Функція багатьох змінних

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Функція багатьох змінних. Межа і неперервність функції багатьох змінних. Приватні похідні.
План.
1. Визначення функції багатьох змінних.
2. Межа функції багатьох змінних. Безперервність функції багатьох змінних.
3. Приватні похідні.
1. Позначимо через D деякий безліч точок в п-мірному просторі.
Якщо задано закон f , В силу якого кожній точці М (х ;...; Х )   D ставиться у відповідність число і, то говорять, що на безлічі D визначена функція і = f (х ;...; Х ).
Безліч точок М (х ;...; Х ), Для яких функція і = f (х ;...; Х ) Визначена, називають областю визначення цієї функції і позначають D (f).
Функції багатьох змінних можна позначати одним символом і = f (М), вказуючи розмірність простору, якому належить точка М.
Функції двох змінних можна зобразити графічно у вигляді деякої поверхні.
Графіком функції двох змінних z = f (х; у) у прямокутній системі координат Оху називається геометричне місце точок у тривимірному просторі, координати яких (х; у; z) задовольняють рівнянню z = f (х; у).
2. Позначимо через (М; М ) Відстань між точками М і М . Якщо п = 2, М (х; у), М ; У ), То
(М; М ) = .
У п-мірному просторі
(М; М ) = .
Нехай на множині D задано функцію і = f (М).
Число А називається границею функції і = f (М) в точці М , Якщо для довільного числа > 0 знайдеться таке число > 0, що для всіх точок М   D, які задовольняють умові 0 < (М; М ) < , Виконується нерівність
.
Властивості границь функції однієї змінної зберігаються і для функцій багатьох змінних, тобто якщо функції f (М) і g (М) мають в точці М кінцеві межі, то
1. = З ,
        2. = ,
3. = .
4. якщо .
Зауважимо, що якщо межа існує, то він не повинен залежати від шляху, по якому точка М прагне до точки М .
Функція і = f (М) називається безперервної в точці М , Якщо
= F (М ).
Функція і = f (М) називається безперервної на безлічі D, якщо вона неперервна в кожній точці М D.
       Точки, в яких безперервність функції порушується, називаються точками розриву функція. Точки розриву можуть бути ізольованими, створювати лінії розриву, поверхні розриву і т. д. Наприклад, функція z = має розрив в точці (0; 0), а функція z = має розрив на параболі  
3. Безліч точок М, які задовольняють нерівності (М; М ) < , Називають -Околом точки М .
Нехай функція двох змінних z = f (x; у) (для більшої кількості змінних все аналогічно) визначена в деякому околі точки М (X; у). Дамо змінної х прирощення так, щоб точка (х + ; У) належала цій околиці. При цьому функція z = f (x; у) зміниться на величину
,
яка називається частковим приростом функції z = f (x; у) за змінною х.
      Аналогічно величину

називають частковим приростом функції по змінній у.
Якщо існує межа
,
то його називають приватною похідної функції z = f (x; у) в точці М (X; у) за змінною х і позначають такими символами:
, , , .
Аналогічно
= .
З таких визначень випливає, що правила обчислення похідних, збігаються з правилами диференціювання функцій однієї змінної. Варто тільки пам'ятати, що при обчисленні приватної похідною за однієї змінної інші змінні вважаються постійними.
Приватні похідні характеризують швидкість зміни функції в напрямку відповідних координатних осей.
Приватні похідні від приватних похідних , функції z = f (x; у) називаються приватними похідними другого порядку. Функція двох змінних може мати чотири приватні похідні другого порядку, які позначають так:
, ,
, .
Похідні і називаються змішаними. Можна довести, що якщо вони неперервні, то рівні між собою.
Приватні похідні від приватних похідних другого порядку називаються приватними похідними третього порядку і т. д.

Лекція 11. Тема - диференційовних функцій. Похідна у напрямі. Градієнт. Локальні екстремуми.
План.
1. Диференційовність функції. Повний диференціал. Диференціали вищих порядків.
2. Похідна у напрямі. Градієнт та його властивості.
3. Локальні екстремуми функції вищих порядків.
1. Нехай функція z = f (x; у) неперервна в деякому околі точки М (X; у) разом зі своїми приватними похідними (Х; у), (Х; у). Виберемо прирощення і так, щоб точка (х + ; У + ) Належала розглянутої околиці.
Якщо повне приріст функції z = f (x; у) в точці М (X; у)
= F (x + ; У + ) - f (x; у)
можна записати у вигляді
= (Х; у) + (Х; у) + ,
де - Нескінченно малі функції при , , То функція z = f (x; у) називається диференційованою в точці М (X; у), а лінійна відносно і частина її повного збільшення називається повним диференціалом функції і позначається
dz = + .
Диференціалами незалежних змінних називають збільшення цих змінних d х = , D в = . Тому
dz =   d х +   d у,
або в інших позначеннях
dz =   d х +   d у.
Для функції трьох змінних і = f (x; у; z)
d і =   d х +   d у +   dz.
Повний диференціал функції z = f (x; у)
dz =   d х +   d у,
який ще називають диференціалом першого порядку, залежить від незалежних змінних х, у і від їх диференціалів d х, d у. Зауважимо, що   диференціали d х, d у не залежать від х, у.
Диференціали другого порядку визначають за формулою
d 2 z = d (dz).
Тоді
d 2 z = d ( d х +   d у) = ( d х +   d у) d х + ( d х +   d у) d у = d х 2 +   d у d х +
+   d х d у + d у 2,
звідки
d 2 z = d х 2 + 2   d х d у + d у 2.
Символічно це можна записати так:
d 2 z = ( d х +   d у) 2 z.
Аналогічно можна отримати формулу для повного диференціала п-го порядку:
d п z = d (d п-1 z) = ( d х +   d у) п z.
2. Похідна функції z = f (x; у) в напрямку вектора обчислюється за формулою
+ ,
де , - Напрямні косинуси вектора :
= , = .
Якщо приватні похідні характеризують швидкість зміни функції в напрямку відповідних координатних осей, то похідна в напрямку вектора визначає швидкість зміни функції в напрямку вектора .
Градієнтом функції z = f (x; у) називається вектор
grad z = ( , ).
Властивості градієнта
1. Похідна має найбільше значення, якщо напрямок вектора збігається з напрямком градієнта, причому це найбільше значення похідної одно .
2. Похідна у напрямку вектора, перпендикулярного градієнту, дорівнює нулю.
3. Нехай функція z = f (x; у) визначена на множині D і точка М ; У ) D. Якщо існує окіл точки М , Яка належить безлічі D, і для всіх відмінних від М точок М виконується нерівність
f (М) < f 0) (f (М)> f 0)),
то точку М називають точкою локального максимуму (мінімуму) функції z = f (x; у), а число f (М 0) - локальним максимумом (мінімумом) цієї функції. Точки максимуму і мінімуму функції називають її точками екстремуму.
Теорема 5.1 (необхідні умови екстремуму). Якщо функція z = f (x; у) в точці М ; У ) Має локальний екстремум, то в цій точці приватні похідні , дорівнюють нулю або не існують.
Точки, в яких = = 0, називаються стаціонарними. Стаціонарні точки і точки, в яких приватні похідні не існують, називаються критичними.
Тому функція може досягати екстремальних значень тільки в критичних точках, а проте не всяка критична точка є точкою екстремуму.
Нехай в стаціонарній точці М ; У ) І деякої її околиці функція z = f (x; у) має безперервні приватні похідні другого порядку. Введемо позначення:
А = ; У ), В = ; У ), С = ; У ), = АС-В 2.
Теорема 5.2 (достатні умови екстремуму).
1. Якщо > 0, то функція z = f (x; у) в точці М має екстремум, причому максимум при А <0 і мінімум при А> 0.
2.   Якщо <0, то в точці М немає екстремуму.
Для випадку, коли кількість змінних п> 2, користуються такою теоремою.
Теорема 5.3 Функція і = f (х ;...; Х ) Має мінімум в стаціонарній точці М , Якщо диференціал другого порядку цієї функції в точці М позитивний d 2 f (М )> 0, і максимум, якщо d 2 f (М ) <0.
Приклад. Дослідити на екстремум функцію
z = (х + 2) 2 + (у - 1) 2.
Рішення.

Функція має одну критичну точку М (-2; 1).
А = 2, В = 0, С = 2,
= АС-У 2 = 2 * 2-0 2 = 4> 0, А> 0.
Значить, в точці М (-2; 1) функція має мінімум: min z = z (-2; 1) = (-2 +2) 2 + (1-1) 2 = 0.
Лекція 1 2. Тема - Інтегральне числення функцій. Первісна. Неопределеннний інтеграл. Методи інтегрування.
План.
1. Первісна функції. Неопределеннний інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла.
2. Таблиця основних інтегралів. Метод підстановки (заміни змінної).
3. Інтегрування по частинах. Інтеграли, які "не беруться".
Інтеграл - одне з центральних понять математики. Воно виникло у зв'язку з двома завданнями: 1) про відновлення функції за її похідною; 2) про обчислення площі криволінійної трапеції. Ці завдання призводять до двох пов'язаних між собою видів інтегралів: визначеного та невизначеного. Термін "інтеграл" ввів Якоб Бернуллі у 1690 році.
1. Функція F (x) називається первісної функції f (x) на деякому проміжку, якщо в усіх точках цього проміжку виконується рівність F '(x) = f (x).
Наприклад. первісних функцій f (x) = 3 х 2 будуть функції х 3, х 3 +1, х 3 +0,5 і взагалі F (x) = х 3 + С, де С - довільна стала, оскільки F '(x) = ( х 3 + С) '= 3 х 2. Цей приклад показує, що якщо функція f (x) має одну первісну, то вона має їх нескінченно багато. Виникає питання: як знайти всі Первісні даної функції, якщо відома одна з них? Відповідь дає така теорема.
Теорема 6.1 Якщо F (x) - первообразная функції f (x) на деякому проміжку, то всяка інша первообразная функції f (x) на цьому проміжку має вигляд F (x) + С, де С - довільна постійна.
Безліч всіх первісних F (x) + С функції f (x) називають невизначеним інтегралом функції f (x) і позначають . Таким чином, за визначенням
= F (x) + С, якщо F '(x) = f (x).
При цьому f (x) називають подинтегральной функцією, f (x) d х - Фундаментальний вираз, х - змінною інтегрування, знак - Знаком інтеграла, С - постійної інтегрування.
Операцію знаходження первісної функції f (x) називають інтегруванням цієї функції.
Операції диференціювання та інтегрування є зворотними по відношенню один до одного.
Виникає питання: для кожної чи функції f (x) існує первообразная, а значить, і невизначений інтеграл? Виявляється не для кожної. Але справедлива така
Теорема 6.2. Будь-яка неперервна на проміжку [a; b] функція має на цьому проміжку первісну.
Властивості невизначеного ІНТЕГРАЛА
1. ( ) '= f (x).
2. = F (x) + С.
3. D = F (x) d х.
4. = .
5. Якщо = F (x) + С і і = - Довільна функція, яка має безперервну похідну, то
= F (і) + С.
Зокрема,
=   F (a x + b) + С.
Із дуже важливої ​​властивості 5 випливає, що таблиця інтегралів залишається вірною незалежно від того, чи є змінна інтегрування незалежної змінної або довільної диференційованою функцією. Таким чином, з однієї формули можна отримувати багато інших.
Приклад.
= + С = = + С, = = + С, = + С.
2. ТАБЛИЦЯ ОСНОВНИХ Інтеграли
1. .
2.
3. а> 0, .
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
Безпосереднім інтегруванням називають обчислення інтегралів за допомогою основних властивостей невизначеного інтеграла і таблиці інтегралів.
Приклад.

Метод підстановки є одним з основних методів інтегрування. Більше того, вивчення методів інтегрування в основному зводиться до з'ясування того, яку підстановку треба зробити в тому чи іншому випадку.
Приклад.

Цей приклад можна було б вирішити і так:

Такий метод інтегрування називається методом введення функції під знак диференціала.
3. Нехай і (х), v (x) - функції, які мають на деякому проміжку безперервні похідні. Тоді
d (uv) = udv + vdu
або
udv = d (uv) - vdu.
Інтегруючи цю рівність, одержимо

або, враховуючи властивість 2 невизначених інтегралів,
.
Цю формулу називають формулою інтегрування частинами.
Зазначимо деякі інтеграли, які зручно обчислювати методом інтегрування по частинах:
1) у інтеграли , Де k - натуральне число, за і слід брати х k, а за dv - вираз, який залишилося;
2) у інтеграли , Слід позначати dv = х k dx.
Невизначений інтеграл існує для довільної безперервної функції f (x), тобто = F (x) + С. Але при цьому не завжди первообразная F (x) є елементарною функцією. Про такі інтеграли говорять, що вони "не беруться". Наприклад,
= F (x) + С, де F (x) = х - + - + ... .
Не беруться такі інтеграли:
- Інтегральний логарифм, - Інтегральний синус, - Інтегральний косинус, , - Інтеграли Френеля та інші.
У зв'язку з цим важливо виділити такі класи функцій, інтеграли від яких завжди виражаються через елементарні функції. Одним з таких класів функцій, інтеграли від яких завжди "беруться", є клас раціональних функцій.


Лекція 1 3. Тема - Елементарні дроби та їх інтегрування. Інтегрування деяких ірраціональних і тригонометричних функцій.
План.
1. Раціональні функції. Елементарні дроби та їх інтегрування.
2. Розкладання правильної раціонального дробу на елементарні дроби.
3. Інтегрування деяких ірраціональних і тригонометричних функцій.
1. Раціональною функцією або раціональної дробом називають дріб

де Р т (х), Q n (x) - многочлени ступеня т і п:
Q n (x) = х п + х п -1 +...+ , Р т (х) = х т + х т -1 +...+ .
Дроби називається правильною, якщо ступінь чисельника менше ступеня знаменника т <п, і неправильною, якщо т п.
Неправильне дріб завжди можна записати у вигляді суми многочлена й правильний дріб.
Оскільки многочлени інтегруються дуже легко, то завдання інтегрування раціональних функцій зводиться, таким чином, до інтегрування правильних дробів. Правильні дробу, у свою чергу розкладаються на елементарні дроби. Тому розглянемо інтегрування елементарних дробів.
Розрізняють чотири види елементарних дробів:
І. , ІІ. , ІІІ. , ІV. ,
де п = 2,3 ,..., а тричлен х 2 + рх + q не має дійсних коренів, тобто D = р 2 - 4 q <0.
Розглянемо, як інтегруються ці дробу.
І.
ІІ.
ІІІ. Приклад.
--- = - .
2. Як відомо з алгебри, многочлен Q n (x) ступеня п може бути розкладений на лінійні та квадратичні множники
Q n (x) = (Х-х ) K ... (Х-х r) k (X 2 + p x + q ) L ... ( x 2 + p x + q ) L ,
де , Х , P , Q - Дійсні числа; k , I - Натуральні числа; k + ... + K + 2 (I + ... + I ) = N, р 2 - 4 q <0.
Розглянемо правильну раціональну дріб

знаменник якої вже розкладений на лінійні та квадратичні множники. Тоді цей дріб можна розкласти на суму елементарних дробів за такими правилами:
1) множнику (х-а) k відповідає сума дробів виду
+ + ... + ;
2) множнику (x 2 + px + q) I відповідає сума дробів виду
+ + ... + ,
де А , М , N - Невизначені коефіцієнти.
Шукати ці невизначені коефіцієнти можна виходячи з того, що рівні многочлени мають рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.
Приклад. Обчислити інтеграл
.
Рішення.
+ ,
х + 5 = А (х +2) + В (х + 1),
А = 4, В =- 3.
= 4 -3 = 4ln -3ln + C.
3. 1. Інтеграли виду

де R (х, у) - раціональна функція відносно х і у, , Зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановки
ax + b = t .
2. Інтеграли виду

де R - раціональна функція, p , Q - Цілі числа, зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановки
= T ,
де п - загальний знаменник дробів , , ....
3. Інтеграли виду
(6.1)
завжди зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою, так званої, універсальної тригонометричної підстановки
, , ,
х = 2arctg t, dx = .
Зауваження. Універсальна тригонометрична підстановка завжди приводить до мети, але в силу своєї універсальності вона часто вимагає невиправдано громіздких обчислень. Тому в багатьох випадках зручніше користуватися іншими підстановками. Розглянемо деякі з них.
1) Якщо в інтегралі (6.1) R (-sin x, cos x) = - R (sin x, cos x), то зручно робити підстановку cos x = t.
2) Якщо R (sin x, cos- x) = - R (sin x, cos x), то зручно робити підстановку sin x = t.
3) Якщо R (-sin x, cos- x) = R (sin x, cos x), то зручно робити підстановку
tg x = t, , ,
х = arctg t, dx = .
4. Розглянемо більш детально інтеграли виду
,
де т, п - цілі числа.
1) Якщо т - непарне позитивне число, то зручно робити підстановку cos x = t.
2) Якщо п - непарне позитивне число, то зручно робити підстановку sin x = t.
3) Якщо обидва показники т і п - парні невід'ємні числа, то треба робити зниження ступеня синуса і косинуса за формулами
, .
4) Для знаходження інтегралів виду
,
зручно користуватися формулами

5. У інтегралах
, , ,
треба підінтегральна функція записати у вигляді суми функцій за допомогою формул




Лекція 1 4. Тема - Завдання про площу криволінійної трапеції. Певний інтеграл його геометричний сенс і властивості.
Формула Ньютона-Лейбніца.
План.
1. Завдання про площу криволінійної трапеції. Визначення та існування певного інтеграла.
2. Геометричний сенс певного інтеграла. Властивості визначеного інтеграла.
3. Інтеграл із змінною верхньою межею. Формула Ньютона-Лейбніца.
1. Криволінійної трапеції називається фігура, обмежена лінією   у = f (x) і прямими х = а, х = b, у = 0. Будемо вважати, що f (x) на [a; b].
       у   у = f (x)            
 

        0 а х х х b                          x
Розіб'ємо відрізок [a; b] довільним чином на п частин точками а = х <X <... <... = B.
На кожному відрізку ; Х ] Візьмемо довільну точку і обчислимо значення f ( ). Тоді площа S заштрихованого прямокутника, буде дорівнює
S = F ( ) , Де = Х - Х .
Площа S всієї трапеції приблизно дорівнює
S .
Нехай . Природно вважати, що
S . (6.2)
До меж виду (6.2) наводять багато інших завдань, тому виникає необхідність всебічного вивчення таких меж незалежно від конкретного змісту того чи іншого завдання.
Нехай функція у = f (x) визначена на відрізку [a; b]. Розіб'ємо цей відрізок на п довільних частин точками
а = х <X <... <... = B.
На кожному із створених відрізків ; Х ] Візьмемо довільну точку і складемо суму
, Де = Х - Х ,
яку будемо називати інтегральною сумою функції f (x).
Позначимо . Якщо існує скінченна границя інтегральної суми , При , Який не залежить ні від способу розбиття відрізка [a; b], ні від вибору точок , То ця межа називається визначеним інтегралом функції f (x) на відрізку [a; b] і позначається символом , Де функція f (x) називається інтегрованою на відрізку [a; b].
Тобто, за визначенням,
= .
Числа а і b називаються відповідно нижньою і верхньою межею інтегрування.
Щодо існування певного інтеграла має місце така теорема
Теорема 6.3. Якщо функція f (x) обмежена на відрізку [a; b] і неперервна на ній скрізь, окрім кінцевого числа точок, то вона інтегровна на цьому відрізку.
2. Якщо f (x) , То дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції: = S. Якщо f (x) <0, то = - S.
Звідси випливає, що якщо на симетричному відносно початку координат відрізку [-a; а], а> 0 задана непарна функція, то = 0. Наприклад, Якщо функція f (x) парна, то = 2 .
Властивості визначеного інтеграла
Будемо вважати, що всі інтеграли, що розглядаються, існують.
1. = . Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування.
2. = 0.
3. = - .
4. = + .
5. = А .
6. = .
7. Якщо на відрізку [a; b] f (x) , То .
8. Якщо т і М - відповідно найменше та найбільше значення функції f (x), на відрізку [a; b], то
т (b - a) M (a - b).
9. (Теорема про середнє значення функції).
Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a; b], то на цьому відрізку існує така точка с, що = f (с) (b - a).
Число f (с) = називають середнім значенням функції f (x) на відрізку [a; b].
3. Нехай функція у = f (x) неперервна на відрізку [a; b]. Тоді вона інтегровна на будь-якому відрізку [a; х] [A; b], тобто для довільного х [A; b] існує інтеграл , Який, очевидно, є функцією від х. Позначимо цю функцію через Ф (х)
Ф (х) = (6.3)
і назвемо інтегралом із змінною верхньою межею.
Теорема 6.4. Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a; b], то інтеграл (6.3) є диференційованою функцією на цьому відрізку, причому Ф '(х) = f (x).
Іншими словами, інтеграл із змінною верхньою межею є однією з первісних підінтегральної функції f (x).
Нехай функція у = f (x) неперервна на відрізку [a; b] і F (x) - первообразная функції f (x). Оскільки функція Ф (х) = також є первісною функції f (x), а дві Первісні однієї функції відрізняються тільки постійним доданком, то
Ф (х) = F (x) + С, або = F (x) + С. (6.4)
Вважаючи в (6.4) х = а, отримаємо
= 0 = F (а) + З З =- F (а).
Рівність (6.4) можна записати у вигляді
= F (x) - F (а).
Замінимо х на b і t на x. Отримаємо формулу
= F (b) - F (а),
яка називається формулою Ньютона-Лейбніца. Часто її записують у вигляді
= F (x) .
Формула Ньютона-Лейбніца дає зручний спосіб обчислення визначених інтегралів.
Якщо функція і = і (х), v = v (x) та їх похідні і '(х), v' (x) неперервні на відрізку [a; b], то справедлива формула інтегрування частинами
= Uv - .
Якщо функція f (x) неперервна на відрізку [a; b], а функція х = і її похідна х '= безупинні на відрізку [a; b], причому , , То справедлива формула
= .
Зауважимо, що, на відміну від невизначеного інтеграла, в певному інтегралі немає необхідності робити зворотний заміну, оскільки з'являються нові межі інтегрування.
При визначенні певного інтеграла

як границі інтегральних сум передбачалося, що: 1) відрізок інтегрування [a; b] кінцевий і 2) підінтегральна функція f (x) на цьому відрізку обмежена. Такий інтеграл називається власним, хоча слово «собственнний», як правило, опускається.
Якщо ж хоча б одне з двох наведених умов порушується, то інтеграл називають невласних. Розрізняють два види невласних інтеграла.
1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування
(Невласні інтеграли І роду).
Якщо функція f (x) неперервна при , То вважають
= (6.5)
і залежно від існування чи не існування кінцевого межі в правій частині формули (6.5) невласний інтеграл І роду називають збіжним або розбіжним. Аналогічно
= , = .
2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли ІІ роду).
Якщо функція f (x) необмежена в будь-якій околиці точки з (A; b) і неперервна при , І , То за визначенням вважають
= + . (6.6)
Якщо обидва межі в правій частині рівності (6.6) існують і кінцеві, то невласний інтеграл вважають сходиться, у противному випадку - розбіжним.
Якщо функція f (x) необмежена тільки на одному з кінців відрізка [a; b], то відповідні визначення невласного інтеграла ІІ роду спрощуються:
= ,
якщо функція f (x) необмежена в точці х = а, і
= ,
якщо функція f (x) необмежена в точці х = b.

Лекція 15. Тема - Диференціальні рівняння. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними, однорідні диференціальні рівняння.
План.
1. Основні поняття.
2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
3. Однорідні диференціальні рівняння.
1. Диференційними рівняннями називають рівняння, які містять невідому функцію, її похідні та аргументи.
Звичайним називається диференціальне рівняння, в якому невідома функція є функцією однієї змінної. Якщо невідома функція є функцією багатьох змінних, то відповідне рівняння називається диференціальним рівнянням в приватних похідних.
Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної, яка входить в це рівняння.
Приклад 7.1.
1) - Звичайне диференціальне рівняння І порядку.
2) -   звичайне диференціальне рівняння ІІІ порядку.
3)   + = 0 - диференціальне рівняння в приватних похідних ІІ порядку (рівняння Лапласа).
Далі будемо розглядати тільки звичайні диференціальні рівняння.
Найбільш загальний вигляд диференціального рівняння І порядку такої:
F (x, у, у ') = 0. (7.1)
Рішенням цього рівняння на деякому проміжку називається диференційована на цьому проміжку функція , Яка при підстановці її в рівняння перетворює його в тотожність.
Приклад 7.2. Розв'язати рівняння .
Рішення.
= У, = , Ln = X + ln , У = Се х.
Отримали безліч рішень.
у
С = 2
С = 1
                                                              2
                                                              1 З = 0
                                                              0  
                                                             -1 С = -1
                                                             -2
                                                                 
                                                                 З =- 2
Функція , Де С - довільна стала, називається загальним розв'язком рівняння (7.1) в області D, якщо:
1) функція є рішенням рівняння (7.1) для всіх значень змінної С з деякого безлічі;
2) для довільної точки ( ) існує єдине значення С = С 0, при якому функція задовольняє початковому умові
Рішення , Отримане із загального рішення при С = С 0, називається приватним рішенням рівняння (7.1).
З геометричної точки зору рішення визначає деякий нескінченна безліч кривих, які називаються інтегральними кривими даного рівняння. Приватне рішення визначає тільки одну інтегральну криву, яка проходить через точку з координатами ( ).
Якщо загальний розв'язок рівняння (7.1) знайдено в неявному вигляді Ф (х, у, З) = 0, то таке рішення називають загальним інтегралом диференціального рівняння; рівність Ф (х, у, З 0) = 0 називають приватним інтегралом диференціального рівняння.
Значить, для рівняння (7.1) можна поставити два завдання:
1) знайти загальне рішення рівняння (7.1);
2) знайти приватне рішення рівняння (7.1), яке задовольняє початковому умові .
Друга задача називається задачею Коші для звичайного диференціального рівняння І порядку.
Приклад 7.3. Вирішити задачу Коші
, У (0) = 2.
Рішення. Спочатку шукаємо спільне рішення диференціального рівняння: у = Се х.
З початкового умови маємо: 2 = Се 0 .
Рішенням задачі Коші є така функція: у = 2 е х.
Якщо рівняння (7.1) можна вирішити щодо у ', то його записують у вигляді

і називають рівнянням першого порядку, вирішеним відносно похідної, або рівнянням у нормальній формі.
Теорема 7.1 (існування та єдиності розв'язку задачі Коші). Якщо функція неперервна в деякій області D, яка містить точку М ( ), То завдання Коші
,
має рішення. Якщо, крім цього, в точці М неперервна приватна похідна , То це рішення єдине.
Процес знаходження розв'язків диференціальних рівнянь називається інтегруванням цих рівнянь. Якщо цей процес зводиться до алгебраїчних операцій і обчисленню кінцевого числа інтегралів і похідних, то говорять, що рівняння інтегрується в квадратурах. Проте клас таких рівнянь дуже обмежений. Тому для вирішення диференціальних рівнянь широко застосовують різні наближені методи інтегрування диференціальних рівнянь з використанням обчислювальної техніки.
Розглянемо деякі типи рівнянь, що інтегруються в квадратурах.
2. Диференціальне рівняння виду

називається диференціальним рівнянням з розділеними змінними.
Щоб знайти його спільне рішення, досить проінтегрувати обидві його частини.
.
Диференціальне рівняння виду

називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.
Щоб знайти його спільне рішення, треба спочатку відокремити змінні

а потім проінтегрувати

Приклад 7.4. Знайти загальний розв'язок рівняння

Рішення. Спочатку відокремимо змінні
,
а потім проінтегруємо
, , У = З ln x.
3. Функція   називається однорідною функцією п-го виміру щодо змінних х і у, якщо для довільного числа виконується тотожність

Приклад 7.5.
1) = ,
- Однорідна функція третього виміру.
2) = - Однорідна функція нульового виміру.
Рівняння y '= називається однорідним диференціальним рівнянням першого порядку, якщо функція є однорідною функцією нульового виміру, тобто, якщо
(7.2)
Очевидно, рівняння виду

буде однорідним тоді і тільки тоді, коли функції Р (х, у) і Q (х, у), будуть однорідними функціями одного і того ж вимірювання. Наприклад, рівняння

однорідне. Вважаючи, у співвідношенні (7.2) , Отримаємо

Тому можна дати ще одне визначення однорідного рівняння: однорідним диференціальним рівнянням називається рівняння виду
(7.3)
Застосуємо в рівнянні (7.3) підстановку
, ,
Тоді отримаємо рівняння з відокремлюваними змінними
,
яке завжди інтегрується в квадратурах:
,
.
Після інтегрування треба зробити зворотну заміну, тобто замість і потрібно підставити
Висновок. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку завжди зводяться до рівнянь з відокремлюваними змінними підстановкою , .
Приклад 7.6. Знайти загальний розв'язок рівняння

Рішення. Застосуємо підстановку , . Тоді отримаємо
,
, ,
, , .
Приклад 7.7. Вирішити задачу Коші
, У (1) = 2.
Рішення. Оскільки обидві функції

однорідні вимірювання два, то дане рівняння однорідне. Запишемо його у вигляді

і застосуємо підстановку , . Тоді отримаємо
,
, , .
З початкового умови знайдемо постійну інтегрування:

Підставивши знайдене значення С у спільне рішення, отримаємо рішення задачі Коші:


Лекція 16. Тема - Рівняння Бернуллі. Комплексні числа. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
План.
1.Лінейние диференціальні рівняння першого порядку. Рівняння Бернуллі.
2. Комплексні числа.
3. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.
1. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду
(7.4)
де - Відомі функції змінної х.
Термін «лінійне рівняння» пояснюється тим, що невідома функція у її похідна в 'входять в рівняння в першому ступені, тобто лінійно.
Лінійне диференціальне рівняння першого порядку завжди інтегровна в квадратурах, оскільки його можна завжди звести до двох рівнянь з відокремлюваними змінними таким чином (методом Бернуллі).
Будемо шукати розв'язок рівняння (7.4) у вигляді добутку
(7.5)
де - Невідомі функції х. Знаходячи похідну

і підставляючи значення в і в 'в рівняння (7.5), отримаємо
(7.6)
Виберемо функцію так, щоб вираз в дужках дорівнювало нулю. Для цього треба вирішити рівняння з відокремлюваними змінними.

Вирішуючи його, знаходимо

. (7.7)
Постійну інтегрування у виразі (7.7) не пишемо, оскільки нам досить знайти лише якусь одну функцію , Яка перетворює в нуль вираз в дужках у рівнянні (7.6).
Підставляючи (7.7) в (7.6), отримаємо

(7.8)
Підставляючи (7.7) і (7.8) в (7.5), знайдемо спільне рішення рівняння (7.4):
(7.9)
Зауваження. На практиці пам'ятати формулу (7.9) не обов'язково: досить лише пам'ятати, що лінійні диференціальні рівняння першого порядку, а також рівняння Бернуллі, вирішуються методом Бернуллі за допомогою підстановки .
Рівнянням Бернуллі називається рівняння виду

де - Відомі функції х, .
2. Комплексним числом називається вираз
, (7.10)
де х, у - дійсні числа, а символ i - Уявна одиниця, яка визначається умовою . При цьому число х називається дійсною частиною комплексного числа z і позначається , А у - уявною частиною z і позначається (Від французьких слів: reel - дійсний, imaginare - уявний). Вираз (7.10) називається алгебраїчною формою комплексного числа.
Два комплексних числа і , Які відрізняються лише знаком уявної частини, називаються сполученими.
Два комплексних числа і вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні та уявні частини:

Комплексні числа можна зображати на площині. Так число (7.10) зображується в прямокутній системі координат точкою М (х; у). Така площину називається комплексної площиною змінної z, вісь Ох називається дійсною, у
а вісь Оу - вдаваною.
При у = 0 комплексне число є одночасно
у   М (х; у)
дійсним числом. Тому дійсні числа є
окремим випадком комплексних, вони зображаються на осі Ох.
Комплексні числа , В яких х = 0, називаються чисто
уявними; такі числа зображуються на осі Оу.
0 х х
Полярні координати точки М (х; у) на комплексній площині називаються модулем і аргументом комплексного числа і позначаються

Оскільки , То за формулою (7.10) маємо
.
Це вираз називається тригонометричної формою комплексного числа z.
Модуль комплексного числа визначається однозначно, а аргумент - з точністю до 2 :
.
Тут - Загальне значення аргументу, а - Головне значення аргументу, яке знаходиться на проміжку [0; і відраховується від осі Ох проти годинникової стрілки.
Якщо , То вважають, що а - Невизначений.
Арифметичні дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі, виконуються за звичайними правилами дій над двучленной з урахуванням того, що . Так, якщо
, , То
1)
2)
3)
4) .
Розглянемо дії над комплексними числами в тригонометричній формі.
Нехай
, .
Тоді
=

Значить, при множенні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. Це правило поширюється на довільне кінцеве число множників. Зокрема,
.
Остання формула називається формулою Муавра.
При розподілі комплексних чисел маємо
.
Розглянемо добування кореня з комплексного числа. Якщо для даного комплексного числа треба знайти корінь п-го ступеня , То за визначенням кореня і формулою Муавра маємо
.
Звідси
, .
Оскільки r і позитивні, то , Де під коренем розуміють його арифметичне значення. Тому
.
Даючи k значення 0,1,2, ..., п - 1, отримаємо п різних значень кореня. Для інших значень k аргументи будуть відрізнятися від знайдених на число, кратне 2 , Тому значення кореня будуть збігатися з вже знайденими.
Відомо, що показову функцію з уявним показником можна виразити через тригонометричні функції за формулою Ейлера . Звідси випливає, що будь-яке комплексне число можна записати у формі , Яка називається показовою формою комплексного числа z.
3. Рівняння виду
(7.11)
де р, q - постійні числа, називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами. Для його вирішення спочатку треба скласти характеристичне рівняння
(7.12)
У залежності від коренів рівняння (7.12) загальний розв'язок рівняння (7.11) набуває один з таких видів:
1) , Якщо дійсні та ;
2) , Якщо дійсні та ;
3) , Якщо , ( ).
Приклад 7.8. Розв'язати рівняння
(7.13)
Рішення. Спочатку складемо і вирішимо відповідне характеристичне рівняння:
D = 3 2 - 4 * 5 = -11,
Характеристичне рівняння має два пов'язаних кореня:
.
Тому загальний розв'язок рівняння (7.13) буде таким:
.

Лекція 1 7. Тема - Ряди. Числові ряди. Ознаки збіжності. Степеневі ряди.
План.
1. Основні поняття. Необхідна умова збіжності ряду.
2. Ознаки порівняння. Ознаки Даламбера і Коші. Ознака Лейбніца.
3. Степеневі ряди. Теорема Абеля. Ряди Тейлора і Маклорена.
1. Нехай задана послідовність чисел:

Вираз

називається числовим рядом; числа називаються членами ряду; число називається загальним членом ряду.
Сума п перших членів ряду

називається п-ої частковою сумою ряду.
Якщо існує скінченна границя
,
то число S називають сумою ряду , А сам ряд називають збіжним. Якщо ж межа не існує або дорівнює нескінченності, то говорять, що ряд розбіжний.
Розглянемо ряд
.
Це сума геометричної прогресії, q - знаменник прогресії. Якщо , Прогресія називається спадною. Суму перший п членів цієї прогресії знаходять за формулою
. (8.1)
Якщо , То і . Значить, нескінченно спадна геометрична прогресія завжди сходиться. Якщо , То і прогресія розходиться.
Якщо числовий ряд збігається, то різниця між його сумою S і частковою сумою називається п-м залишком ряду, тобто
= S - .
Залишок ряду є тією похибкою, яка вийде, якщо замість S взяти . Оскільки , То, взявши досить багато перших членів сходиться ряду, можна суму цього ряду обчислити з будь-якою точністю.
Звідси стає зрозумілим, що основним завданням теорії рядів є дослідження збіжності ряду. Задача знаходження суми сходиться ряду має другорядне значень, оскільки після встановлення збіжності ряду його сума може бути легко знайдена.
Властивості рядів
1. Якщо ряди і сходяться і їх суми U і V, то ряд також збігається і його сума дорівнює U   V.
2. Якщо ряд збігається і його сума дорівнює S, то ряд , Де А = const, також збігається і його сума дорівнює А S.
3. Кінцеве кількість членів ряду на його збіжність не впливає.
Теорема 8.1. (Необхідна умова збіжності ряду). Якщо ряд сходиться, то межа його загального члена дорівнює нулю
.
Доказ.
.
Звідси . Якщо ряд сходиться, то і . Тому - - S = 0.
Слідство. Якщо , То ряд розбіжний.
Зауваження. Умова є необхідною умовою збіжності ряду, але не достатньою, тобто виконання цієї умови не гарантує збіжності ряду.
Приклад 8.1. Розглянемо ряд .
Хоча необхідна умова збіжності ряду виконується,
,
але , і ряд є розбіжним, незважаючи на те, межа його загального члена дорівнює нулю.
2. Перша ознака порівняння. Нехай члени рядів і задовольняють умові
п = 1,2,3, ....
Тоді, якщо ряд сходиться, то сходиться і ряд , А якщо ряд розбіжний, то розходиться і ряд .
Друга ознака порівняння. Нехай члени рядів і позитивні, причому існує скінченна границя
.
Тоді обидва ряди сходяться чи розходяться одночасно.
Порівнювати ряди зручно з рядами і , Збіжність яких відома.
Ряд є сумою нескінченної геометричної прогресії. Він сходиться при (Коли прогресія спадна) і розходиться при .
Ряд називається узагальненим гармонічним рядом. Він сходиться при і розходиться при .
Ознака Даламбера. Якщо для членів ряду з додатними членами існує межа
,
то ряд буде збіжним при і розбіжним при .
Радіальний ознака Коші. Якщо для членів ряду з додатними членами існує межа
,
то ряд буде збіжним при і розбіжним при .
Інтегральний ознака Коші. Якщо , Де - Позитивна незростаюча безперервна функція, то ряд і інтеграл сходяться чи розходяться одночасно.
Застосуємо інтегральний ознака Коші для дослідження узагальненого гармонічного ряду .
1. , - Гармонійний ряд.
= , = = - Розходиться.
2. , = ,
Значить, ряд сходиться при і розходиться при .
Знакозмінних називають ряди, в яких знаки членів строго чергуються
, Де . (8.2)
Ознака Лейбніца. Якщо для членів ряду (8.2) виконується дві умови:
1) .
           2) ,
то цей ряд сходиться, його сума позитивна і не перевищує .
Слідство. Якщо суму S сходящегося ряду (8.2) замінити сумою S його п перших членів, то допущена при цьому похибка не перевищує абсолютної величини першого з відкинутих членів, тобто
.
Це наслідок широко використовується при наближених обчисленнях.
Знакозмінними називаються ряди, у яких члени мають різні знаки.
Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд , Складений з абсолютних величин його членів.
Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо він сходиться, а ряд, складений із абсолютних величин його членів, що розходиться.
Теорема 8.2. Будь-який абсолютно сходиться ряд сходиться.
Для чого треба розрізняти абсолютну та умовну збіжність? Як відповідь на це сформулюємо дві теореми.
Теорема 8.3. Абсолютно сходитися ряд залишається абсолютно збіжним при довільній перестановці його членів. При цьому сума ряду не залежить від порядку його членів.
Теорема 8.4. Члени умовно сходиться ряду завжди можна переставити так, щоб його сума дорівнювала наперед заданому числу. Більш того, можна так переставити члени умовно сходиться ряду, що новий ряд буде розбіжним.
Цікаві властивості умовно збіжних рядів показує такий приклад.
Приклад 8.2. Нехай 1 - .
Запишемо ряд інакше:
=
= (1 - ,
2 = 1?
Значить, переставляючи члени умовно сходиться ряду, отримали невірний результат.
3. Ряд , Членами якого є функцією від х, називається функціональним поруч. Даючи змінної х конкретні числові значення, одержимо різні числові ряди, які можуть бути збіжними або розходяться.
Безліч всіх значень х, для яких низка сходиться, називається областю збіжності цього ряду.
Функціональний ряд виду (8.3)
де - Числа, називається статечним рядом.
Переобозначив на х, ряд (8.3) завжди можна звести до виду (8.4)
Для простоти будемо вивчати ряди виду (8.4). Ряд (8.4) завжди збігається, принаймні, в точці х = 0.
Теорема Абеля. (1802-1829). Якщо ряд (8.4) сходиться при , То він абсолютно сходиться для всіх значень х, що задовольняють нерівності , Тобто в інтервалі . Якщо при ряд (8.4) розбіжний, то він розходиться для всіх значень х, що задовольняють нерівності .
З теореми Абеля випливає, що якщо ряд (8.4) сходиться хоча б в одній точці , То існує таке число R> 0, що при ряд збігається абсолютно, а при розходиться. Це число R називають радіусом збіжності степеневого ряду, а інтервал - Його інтервалом збіжності.
Радіус збіжності ряду (8.5) можна знайти за формулами
або . (8.5)
Висновок. Щоб знайти область збіжності ряду (8.5) треба:
1) знайти інтервал збіжності ряду, застосовуючи до низки ознаки Даламбера і Коші, або користуючись формулами (8.5);
2) дослідити збіжність ряду на кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках .
У середині інтервалу збіжності статечні ряди можна почленно інтегрувати і диференціювати, причому отримані при цьому ряди будуть мати той же радіус збіжності, що і вихідний ряд.
Якщо функція f (х) в інтервалі має похідні всіх порядків і існує таке число М> 0, що , , П = 0, 1, 2, ..., де , То функцію f (х) можна розкласти в ряд Тейлора
.
При ряд Тейлора має вигляд

і називається поруч Маклорена.
Наведемо приклади рядів Маклорена деяких елементарних функцій.
;
;
;
;
= ;
;
Ряди широко використовуються для наближеного обчислення функцій, інтегралів, для наближеного інтегрування диференціальних рівнянь.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Лекція
291.5кб. | скачати


Схожі роботи:
Мінімум функції багатьох змінних
Функції багатьох змінних Означення границя та неперервність похідні диференціали
Мінімізація функції багатьох змінних Наближені чисельні методи Метод Монте-Карло
Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової
Пошук максимуму однієї функції багатьох змінних методом покоординатного спуску і з допомогою методу
Наполеон Бонапарт як кумир багатьох поколінь
Особиста гігієна та раціональне харчування основа профілактики багатьох захворювань
Інтеграли Опції змінних
Порядок калькулювання повних і змінних витрат
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru