додати матеріал

приховати рекламу

функція

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

МІНІСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУКОВО - ТЕХНОЛОГІЧНОЇ
ПОЛІТИКИ І ОСВІТИ
ФГТУ ВПО «Приморський ДЕРЖАВНА
СІЛЬСЬКОГОСПОДАРСЬКА АКАДЕМІЯ »
ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ І БІЗНЕСУ
Реферат
Тема: «Функція»
                              Виконав: Ярмонтовіч Д.А.
Перевірила:
Уссурійськ 2006

ЗМІСТ
· 1) Введніе
· 2) Лінійна функція
· 3) Квадратична функція
· 4) Степенева функція
· 5) Показова функція (експоненти)
· 6) Логарифмічна функція
· 7) Тригонометрична функція
·-Функція синус
·

-Функція косинус
·-Функція тангенс
·-Функція котангенс
· 8) Зворотній функція
·-Arcsin x
·-Arctg x
· 9) Список Літератури

введення

До елементарним функцій відносяться раціональні, статечні, показова і логарифмічні функції, а також тригонометричні і зворотні тригонометричні функції. До класу елементарних функцій, крім того, відносять також складні функції, утворені з перерахованих вище елементарних функцій.

Функція-залежність змінної у від змінної x, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.
Змінна х - незалежна змінна або аргумент.
Змінна у - залежна змінна
Значення функції - значення у, відповідне заданому значенню х.
Область визначення функції-всі значення, які приймає незалежна змінна.
Область значень функції (безліч значень) - всі значення, які приймає функція.
Функція є парною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f (x) = f (- x)
Функція є непарною - якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f (- x) =- f (x)
Зростаюча функція - якщо для будь-яких х 1 і х 2, таких, що х 12, виконується нерівність f (х 1) <f (х 2)
Спадна функція - якщо для будь-яких х 1 і х 2, таких, що х 12, виконується нерівність f (х 1)> f (х 2)

Лінійна функція.
Це функція виду $ F (x) = kx + b; \ mathcal {D} (f) = \ mathbb {R} $ . Число $ K $ називається кутовим коефіцієнтом, а число $ B $ - Вільним членом. Графіком $ {\ Gamma} _f $ лінійної функції служить пряма на координатній площині $ XOy $ , Не паралельна осі $ Oy $ .
Кутовий коефіцієнт $ K $ дорівнює тангенсу кута $ {\ Alpha} $ нахилу графіка $ {\ Gamma} _f $ до горизонтального напрямку - позитивному напрямку осі $ Ox $ .

Графік лінійної функції - пряма
1. Область визначення - всі дійсні числа.
2. Область значень - всі дійсні числа.
3. Якщо k = 0, то графік буде паралельний осі абсцис і буде проходити через точку (0; b).
4. Лінійна функція ні парна ні непарна.
5. Функція зростає якщо k> 0,
Функція спадає якщо k <0.
6. Функція неперервна.

Квадратична функція.
Це функція виду $ F (x) = ax ^ 2 + bx + c; \ mathcal {D} (f) = \ mathbb {R} $ ,
Графіком $ {\ Gamma} _f $ квадратичної функції служить парабола з віссю, паралельною осі $ Oy $ . При $ B = c = 0 $ вершина параболи опиняється в точці $ O (0; 0) $ .

Парабола $ Y = ax ^ 2 $ ( $ A> 0 $ )
У загальному випадку вершина лежить в точці $ M_0 (x_0; y_0); x_0 =- \ frac {b} {2a}; y_0 = f (x_0) = c-\ frac {b ^ 2} {4a} $ . Якщо $ A> 0 $ , То "роги" параболи спрямовані вгору, якщо $ A <0 $ , То вниз.

. Парабола з вершиною в точці $ M_0 $ ( $ A> 0 $ )
1. Область визначення квадратичної функції - вся числова пряма.
2. При b ¹ 0 функція не є парному і не є непарною. При b = 0 квадратична функція - парна.
f (x) = x 2
f (x) = (x +1 / 2) 2
y
0
x
y
Підпис: f (x) = x2


3.
x
0
-1 / 2
Підпис: -1 / 2

Рис. 4 Рис. 5
4. Квадратична функція неперервна і диференційовна у всій області визначення.
5. Функція має єдину критичну точку
6. X =- b / (2 a). Якщо a> 0, то в точці x =- b / (2 a) функція має мінімум. При x <- b / (2 a) функція монотонно убуває, при x> - b / (2 a) монотонно зростає.
a. Якщо а <0, то в точці x =- b / (2 a) функція має максимум. При x <- b / (2 a) функція монотонно зростає, при x> - b / (2 a) монотонно убуває.
b. Точка графіка квадратичної функції з абсцисою x =- b / (2 a) і ординатою y = - ((b 2 -4 ac) / 4 a) називається вершиною параболи.
7. Область зміни функції: при a> 0 - безліч значень функції [- ((b 2 -4 ac) / 4 a); + ¥); при a <0 - безліч значень функції (- ¥ ;-( (b 2 -4 ac) / 4 a)].
8. Графік квадратичної функції перетинається з віссю 0 y в точці y = c. У випадку, якщо b 2 -4 ac> 0, графік квадратичної функції перетинає вісь 0 x в двох точках (різні дійсні корені квадратного рівняння); якщо b 2 -4 ac = 0 (квадратне рівняння має один корінь кратності 2), графік квадратичної функції стосується осі 0x в точці x =- b / (2 a); якщо b 2 -4 ac <0, перетину з віссю 0 x немає.
a. З подання квадратичної функції у вигляді (1) також випливає, що графік функції симетричний відносно прямої x =- b / (2 a) - образу осі ординат при паралельному перенесенні r = (- b / (2 a); 0).
b. Графік функції
9. F (x) = ax 2 + bx + c
10. (Або f (x) = a (x + b / (2 a)) 2 - (b 2 -4 ac) / (4 a)) може бути отриманий з графіка функції f (x) = x 2 наступними перетвореннями :
а) паралельним перенесенням r = (- b / (2 a); 0);
б) стисненням (або розтягуванням) до осі абсцис в а разів;
в) паралельним перенесенням r = (0; - ((b 2 -4 ac) / (4 a))).
Степенева функція.
Це функція виду $ F (x) = x ^ {{\ alpha}} $ , $ {\ Alpha} \ in \ mathbb {R} $ . Розглядаються такі випадки:
а). Якщо $ {\ Alpha} \ in \ mathbb {N} $ , То $ \ Mathcal {D} (f) = \ mathbb {R} $ . Тоді $ F (0) = 0 $ , $ F (1) = 1 $ ; Якщо число $ {\ Alpha} $ - Парне, то і функція $ F $ - Парна (тобто $ F (-x) = f (x) $ при всіх $ X \ in \ mathcal {D} (f) $ ); Якщо число $ {\ Alpha} $ - Непарне, то і функція $ F $ - Непарна (тобто $ F (-x) =- f (x) $ при всіх $ X \ in \ mathcal {D} (f) $ ).

Графік степеневої функції при $ {\ Alpha} = 1,2,3,4 $
б) Якщо $ {\ Alpha} \ in \ mathbb {Z} $ , $ {\ Alpha} \ leqslant 0 $ , То $ \ Mathcal {D} (f) = \ mathbb {R} \ diagdown \ {0 \} $ . Ситуація з парністю і непарного при цьому така ж, як і для $ {\ Alpha}> 0 $ : Якщо $ {\ Alpha} $ - Парне число, то і $ F (x) = \ dfrac {1} {x ^ {- {\ alpha}}} $ - Парна функція; якщо $ {\ Alpha} $ - Непарне число, то і $ F (x) $ - Непарна функція.

Графік степеневої функції при $ {\ Alpha} = 0, -1, -2, -3 $
Знову зауважимо, що $ F (1) = 1 $ при всіх $ {\ Alpha} $ . Якщо $ {\ Alpha} = 0 $ , То $ {F (x) = x ^ 0 = 1} $ при всіх $ X $ , Крім $ X = 0 $ (Вираз $ 0 ^ 0 $ не має сенсу).
в). Якщо $ {\ Alpha} $ - Не ціле число, то, за визначенням, при $ {\ Alpha}> 0 $ : $ \ Mathcal {D} (f) = \ {x \ in \ mathbb {R}: x \ geqslant 0 \} $ ; Тоді $ F (0) = 0 $ , $ F (1) = 1 $ .

Графік степеневої функції при $ {\ Alpha}> 0 $
При $ {\ Alpha} <0 $ , За визначенням, $ \ Mathcal {D} (f) = \ {x \ in \ mathbb {R}: x> 0 \} $ ; Тоді $ F (1) = 1 $ .

Графік степеневої функції при $ {\ Alpha} <0 $
1. Область визначення статечної функції - множина всіх позитивних чисел.
2. Область значення статечної функції - множина всіх позитивних чисел.
3. Степенева функція неперіодичних, не є парною і не є непарною.
4. Степенева функція неперервна у всій області визначення.
5. Степенева функція диференційовна у всій області визначення, і її похідна обчислюється за формулою
(X a) ¢ = a. X a -1.
Степенева функція x a монотонно зростає у всій області визначення при a <0.
6.
1
y = x 5 / 2
1
y
Підпис: 1

                                            
y = x 1 / 2
y

0 1 x 0 1 x
7. При a <0 і a> 1 графік статечної функції спрямований увігнутістю вгору, а при 0 <a <1 - увігнутістю вниз.

Показова функція (експонента).
Це функція виду $ F (x) = a ^ x $ ( $ A> 0 $ , $ A \ ne1 $ ). Для неї $ \ Mathcal {D} (f) = \ mathbb {R} $ , $ F (0) = 1 $ , $ F (1) = a $ , І при $ A> 1 $ графік має такий вигляд:

. Графік показовою функції при $ A> 1 $
При $ A <1 $ вигляд графіка такий:

Ріс.1.20.Графік показовою функції при $ A <1 $
1. Число $ A $ називається підставою показовою функції. Область визначення функції - вся числова пряма.
2. Область значення функції - множина всіх позитивних чисел.
3. Функція неперервна і диференційовна у всій області визначення. Похідна показовою функції обчислюється за формулою
(A x) ¢ = a x ln a
4. При а> 1 функція монотонно зростає, при а <1 монотонно убуває.
5. Показова функція має обернену функцію, звану логарифмічною функцією.
6. Графік будь показовою функції перетинає вісь 0y в точці y = 1.
7. Графік показовою функції - крива, спрямована увігнутістю вгору.
Логарифмічна я функція.
Це функція виду $ F (x) = \ log_ax $ ( $ A> 0 $ , $ A \ ne1 $ ). Для неї $ \ Mathcal {D} (f) = \ {x \ in \ mathbb {R}: x> 0 \} $ , $ F (1) = 0 $ , $ F (a) = 1 $ , І при $ A> 1 $ графік має такий вигляд:

Графік логарифмічної функції при $ A> 1 $
При $ A <1 $ графік виходить такий:

Графік логарифмічної функції при $ A <1 $
1. Число $ A $ називається підставою логарифма. Звернемо увагу читача на те, що з точністю до поворотів і симетричних відображень на останніх чотирьох кресленнях зображена одна і та ж лінія. Область визначення логарифмічної функції - проміжок (0; + ¥).
2. Область значення логарифмічної функції - вся числова прчмая.
3. Логарифмічна функція неперервна і диференційовна у всій області визначення. Похідна логарифмічної функції обчислюється за формулою
(Log a x) ¢ = 1 / (x ln a).
4. Логарифмічна функція монотонно зростає, якщо а> 1. При 0 <a <1 логарифмічна функція з основою а монотонно убуває.
5. При будь-якій підставі a> 0, a ¹ 1, мають місце рівності
log a 1 = 0, log a a = 1.
6. При а> 1 графік логарифмічної функції - крива, спрямована увігнутістю вниз, при 0 <a <1 - крива, спрямована увігнутістю вгору.

тригонометричні функції
Функції sin a, cos a, tg a, ctg a називаються тригонометричними функціями кута a. Крім основних тригонометричних функцій sin a, cos a, tg a, ctg a.
Функція синус
.
$ F (x) = \ sin x $ . Для неї $ \ Mathcal {D} (f) = \ mathbb {R} $ ; Функція періодична з періодом $ 2 \ pi $ і непарних. Її графік такий:

Графік функції $ \ Sin x $


Синусом числа х називається число, рівне синусу кута в радіанах.
1. Область визначення - множина всіх дійсних чисел.
2. Область значення - проміжок [-1; 1].
3. Функція sin х - непарна: sin (-х) =- sin х.
4. Функція sin х - періодична. Найменший позитивний період дорівнює 2p:
sin (х +2 p) = sin х.
5. Нулі функції: sin x = 0 при x = p n, n Î Z.
6. Проміжки знакопостоянства:
sin х> 0 при x Î (2p n; p +2 p n), n Î Z,
sin х <0 при x Î (p +2 p n; 2p +2 p n), n Î Z.
7. Функція sin х неперервна і має похідну при будь-якому значенні аргументу:
(Sin х) ¢ = cos x.
8. Функція sin х зростає при xÎ ((-p / 2) +2 p n; (p / 2) +2 p n), n Î Z,
і убуває при xÎ ((p / 2) +2 p n; ((3p) / 2) + 2p n), n Î Z.
9. Функція sin х має мінімальні значення, рівні -1, при х = (-p / 2) +2 p n, n Î Z, і максимальні значення, що дорівнюють 1, при х = (p / 2) +2 p n, n Î Z .

Функція косинус.
$ F (x) = \ cos x $ . Ця функція пов'язана з синусом формулою приведення: $ \ Cos x = \ sin (x + \ frac {\ pi} {2}) $ ; $ \ Mathcal {D} (f) = \ mathbb {R} $ ; Період функції $ \ Cos $ дорівнює $ 2 \ pi $ ; Функція $ \ Cos $ парні. Її графік такий:

1.Графік функції $ \ Cos x $ Область визначення - множина всіх дійсних чисел.
2.Область значення - проміжок [-1; 1].
3.Функції cos х - парна: cos (-х) = cos х.
4.Функції cos х - періодична. Найменший позитивний період дорівнює 2p:
cos (х +2 p) = cos х.
5.Нулі функції: cos х = 0 при x = (p / 2) +2 p n, n Î Z.
6.Промежуткі знакопостоянства:
cos х> 0 при x Î ((-p / 2) +2 p n; (p / 2) +2 p n)), n Î Z,
cos х <0 при x Î ((p / 2) +2 p n); ((3p) / 2) + 2p n)), n Î Z.
7.Функції cos х неперервна і диференційовна при будь-якому значенні аргументу:
(Cos х) ¢ =- sin x.
8.Функція cos х зростає при xÎ (-p +2 p n; 2p n), n Î Z,
і убуває при xÎ (2p n; p + 2p n), n Î Z.
Функція cos х має мінімальні значення, рівні -1, при х = p +2 p n, n Î Z, і максимальні
Функція тангенс.
$ F (x) = \ mathop {\ rm tg} \ nolimits x $ (В англомовній літературі позначається також $ \ Tan x $ ). За визначенням, $ \ Mathop {\ rm tg} \ nolimits x = \ dfrac {\ sin x} {\ cos x} $ . Функція $ \ Mathop {\ rm tg} \ nolimits $ непарних і періодична з періодом $ \ Pi $ ;
$ \ Displaystyle \ mathcal {D} (f) = \ bigcup_ {k \ in \ mathbb {Z}} (- \ frac {\ pi} {2} + k \ pi; \ frac {\ pi} {2} + k \ pi), $
тобто $ X $ не може приймати значень $ X = \ frac {\ pi} {2} + k \ pi $ , $ K \ in \ mathbb {Z} $ , При яких $ \ Cos x $ (Що стоїть у знаменнику) звертається в нуль.

1.Графік функції $ \ Mathop {\ rm tg} \ nolimits x $ Область визначення функції - множина всіх дійсних чисел, крім числа х = p / 2 + p n, n Î Z.
2.Область значення - безліч всіх дійсних чисел.
3.Функції tg х - непарна: tg (-х) =- tg х.
4.Функції tg х - періодична. Найменший позитивний період функції дорівнює p:
tg (x + p) = tg х.
5.Нулі функції: tg x = 0 при x = p n, n Î Z.
6.Промежуткі знакопостоянства:
tg х> 0 при x Î (p n; (p / 2) + p n), n Î Z,
tg х <0 при x Î ((-p / 2) + p n; p n), n Î Z.
7.Функції tg х неперервна і диференційовна при будь-якому значенні аргументу з області визначення:
(Tg х) ¢ = 1/cos 2 x.
8.Функція tg х зростає в кожному із проміжків ((-p / 2) + p n; (p / 2) + p n), n Î Z,
Функція котангенс.
$ F (x) = \ mathop {\ rm ctg} \ nolimits x $ (В англомовній літературі також $ \ Cot x $ ). За визначенням, $ \ Mathop {\ rm ctg} \ nolimits x = \ dfrac {\ cos x} {\ sin x} $ . Якщо $ X \ ne \ dfrac {k \ pi} {2} $ ( $ K \ in \ mathbb {Z} $ ), То $ \ Mathop {\ rm ctg} \ nolimits x = \ dfrac {1} {\ mathop {\ rm tg} \ nolimits x} $ . Функція $ \ Mathop {\ rm ctg} \ nolimits $ непарних і періодична з періодом $ \ Pi $ ;
$ \ Displaystyle \ mathcal {D} (f) = \ bigcup_ {k \ in \ mathbb {Z}} (k \ pi; (k +1) \ pi), $
тобто $ X $ не може приймати значення виду $ X = k \ pi $ , $ K \ in \ mathbb {Z} $ , При яких $ \ Sin x $ звертається до 0.

1.Графік функції $ \ Mathop {\ rm ctg} \ nolimits x $ Область визначення функції - множина всіх дійсних чисел, чисел виду х = p n, n Î Z.
2.Область значення - безліч всіх дійсних чисел.
3.Функції сtg х - непарна: сtg (-х) =- сtg х.
4.Функції сtg х - періодична. Найменший позитивний період функції дорівнює p:
сtg (х + p) = ctg х.
5.Нулі функції: ctg х = 0 при x = (p / 2) + p n, n Î Z.
6.Промежуткі знакопостоянства:
ctg х> 0 при x Î (p n; (p / 2) + p n), n Î Z,
ctg х <0 при x Î ((p / 2) + p n; p (n +1)), n Î Z.
7.Функції ctg х неперервна і диференційовна при будь-якому значенні аргументу з області визначення:
(Ctg х) ¢ =- (1/sin 2 x).
8.Функція ctg х убуває в кожному з проміжків (p n; p (n +1)), n Î Z.
Зворотні тригонометричні функції.
Це функції арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс. Вони визначаються як функції, зворотні до головних гілок синуса, косинуса, тангенса і котангенс відповідно.
Arcsin x:
1. Область визначення - [-1; 1].
2. Область значень - [-П \ 2; п \ 2].
3. Монотонно зростаюча функція. (Рис. 12)

Графіки головною гілки $ \ Sin $ і $ \ Arcsin $
Arctg x:
1. Область визначень - R.
2. Область значень - інтервал (-П \ 2, П \ 2).
3. Монотонно зростаюча функція.
4. прямі у =- П \ 2 і у = П \ 2 - горизонтальні асимптоти. (рис. 13)

Графіки головною гілки $ \ Mathop {\ rm tg} \ nolimits $ і $ \ Mathop {\ rm arctg} \ nolimits $

Список використаної літератури
1. Ш. А. Алімов «Алгебра», М., 1981 р .
2. А. Н. Колмогоров «Алгебра і початки аналізу», М., 1991 р .
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат | 51.1кб. | скачати

Схожі роботи:
Гроші і їх функція 2
G-білки і їх функція
Функція держави
Неперервність та функція
Функція та її виклики
Функція Дірака
Гроші і їх функція
Управління як функція
Функція приналежності
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru