додати матеріал

приховати рекламу

-Алгебри та їх застосування

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ТАВРІЙСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ім. В.І. ВЕРНАДСЬКОГО

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ ТА ІНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА алгебри і функціонального аналізу

*-Алгебр та їх застосування

Дипломна робота спеціаліста


студент 5 курсу спеціальності математика

_________________________________


НАУКОВІ КЕРІВНИКИ:

асистент каф. алгебри і функціонального аналізу

_________________________________


професор, доктор фізико-математичних наук

_________________________________


РІШЕННЯ ПРО ДОПУСК ДО ЗАХИСТУ:

зав. кафедрою, професор, д.ф.м.н.

_________________________________


СІМФЕРОПОЛЬ

2003

ЗМІСТ

Вступ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 4

Глава I. Основні поняття та визначення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .6

§ 1. * - Алгебри ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 6

1.1. Визначення * - алгебри ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .6

1.2. Приклади ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 7

1.3. Алгебри з одиницею ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .7

1.4. Найпростіші властивості * - алгебр ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .9

1.5. Гомоморфізм і ізоморфізм алгебр ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11

§ 2. Уявлення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .13

2.1. Визначення і найпростіші властивості уявлень ... ... ... ... ... ... ... ... ... .13

2.2. Пряма сума уявлень ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 15

2.3. Непріводімие подання ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 16

2.4. Скінченновимірні подання ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .19

2.5. Інтегрування і дезінтегрованість уявлень ... ... ... ... ... ... ... ... .. 20

§ 3. Тензорні твори ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26

3.1. Тензорні твори просторів ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .26

3.2. Тензорні твори операторів ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 28

Глава II. Задача про двох ортопроекторах ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 31

§ 1. Два ортопроектора в унітарній просторі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 31

1.1. Постановка завдання ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 31

1.2. Одномірні *- подання *- алгебри P 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .31

1.3. Двовимірні *- подання *- алгебри P 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .32

1.4. N-мірні *- подання *- алгебри P 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 35

1.5. Спектральна теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 37

§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гільбертовому просторі ... ... 39

2.1. Непріводімие *- подання *- алгебри P 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 39

2.2. Спектральна теорема ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 41

Глава III. Спектр суми двох ортопроекторов ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 45

§ 1. Спектр суми двох ортопроекторов в унітарній просторі ... ... ... 45

1.1. Спектр ортопроектора в гільбертовому просторі ... ... ... ... ... ... ... ... ... .45

1.2. Постановка завдання ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 45

1.3. Спектр в одновимірному просторі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .45

1.4. Спектр в двовимірному просторі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... .. 46

1.5. Спектр в n-мірному просторі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 47

1.6. Лінійна комбінація ортопроекторов ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 49

§ 2. Спектр суми двох ортопроекторов в сепарабельном

гільбертовому просторі ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .52

2.1. Спектр оператора А = Р 1 + Р 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 52

2.2. Спектр лінійної комбінації А = а Р 1 + b Р 2 (0 <а <b) ... ... ... ... ... ... ... ... .. 53

Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 55

Література ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 56

ВСТУП

Нехай Н - гільбертовому просторі, L (Н) - безліч безперервних лінійних операторів в Н. Розглянемо підмножину А в L (Н), що зберігається при складанні, примноження, множенні на скаляри і сполученні. Тоді А - операторна *- алгебра. Якщо дана абстрактна *- алгебра А, то одна з основних задач теорії лінійних уявлень (*- гомоморфізмом А в L (Н)) - перерахувати всі її Непріводімие подання (з точністю до еквівалентності).

Теорія унітарних уявлень груп сходить до XIX століття і пов'язана з іменами Г. Фробеніуса, І. Шура, В. Бернсайда, Ф.Е. Моліна та ін У зв'язку з пропозиціями до квантової фізики теорія унітарних уявлень топологічних груп, груп Лі, С *- алгебр була розроблена І. М. Гельфандом, М.А. Наймарк, І. Сігалом, Ж. Діксмье, А.А. Кириловим і ін в 60-70-х роках XX століття. Надалі інтенсивно розвивається теорія зображень *- алгебр, заданих твірними і співвідношеннями.

Дипломна робота присвячена розвитку теорії зображень (скінченновимірних та нескінченновимірних) *- алгебр, породжених двома проекторами.

Глава I в короткій формі містить необхідні для подальшого відомості з теорії зображень та функціонального аналізу. У § 1 дано визначення *- алгебри та приведені найпростіші властивості цих алгебр. У § 2 викладаються основні властивості уявлень, вводяться наступні поняття: неприводимого, еквівалентність, пряма сума, інтегрування і дезінтегрованість уявлень. У § 3 визначаються тензорні твори просторів, тензорні твори операторів та ін (див. [2], [3], [4], [8], [9])

У Розділі II вивчаються подання *- алгебри P 2

P 2 = С <P 1, p 2 | p 1 2 = p 1 * = p 1, p 2 2 = p 2 * = p 2>,

породженої двома самосопряженним ідемпотентамі, тобто проекторами (див., наприклад, [12]). Знайдені всі Непріводімие *- подання *- алгебри P 2, з точністю до еквівалентності., Доведені відповідні спектральні теореми.

У § 1 розглядаються тільки Скінченновимірні *- подання π в унітарній просторі Н. Описано всі Непріводімие і нееквівалентні *- подання *- алгебри P 2. Непріводімие *- подання P 2 одномірні і двовимірні:

4 одновимірних: π 0,0 (p 1) = 0, π 0,0 (p 2) = 0; π 0,1 (p 1) = 0, π 0,1 (p 2) = 1;

π 1,0 (p 1) = 1, π 1,0 (p 2) = 0; π 1,1 (p 1) = 1, π 1,1 (p 2) = 1.

І двовимірні: , τ (0, 1).

Доведено спектральна теорема про розкладання простору Н в ортогональну суму інваріантних щодо π підпросторів Н, а також отримано розкладання π на Непріводімие *- подання. Результати § 1 відносяться до математичного фольклору.

У § 2 отримані основні результати роботи. Для пари проекторів у сепарабельном гільбертовому просторі Н наведений опис всіх непріводімий уявлень, доведена спектральна теорема.

У Розділі III спектральна теорема для пари проекторів Р 1, Р 2, застосовується до вивчення сум Р 1 + Р 2, аК 1 + b Р 2 (0 <a <b). Отримано необхідна і достатня умова на самосопряженним оператор А для того щоб А = Р 1 + Р 2 або А = аК 1 + b Р 2, 0 <a <b, (цей окремий випадок задачі Г. Вейля (1912 р.) про спектр суми пари самосопряженних операторів).

Глава I. Основні поняття та визначення

§ 1. - Алгебри

    1. Визначення - Алгебри.

Визначення 1.1. Сукупність А елементів x, y, ... називається алгебрами-
рій, якщо:

  1. А є лінійне простір;

  2. в А введена операція множення (взагалі некомутативних), удовлет-
    животворящою таким умовам:

α (xy) = x) y,

x y) = α (xy),

(Xy) z = x (yz),

(X + y) = xz + xy,

x (y + z) = xy + xz для будь-яких x, y, z А і будь-яких чисел α.

Два елементи x, y алгебри А називаються перестановки, якщо xy = yx. Алгебра А називається комутативної, якщо всі її елементи попарно пере-
становочни.

Визначення 1.2. Нехай А - алгебра над полем З комплексних чисел. Інволюцією в А називається таке відображення x → x * алгебри А в А, що

  1. (X *) * = x;

  2. (X + y) * = x * + y *;

  3. x) * = x *;

  4. (X y) * = y * x * для будь-яких x, y С.

Алгебра над С, забезпечена інволюцією, називається інволютивних алгеброю або *- алгеброю. Елемент х * називають сполученим до х. Підмножина А, зберігається при інволюції, називається само-
зв'язаним.

З властивості (i) випливає, що інволюція в А необхідно є біекціей А на А.

1.2. Приклади

  1. На А = С відображення z → (Комплексне число, поєднане до z) є інволюція, що перетворює С в комутативну *- алгебру.

  2. Нехай Т - локально компактний простір, А = С (Т) - алгебра неперервним-
    ривних комплексних функцій на Т, що прагнуть до нуля на нескінченності (тобто для будь-якого ε> 0 безліч {t T: | f (t) | ε} компактно, f (t) А. Забезпечуючи А відображенням f → отримуємо комутативну *- алгебру. Якщо Т зводиться до однієї точки, то повертаємося до прикладу 1).

  3. Нехай Н - гільбертовому просторі. А = L (H) - алгебра обмежених лінійних операторів в Н. Задамо інволюцію як перехід до парному оператору. Тоді А - *- алгебра.

  4. Позначимо через К (Н) сукупність всіх компактних операторів в гільбертовому просторі Н; операції додавання, множення на число і множення визначимо як відповідні дії з операторами. Тоді К (Н) буде *- алгеброю, якщо ввести інволюцію АА * (А К (Н)). Алгебра К (Н) у разі нескінченного Н є алгебра без одиниці. Дійсно, якщо одиничний оператор I належить К (Н), то він переводить відкритий одиничний куля S H в себе. Значить I не може бути компактним оператором.

  5. Позначимо через W сукупність всіх абсолютно збіжних рядів .

Алгебра W є *- алгебра, якщо покласти . ( )

1.3. Алгебри з одиницею

Визначення 1.3. Алгебра А називається алгеброю з одиницею, якщо А містить елемент е, що задовольняє умові

ех = хе = х для всіх х А (1.1.)

Елемент е називають одиницею алгебри А.

Теорема 1.1. Алгебра А не може мати більше однієї одиниці.

Доказ. Дійсно, якщо е - також одиниця в А, то

е х = хе = х, для всіх х А (1.2.)

Вважаючи в (1.1.) Х = е, а в (1.2.) Х = е, отримаємо:

її = е е = е і е е = її = е, отже е = е.

Теорема 1.2. Всяку алгебру А без одиниці можна розглядати як подалгебру деякої алгебри А з одиницею.

Доказ. Шукана алгебра повинна містити всі суми х = α е + х, х А, з іншого боку, сукупність всіх таких сум утворює алгебру А, в якій основні операції визначаються формулами:

β (α е + х) = βα е + β х, 1 е + х 1) + 2 е + х 2) = (α 1 + α 2) е + (х 1 + х 2),

1 е + х 1) 2 е + х 2) = α 1 α 2 е + α 1 х 2 + α 2 х 1 + х 1 х 2 (1.3.)

Кожен елемент х з А представляється єдиним чином у вигляді

х = α е + х, х А, так як за умовою А не містить одиниці. Тому А можна реалізувати як сукупність усіх формальних сум х = α е + х, х А, в якій основні операції визначаються формулами (1.3.); Сама алгебра А вийде при α = 0.

Алгебру А можна також реалізувати як сукупність всіх пар (α, х), х А, в якій основні операції визначаються за формулами:

β (α, х) = (βα, β х), 1, х 1) + (α 2, х 2) = (α 1 + α 2, х 1 + х 2),

1, х 1) 2, х 2) = (α 1 α 2, α 1 х 2 + α 2 х 1 + х 1 х 2), (1.4.)

аналогічно тому, як визначаються комплексні числа. Саму алгебру А можна тоді розглядати як сукупність всіх пар (0, х), х А і не робити різниці між х і (0, х). Вважаючи е = (0, х), ми отримаємо:

(Α, х) = α (1, 0) + (0, х) = α е + х,

так що друга реалізація алгебри А рівносильна першої.

Перехід від А до А називається приєднанням одиниці.

Визначення 1.4. Елемент y називається лівим зворотним елементу х, якщо xy = e. Елемент z називається правим зворотним елементу х, якщо xz = e.

Якщо елемент х має і лівий, і правий зворотні, то всі ліві і праві зворотні елемента х збігаються. Дійсно, множачи обидві частини рівності yx = e праворуч на z, отримаємо

z = (yx) z = y (xz) = ye,

У цьому випадку говорять, що існує зворотний х -1 елемента х.

1.4. Найпростіші властивості - Алгебр

Визначення 1.5. Елемент х *- алгебри А називається ермітових або самосопряженним, якщо х * = х, нормальним, якщо хх * = х * х. Ідемпотентний Ерміта елемент називається проектором. Елемент алгебри називається ідемпотентним, якщо всі його (натуральні) мірою збігаються.

Кожен Ерміта елемент нормальний. Безліч ермітових елементів є речовий векторное підпростір А. Якщо х і y ермітових, то (xy) *= y * x * = yx; отже, xy Ерміта, якщо x і y перестановки. Для кожного х А елементи хх * і х * х ермітових. Але, взагалі кажучи, Ерміта елемент не завжди наведемо у цьому виді, як показує приклад 1 з пункту 1.2. Дійсно, для будь-якого z C , Але якщо z дійсно негативне число, то його не можна представити у вигляді .

Теорема 1.3. Всякий елемент х *- алгебри А можна уявити, і до того ж єдиним чином, у вигляді х = х 1 + i х 2, де х 1, х 2 - ермітових елементи.

Доказ. Якщо таке подання має місце, то х * = х 1 + i х 2, отже:

, (1.5.)

Таким чином, це подання єдино. Зворотно, елементи х 1, х 2, визначені рівністю (1.5.), Ермітових і х = х 1 + i х 2.

Ці елементи х 1, х 2 називаються ермітових компонентами елемента х.

Зауважимо, що хх * = х 1 2 + х 2 2 + i 2 х 1 - х 1 х 2),

хх * = х 1 2 + х22 - i 2 х1 - х1х2)

так що х нормальний тоді і тільки тоді, коли х 1 і х 2 перестановки.

Так як е * е = е * є Ерміта елемент, то е * = е, тобто одиниця Ерміта елемент.

Якщо А - *- алгебра без одиниці, а А - алгебра, отримана з А приєднанням одиниці, то, поклавши при х А, ми визначимо інволюцію в А, задовольняє всім вимогам визначення 2. Так що А стане *- алгеброю. Кажуть, що А є *- алгебра, отримана з А приєднанням одиниці.

Теорема 1.4. Якщо х -1 існує, то (х *) -1 також існує і

(Х *) -1 = -1) *

Доказ. Застосовуючи операцію * до обох частин співвідношення

х -1 х = хх -1 = е,

отримаємо х * (х -1) *= (х *) -1 х *= е.

Але це означає, що -1) * є зворотний до х *.

Подалгебра А 1 алгебри А називається *- подалгеброй, якщо з х А 1 випливає, що х * А 1 .

Непорожнє перетин *- подалгебр є також *- подалгебра. Зокрема, перетин всіх *- поалгебр, що містять дане безліч S А, є мінімальна *- подалгебра, що містить S.

Коммутативна *- алгебра називається максимальною, якщо вона не міститься ні в якій іншій комутативної *- подалгебре.

Теорема 1.5. Якщо В - максимальна коммутативна *- подалгебра, що містить нормальний елемент х, і якщо х -1 існує, то х -1 В.

Доказ. Так як х т х * перестановки з усіма елементами з В, то цим же властивістю володіють х -1 і (х *) -1 = -1) *. В силу максимальності У звідси випливає, що х -1 В.

Визначення 1.6. Елемент х А - *- алгебри називається унітарною, якщо хх * = х * х = е, інакше кажучи, якщо х звернемо і х = (х *) -1.

У прикладі 1 п.1.2. унітарні елементи - комплексні числа з модулем, рівним 1.

Унітарні елементи А утворюють групу з множенню - унітарну групу А. Дійсно, якщо x і y - унітарні елементи *- алгебри А, то

((Х y) *) -1 = (у * х *) -1 = (х *) -1 (y *) -1 = xy,

тому xy унітарії, і так як ((х -1) *) -1 = ((х *) -1) -1 = х -1, то х -1 унітарії.

1.5. Гомоморфізм і ізоморфізм алгебр

Визначення 1.7. Нехай А і В - дві *- алгебри. Назвемо гомоморфізмом (*- гомоморфізмом) А в В таке відображення f множини А в В, що

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (αx) = α f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x *) = f (x) *

для будь-яких х, y А, α С. Якщо відображення f биективное, то f називають изоморфизмом (*- изоморфизмом).

Визначення 1.8. Сукупність I елементів алгебри А називається лівим ідеалом, якщо:

  1. I A;

  2. З х, y I слід x + y I;

  3. З х I, а α А слід α х I.

Якщо I = А, то I називають невласним ідеалом.

Аналогічно визначається і правий ідеал. Ідеал, який є одночасно і лівим, і правим, називається двостороннім.

Усякий ідеал автоматично опиняється алгеброю.

Нехай I - двосторонній ідеал в алгебрі А. Два елементи х, y з А назвемо еквівалентними щодо ідеалу I, якщо х-y I. Тоді вся алгебра А розбивається на класи еквівалентних між собою елементів. Позначимо через А сукупність всіх цих класів. Введемо в А 1 операції додавання, множення на число і множення, виробляючи ці дії над представниками класів. Так як I - двосторонній ідеал, то результат операцій не залежить від вибору цих представників.

Отже, А 1 стає алгеброю. Ця алгебра називається фактор-алгеброю алгебри А за ідеалом I і позначається A / I.

*- Гомоморфізм алгебр описується за допомогою так званих самосопряженних двосторонніх ідеалів.

Визначення 1.9. Ідеал I (лівий, правий або двосторонній) називається самосопряженним, якщо з х I слід х * I.

Самосопряженним ідеал автоматично є двостороннім. Дійсно, відображення х → х * переводить лівий ідеал в правий і правий ідеал у лівий; якщо тому відображення х → х * переводить I в I, то I є одночасно і лівий і правий ідеал.

У фактор-алгебри A / I по самосопряженним двосторонньому ідеалу I можна визначити інволюцію наступним чином. Якщо х-y I, то х *- y * I. Тому при переході від х до х * кожен клас відрахувань х за ідеалом I переходить в деякий інший клас відрахувань по I. Всі умови з визначення 1.2. виконані; отже, A / I є *- алгебра.

Якщо х → х є *- гомоморфізм А на А, то повний прообраз I нуля (тобто ядро даного гомоморфізму) є самосопряженним двосторонній ідеал в А. Фактор-алгебра A / I *- ізоморфна *- алгебри А.

Зворотно, відображення х → [х] кожного елемента х А в якому його клас відрахувань по I є *- гомоморфізм алгебра А на A / I.

§ 2. Подання

2.1. Визначення і найпростіші властивості уявлень.

Визначення 2.1. Нехай А - *- алгебра, Н - гільбертовому просторі. Виставою А в Н називається *- гомоморфізм *- алгебри А в *- алгебру обмежених лінійних операторів L (H).

Інакше кажучи, уявлення *- алгебри А в Н є таке відображення з А в L (H), що

π (x + y) = π (X) + π (Y), π x) = α π (x),

π (xy) = π (X) π (Y), π (x *) = π (x) *

для будь-яких х, y А та α С.

Розмірність гильбертова простору Н називається розміреністю π і позначається dim π. Простір Н називається простором подання π.

Визначення 2.2. Два подання π 1 і π 2 інволютивних алгебри А в Н 1 і Н 2 відповідно, еквівалентні (або унітарно еквівалентні), якщо існує унітарний оператор U, чинний з гильбертова простору Н 1 у гільбертовому просторі Н 2, переводить π 1 (х) в π 2 (х) для будь-якого х А, тобто

U π 1 (х) = π 2 (х) U для всіх х А.

Визначення 2.3. Подання π називається циклічним, якщо в просторі Н існує вектор f такої, що безліч усіх векторів π (Х) f (для всіх х А) щільно в Н. Вектор f називають циклічним (або тоталізірующім) для подання π.

Визначення 2.4. Підпростір Н 1 Н називається інваріантним, щодо подання π, якщо π (А) Н 1 Н 1.

Якщо Н 1 інваріантне підпростір, то всі оператори π (х) (х А) можна розглядати як оператори Н 1. Звуження π (х) на Н 1 визначають подпредставленія π 1 *- Алгебри А в Н 1.

Теорема 2.1. Якщо Н 1 інваріантне підпростір Н, то його ортогональное доповнення також інваріантно.

Доказ. Нехай f ортогонален до Н 1, тобто (f, g) = 0 для всіх g Н 1. Тоді для будь-якого х А (х) f, g) = (f, π (х) * g) = (f, π (х *) g) = 0, так як π (х *) g Н 1. Отже, вектор π (х) f також ортогонален до Н 1.

Позначимо через Р 1 оператор проектування в Н на підпростір Н 1 Н 1.

Теорема 2.2. Н 1 - інваріантне підпростір тоді і тільки тоді, коли всі оператори подання перестановки з оператором проектування Р 1 на Н 1.

Доказ. Нехай Н 1 - інваріантне підпростір і f Н 1, але також π (х) f Н 1. Звідси для будь-якого вектора f Н

π (х) Р 1 f Н 1

отже, Р 1 π (х) Р 1 f = π (х) Р 1 f,

тобто Р1 π (х) Р 1 = π (х) Р 1.

Застосовуючи операцію інволюції до обох частин цієї рівності і підставляючи потім х * замість х, отримуємо, що також

Р 1 π (х) Р 1 = Р 1 π (х).

Отже, Р 1 π (х) = π (х) Р 1; оператори Р 1 і π (х) коммутіруют.

Назад, якщо ці оператори перестановки, то для f Н 1

Р 1 π (х) f = π (х) Р 1 f = π (х) f;

Отже, також π (х) f Н 1. Це означає, що Н 1 - інваріантне підпростір.

Теорема 2.3. Замкнута лінійна оболонка До інваріантних подпрост-
ранство є також інваріантне підпростір.

Доказ. Всякий елемент g з К є межа кінцевих сум виду

h = f 1 + ... + f n, де f 1, ..., f n - вектори вихідних підпросторів. З іншого боку, π (х) h = π (х) f 1 + ... + π (х) f n є сума того ж виду і має своїм межею π (х) g.

2.2. Пряма сума уявлень. Нехай I - довільна безліч. Нехай i) i I - Сімейство уявлень *- алгебри А в гільбертовому просторі Н i (i I). Нехай

| | Π i (х) | | ≤ с х

де з х - Позитивна константа, яка не залежить від i.

Позначимо через Н пряму суму просторів Н i, тобто Н = Н i. В силу (2.1.) Можна утворити безперервний лінійний оператор π (х) в Н, який індукує π i (Х) у кожному Н i. Тоді відображення х → π (х) є подання А в Н, зване прямий сумою уявлень π i і що позначається π i або π 1 ... .. π n в разі кінцевого сімейства уявлень 1 ... .. π n). Якщо i) i I - сімейство уявлень *- алгебри А, збігаються з поданням π, і якщо Card I = c, то подання π i позначається через с π. Будь-яке уявлення, еквівалентне поданням цього типу, називається кратним π.

Для доказу наступного знадобиться лема Цорна. Нагадаємо її.

Лемма Цорна. Якщо в частково впорядкованому підмножині Х всяке лінійно впорядкована підмножина має в Х верхню межу, то Х містить максимальний елемент.

Теорема 2.4. Всяке уявлення є пряма сума циклічних уявлень.

Доказ. Нехай f 00 - будь-якої вектор з Н. Розглянемо сукупність усіх векторів π (х) f 0, де х пробігає всю *- алгебру А. Замикання цієї сукупності позначимо через Н 1. Тоді Н 1 - інваріантне підпростір, в якому f 0 є циклічний вектор. Іншими словами, Н 1 є циклічне підпростір подання π.

Якщо Н 1 = H, то пропозиція доведено, інакше H-Н 1 є відмінне від {0} інваріантне підпростір. Застосовуючи до нього той самий прийом, ми виділимо циклічне підпростір Н 2 ортогональное Н 1.

Позначимо через М сукупність всіх систем α}, що складаються з взаємно ортогональних циклічних підпросторів подання; однією з таких систем є побудована вище система 1, Н 2}. Упорядкована за допомогою співвідношення включення сукупність М утворює частково упорядкований безліч, що задовольняє умовам леми Цорна; саме, верхньою межею лінійно упорядкованого безлічі систем α} М буде об'єднання цих систем. Тому в М існує максимальна система α}. Але тоді Н = Н α, інакше в інваріантному підпросторі Н - ( Н α) існувало б відмінне від {0} циклічне підпростір Н 0 і ми отримали б систему α} Н 0 М, яка містить максимальну систему α}, що неможливо.

2.3. Непріводімие подання.

Визначення 2.5. Подання називається непріводімим, якщо в просторі Н не існує інваріантного підпростору, відмінного від {0} і всього Н.

Згідно теоремі 2.2. це означає, що кожен оператор проектування, перестановною з усіма операторами уявлення, дорівнює 0 або 1.

Будь-яке подання до одновимірному просторі неприводимого.

Теорема 2.5. Подання π в просторі Н неприводимого тоді і тільки тоді, коли кожен відмінний від нуля вектор простору Н є циклічний вектор цього подання.

Доказ. Нехай подання π неприводимого. При f Н, f ≠ 0, підпростір, натягнуте на вектори π (х) f, х А, є інваріантне підпростір; чинності неприводимого подання воно збігається з {0} або Н. Але перший випадок неможливий, бо тоді одномірне простір

f | α C} інваріантно і тому збігається з Н, тобто π (х) = 0 в Н. У другому ж випадку f є циклічний вектор.

Назад, якщо подання π приводиться і К - відмінний від {0} і Н інваріантне підпростір в Н, то ніякої вектор f з До не буде циклічним для подання π в Н.

Теорема 2.6. (І. Шур) Представлення π неприводимого тоді і тільки тоді, коли коммутант π (А) в L (H) зводиться до скаляр (тобто операторам кратним одиничного).

Доказ. Нехай подання π неприводимого і нехай ограни-
ченний оператор У перестановочен з усіма операторами π (х). Припустимо спочатку, що В - Ерміта оператор; позначимо через E (λ) спектральні проектори оператора В. Тоді при будь-якому λ оператор E (λ) перестановочен з усіма операторами π (х); на увазі неприводимого подання E (λ) = 0 або E (λ) = 1, так як (E (λ) f, f) не убуває при зростанні λ, то звідси випливає, що існує λ 0 таке, що E (λ) = 0 при λ <λ 0 і E (λ) = 1 при λ> λ 0. Звідси

В = λ dE (λ) = λ 0 1.

Нехай тепер В - довільний обмежений оператор, переста-
новочний з усіма операторами π (х). Тоді В * також перестановочен з усіма операторами π (х). Дійсно,

В * π (х) = (х *) В) * = (В π (х *)) * = π (х) В *

Тому ермітових оператори У 1 = , В 2 = також перестановки з усіма операторами π (х) і, отже, кратні одиниці. Але тоді й оператор В = В 1 + i В 2 кратний одиниці, тобто В - скаляр.

Назад, нехай кожен обмежений оператор, перестановною з усіма операторами π (х), кратний одиниці. Тоді, зокрема, всякий оператор проектування, перестановною з усіма операторами π (х) кратний одиниці. Але оператор проектування може бути кратним одиниці тільки тоді, коли він дорівнює 0 або 1. Отже, уявлення неприводимого.

Визначення 2.6 Кожен лінійний оператор Т: Н Н такий, що Т π (х) = π (х) Т для будь-якого х А, називається оператором сплітають π і π.

Нехай Т: Н Н - оператор, що сплітають π і π. Тоді Т *: Н Н є оператором, що сплітають π і π, так як

Т * π (х) = (х) Т) * = π (х *)) * = π (х) Т *

Звідси отримуємо, що

Т * Т π (х) = Т * π (х) Т = π (х) Т * Т (2.1.)

Тому | T | = (T * T) 1 / 2 перестановочен з π (А). Нехай Т = U | T | - полярне розкладання Т. Тоді для будь-якого х А

U π (х) | T | = U | T | π (х) = Т π (х) = π (х) Т = π (х) U | T | (2.2.)

Якщо Ker T = {0}, то | T | (Н) всюди щільно в Н і з (2.2.) Слід

U π (х) = π (х) U (2.3.)

Якщо, крім того, = Н, тобто якщо KerT *= {0}, то U є изоморфизмом Н і Н і (2.3.) Доводить що π і π еквівалентні.

Нехай π і π - Непріводімие подання *- алгебри А в гільбертовому просторах Н і Н відповідно. Припустимо, що існує ненульовий сплітають оператор Т: Н Н. Тоді з (2.1.) Та теореми 2.6. випливає, що Т * Т і ТТ * - скалярний (≠ 0) і π, π еквівалентні.

2.4. Скінченновимірні подання.

Теорема 2.7. Нехай π - конечномерное уявлення *- алгебри А. Тоді π = π 1 ... .. π n , Де π i непріводімий.

Доказ. Якщо dim π = 0 (n = 0), то все доведено. Припустимо, що dim π = q і що наша пропозиція доведено при dim π <q. Якщо π неприводимого, то пропозиція знову доведено. В іншому випадку π = π π, причому dim π <q, dim π <q, і досить застосувати припущення індукції.

Розкладання π = π 1 ... .. π n не єдино. Тим не менш, ми отримаємо деяку теорему єдиності.

Нехай ρ 1, ρ 2 - два непріводімий подпредставленія π. Їм відповідають інваріантні підпростори Н 1 і Н 2. Нехай Р 1 і Р 2 - проектори Н на Н 1 і Н 2. Вони комутують з π (А). Тому обмеження Р 2 на Н 1 є оператор, що сплітають ρ 1 і ρ 2. Отже, якщо Н 1 і Н 2 НЕ ортогональні, то з пункту 2.3. випливає, що ρ 1 і ρ 2 еквівалентно. Це доводить, що будь неприводимого подпредставленіе π еквівалентно одному з π i . Отже, перегруп-
бенкетував π i , Отримуємо, що π = ν 1 ... .. ν m, де кожне ν i є кратне ρ i ν i неприводимого подання ν i, і ν i попарно еквівалентні. Якщо ρ - неприводимого уявлення π, то попереднє міркування показує, що відповідне інваріантне підпростір Н ортогонально всім інваріантним підпростору Н i, що відповідають ν i, крім одного. Тому Н міститься в одному з Н i. Це доводить, що кожне простір Н i визначається однозначно: Н i - це підпростір Н, породжене просторами подпредставленій π, еквівалентних ν i. Таким чином, доведено пропозицію.

Теорема 2.8. У розкладанні π = ρ 1 ν 1 ... .. ρ m ν m подання π, (де ν 1, ..., ν m непріводімий і нееквівалентний) цілі числа ρ i і класи уявлень ν i визначаються єдиним чином, як і простору уявлень.

2.5. Інтегрування і дезінтегрованість уявлень. Нагадаємо визначення борелевского простору.

Визначення 2.7. Борелевскім простором називається безліч Т, забезпечене безліччю У підмножин Т, що володіє наступними властивостями: Т В, Ø В, В інваріантно щодо рахункового об'єднання, рахункового перетину і переходу до доповнення.

Визначення 2.8. Нехай Т 1, Т 2 - борелевскіе простору. Відображення f: Т 1 Т 2 називається борелевскім, якщо повний прообраз щодо f будь-якого безлічі в Т 2 є борелевское безліч в Т 1.

Дамо кілька допоміжних визначень та тверджень.

Нехай Т - борелевское простір і μ - позитивний захід на Т.

Визначення 2.9. μ - вимірне поле гільбертовому просторі на Т є пара ε = ((H (t)) t T, Г), де (H (t)) t T - сімейство гільбертовому просторі, індекси яких пробігають Т, а Г - безліч векторних полів, що задовольняє таким умовам:

(I) Г - векторне підпростір Н (t);

  1. існує послідовність 1, х 2, ...) елементів Г таких, що для будь-якого t T елементи х n (t) утворюють послідовність H (t);

  2. для будь-якого х Г функція t → | | x (t) | | μ - вимірна;

  3. нехай х - векторне поле, якщо для будь-якого y Г функція t → (x (t), y (t)) μ - вимірна, то х Г.

Нехай ε = ((H (t)) t T, Г) μ - вимірне поле гільбертовому просторі на Т. Векторне поле х називається полем з інтегрованим квадратом, якщо х Г і | | X (t) | | 2 d μ (t) <+ ∞.

Якщо х, y - з інтегрованим квадратом, то х + y і λ х С) - теж і функція t → (x (t), y (t)) интегрируема; покладемо

(X, y) = (X (t), y (t)) d μ (t)

Тоді векторні поля з інтегрованим квадратом утворюють Гільбертів простір Н, зване прямим інтегралом Н (t) і позначається x (t) d μ (t).

Визначення 2.10. Нехай ε = ((H (t)) t T, Г) - Вимірне поле Гільбер-
тових просторів на Т. Нехай для будь-якого t T визначений оператор S (t) L (H (t)). Якщо для будь-якого х T поле t → S (t) x (t) вимірно, то t → S (t) називається вимірним операторних полем.

Нехай Т - борелевское простір, μ - позитивний захід на Т, t → Н (t) - μ - вимірне поле гільбертовому просторі на Т. Нехай для кожного t T задано уявлення π (t) *- алгебри А в Н (t): кажуть, що t → π (t) є поле уявлень А.

Визначення 2.11. Поле уявлень t → π (t) називається вимірним, якщо для кожного х А поле операторів t → π (t) х вимірно.

Якщо поле уявлень t → π (t) вимірно, то для кожного х А можна утворити безперервний оператор π (х) = π (t) (x) d μ (t) в гільбертовому простий-
ранство Н = Н (t) d μ (t).

Теорема 2.9. Відображення х → π (х) є подання А в Н.

Доказ. Для будь-яких х, y А маємо

π (х + y) = π (t) (x + y) dμ (t) = (t) (x) + π (t) (y)) dμ (t) = π (t) (x) dμ (t) +

+ π (t) (y) d μ (t) = π (х) + π (y)

Аналогічно π х) = λ π (х), π y) = π (х) π (y), π (х *) = π (х) *

Визначення 2.12. У попередніх позначеннях π називається прямим інтегралом π (t) і позначається π = π (t) dμ (t).

Визначення 2.13. Операторні поле t → φ (t) I (t) L (H (t)) де I (t)-одиничний оператор в H (t), називається діагональним оператором в Н = Н (t) dμ (t).

Нехай ε = ((H (t)) t T, Г) - μ-вимірне поле гільбертовому просторі на Т, μ 1 - міра на Т, еквівалентна μ (тобто кожна із заходів μ 1, μ абсолютно неперервна по іншій), і ρ (t) = . Тоді відображення, яке кожному х Н == Н (t) dμ (t) становить поле t → ρ (t) -1 / 2 х (t) Н 1 = Н (t) dμ 1 (t),

є ізометричний ізоморфізм Н на Н 1, званий канонічним.

Дійсно,

| | ρ (t) -1 / 2 х (t) 1 (t) | | 2 = | | Х (t) | | 2 ρ (t) -1 1 (t) = | | Х (t) | | 2 1 (t) = | | х (t) | | 2

Теорема 2.10. Нехай Т - борелевское простір, μ - міра на Т, t → Н (t) - вимірне поле гільбертовому просторі на Т, t → π (t) - вимірне поле уявлень А в Н (t),

Н = Н (t) dμ (t), π 1 = = π (t) dμ (t),

Д - алгебра діагональних операторів в Н. Нехай μ 1 - міра на Т, еквівалентна μ,

Н 1 = Н (t) dμ 1 (t), π 1 = π (t) dμ 1 (t),

Д 1 - алгебра діагональних операторів в Н 1. Тоді канонічний ізоморфізм перетворює π в π 1 і Д в Д 1.

Доказ. Нехай ρ (t) = . Канонічний ізоморфізм з Н в Н 1 є ізометричний ізоморфізм, який переводить х = x (t) d μ (t) Н в

U x = ρ -1 / 2 х (t) d μ 1 (t).

Нехай α А. Маємо

π 1 (α) U x = π (t) (α) ρ -1 / 2 х (t) d μ 1 (t) = U π (t) (α) х (t) d μ (t) = U π (α) x,

тому і перетворимо π в π 1. Тоді якщо S Д, то аналогічно SU x = US x, для будь-якого х Н.

Визначення 2.14. Нехай Т, Т 1 - борелевскіе простору; μ, μ 1 - заходи на Т і Т 1 відповідно; ε = ((H (t)) t T, Г), Z 1 = ((H 1 (t 1)) t 1 T 1, Г), - μ-вимірний і μ 1-вимірний поля гільбертовому просторі. Нехай η: Т Т 1 - борелевскій ізоморфізм, що переводить μ в μ 1; η-ізоморфізм ε на ε 1 називається сімейство (V (t)) t T, що володіє наступними властивостями:

  1. для будь-якого t T відображення V (t) є изоморфизмом Н (t) на Н 1 (η (t));

  2. для того, щоб поле векторів t → x (t) H (t) на Т було μ-вимірно, необхідно і достатньо, щоб поле η (t) V (t) х (t) Н 1 (η (t)) на Т 1 було μ 1-вимірно.

Відображення, що переводить поле х Н = Н (t) dμ (t) в поле η (t)) V (t) х (t) Н 1 = Н 1 (t) dμ 1 (t), є ізоморфізм Н на Н 1, що позначається V (t) dμ (t).

Теорема 2.11. Нехай Т - борелевское простір; μ - міра на Т, t → H (t) - μ - вимірне поле гільбертовому просторі на Т, t → π (t) - μ - вимірне поле уявлень А в H (t),

Н = Н (t) dμ (t), π = = π (t) dμ (t),

Д - алгебра діагональних операторів в Н. Визначимо аналогічним чином Т 1, μ 1, t 1 H 1 (t 1), t 1 π 1 (t 1), Н 1, π 1, Д 1.

Припустимо, що існує:

  1. N, N 1 - борелевскіе підмножини Т і Т 1, такі що μ (N) = μ (N 1) = 0;

  2. борелевскій ізоморфізм η: T \ N T \ N 1, перетворює μ в μ 1;

  3. η-ізоморфізм t → V (t) поля t → Н (t) (t Z \ N) на полі t 1 Н 1 (t 1) (t 1 Т 1 \ N 1) такий, що V (t) перетворює π (t) в π 1 (η (t)) для кожного t.

Тоді V = V (t) dμ (t) перетворює Д в Д 1 і π в π 1.

Доказ. Позначимо через I t, I t 1 поодинокі оператори в Н (t) та Н 1 (t 1). Якщо f L (T, μ) і якщо f 1 - функція на Т 1 \ N 1, що отримується з f | (T \ N) за допомогою η, то V перетворює f (t) I t dμ (t) в f 1 (t 1) I t 1 1 (t 1), тому V преоб-
разует Д в Д 1. З іншого боку, нехай α А і х = х (t) dμ (t) Н.

Тоді

V π (α) х = V π (t) (α) х (t) d μ (t) = V -1 (t 1)) π -1 (t 1)) (α) х -1 (t 1)) d μ 1 (t 1) = π 1 (t 1) (α) V -1 (t 1)) х -1 (t 1)) d μ 1 (t 1) = π 1 (α) V х

Тому V перетворює π в π 1.

Наведемо приклади прямих інтегралів.

  1. Нехай є послідовність гільбертовому просторі і дискретна міра μ на N, тобто μ (n) = 1 для будь-якого n N. Тоді

Н (n) d μ (n) = Н (n), то є прямий інтеграл зводиться до ортогонален-
ної сумі.

  1. Нехай Т = [0, 1] і в кожній точці t Т відповідає поле комплексних чисел С, і на Т задана лінійна міра Лебега dt. Тоді З dt = L 2 (0, 1).

Ізоморфізм встановлюється відображенням х = х (t) dtх (t) L 2 (0, 1).

Розкладання подання на Непріводімие подання в прямий інтеграл називають дезінтегрованість.

§ 3. Тензорні твори просторів

3.1. Тензорні твори просторів. Нехай - Кінцева послідовність сепарабельних гільбертовому просторі, - Деякий ортонормованій базис в Н к.

Утворити формальне твір

(3.1.)

α = 1, ..., α n) (N разів), тобто розглянемо уперед-
ченную послідовність ( ) І на формальні вектори (3.1.) Натягнемо гільбертовому просторі, вважаючи, що вони утворюють його ортонорміро-
ний базис. Отримане сепарабельное Гільбертів простір називається тензорним твором просторів Н 1, ..., Н n і позначається Н 1 , ..., Н n = . Його вектори мають вигляд:

f = (F α C), | | f | | 2 = <∞ (3.2.)

Нехай g = , Тоді скалярний твір визна-
ляется формулою

(F, g) = (3.3.)

Нехай f (k) = = 1, ..., n) - деякі вектори. За визначенням

f = f (1) ... f (n) = (3.4.)

Коефіцієнти f α = розкладання (3.4.) задовольняють умові (3.2.), тому вектор (3.4.) належить , При цьому

| | F | | = (3.5.)

Функція Н 1 , ..., Н n < > линейна по кожному фрагменту, а лінійна оболонка L векторів (3.4.) щільна в - Ця лінійна оболонка називається алгебраїчним (непополненним) тензорним твором просторів Н 1, ..., Н n і позначається α.

Наведене визначення тензорного твору залежить від вибору ортогонального базису в кожному співмножників . При зміні базисів отримуємо тензорне твір, ізоморфне зі збереженням своєї структури вихідного твору.

Нехай Н 1 і Н 2 - Гільбертові сепарабельние простору. Тоді конструкція тензорного твори означає наступне. Розглядається лінійна оболонка L формальних творів f 1 f 2, причому вважається, що

(F 1 + g 1) f 2 = f 1 f 2 + g 1 f 2 (3.6.)

f 1 (F 2 + g 2) = f 1 f 2 + f 1 g 2 (3.7.)

f 1) f 2 = λ (f 1 f 2) (3.8.)

f 1 λ (f 2) = λ (f 1 f 2) (3.9.)

f 1, g 1 Н 1; f 2, g 2 Н 2; λ С.

Іншими словами, лінійний простір L факторізіруется за його лінійному підмножині, натягнутому на всілякі вектори, що мають вигляд різниць між правими і лівими частинами рівностей (3.6.) - (3.9.).

Потім вводиться скалярний твір у L.

(F 1 f 2 , G 1 g 2 ) = (F 1 g 1) (f 2 g 2) (3.10.)

f 1, g 1 Н 1; f 2, g 2 Н 2,

а потім поширюється на інші елементи з факторізованного L білінійних чином.

3.2. Тензорні твори операторів. Визначимо тензорне твір обмежених операторів.

Теорема 3.1. Нехай , - Дві послідовності Гільбер-
тових просторів, - Послідовність операторів А до L к, G к). Визначимо тензорне твір А 1 ... А n = А до формулою

( ) F = ( ) = (3.11.)

(F ).

Стверджується, що ряд у правій частині (3.11.) Сходиться слабо в і визначає оператор L ( , ), Причому

| | | | = | | | | (3.12.)

Доказ. Досить розглянути випадок n = 2, тому що в силу рівності Н 1 , ..., Н n = 1 , ..., Н n -1) Н n загальний випадок виходить по індукції.

Нехай - Деякий ортонормованій базис в G до (К = 1, 2) і нехай g = G 1 G 2. Як f візьмемо вектор з Н 1 Н 2 з кінцевим числом відмінних від нуля координат f α.

Зафіксуємо α 2, β 1 Z + і позначимо через f 2) Н 1 вектор f 2) = і через g 1) G 2 - вектор g 1) = . Отримаємо

= =

= =

= =

=

З цієї нерівності слід слабка збіжність у G 1 G 2 ряду вже при довільному c Н 1 Н 2 та оцінка його норми в G 1 G 2 зверху через | | A 1 | | | | A 2 | | | | f | |. Таким чином, оператор A 1 A 2: Н 1 Н 2 G 1 G 2 визначений за допомогою (3.11.) коректно, обмежений і його норма не перевищує | | A 1 | | | | A 2 | |.

З (3.5.) Та (3.11.) Слід

| | (A 1 A 2) (f 1 f 2) | | = | | A 1 f 1 | | | | A 2 f 2 | | (f до Н до , К = 1, 2)

Підбираючи належним чином орти f 1, f 2 Останні твір можна зробити як завгодно близьким до | | A 1 | | | | A 2 | |, тому нерівність | | (A 1 A 2) | | ≤ | | A 1 | | | | A 2 | | не може виконуватися, тобто (3.12.) При n = 2 доведено.

З (3.11.) Отримуємо для А до L (H к, G к), В до L (H к, G к) (к = 1, ..., n) співвідношення

( У к) ( А к) = до А к) (3.13.)

( А к) * = А до * (3.14)

( А к) (f 1 ... f n) = A 1 f 1 ... A n f n (3.15.)

(F до H к; к = 1, ..., n)

(3.15) однозначно визначає оператор А к.

Наведемо приклад. Нехай H к = L 2 ( (0,1), d ( m к)) = L 2

Дійсно, вектору виду (3.1.) поставимо у відповідність функцію L 2. Такі функції утворюють ортонормованій базис простору L 2, тому таку відповідність породжує необхідний ізоморфізм між і L 2.

Глава II. Задача про двох ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унітарній просторі

    1. Постановка завдання. Нехай дана *- алгебра P 2

    P 2 = С 1, р 2 | Р 1 лютого = Р 1 * = р 1, р 2 2 = р 2 * = р 2>

    породжена двома проекторами, тобто двома ідемпотентнимі самосопряженним елементами.

    Покладемо u = 2 p 1 - 1, v = 2 p 2 - 1, тоді u, v самосопряженним елементи.

    u 2 = (2 p 1 - 1) 2 = 4 p 1 - 4 p 1 + 1 = 1, v 2 = 1. Таким чином u, v - унітарні самосопряженним елементи.

    Тоді *- алгебру P 2 можна задати інакше:

    P 2 = С <p 1 * = p 1, p 2 * = p 2 | p 1 2 = p 1, p 2 лютого = P 2 > = C <u * = u, v * = v | u 2 = 1, v 2 = 1>

    Це групова *- алгебра, породжена двома унітарними самосопряженним елементами.

    Потрібно знайти всі Непріводімие подання *- алгебри P 2, з точністю до унітарної еквівалентності.

    1.2. Одномірні *- подання *- алгебри P 2. Нехай π: P 2 L (H) - *- подання *- алгебри P 2. Розглянемо спочатку випадок, коли dim H = 1, тобто dim π = 1.

    P 2 = С 1, р 2 | Р 1 лютого = Р 1 * = р 1, р 2 2 = р 2 * = р 2>

    Позначимо через Р к = π к), к = 1,2. Оскільки р до 2 = р к * = р к (к = 1, 2) і π - *- подання, то Р к 2 = Р к * = Р к (к = 1, 2) - ортопроектори в Н на підпросторі Н к = {y H | Р до y = y } К = 1, 2.

    Можливі такі випадки:

    1. Н 1 = Н 2 = {0}; тоді Р 1 = 0, Р 2 = 0.

    2. Н 1 = Н (тобто dim H 1 = 1), Н 2 = {0}, тоді Р 1 = 1, Р 2 = 0.

    3. Н 1 = {0}, Н 2 = Н (тобто dim H 2 = 1), тоді Р 1 = 0, Р 2 = 1.

    4. Н 1 = Н 2 = Н (dim H 1 = dim H 2 = 1), тоді Р 1 = 1, Р 2 = 1.

    Так як dim H = 1, то ми можемо отримати 4 одновимірних непріводімий *- уявлень P 2, причому вони нееквівалентний.

    1.3. Двовимірні *- подання *- алгебри P 2. Позначимо через Н до область значень оператора Р до при к = 1,2. Нехай Н до - Ортогональное доповнення підпростору Н к (к = 1,2) в Н. Тоді Н = H 1 Н 1 , Н = H 2 Н 2

    Введемо додаткові позначення:

    Н 0,0 = Н 1 ∩ Н 2 ┴, Н 0,1 = Н 1 ∩ Н 2, Н 1,0 = Н 1 ∩ Н 2 ┴, Н 1,1 = Н 1 ∩ Н 2. (1.1.)

    Нехай dim H = 2. припустимо, що існують i і j такі, що H ij нетривіально, тобто dim H ij = 1. Нехай, наприклад, dim Н 1,0 = 1 (інші випадки аналогічні). Тоді в H існує ненульовий вектор h такий, що Н 1,0 = Л.О. {H}, але тоді P 1 h = h, P 2 h = 0; отже Н 1,0 інваріантне підпростір. Значить в цьому випадку *- подання π не може бути непріводімим.

    Будемо вважати, що H ij = {0} для будь-яких i = 0, 1 і j = 0, 1, (тобто H ij лінійно незалежні) і dim H 1 = dim H 2 = 1. Тоді в Н можна знайти два ортогональних базису {e 1, e 2} і {g 1, g 2}, в яких матриці операторів Р 1 і Р 2 мають вигляд . Знайдемо матрицю оператора Р 2 в базисі {e 1, e 2}.

    Нехай g 1 = a 11 e 1 + a 12 e 2

    g 2 = a 21 e 1 + a 22 e 2

    e 1 = b 11 g 1 + b 12 g 2

    e 2 = b 21 g 1 + b 22 g 2

    Розглянемо вектори h 1 = e it e 1 і h 2 = e il e 2, тоді

    | | H 1 | | = | | e it e 1 | | = | | e 1 | | = 1, | | h 2 | | = | | e il e 2 | | = | | e 2 | | = 1

    (H 1, h 2 ) = (E it e 1, e il e 2) = e i (t - l) (e 1, e 2) = 0, тобто {h 1, h 2} - ортонормованій базис.

    Р 1 h 1 = E i t Р 1 e 1 = h 1, Р 1 h 2 = E il Р 1 e 2 = 0.

    Значить в базисі {h 1, h 2} матриця оператора Р 1 також має вигляд . Тоді можна вважати, що a 11, a 12> 0 (так як, наприклад, a 11 e 1 = | a 11 | e it e 1 = | a 11 | h 1)

    (E 1, e 2 ) = 0, значить a 11 a 21 = a 12 a 22 = 0 або , Тоді існує таке комплексне число r, що

    a 22 = - R a 11

    a 21 = r a 12

    Базис (e 1, e 2 ) ортонормованій; отже

    a 11 лютого + a 12 лютого = 1

    | A 22 | 2 + | a 21 | 2 = 0

    тоді | r | = 1.

    Р 2 e 1 = Р 2 (b 11 g 1 + b 12 g 2) = b 11 g 1 = B 11 a 11 e 1 + b 11 a 12 e 2,

    Р 2 e 2 = Р 2 (b 21 g 1 + b 22 g 2) = b 21 g 1 = B 21 a 11 e 1 + b 21 a 12 e 2.

    Знайдемо b 11 і b 21:

    e 1 = b 11 g 1 + b 12 g 2 = b 11 (a 11 e 1 + a 12 e 2) + b 12 (a 21 e 1 + a 22 e 2) = (b 11 a 11 + b 12 a 12) e 1 + (b 11 a 12 + b 12 a 22) e 2,

    b 11 a 11 + b 12 a 12 = 1

    b 11 a 12 + b 12 a 22 = 0 або

    b 11 a 11 + b 12 a 12 r = 1

    b 11 a 12 - b 12 a 11 r = 0,

    Тоді b 11 = a 11.

    Аналогічно

    E 2 = b 21 g 1 + b 22 g 2 = (b 21 a 11 + b 22 a 21) e 1 + (b 21 a 12 + b 22 a 22) e 2,

    b 21 a 11 + b 22 a 21 = 0

    b 21 a 12 + b 22 a 22 = 1,

    звідси знаходимо, що b 21 = a 12.

    Тоді матриця оператора Р 2 в базисі {e 1, e 2 } Буде мати вигляд (позначимо її також через Р 2)

    Р 2 = , Де a 11> 0, a 12> 0 і a 11 лютого + a 12 лютого = 1

    А) Нехай a 11 лютого = τ, тоді a 2 грудня = 1 - τ, a 11 a 12 = . Оскільки a 11 a 12> 0, то τ (0, 1).

    Тоді Р 2 = .

    В) Покладемо a 11 = cos φ, тоді a 12 = sin φ і Р 2 запишеться наступним чином

    Р 2 = .

    Знайдемо коммутант π (P 2). Нехай Т = оператор перестановною з Р 1 і Р 2, тоді

    ТР 1 = =

    Р 1 Т = =

    Отже b = c = 0.

    ТР 2 = =

    Р 2 Т = =

    Отже a = d. Тоді Т скалярний оператор і по лемі Шура (теорема 2.6. Глава I) подання π неприводимого.

    Покажемо, що всі ці уявлення нееквівалентний.

    Нехай τ, ν (0, 1), τν. Припустимо, що існує унітарний оператор в Н, що встановлює еквівалентність. Тоді

    U Р 1 = Р 1 U, отже U = , A, b C

    U Р 2 (τ) = =

    Р 2 (ν) U = = .

    Тоді τ = ν, отже U = 0 і подання нееквівалентний.

    Теорема 1.1. Нехай π: P 2 L (H) - *- подання *- алгебри P 2.

    Тоді:

    (I) Усі одномірні і нееквівалентні подання мають вигляд: π 0,0 (p 1) = 0; π 0,0 (p 2) = 0; π 1,0 (p 1) = 1; π 1,0 (p 2) = 0; π 0,1 (p 1) = 0; π 0,1 (p 2) = 1; π 1,1 (p 1) = 1; π 1,1 (p 2) = 1;

    (Ii) Всі двовимірні Непріводімие і нееквівалентні подання мають вигляд: π (p 1) , Π (p 2) τ (0, 1).

    Доказ випливає з сказаного вище і в пункті (ii) можна покласти π (p 2) = φ (0, ).

    1.4. N - мірні *-вистави *-алгебри P 2. Розглянемо випадок непарної розмірності простору Н. Якщо dim Н = 2 n +1, де n> 1 натуральне, то виконується нерівність

    max (dim Н 1, dim Н 1 ┴) + max (dim Н 2, dim Н 2 ┴)> 2 n +1 (1.4.)

    Тоді обов'язково знайдуться такі i = 0,1 і j = 0,1, що Н i, j ≠ {0}, отже, існує нетривіальне інваріантне підпростір щодо *- подання π, але тоді π приводиться.

    Нехай тепер dim Н = 2 n, n> 1 натуральне. Будемо вважати, що dim Н 1 = n, dim Н 2 = n і Н i, j = {0} для будь-яких i = 0,1 і j = 0,1, тобто Н i, j лінійно незалежні. Якщо це не так, то знову буде виконуватися нерівність (1.4.) Та *- подання π виявиться приводиться. За цих умов справедлива лема.

    Лемма 1.1. Існує х ≠ 0, х Н 1 такий, що Р 1 Р 2 х = λ х, де λ С.

    Доказ. Нехай , ортонормованій базиси в Н, в яких матриці операторів Р 1 і Р 2 мають вигляд , Де I - одинична матриця порядку n. Нехай базиси (е) та (g) пов'язані рівняннями

    к = 1, ..., n к = 1, ..., n

    Так як х Н 1, то , G k C, к = 1, ..., n. Тоді

    Р 1 Р 2 х = Р 1 Р 2 = Р 1 Р 2 = Р 1 =

    = Р 1 = = ( ) =

    Таким чином отримуємо систему лінійних однорідних рівнянь щодо q 1, ..., q n:

    =

    j = 1, ..., n

    Підбираючи λ C так, щоб визначник цієї системи звернувся в нуль, отримаємо ненульове рішення q 1, ..., q n. Це доводить лему.

    Лемма 1.2. Нехай елемент х задовольняє умовам леми 15. Тоді L = Л.О. {Х, Р 2 х} - інваріантне підпростір в Н щодо Р 1 і Р 2.

    Доказ. Перевіримо інваріантність L. Для будь-яких a, b З маємо

    Р 1 (a х + b Р 2 х) = a х + λ b х = (a + Λ b) х L,

    Р 2 (a х + b Р 2 х) = a Р 2 х + b Р 2 х = (a + B) Р 2 х L

    dim L = 2, так як Н i, j = {0} (для всіх i, j = 0,1).

    Дійсно, якщо a х + b Р 2 х = 0, де, наприклад, а0, то х = Р 2 х, значить = 0 або 1 і х Н 1,1; тоді Н 1,1 ≠ {0}.

    Отже, отримуємо пропозицію.

    Теорема 1.2. Якщо dim Н = n, n> 2, то немає непріводімий *- перед-
    ставлений *- алгебри P 2. Всі Непріводімие Скінченновимірні *- подання одномірні і двовимірні.

    1.5. Спектральна теорема. Нехай dim Н = n. У цьому пункті ми отримаємо розкладання на Непріводімие *- подпредставленія вихідного *- подання π *- алгебри P 2, а також розкладання простору Н на інваріантні підпростори щодо π.

    Теорема 3.1. (Спектральна теорема). Існує єдине розкладу
    ня Н в ортогональну суму інваріантних щодо Р 1 і Р 2 підпросторів

    Н = Н 0,0 Н 0,1 Н 1,0 Н 1,1 ( 2 Н к)), (1.1.)

    де кожному підпростір Н до відповідає одне φ до (0, ), Φ доφ i при доi, dim Н к = n к = 1, ..., m). Нехай Р i, j: Н Н i, j , Р φ до: Н З 2 Н к - ортопроектори к = 1, ..., m. Тоді існують єдині розкладання операторів

    I = P 0,0 P 0,1 P 1,0 P 1,1 ( Р φ к), (1.2.)

    P 1 = P 1,0 P 1,1 ( ( I к)) (1.3)

    Р 2 = P 0,1 P 1,1 ( I к)) (1.4)

    де I до - одиничний оператор на Н к = 1, ..., m).

    Доказ. Нехай dim Н i, j = n i, j. Відразу можемо записати розклад

    Н = Н 0,0 Н 0,1 Н 1,0 Н 1,1 Н, де dim Н парне число. Використовуючи лему 1.2. і теорему 2.1. глави I можемо написати розкладання Н в ортого-
    нальна суму інваріантних двовимірних підпросторів, що визначаються параметром φ до (0, ):

    Н = Н φ к, (l = n - )

    Збираючи разом все Н φ к, у яких одне φ к, отримаємо ізоморфізм

    Н φ до ... Н φ доЗ 2 Н к, де Н φ до n до примірників, dim φ до ... Н φ к) = 2 n до dim 2 Н к) = dim З 2 dim Н к = 2 n к. Отже, отримуємо розкладання (1.1.)

    Н = Н 0,0 Н 0,1 Н 1,0 Н 1,1 ( 2 Н к))

    Нехай π i, j - звуження π на Н i, j (I, j = 0,1), π до - Звуження π на Н φ к = 1, ..., m), тобто π i, j і π до - *- Подпредставленія.

    Враховуючи кратності подпредставленій отримуємо

    π = n 0,0 π 0,0 n 0,1 π 0,1 n 1,0 π 1,0 n 1,1 π 1,1 ( n до π к) (1.5.)

    В силу теореми 2.8. глави I розкладання (1.1.) та (1.5.) єдині.

    З (1.1.) Слід розкладання одиничного оператора I (1.2.)

    I = P 0,0 P 0,1 P 1,0 P 1,1 ( Р φ к)

    Тоді ортопроектори Р 1 і Р 2 візьмуть вид

    P 1 = P 1,0 P 1,1 ( ( I к))

    Р 2 = P 0,1 P 1,1 ( I к))

    Причому n 1,0 π 1,0 1) = P 1,0, n 0,1 π 0,1 (p 2) = P 0,1, n 1,1 π 1,1 1) = P 1,1, n 0,0 π 0,0 (p 2) = P 0,0. В силу теореми 2.8. глави I розкладання I, Р 1 і Р 2 також визначаються однозначно.

    § 2. Два ортопроектора в сепарабельном гільбертовому просторі

    2.1. Непріводімие *-вистави *-алгебри P 2. Нехай А = Р 1 - Р 1 = 2Р 1 - I і В = Р 2 - Р 2 = 2Р 2 - I. Тоді А 2 = I, В 2 = I. Отже А і В самосопряженним унітарні оператори в Н. Покладемо U = АВ, тоді U -1 = ВА і А-1 U А = А U А = А 2 ВА = ВА = U -1, отже

    U А = А U -1 або А U = U -1 А (2.1.)

    Лемма 2.1. Оператори А і В непріводімий тоді і тільки тоді, коли оператори А і U непріводімий.

    Доказ. Припустимо, що А і В непріводімий. Нехай існує нетривіальне інваріантне підпростір L щодо операторів А і U. Тоді UL = АВ L L, але тоді В L А L L, тобто пара А, В - приводиться.

    Назад, нехай А і U непріводімий. Якщо оператори А і В приводяться, тобто L Н: А L L і В L L, то з включення АВ L А L L слід приводимості А і U, що неможливо.

    Лемма 2.2. Ортопроектори Р 1 і Р 2 непріводімий тоді і тільки тоді, коли А і В непріводімий.

    Доказ. Нехай Р 1 і Р 2 наведені оператори, коли існує нетривіальне інваріантне підпростір L Н таке, що Р 1 L L, Р 2 L L. Розглянемо А L = (2Р 1 - I) L L, В L = (2Р 2 - I) L L, тобто А і В приводиться.

    Назад, нехай А і В приводяться оператори, тоді Р 1 і Р 2 також будуть наведені, так як Р 1 L = L L, Р 2 L = L L, для будь-якого інваріантного щодо А і В підпростору L в Н.

    Лемма 2.3. Якщо e i φ (U), то e - i φ (U).

    Доказ.

    1) Якщо e i φ належить точкового спектру оператора U, то існує f Н: | | f | | = 1 і U f = e i φ f. Тоді по (2.1.) U А f = А U -1 f = e i φ А f, отже, А f власний вектор оператора U, тобто e - i φ належить спектру U.

    2) Якщо e i φ (U), то існує послідовність одиничних векторів в Н | | f n | | = 1 така, що

    | | U f n - e i φ f n | | = | | U А f n - e i φ A f n | | = | | U -1 А f n - e i φ A f n | | 0 при n → ∞ (| | А f n | | = 1)

    Тоді e i φ (U -1), отже e - i φ (U).

    Теорема 2.1. Непріводімие пари А і В самосопряженних операторів лише одномірні і двовимірні.

    Доказ. Розглянемо співвідношення

    А (U + U -1) = А U + А U -1 = (U -1 + U) А

    А (U - U -1) = А (U 2 - 2I + U -2) = (U 2 - 2I + U -2) А = (U - U -1) 2 А

    Таким чином А (U + U -1) = (U -1 + U) А (2.2.)

    А (U - U -1) = (U - U -1) 2 А (2.3.)

    Пара А і U непріводімий (лема 2.1.), Тоді за теоремою 2.6. глави I маємо

    U + U -1 = c I

    (U - U -1) 2 = d 2 I

    де c, d С. По теоремі перетворення спектрів e i φ + e - i φ = c, e i φ - e - i φ = ± d.

    1. Якщо d = 0, то (U) складається з однієї точки e i φ, де φ = 0 або φ = π, і U = I або U = - I. Так як А, U непріводімий пара, то dim Н = 1 і А = + I або А = - I. Оскільки існує одномірне інваріантне підпростір y оператора А: Л.О. {(A + I) x}, х H.

    2. Якщо d ≠ 0, то (U) дискретний і складається з двох точок e i φ = і e - i φ = φ (0, π)

    Власне підпростір оператора U, що відповідає власному значенню e i φ (або e - i φ), Н ei φ = {f H | U f = e i φ f} одновимірно. Дійсно, підпростір, натягнуте на власні вектори f і A f для оператора U: U f = e i φ f, U f) = e i φ А f інваріантно щодо операторів U і А. U і А непріводімий, значить dim Н ei φ = dim Н - ei φ = 1

    Таким чином, всі Непріводімие пари операторів U і А такі, що (U) = {e i φ, e - i φ} φ (0, π) в базисі з власних векторів оператора U мають вигляд:

    А = , U = , В =

    Теорема 2.2. Непріводімие пари Р 1, Р 2 ортопроекторов лише одномірний-
    ни та двовимірні.

    Доказ. Відразу випливає з леми 2.2.

    2.2. Спектральна теорема. Нехай Н - сепарабельное гільбертовому просторі, тоді справедлива наступна теорема.

    Теорема 2.3. (Спектральна теорема у формі операторів множення). Паре ортопроекторов Р 1 і Р 2 в сепарабельном гільбертовому просторі Н відповідає розкладання

    Н = Н 0,0 Н 0,1 Н 1,0 Н 1,1 ( 2 L 2 ((0, ), D ρ к))) (2.4.)

    де ρ 1> ρ 2> ... ρ до заходів на інтервалі (0, ), Таке, що мають місце рівності

    P 1 = P 1,0 P 1,1 ( ( I к)) (2.5.)

    Р 2 = P 0,1 P 1,1 ( I к)) (2.6.)

    I до - одиничний оператор в L 2 ((0, ), D ρ к)

    Доказ. Простір Н можна представити у вигляді ортогональної суми інваріантних підпросторів

    Н = Н 0,0 Н 0,1 Н 1,0 Н 1,1 Н, тобто отщепить все одномірні подання від початкового. Н складається з інваріантних двовимірних підпросторів.

    Всякому позитивного функціоналу F в *- алгебри P 2 відповідає циклічне уявлення π F *- алгебри P 2 в деякому гільбертовому просторі Н F. При цьому Н F можна реалізувати як L 2 (F), тобто як Гільбертів простір всіх функцій з інтегрованим квадратом у міру μ F на Т.

    Нехай кожному вектору ξ Н поставимо у відповідність підпростір Н ξ Н, яке виходить замиканням безлічі векторів виду π (х) ξ, де х А. Обмеження операторів з π (А) на Н ξ є циклічним уявленням. Позначимо його через π ξ, а відповідну міру на Т через μ ξ. Введемо впорядкування в Н, вважаючи ξ> η, якщо μ ξ > Μ η (тобто μ η абсолютно неперервна в міру μ ξ).

    Якщо η Н ξ, то Н η Н ξ, тоді π η - циклічне подпредставленіе π ξ. Нехай Е Т і μ ξ (Е) = 0, тоді μ η (Е) = 0, отже μ ξ > Μ η, а значить ξ> η.

    Безліч максимальних векторів всюди щільно в Н. Нехай існує рахункове розкладання Н = Н η к. Нехай i} - послідовність, в якій кожен з векторів η i зустрічається нескінченне число разів. Визначимо ξ до індуктивно, так, щоб виконувалися умови:

    1. ξ до +1 - максимальний вектор в ( Н ξ i) ┴,

    2. d к, Н ξ i) .

    Тоді розкладання Н = Н ξ до таке що ξ к> ξ до +1 і μ к> μ к +1.

    Нехай подання π μ в L 2 (Т, μ) і π ν в L 2 (Т, ν) еквівалентні. Нехай v: L 2 (Т, μ) → L 2 (Т, ν) встановлює їх еквівалентність ізоморфізм. Покладемо f = 1, а = v (f), тоді для будь безперервної функції g на Т v (g) = v π μ (g) f = π ν (g) vf = π ν (g) a = G a. Так як v - ізометричне відображення, то d μ = | a | 2 d ν. Таким чином міра μ абсолютно неперервна в міру ν. Аналогічно, розглядаючи зворотний оператор, одержуємо, що ν абсолютно неперервна по μ, тобто ці заходи еквівалентні. Значить існує розкладання Н = 2 L 2 (Т, μ к)), де μ 1> μ 2> ... і відповідні цим заходам подання непріводімий і нееквівалентний. Це доводить рівність (2.4.). Тоді з (2.4.) Слідують формули:

    P 1 = P 1,0 P 1,1 ( ( I к))

    Р 2 = P 0,1 P 1,1 ( I к))

    I до - одиничний оператор в L 2 ((0, ), D ρ к).

    Теорема 2.4. (Спектральна теорема у формі розкладання одиниці). Паре ортопроекторов Р 1 і Р 2 в сепарабельном гільбертовому просторі Н відповідає розкладання

    Н = Н 0,0 Н 0,1 Н 1,0 Н 1,1 З 2 Н (φ) d Е (φ) (2.7.)

    в прямий інтеграл інваріантних щодо Р 1, Р 2 підпросторів і певне на Т = (0, ) Розкладання d Е (φ) одиничного оператора I + = E (0, ) В Н + = З 2 Н (φ) d Е (φ), таке що має місце рівність

    P 1 = P 1,0 P 1,1 I + (2.8.)

    Р 2 = P 0,1 P 1,1 d Е (φ) (2.9.)

    Доказ. Всякий самосопряженним оператор А, який діє у Н, изометрически ізоморфний оператору множення на незалежну змінну в просторі L 2 (R, d ρ к), де ρ до залежить від розкладання одиниці оператора А. Тоді доказ спектральної теореми у формі розкладання одиниці слід безпосередньо з спектральної теореми у формі операторів множення.

    Глава III. Спектр суми двох ортопроекторов

    § 1. Спектр суми двох ортопроекторов в унітарній просторі

    1.1. Спектр ортопроектора в гільбертовому просторі.

    Теорема 1.1. Нехай Н - гільбертовому просторі. Якщо Р - ортопроектор, то (Р) = р (Р) = {0, 1}, де р (Р) - точковий спектр за умови, що Р ≠ 0 і Р ≠ I.

    Доказ. Розглянемо вираз Р х - λ х = y, х, y Н, λ С. Тоді (1 - λ) Р х = Р y. Якщо λ ≠ 1, то Р х = Р y. Якщо х ≠ 1, то х = ( Р y - y), тоді (Р) = {0, 1}.

    Так як Р ≠ 0 і Р ≠ I, то існує х ≠ 0 такий, що Р х ≠ 0. Тоді Р (Р х) = Р х, тобто 1 р (Р). Існує y ≠ 0: (I - Р) y ≠ 0, тоді Р (I - Р) y = 0 = 0 · (I - Р) y, тобто 0 р (Р). Отже, (Р) = р (Р) = {0, 1}.

    1.2. Постановка завдання. Нехай задані два ортопроектора Р 1 і Р 2 в унітарній просторі Н. Тоді ми знаємо спектр кожного з них. Знайдемо спектр суми Р 1 + Р 2 в непріводімий уявленнях.

    1.3. Спектр в одновимірному просторі. Нехай dim H = 1. Нехай, як і вище, Н к - область значень оператора Р до к = 1,2. Позначимо через А = Р 1 + Р 2 і знайдемо (А).

    1) Р 1 = Р 2 = 0, то для будь-якого х Н А х = 0 або А х = 0 · х, тобто 0 (А).

    2) Р 1 = 0, Р 2 = I, то для будь-якого х Н 2 = Н А х = х, тобто 1 (А).

    3) Р 1 = I, Р 2 = 0, то для будь-якого х Н 1 = Н А х = х.

    4) Р 1 = Р 2 = I, то для будь-якого х Н 1 = Н 2 = Н А х = Р 1 х + Р 2 х = 2 х, тобто 2 (А).

    Таким чином, якщо dim H = 1, то (А) {0, 1, 2}.

    1.4. Спектр в двовимірному просторі. Нехай dim H = 2. Збережемо позначення (1.1.) Глави II.

    1) х Н 0,0 , Тоді А х = 0 і 0 (А).

    2) х Н 0,1 або х Н 1,0 , Тоді А х = х і 1 (А).

    3) х Н 1,1, тоді Ах = 2 х, тобто 2 (А).

    Якщо існують i, j = 0,1 такі, що Н i, j ≠ {0}, то існують k, l = 0,1 такі, що Н i, j Н k, l = H. У цьому випадку (А) {0, 1, 2}.

    Нехай тепер Н k, l = {0} для будь-яких k, l = 0,1. Припустимо, що існує одномірне інваріантне підпростір L щодо Р 1 і Р 2, тоді А L L. Нехай х L, тоді Р k х = λ до х (k = 1, 2). Так як Р k ортопроектор, то можливі випадки:

    1. λ 1 = 0, λ 2 = 0;

    2. λ 1 = 0, λ 2 = 1;

    3. λ 1 = 1, λ 2 = 0;

    4. λ 1 = 1, λ 2 = 1;

    Але це означає, що k, l = 0,1 такі, що Н k, l ≠ {0} всупереч припущенням. Тоді пара Р 1, Р 2 непріводімий. Значить ми можемо записати матриці операторів Р 1 і Р 2 в деякому ортонормированном базисі, згідно теоремі 1.1. розділу II.

    Р 1 = , Р 2 τ (0, 1)

    Знайдемо спектр лінійної комбінації ортопроекторов a Р 1 + b Р 2, a і b С. Для цього вирішимо характеристичне рівняння det (a Р 1 + b Р 2 - λI) = 0.

    (1.1.)

    Тоді , (1.2)

    Покладемо a = 1, b = 1, ε = , Тоді λ 1 = 1 + ε, λ 2 = 1 - ε і 0 <1 (оскільки 0 <1.

    Тоді (А) {0, 1, 2} {1 + ε, 1 - ε}. Причому власні значення 1 + ε та 1 - ε входять в спектр А одночасно.

    1.5. Спектр в n-мірному просторі. Нехай dim H = n. Якщо Н = К L, де K, L інваріантні підпростори щодо оператора А, то для будь-якого х Н існує єдине розкладання x = k + l, k K, l L. Нехай λ (А), тоді А х = λ х = λ k + λ l;, отже, якщо простір Н розкладено в ортогональну суму інваріантних підпросторів, то спектр оператора А можна знайти як об'єднання спектрів звужень оператора А на відповідні інваріантні підпростору.

    Використовуючи лему 1.2. розділу II, уявімо Н у вигляді ортогональної суми підпросторів Н 0 = Н 0,0, Н 1 = Н 0,1 Н 1,0, Н 2 = Н 1,1 і двовимірних, інваріантних відносно А, підпросторів Н φ до φ до (0, ), = 1, ..., s). При цьому оператори Р 1 і Р 2 непріводімий в Н φ к = 1, ..., s), і власні значення 1 + ε к, 1 - ε до входять одночасно в спектр А. Так як А *= А, то відповідні власні вектори ортогональні. Тоді має місце розкладання на власні підпростору

    Н φ к = Н 1 + ε до Н 1 - ε до , Причому dim Н 1 + ε до = dim Н 1 - ε до = 1 (1.3)

    Якщо φ доφ i, то ε доε i (так як ε к = = Cos φ к і φ до (0, )). Об'єднаймо все Н φ к, у яких однакові φ к, в один доданок, і позначимо його через Н φ к. При цьому, якщо dim Н φ к = 2 q k, тобто Н φ до складається з q k примірників двовимірних підпросторів, що відповідають одному φ к, то об'єднуючи разом всі відповідні одномірні власні підпростору, отримаємо Н φ к = Н 1 + ε до Н 1 - ε до , Dim Н 1 + ε до = dim Н 1 - ε до = Q k.

    Теорема 1.2. Самосопряженним оператор А уявімо як суми двох ортопроекторов А = Р 1 і Р 2 тоді і тільки тоді, коли

    (А) {0, 1, 2} ( {1 + ε, 1 - ε}), 0 к <1,

    причому dim Н 1 + ε до = dim Н 1 - ε до к = 1, ..., m.

    Доказ. Нехай А = Р 1 і Р 2, тоді його спектр був знайдений вище:

    (А) {0, 1, 2} ( {1 + ε, 1 - ε}), де 0 к <1для будь-якого к = 1, ..., m.

    Назад, нехай нам відомий спектр оператора А і відомо, що розмірності відповідних власних підпросторів збігаються, тобто

    dim Н 1 + ε до = dim Н 1 - ε до . Існує єдине розкладання Н в ортогональну суму інваріантних підпросторів ((1.1.) Глава II):

    Н = Н (0) Н (1) Н (2) ( 2 Н к)) (1.4.)

    (1.4.) Можна записати інакше

    Н = Н (0) Н (1) Н (2) ( 2 1 + ε до Н 1 - ε до ))) (1.5.)

    Задамо ортопроектори Р 1 і Р 2 наступним чином

    P 1 = P Н 2 ( ( I к)) (1.6.)

    Р 2 = P Н 1 P Н 2 ( I к)) (1.7.)

    де P Н к - ортопроектор в Н на Н (к) = 1, 2), I s - одиничний оператор в H s s = 1, ..., m. Але тоді

    Р 1 + Р 2 = P Н 1 P Н 2 ( I к)) = А, при цьому А = А *

    1.6. Лінійна комбінація ортопроекторов. Нехай тепер с. З (1.2.) Слід λ 1 + λ 2 = a + B. Нехай λ 2 = ε, тоді λ 1 = a + B - ε.

    Оцінимо ε. Зауважимо, що (a + b) 2 - 4 a b (1 - τ) = (a - b) 2 + 4 a b τ> 0.

    Тоді ε = > = 0, тобто ε = 0.

    Припустимо, що εa, тоді

    a

    b - a

    (B - a) 2 +4 ab τ ≤ (b - a) 2

    ab τ ≤ 0, але ab τ> 0 і означає ε <a

    Отже,

    λ 1 = ε

    λ 2 = a + b - ε. (1.8.)

    0 <a

    Нехай dim H = n. Тоді справедлива теорема.

    Теорема 1.3. Самосопряженним оператор А уявімо як лінійної комбінації ортопроекоров А = a Р 1 + b Р 2, 0 <a <b тоді і тільки тоді, коли

    (А) {0, a, b, a + b} ( до , A + b - ε до}), 0 к <1, і

    dim Н ε до = dim Н a + b - ε до ε до , Н a + b - ε до - Власні підпростори оператора А, що відповідають ε к) к = 1, ... m.

    Доказ. Нехай А = a Р 1 + b Р 2, 0 <a <b. Знайдемо (А).

    1) х Н 0,0, то А х = 0 і 0 (А);

    2) х Н 0,1 , То А х = bx і b (А);

    3) х Н 1,0 , То А х = ax і a (А);

    4) х Н 1,1 , То А х = (a + b) x і a + b (А).

    Тоді (А) {0, a, b, a + B} ( к, a + B - ε до}), де 0 к <1, к = 1, ... m. Причому числа ε к, a + B - ε до входять одночасно в спектр А, і відповідними-
    ющие власні підпростору ортогональні і одномірні, так як А = А *. Тоді сума всіх власних підпросторів, що відповідають одному ε до також інваріантна відносно А та dim Н ε до = dim Н a + b - ε до = Q k. (З урахуванням кратності ε к)

    Зворотно. Існує єдине розкладання Н в силу (1.4.)

    Н = Н (0) Н (a) Н (b) Н (a + b) ( 2 Н к)) (1.9.)

    Де Н (0) = Н 0,0 , Н (a) = Н 1,0 , Н (b) = Н 0,1 , Н (a + b) = Н 1,1 або

    Н = Н (0) Н (a) Н (b) Н (a + b) ( ε до Н a + b - ε к) (1.10.)

    Покладемо

    P 1 = P a P a + b ( ( I к)) (1.11.)

    Р 2 = P b P a + b ( I к)) (1.12.)

    Але тоді

    a Р 1 + b Р 2 = a P a b P b + b) P a + b (A ( I к))

    (B I к)) = A.

    Спектр оператора А збігається з {0, a, b, a + B} ( к, a + B - ε до}), (0 к <1, к = 1, ... m) з побудови та А = А * як речовинна комбінація ортопроекторов.

    § 2. Спектр суми двох ортопроекторов в сепарабельном гільбертовому просторі

    2.1. Спектр оператора А = Р 1 + Р 2. Вивчимо оператор Р 1 + Р 2 в сепарабельном гільбертовому просторі.

    Теорема 2.1. Самосопряженним оператор А уявімо як суми двох ортопроекторов А = Р 1 + Р 2 тоді і тільки тоді, коли (А) = [0, 2] і простір Н можна розкласти в ортогональну суму інваріантних відносно А просторів

    Н = Н 0 Н 1 Н 2 ( 2 L 2 ((0, ), D ρ к))) (2.1.)

    і заходи ρ до інваріантні щодо перетворення 1 + х 1 - х.

    Доказ. Нехай А = Р 1 + Р 2. Н 0 = Н 0,0 , Н 1 = Н 1,0 Н 0,1 , Н 2 = Н 1,1

    Поставимо у відповідність φ → ε cos φ, де φ (0, ). Тоді, як було знайдено вище, спектр (А) [0, 2] і Н можна розкласти (спираючись на спектральну теоремі 2.3. Глави II) в ортогональну суму (2.1.)

    Н = Н 0 Н 1 Н 2 ( 2 L 2 ((0, 2), d ρ к)))

    Оскільки власні підпростору, відповідні власним значенням А 1 + ε, 1 - ε, 0 <1 входять одночасно в спектр та їх значення збігаються, то кожна міра ρ до = 1, 2, ...) повинна бути інваріантної щодо перетворення 1 + х 1 - х.

    Зворотно. Нехай має місце (2.1.) Та (А) [0, 2]. Тоді поставимо ортопроектори Р 1 Р 2 равенствами

    Р 1 = P 1 P 2 ( ( I к))

    Р 2 = P 2 ( I к))

    де P i: Н Н i (i = 0, 1, 2) ортопроектор, I k - одиничний оператор в L 2 ((0, 2), d ρ к)). Тоді А = Р 1 + Р 2 - Самосопряженним оператор, спектр якого міститься в [0, 2], так як Р к = 1, 2) є сумою ортопроекторов на взаємно ортогональні простору.

    2.2. Спектр лінійної комбінації А = a Р 1 + b Р 2 (0 <a <b). Розглянемо тепер випадок, коли А = a Р 1 + b Р 2 (0 <a <b).

    Теорема 2.2. Самосопряженним оператор А уявімо як лінійної комбінації двох ортопроекторов А = a Р 1 + b Р 2, 0 <a <b тоді і тільки тоді, коли (А) [0, a] [B, a + b] і Н можна представити у вигляді ортогональної суми інваріантних відносно А просторів

    Н = Н 0 Н a Н b Н a + b ( 2 L 2 ([0, a] [B, a + b], d ρ к)))) (2.2.)

    і заходи ρ до інваріантні щодо перетворення х → a + b.

    Доказ. Нехай А = a Р 1 + b Р 2 (0 <a <b). Нехай Н 0 = Н 0,0, Н а = Н 0,1, Н b = Н 1,0 , Н a + b = Н 1,1. Так як (А) [0, a] [B, a + b] і власні підпростору, що відповідають власним значенням оператора А входять в Н одночасно (причому їх розмірності збігаються) то аналогічно теоремі 2.1. отримуємо

    Н = Н 0 Н a Н b Н a + b ( 2 L 2 ([0, a] [B, a + b], d ρ к))))

    де заходи ρ к (к = 1, 2, ...) інваріантні відносно перетворення х → a + b-х.

    Назад, нехай (А) [0, a] [B, a + b] і є розкладання Н (2.2.). Тоді поставимо Р 1 і Р 2 наступним чином

    P 1 = P a P a + b ( ( I к))

    Р 2 = P b P a + b ( I к))

    де Р α: Н Н α , Α = a, b, a + b - ортопроектори, I до - одиничний оператор в L 2 ([0, a] [B, a + b]). Тоді

    А = a Р 1 + b Р 2 = a Р 1 b Р 2 (A + b) P a + b ( ( I к))

    ( I к))

    ВИСНОВОК

    У дипломній роботі вивчена пара ортопроекторов в сепарабельном гільбертовому просторі Н, наведений опис всіх непріводімий і нееквівалентні *- подання *- алгебри P 2.

    P 2 = С <p 1, p 2 | p к 2 = p к * = p к>.

    А саме: 4 одновимірних π 0,0 (p 1) = 0, π 0,0 (p 2) = 0; π 0,1 (p 1) = 0, π 0,1 (p 2) = 1; π 1,0 (p 1) = 1, π 1,0 (p 2) = 0; π 1,1 (p 1) = 1, π 1,1 (p 2) = 1.

    І двовимірні: , τ (0, 1)

    Вивчено спектр операторів Р 1 + Р 2, a Р 1 + b Р 2 (0 <a <b), а також необхідні і достатні умови представимости самосопряженним оператора А у вигляді А = Р 1 + Р 2 і А = a Р 1 + b Р 2 (0 <a <b).

    ЛІТЕРАТУРА

    1. Ахієзер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі, М., Наука, 1966.

    2. Березенскій Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функціональний аналіз, К., Вища школа, 1990.

    3. Браттелі У., Робінсон Д. Операторні алгебри і квантова статистична механіка: З *- W *-алгебри. Групи симетрій. Розкладання станів., М., Мир, 1982.

    4. Діксмье Ж. З *- алгебри та їх подання. М., Наука, 1974.

    5. Кириллов А.А. Елементи теорії зображень. М., Наука, 1978.

    6. Кужель О.В. Алгебри кінцевого рангу, С. СГУ, 1979.

    7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.

    8. Мерфі Д. З *- алгебри і теорія операторів. М., Мир, 1998.

    9. Наймарк М.А. Нормовані кільця. М., Гостехиздат, 1956.

    10. Рудін В. Функціональний аналіз. М., Світ, 1975.

    11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.

    12. Samoilenko YS, Representation theory of algebras, Springer, 1998.

    Додати в блог або на сайт

    Цей текст може містити помилки.

    Математика | Диплом | 515.5кб. | скачати

    Схожі роботи:
    Розвиток функціональної лінії в курсі алгебри 7-9 класів на прикладі підручників з алгебри під ред
    Розвиток функціональної лінії в курсі алгебри 9 липня класів на прикладі підручників з алгебри під ред
    Основна теорема алгебри
    Абелеві універсальні алгебри
    Використання алгебри матриць
    Основні поняття алгебри множин
    Позначення та визначення тензорною алгебри
    Методичний матеріал по викладанню алгебри
    Практичні програми алгебри висловлювань
    © Усі права захищені
    написати до нас
    Рейтинг@Mail.ru