Цифрові фільтри

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

А. Т. Бізін

Сибірська Державна Академія телекомунікацій та інформатики

Новосибірськ 1998

Цифрова система обробки сигналів

Обробка дискретних сигналів здійснюється як правило в цифровій формі: кожному відліку ставиться у відповідність двійкове кодове слово і, в результаті, дії над відліками замінюються на дії над кодовими словами. Таким чином дискретна ланцюг стає цифровою ланцюгом, цифровим фільтром (ЦФ). Переклад відліків в двійкові кодові слова відбувається в аналогово-цифровому перетворювачі (АЦП). На виході ЦФ (рис.3.1) здійснюється зворотна операція: кодові слова в цифро-аналоговому перетворювачі перетворюються на відліки дискретного сигналу і, нарешті, на виході, який синтезує фільтра (СФ) формується оброблений аналоговий сигнал.

Дискретна і цифрова ланцюга описуються однаковими рівняннями. Відмінність полягає в наближеному характері уявлення відліків сигналу кодовими словами кінцевої розмірності (помилки квантування). Тому сигнал на виході цифрового ланцюга відрізняється від ідеального варіанту на величину похибки квантування.

Цифрова техніка дозволяє одержати високу якість обробки сигналів незважаючи на помилки квантування: помилки (шуми) квантування можна привести в норму збільшенням розрядності кодових слів. Раціональні способи конструювання цифрової ланцюга також сприяють мінімізації рівня шумів квантування.

Розрахунок цифровий ланцюга за заданим вимогам до її характеристиками має ряд принципових особливостей залежно від наявності зворотного зв'язку. Ці особливості є наслідком кінцевої довжини імпульсного відгуку нерекурсивний ЦФ.

Тому нерекурсівние фільтри містять велику кількість елементів кола, але разом з тим мають цілий ряд важливих переваг: нерекурсівние ЦФ завжди стійкі, дозволяють будувати фільтри з мінімальної лінійної фазою, відрізняються простою настройкою. З урахуванням викладеного стають зрозумілі причини, за якими методи розрахунку нерекурсивних ЦФ і рекурсивних цифрових фільтрів прийнято розглядати окремо.

Розрахунок нерекурсивних ЦФ загального вигляду.

Мета розрахунку нерекурсивних цифрових фільтрів (рис. 3.2, а) полягає в розрахунку значення коефіцієнта і їх числа N по допусках на системні характеристики, а так само в розрахунку розрядності кодових слів і виборі оптимального динамічного діапазону ЦФ за нормами на перешкодозахищеність сигналу і вірогідність перевантаження системи , що визначається ефектами кінцевої розрядності кодових слів.

Вимоги до системних характеристиках частіше задаютс щодо однієї з них: імпульсної або частотної. Тому розрізняють розрахунок ЦФ в тимчасовій області та розрахунок ЦФ в частотній області.

Розрахунок ЦФ в тимчасовій області.

Необхідна імпульсна характеристика в загальному випадку має нескінченну довжину в часі. Тому спочатку необхідно задатися кінцевим числом N першого відліків необхідної імпульсної характеристики

.

Решта відліки з причини їх малості відкидають і визначають похибка наближення, яку можна оцінити, наприклад, за середньоквадратичним критерієм близькості.

Коефіцієнти фільтра приймаються рівними відповідним відліках необхідної імпульсної характеристики. Після розрахунку розрядності коефіцієнтом, шумів квантування і масштабуючих коефіцієнтом залишається оцінити похибку реалізованої імпульсної характеристики по відношенню до необхідної і прийняти рішення про необхідність повторного розрахунку.

Розрахунок ЦФ в частотній області.

Спочатку необхідно продовжити необхідну частотну характеристику на діапазон [0,5 wд; wд] за правилами комплексно-спряженої симетрії (рис. 3.2, б), що визначається речовим характером імпульсного відгуку. За характеристиками слід визначити N комплексних частотних відліків

,

де число N вибирається оріентіровачно з таким розрахунком, щоб плавним сполученням крапок і Цифрові фільтри необхідні криві відновилися без помітних спотворень.

Розрахунок коефіцієнтом фільтра виконується за формулою зворотного ДПФ

(3.1)

Потім необхідно розрахувати реалізовані частотні характеристики за формулами, які слідують з виразу для передавальної функції фільтра.

, Або Цифрові фільтри . (3.2)

Залишається порівняти необхідні і реалізовані характеристики і прийняти рішення про необхідність повторного розрахунку.

Розрахунки з обліку ефектів кінцевої різниці кодових слів залишаються колишніми.

Схеми і характеристики фільтрів з лінійною фазою

Нерекурсивний фільтр дозволяє отримати парну або непарну імпульсну характеристику і, як результат, лінійну ФЧХ або довільної АЧХ, що випливає з теореми про спектр парних і непарних сигналів: спектр фаз парних і непарних сигналів є лінійним.

Фільтри з парними імпульсними характеристиками називаються симетричними, з непарними - антисиметричною. Кожен із зазначених типів фільтрів має свої особливості залежно від парності числа відводів N, що зручно розглянути на конкретних прикладах.

Симетричні фільтри з непарним N.

На рис. 3.3, а наведена схема і імпульсна характеристика симетричного фільтра для випадку N = 5. Передавальна функція такого ланцюга:

H (Z) = a2 + a1Z-1 + a0Z-2 + a1Z-3 + a2Z-4 = Z-2 [a0 + a1 (Z + Z-1) + a2 (Z2 + Z-2)]

Звідси, після підстановки Z = e jwT і з урахуванням формули Ейлера

H (jw) = e-j2wT (a0 + 2a1 cos wT + 2a2cos 2wT)

отже, формули АЧХ і ФЧХ

H (w) = a0 + 2a1 cos wT + 2a2cos 2wT, j (w) =-2wT

Графік АЧХ і графіки пояснюють характер АЧХ - cos wT, cos 2wT - наведені на рис. 3.4, а.

Симетричні фільтри з парних N.

На рис. 3.3, б наведено схему та імпульсна характеристика симетричного фільтра для випадку N = 4. Передавальна функція фільтра

H (Z) = a2 + a1Z-1 + a1Z-2 + a2Z-3 = Z-1, 5 [a1 (Z0, 5 + Z-0, 5) + a2 (Z1, 5 + Z-1, 5) ]

Звідси H (jw) = e-j1, 5wT (2a1 cos 0,5 wT + 2a2cos 1,5 wT)

Відповідні формули АЧХ і ФЧХ

H (w) = 2a1 cos 0,5 wT + 2a2cos 1,5 wT, j (w) = -1,5 wT

Характер АЧХ і пояснювальні графіки - на рис. 3.4, б.

Антисиметричних фільтри з непарним N.

На рис. 3.5, а наведено схему та імпульсна характеристика антисиметричного фільтра для випадку N = 5.

Передавальна функція фільтра

H (Z) = a2 + a1Z-1 + 0Z-2 - a1Z-3 - a2Z-4 = Z-2 [a1 (Z - Z-1) + a2 (Z2 - Z-2)]

звідси H (jw) = e-j2wT j (2a1 sin wT + 2a2 sin2wT)

Тому формули АЧХ і ФЧХ

H (w) = 2a1 sin wT + 2a2 sin 2wT, j (w) =-2wT

Характер АЧХ і пояснювальні графіки - на рис. 3.6, f.

Антисиметричних фільтри з парних N.

Схема і імпульсна характеристика для випадку N = 4 наведено на рис. 3.5, б. Передавальна функція

H (Z) = a2 + a1Z-1 - a1Z-2 - a2Z-3 = Z-1, 5 [a1 (Z0, 5 - Z-0, 5) + a2 (Z1, 5 - Z-1, 5) ]

Звідси

H (jw) = e-j1, 5wT j (2a1 sin 0,5 wT + 2a2sin 1,5 wT)

Формули АЧХ і ФЧХ

H (w) = 2a1 sin 0,5 wT + 2a2 sin 1,5 wT, j (w) = -1,5 wT

Характер АЧХ і пояснювальні графіки - на рис. 3.6, б.

Загальні властивості фільтрів з лінійною фазою

Аналіз розглянутих варіантів фільтрів з лінійною фазою дозволяє зробити висновки загального характеру.

1. Симетричні фільтри.

H (0) № 0, j (w) =-wT (3.3)

а. Якщо N - непарне, то АЧХ - парна функція

H (w) = а0 + 2 аm cos mwT (3.4)

Застосовується за умови H (0,5 wд) № 0

б. Якщо N - парне, то АЧХ - непарна функція

H (w) = 2 аm cos [(m - 0,5) wT] (3.5)

Застосовується за умови H (0,5 wд) = 0

2. Антисиметричних фільтри

H (0) = 0, j (w) =-wT (3.6)

а. Якщо N - непарне, то АЧХ - непарна функція

H (w) = 2 аm sin m wT (3.7)

Застосовується за умови H (0,5 wд) = 0

б. Якщо N - парне, то АЧХ - парна функція

H (w) = 2 аm sin [(m - 0,5) wT] (3.8)

Застосовується за умови H (0,5 wд) № 0

На рис. 3.7, а, б наведено графіки, що пояснюють зазначені вище властивості.

Якщо Вашої передатна функція має в якості множника уявну одиницю, то застосовуються виключно антисиметричних фільтри. Наприклад, передатна функція диференціатора або інтегратора

H (jw) = jw, H (jw) = 1 / jw

У цьому випадку умови

Н (0) = 0, або H (0,5 wд) = 0, або H (0,5 wд) № 0

при необхідності слід відтворити штучно.

Розрахунок ЦФ з лінійною фазою. Метод зважування.

Розрахунок фільтрів з лінійною фазою починається з вибору типу фільтра (симетричний, антисиметричний) і парності N відповідно до загальних властивостями фільтрів з лінійною фазою і необхідної АЧХ.

а. Якщо М (0) № 0, то фільтр симетричний. Звідси:

N - непарне, якщо H (0,5 wд) № 0

N - парне, якщо H (0,5 wд) = 0

б. Якщо Н (0) = 0, то фільтр антисиметричний. Звідси:

N - непарне, якщо H (0,5 wд) = 0

N - парне, якщо H (0,5 wд) № 0

Після вибору типу фільтра та парності N необхідно продовжити необхідну АЧХ на діапазон [0,5 wд; wд] у відповідність з графіками на Рис. 3.7, а, б. Вибір розрахункової формули для ФЧХ, тобто (3.3) або (3.6), визначається типом фільтру.

Після виконаних процедур розрахунок фільтра здійснюється за загальними правилами розрахунку не рекурсивних ЦФ.

Приклад. Розрахувати ФНЧ з лінійною фазою за наступними вихідними даними:

ПП ® [0, 200] Гц, перехідна область ® [200, 300] Гц.

Рішення

Вибираємо fд = 800 Гц. Звідси після нормування частот W =

ПП ® [0; 0,25], ПН ® [0,375; 0,5].

Тут Н (0) № 0, тому фільтр симетричний.

H (0,5 wд) = 0, тому N - парне.

Отже, необхідну АЧХ необхідно продовжити на діапазон [0,5 wд; wд] непарних чином (Мал. 3.8, а).

Розрахунок починається з вибору величини N.

Нехай N = 8. Звідси інтервал між вибірками W1 = = 0,125.

Формула для ФЧХ (3.3): j (w) =-wT. Звідси

j (W) =-7pW, або для частот вибірки j (kW1) =-7pW1,

Відліки АЧХ - по необхідної АЧХ на графіку Рис. 3.8, а.

Отже, комплексні частотні відліки:

Н (jkW1) = {1e j0; 1e-j0, 875p; 1e-j1, 75p, 0, 0, 0;-1e-j5, 25p;-1e-j6, 125p}

Звідси розрахунок імпульсної характеристики за формулою обр. ДПФ

h (nT) = H (jkW1) ej (2p / N) kn =

= {0,065; -0,165; 0,025; 0,53; 0,53; 0,025; -0,165; 0,065}

що відповідає схемі фільтра на Рис. 3.8, б

Розрахункова формула АЧХ такого типу фільтра - (3.5).

Тому Н (W) = 1,06 cos pW + 0,05 cos 3pW - 0,33 cos 5pW + 0,13 cos 7pW

Результати розрахунку реалізованої АЧХ наведені на графіку Рис. 3.8, а (штрихова лінія).

В околиці точок розриву необхідної АЧХ (у даному прикладі це частоти 0,25 і 0,75) відхилення від норми реалізованих характеристик виходить значним внаслідок впливу ефекту Гіббса. Послабити вплив ефекту Гіббса вдається введенням вагової функції (метод зважування) до імпульсної характеристиці.

Нова імпульсна характеристика формується за правилом:

h '(nT) = W (nt) * h (nT)

Де W (nT) - вагова функція або "згладжує вікно".

Знаходять застосування різні типи вікон, наприклад "вікно" Хеммінга:

W (nT) = 0,54 + 0,46 cos [2p], (3.9)

де n = 0, 1, 2, ... (N - 1)

Для розглянутого прикладу

W (nT) = {0,08; 0,244; 0,64; 0,96; 0,96; 0,64; 0,244; 0,08}

h '(nT) = {0,005; -0,04; 0,016; 0,51; 0,51; 0,016; -0,04; 0,005}

Звідси нові коефіцієнти фільтра і нова передатна функція

H '(Z) = 0,005 - 0,04 Z-1 + 0,016 Z-2 + 0,51 Z-3 + 0,51 Z-4 + 0,016 Z-5 - 0,04 Z-6 +

+ 0,005 Z-7

Графік АЧХ з урахуванням згладжує вікна приведений на Рис. 3.9. Розрахункова функція отримана з формули для Н '(Z) після підстановки

Z = ejwT = ej2pW.

Порівнюючи реалізовані АЧХ на Рис. 3.8, а і Рис. 3.9, можна переконатися у покращенні якості апроксимації необхідної АЧХ при введенні "вікна".

З ростом N позитивний ефект від застосування "згладжує вікна" зростає.

У розглянутому прикладі норми на відхилення реалізованої АЧХ від необхідної не задані. Якщо ці норми не виконуються, то .... (Рядок ксерокопії не влізла)

Метод частотної вибірки

Коефіцієнти не рекурсивного ЦФ (Мал. 3.2, а) відповідають відліках імпульсної характеристики. Схему не рекурсивного ЦФ можна перетворити таким чином, щоб коефіцієнти фільтра відповідали відліках іншої системної характеристики - передавальної функції. Нова схема ЦФ є основою конструювання фільтрів за методом частотної вибірки.

Схема фільтра.

Схема фільтра формується за результатами еквівалентних перетворень передавальної функції не рекурсивного ЦФ

H (Z) = an Zn

де відповідно до формули зворотного ДПФ

an = h (nT) = H (jkw1) ej (2p / N) kn

отже

Н (Z) = H (jkw1) ej (2p / N) kn Zn = (ej (2p / N) kn Z-1) n

Застосовуючи тут формулу суми N перших членів геометричної прогресії

отримуємо

H (Z) = = P (Z) (3.10)

де

P (Z) = 1 - dZ-N, Fk (Z) = 1 / (1 - bkZ-1), d = ej2pk, bk = e j2pk / N (3.11)

Схема фільтра, відповідного (3.10), наведена на Рис. 3.10, а. Схеми ланок фільтра, відповідних (3.11), наведені на Рис. 3.10, б.

Схема фільтра на рис. 3.10 застосовується з урахуванням поправок, обумовлених особливостями розташування нулів і полюсів передавальної функції.

Нулі і полюси H (Z) (3.10), тобто корені рівнянь

1 - ej2pk ZN = 0, 1 - e j2pk / N Z-1 = 0

Розташовані на одиничному колі площині Z в точках

Zk = e j2pk / N

і взаємно компенсується. Але компенсація виходить неповною через кінцевої розрядності кодових слів, що призводить до стрибків частотної характеристики фільтра і, більше того, не виключена ймовірність самозбудження ланцюга. Тому рекомендується зміщувати точки Zk всередину одиничного кола на малу величину, тобто

Zk = e-aT / N e j2pk / N, де aт <10-5

що відповідає коефіцієнтам фільтра

d = e-aT e j2pk, bk = e-aT e j2pk / N (3.12)

Невелика поправка коефіцієнтів фільтра (3.12) практично не позначиться на характеристиках фільтра.

Частотна характеристика фільтра

Частотна характеристика фільтра за методом частотної вибірки виходить підстановкою

Z = ejwT,

в (3.10). Звідси, з урахуванням формули Ейлера,

H (jw) = Цифрові фільтри

отже

(3.13)

що відповідає ряду Котельникова для спектрів дискретних сигналів. Таким чином, частотну характеристику не рекурсивного ЦФ можна представити як у формі ряду Фур'є, так і у формі ряду Котельникова.

Кожна з відлікових функцій в (3.13)

(3.14)

на частоті w = kw1 приймає значення частотної вибірки H (jkw1), решта відлікові функції на цій частоті звертаються в нуль. На графіку Рис. 3.11 показана як приклад деяка АЧХ та її складові - равносмещенние відлікові функції для випадку N = 8, де відлікові функції представлені головним пелюсткою, крім модуля відлікової функції при К = 0, яка зображена повністю.

З урахуванням вищевикладеного стає зрозумілим, що регулювання частотних відліків фільтра за методом частотної вибірки є взаємонезалежні подібно взаємонезалежні регулюванню відліків імпульсної характеристики не рекурсивного ЦФ за схемою на Рис. 3.2, а.

Розрахунок фільтра починається з орієнтовного вибору величини N. Коефіцієнти фільтра прирівнюють до відповідних відліках необхідної частотної характеристики. Особливий випадок має місце в точках розриву характеристики: відліки, розташовані в околі точок розриву, тобто в перехідній області, необхідно вибирати з таким розрахунком, щоб отримати задовільний наближення реалізованої характеристики до необхідної в діапазоні частот, прилеглому до перехідної області. Найбільш часто в перехідну область потрапляє 1 або 2 відлікових частоти. У цьому випадку задовільний результат апроксимації можна отримати простим підбором модуля відліків в перехідній області.

Після перевірочного розрахунку частотних характеристик за формулою 3.10 чи 3.13 приймається рішення про необхідність повторного розрахунку.

Схема фільтра з речовими відводами

Реалізація фільтрів за схемою на Рис. 3.10, а зв'язана з деякими особливостями, зумовленими комплексним характером коефіцієнтів у відводи. Тому на практиці набув поширення ще один варіант схеми такого фільтра, що відрізняється речовим характером коефіцієнтів.

Фільтр з речовими коефіцієнтами виходить за рахунок об'єднання кожної пари відводів з індексами К і (NK), яка є комплексно-спряженої через комплексно-спряженої симетрії частотних характеристик фільтра щодо частоти 0,5 wд. У результаті

(3.15)

де a0k = cos jk, a1k =-bk cos (jk - qk), b1k =-2bk cos qk, b2k = b2k

Схема речового відводу, відповідного (3.15), наведена на Рис. 3.12.

Завершуючи обговорення фільтра з частотною вибіркою слід відзначити ще одну важливу якість таких фільтрів: у схемі відсутні ланки, відповідні нульових значень необхідної АЧХ. У результаті, наприклад, схема частотно-селективного фільтра істотно спрощується, зберігаючи при цьому можливість одержання лінійної фази.

Розрахунок рекурсивних фільтрів. Метод білінійної перетворення.

Методи розрахунку рекурсивних ЦФ можна розділити на прямі і непрямі. Прямі методи передбачають розрахунок безпосередньо рекурсивного ЦФ, непрямі використовують як проміжного етапу розрахунок аналогового фільтра (АФ).

До числа непрямих методів відноситься метод білінійної перетворення, заснований на такому перетворенні частот, при якому частотна вісь стискається до кінцевих розмірів. Формула частотного перетворення

або Цифрові фільтри

де w - реальна частота, тобто частота проектованого ЦФ, - розрахункова частота, тобто частота допоміжного АФ,, Цифрові фільтри - Відповідні комплексні частоти.

На рис. 3.13, а наведено графік залежності розрахункової частоти від реальної частоти, на Рис. 3.13, б - приклад відповідності кривих АЧХ фільтрів АФ і ЦФ.

Зв'язок комплексних змінних допоміжного АФ і реального ЦФ, тобто і Z визначається рівністю

(3.17)

Формула (3.17) виходить підстановкою в (3.16) Z = epT. У результаті

Перерахуємо послідовність етапів розрахунку ЦФ методом білінійної перетворення.

1. Перекласти необхідні характеристики і норми ЦФ у відповідні вимоги до АФ, застосовуючи формулу

2. Розрахувати передавальну функцію АФ, застосовуючи методи розрахунку аналогових фільтрів.

3. Визначити передавальну функцію ЦФ H (Z) за відомою

4. Побудувати схему ЦФ по H (Z).

5. Виконати необхідні розрахунки з обліку ефектів кінцевої розрядності.

Приклад. Розрахувати рекурсивний ЦФ нижніх частот методом білінійної перетворення за наступними вихідними даними:

ПП ® [0, 200] Гц, перех. область ® [200, 300] Гц, DА = 3 дБ, аmin = 15 дБ.

Рішення

Вибираємо fд = 800 Гц.

Контрольні частоти для перекладу норм ЦФ в норми АФ: 0, 200 Гц, 300 Гц.

Розрахункова формула для перетворення частот

У результаті

f = 0 ® ® Wн = 0

f = 200 Гц ® 1600 ® Wн = 1

f = 300 Гц ® 3840 ® Wн = 2,4

де Wн = - нормована частота ФНЧ,

= 1600 - частота зрізу ФНЧ.

Основна формула розрахунку АФ

У даному випадку достатньо обмежитися апроксимуючою поліномом Баттерворта другого порядку. Тому, враховуючи що Е = 1 для DА = 3 дБ, одержуємо

отже

Звідси полюси Н (рН): рН 1,2 = -0,707 ± j 0,707,

що відповідає нормованої передавальної функції

Підставляючи тут

,

отримуємо денормірованную передавальну функцію АФ

Після підстановки тут (3.17), отримуємо передавальну функцію рекурсивного ЦФ

Що відповідає схемі рекурсивного ЦФ, наведеної на Рис. 3.14, а.

Доречно нагадати, що схему ланцюга по дробової передавальної функції від Z зручно будувати в 2 етапи: спочатку будується не рекурсивна частина, відповідна чисельника Н (Z), потім каскадно з нею - рекурсивна частина, відповідна дробу, у чисельнику якої - одиниця.

Графік реалізованої АЧХ наведено на рис. 3.14, б.

Нелінійна залежність частотного перетворення (3.16) визначає як недоліки, так і достоїнства методу білінійної перетворення. Недолік у тому, що похилі ділянки частотної характеристики змінюють свій нахил тим більше, чим вище частота. Тому, наприклад, лінійна фаза після перетворення (3.16) стає нелінійною. Гідність визначається відсутністю помилок накладення при переході АФ ® ЦФ, що дозволяє отримати високі рівні ослаблення в ПН при конструюванні частотно-селективних фільтрів.


Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Виробництво і технології | Реферат
37.1кб. | скачати


Схожі роботи:
Цифрові частотні дискримінатори фільтри і генератори опорного сигналу
Пасивні LC-фільтри і активні RC-фільтри
Пасивні LC фільтри і активні RC фільтри
Інтегруючі цифрові вольтметри, розподілених миттєвих результатів вимірювань Цифрові вольтметри
Згладжують фільтри
Кварцові і електромеханічні фільтри
Фільтри нижніх частот
Фільтри верхніх частот
Частотні фільтри електричних сигналів
© Усі права захищені
написати до нас