додати матеріал

приховати рекламу

Цікаві приклади в метричних просторах

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

Цікаві приклади
в метричних просторах:

1. У n - мірному евклідовому просторі повна обмеженість збігається зі звичайною обмеженістю, тобто з можливістю укласти дану множину в досить великий куб. Дійсно, якщо такий куб розбити на кубики з ребром e, то вершини цих кубиків будуть утворювати кінцеву -Мережу в вихідному кубі, а значить, і поготів, в будь-якій безлічі, що лежить всередині цього куба.
1. Одинична сфера S в просторі l 2 дає нам приклад обмеженого, але не цілком обмеженої множини. Розглянемо в S точки види:
е 1 = (1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),
е 2 = (0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...,
е n = (0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),
... ... ... ... ... ... ... ... ... ....

Відстань між будь-якими двома точками е n і е м (n ¹ m) дорівнює Ö2. Тому послідовність i} і будь-яка її підпослідовність не сходяться. Звідси в S не може бути кінцевою e-мережі ні при якому e <Ö2 / 2.

2. Розглянемо в l 2 безліч П точок
x = (x 1, x 2, ¼, x n, ...),
задовольняють умовам:
| X 1 | £ 1, | x 2 | £ 1 / 2, ¼, | x n | £ 1 / 2 n -1, ...
Це безліч називається фундаментальним параллепіпедом («гільбертовому цеглою») простору l 2. Воно являє собою приклад нескінченновимірного цілком обмеженої множини. Для доказу його повної обмеженості поступимо таким чином.

Нехай e> 0 задано. Виберемо n так, що 1 / 2 n-1 <e / 2. Кожній точці x = (x 1, x 2, ¼, x n, ...)

з П зіставимо точку x *= (x 1, x 2, ¼, x n, 0, 0, ...)
з того ж множини. При цьому
r (x, x *) = £ <1 / 2 n -1 <e / 2.
Безліч П * точок виду x *= (x 1, x 2, ¼, x n, 0, 0, ...) з П цілком обмежене (як обмежене безліч в n-мірному просторі). Виберемо в П * кінцеву e/2-сеть. Вона буде в той же час e-мережею у всьому П. Доведемо це.
Доказ: для "e> 0, виберемо n так, що 1 / 2 n -1 <e / 2.
"XÎ П: x = (x 1, x 2, ¼, x n, ...) зіставимо
x *= (x 1, x 2, ¼, x n, 0, 0, ...) і x * Î П. При цьому r (x, x *) <e / 2. З простору П виберемо x **: r (x *, x **) <e / 2.
Тоді: r (x, x **) £ r (x, x *) + r (x *, x **) <e / 2 + e / 2 = e.
Безліч П * містить точки виду x *= (x 1, x 2, ¼, x n, 0, 0, ...), в цій безлічі виберемо кінцеву e/2-сеть. Вона буде e-мережею в просторі П, так як r (x, x **) <e.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Завдання | 4.9кб. | скачати

Схожі роботи:
Різноманітність метричних засобів характеризують мова шекспірівських героїв
Цікаві завдання 1 клас
Цікаві й небезпечні властивості ртуті
Цікаві значення слів російської мови
Біографія та цікаві факти про Джузеппе Верді
Еволюційний процес Факти не надто відомі але цікаві мильна історія
Різноманітність метричних засобів характеризації шекспірівського героя Марк Антоній у трагедії Антоній
Приклади психологічного тестування
Криміналістика 2 Приклади здійснення
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru