображаються умови зміни рівнів факторів xi (i = 1, n).
Експеримент, в якому реалізуються всі можливі поєднання рівнів називається повним факторним експериментом (ПФЕ). Кількість всіх можливих випробувань визначається за формулою:
N = q n (3)
де q - число рівнів зміни факторів.
n - число факторів
При q = 2 виходить дворівневий план експерименту. Такий план називається планом N = 2 n.. Для отримання даного плану необхідно всі чинники варіювати на двох рівнях: нижньому x i 0-Δ x i і верхньому x i 0 + Δ x i, розташованих симетрично, щодо центру експерименту. Для спрощення та уніфікації записи умов дослідів і полегшення обробки даних використовуються кодовані значення: на нижньому рівні -1 і на верхньому рівні +1. Тоді умови експерименту зручно представити у вигляді таблиці-матриці планування, в якому рядки відповідають різним дослідам, а стовпці значень факторів. Так, для трьох факторів (n = 3) матриця планування прийме вигляд (Таблиця 1). При цьому в таблиці додані "фіктивні змінні" одиничного стовпця х 0 і стовпців творів х 1 * х 2, х 1 * х 3, х 2 * х 3 і х 1 * х 2 * х 3, які використовуються для оцінки вільного члена а 0 і ефектів взаємодії а 12, а 13, а 23, а 123.
Таблиця 1
Матриця планування
Номер досвіду | Фактори |
| х 0 | х 1 | х 2 | х 3 | х 1 * х 2 | х 1 * х 3 | х 2 * х 3 | х 1 * х 2 * х 3 |
1 2 3 4 5 6 7 8 | +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 | -1 +1 -1 |
+1 -1 +1 -1 +1 | -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 | -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 | +1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 | +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 | +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 | -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 |
Як видно з таблиці, кількість дослідів дорівнює N = 2 3 = 8.
Розглянутий повний факторний експеримент 2 n володіє трьома основними властивостями:
Симетричність щодо центру експерименту. Це означає, що алгебраїчна сума елементів вектор - стовпця для кожного фактора дорівнює 0, тобто
ij = 0 (4)
де i - номер фактора (i = 1, n);
j - номер досвіду (j = 1, N).
2. Умовою нормування, тобто сума квадратів елементів кожного стовпця дорівнює числу дослідів:
ij 2 = N (i = 1, n) (5)
3.Ортогональностью, це означає, що сума почленно творів будь-яких двох вектор-стовпчиків матриці дорівнює 0, тобто
ij * х kj = 0 (i k; i, k = 1, n) (6)
Дані властивості, особливо умова ортогональності, дозволяють значно спростити визначення коефіцієнтів рівняння множинної регресії. У цьому випадку оцінки коефіцієнтів регресійної моделі можна обчислити за формулою:
a i = ij * y j / N (i = 0, n) (7)
А коефіцієнти парних взаємодій відповідно за формулою:
a ik = ij * x kj * y j / N (i k; i, k = 1, n) (8)
Кількість випробувань в ПФЕ значно перевершує число визначених коефіцієнтів лінійної моделі плану експерименту, тобто ПФЕ має велику надмірністю і тому виникає проблема скорочення числа дослідів. У зв'язку з цим використовується дробовий факторний експеримент (ДФЕ), який представляє частину повного факторного експерименту. Матриця планування для дробового факторного експерименту називається дробової реплікою. Розрізняють регулярні та нерегулярні дробові репліки.
Регулярні репліки утворюються з ПФЕ 2 n поділом навпіл, на чотири частини, вісім частин ит.д., тобто на число кратне 2. Вони називаються відповідно: полуреплікой, чверть-реплікою, - Репліки, тощо. ДФЕ позначається як 2 n - k, де
k - кратність поділу ПФЕ 2 n на частини 2 k. Наприклад, ДФЕ типу 4-2 означає, що ПФЕ з N = 2 4 = 16 ділиться на 2 2 = 4 і виходить план експерименту, що складається з N = 2 4-2 = 4 дослідів.
Якщо регулярні репліки помножити на непарні числа, більше одиниці, то виходять нерегулярні репліки. Як наприклад, репліки, репліки, репліки і т.д. є нерегулярними.
Використання ДФЕ дозволяє значно скоротити кількість експериментів і тим самим заощадити ресурси ЕОМ.
2.2 Приклад планування машинного експерименту для моделі СМО
Нехай необхідно провести машинний експеримент з визначення функціональної залежності середнього часу очікування заявки в черзі ( ож) від факторів: інтенсивність надходження заявок λ, інтенсивності обслуговування μ і ємності буфера L для однофазної одноканальної системи масового обслуговування з наступними параметрами: інтенсивність надходження заявок λ = 15 5 ; Інтенсивність обслуговування μ = 10 5 ; Кількість місць у черзі L = 10 2.
Для визначення заданої залежності представимо математичну модель системи у вигляді:
y = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3, (9)
x 1 = λ; x 2 = μ; x 3 = L; y = очікуван
Оскільки порядок моделі n = 3, то матриця планування для повного факторного експерименту прийме вигляд (Таблиця 2).
Таблиця 2. Матриця планування для моделі СМО
Номер досвіду | х 0 | х 1 | х 2 | х 3 | y |
1 | +1 | -1 | -1 | -1 |
|
2 | +1 | +1 | -1 | -1 |
|
3 | +1 | -1 | +1 | -1 |
|
4 | +1 | +1 | +1 | -1 |
|
5 | +1 | -1 | -1 | +1 |
|
6 | +1 | +1 | -1 | +1 |
|
7 | +1 | -1 | +1 | +1 |
|
8 | +1 | +1 | +1 | +1 |
|
При цьому слід пам'ятати, що кодовані значення факторів відповідають -1 нижньому рівню фактора, а +1 верхнього рівня фактора: для інтенсивності надходження заявок λ нижній рівень дорівнює λ k = 10 , А верхній λ b = 20 ;
для інтенсивності обслуговування μ нижній рівень дорівнює μ k = 5 , А верхній 15 μ b ;
для кількості місць у черзі L нижній рівень L k = 8И верхній L b = 12
Тому при моделюванні цих рівнів факторів у блоці управління необхідно організувати їх зміни. Це можна зробити шляхом введення нуля циклів. Тоді блок-схема управління варіантами моделювання прийме вигляд (Рис1)
Рис1. Блок-схема управління варіантами моделювання
Для визначення середнього часу очікування очікуван можна скористатися блок-схемою Рис лабораторної роботи 3. Результати моделювання заносяться в Таблицю 2 у колонку для y.
За Таблиці 2 і формулою 7 визначаються коефіцієнти обраної моделі планування експерименту а i (i = 0.3). Таким чином, залежність середнього часу очікування від інтенсивності надходження заявок, інтенсивності обслуговування і кількості місць у черзі прийме вигляд:
очікуван = ... .. λ + .... μ + ... L (10)
Зміст дослідження
До складу дослідження, проведеного в даній лабораторній роботі, входить:
1. Аналіз залежності впливу екзогенних змінних моделі однофазної одноканальної СМО на ендогенні змінні.
2. Побудова плану машинного експерименту на основі множинного регресійного аналізу та методу найменших квадратів.
3.Моделірованіе системи масового обслуговування
В якості об'єкта моделювання розглядається однофазна одноканальна система, структура, якій показана на Рис 2:
μ
чергу
λ
L
Ріс2Структура досліджуваної системи
Параметри системи:
Варіанти лабораторної роботи наведені в таблиці 3, в якій ПФЕ повний факторний експеримент; ДФЕ - дробовий факторний експеримент; очікуван - середній час очікування заявок в черзі; сист - середній час перебування заявок в системі; - Середня довжина черги; Р отк - ймовірність відмови; А - абсолютна пропускна здатність системи; q - відносна пропускна здатність системи; К пр - коефіцієнт простою системи.
Порядок виконання роботи
Ознайомитися з методичними вказівками щодо виконання даної лабораторної роботи.
Отримати у викладача варіант завдання на складання плану машинного експерименту для СМО
Скласти матрицю планування для проведення машинного експерименту
Розробити блок-схему моделюючого алгоритму у відповідності до змісту проведеного дослідження
Скласти програму на одному з мов програмування
Налагодити програми і рішення поставленої задачі на ПЕОМ
Оформити звіт
Інтерфейс програми
Лістинг програми
Private Sub Command1_Click ()
Dim L As Integer
Dim Tobs As Currency
Dim Tosv As Currency
Dim Toch () As Currency
Dim Potk As Currency
Dim q As Currency
Dim a (8) As Currency
Dim Kpr As Currency
List1.Clear
List2.Clear
List2.AddItem ("Коефіцієнти:")
For lyamda = 10 To 20 Step 10
For nyu = 5 To 15 Step 10
For L = 8 To 12 Step 4
ReDim Toch (L) As Currency
x = 0.5
k = 0
Kotk = 0
Noch = 0
Toj = 0
Tsis = 0
Kobs = 0
Tnezan = 0
Tpost = 0
Tosv = 0
10: x = Rnd (x)
T = -1 / lyamda * Log (x)
Tpost = Tpost + T
k = k + 1
If k> 50 Then
GoTo 100
End If
30: If Tpost <Tosv Then
GoTo 20
Else
GoTo 40
End If
20: If Noch = L Then
Kotk = Kotk + 1
GoTo 10
Else
Noch = Noch + 1
Toch (Noch) = Tpost
GoTo 10
End If
40: If Noch = 0 Then
Kobs = Kobs + 1
Tnezan = Tpost - Tosv
x = Rnd (x)
Tobs = -1 / nyu * Log (x)
Tosv = Tpost + Tobs
Tsis = Tsis + Tobs
GoTo 10
Else
Voj = Tosv - Toch (1)
For i = 1 To Noch - 1
Toch (i) = Toch (i + 1)
Next i
Noch = Noch - 1
Toj = Toj + Voj
x = Rnd (x)
Tobs = -1 / nyu * Log (x)
Tsis = Tsis + Tobs + Voj
Tosv = Tosv + Tobs
Kobs = Kobs + 1
GoTo 30
End If
100: Kpr = Tnezan / Tsis
Potk = Kotk / k
q = 1 - Potk
Ab = q * L
j = j + 1
List1.AddItem (Str (j) + "-е випробування при:")
List1.AddItem ("Лямбда =" + Str (lyamda) + "Нью =" + Str (nyu) + "L =" + Str (L))
List 1. AddItem ("Кількість заявок в" + Str (j) + "випробуванні =" + Str (k) + "і витрачений час =" + Str (Tsis))
List 1. AddItem ("Імовірність відмови =" + Str (Potk))
List1.AddItem ("Коефіцієнт простою =" + Str (Kpr))
List 1. AddItem ("Відносна пропускна здатність" + Str (q))
List 1. AddItem ("обсолютная пропускна здатність" + Str (Ab))
List1.AddItem ("")
List1.AddItem ("")
a (j) = (lyamda + nyu + L) * Toj
List2.AddItem ("a (" + Str (j - 1) + ") =" + Str (a (j)))
Next L
Next nyu
Next lyamda
Label1.Caption = "tож =" + Str (a (1)) + "+" + Str (a (2)) + "lymda" + "+" + Str (a (3)) + "nyu" + " + "+ Str (a (4)) +" L "
End Sub