Теорія ігор

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Державна освітня установа вищої професійної освіти
"Челябінський державний педагогічний університет"
Кафедра інформатики та методики викладання інформатики
Кваліфікаційна робота
ТЕОРІЯ ІГОР У ПОЧАТКОВІЙ ШКОЛІ
Виконавець:
Новікова Ксенія Сергіївна,
студентка групи 591
Науковий керівник:
Дмитрієва О.А.,
асистент кафедри Імпі
Зав. кафедрою:
Матрос Д. Ш.,
докт. пед. наук, професор
Дата допуску до захисту:
Челябінськ 2007

Зміст
Введення
Глава I Основні положення Теорії ігор
1.1 Предмет і задачі теорії ігор
1.2 Рішення матричної гри в чистих стратегіях
1.3 Рішення матричної гри в змішаних стратегіях
1.4 Рішення ігор графічним методом
1.5 Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування
1.6 Ігри з природою
Висновки по I чолі
Глава II Розробка елективного курсу "Елементи теорії ігор в початковій школі"
2.1 Місце комп'ютера в початковій школі
2.3 Гра як метод навчання в початковій школі
2.4 Аналіз програм і стандарту з інформатики в початковій школі
2.5 елективний курс
2.6 Педагогічний експеримент
2.7 Опис програмного продукту
Висновки по II главі
Висновок
Список використаної літератури
Програми

Введення

Теорія ігор була заснована Джоном фон Нейманом і Оскаром Моргенштерном в їх першій роботі "The Theory of Games and Economic Behavior", виданій у 1944 році. У 1928 році в математичних анналах фон Нейманом була опублікована стаття "Про теорії суспільних ігор", в якій вперше було застосовано поняття "теорія ігор". Використання цього поняття пояснюється схожістю логіки прийняття рішень в таких іграх, як шахи і покер. Характерним для таких ситуацій є те, що результат для приймаючого рішення залежить не тільки від його рішення, але і від того, яке рішення приймуть інші. Тому оптимальний вихід не може бути отриманий в результаті прийняття рішення однією особою.
Іншим попередником теорії ігор по праву вважається французький математик Е. Борель (1871-1956). Деякі фундаментальні ідеї були незалежно запропоновані А. Вальдом (1902-1950), що заклав основи нового підходу до статистичної теорії прийняття рішень.
Перші програми теорія ігор знайшла в математичній статистиці. Під час другої світової війни і відразу після неї теорією ігор серйозно зацікавилися військові, які побачили в ній апарат для дослідження стратегічних рішень. Її використовували як плідний джерело теоретичних моделей в економіці та соціології. Методи теорії ігор використовуються також в теорії операцій і в лінійному програмуванні.
У початковій школі для навчання дітей використовують різні правила та інструкції, тому в цьому віці можна розвивати в них алгоритмічне мислення, яке не тільки призводить до більш міцному засвоєнню знань, а й до входження в комп'ютерний світ.
Вивчення "Теорії ігор" у початковій школі допоможе сформувати у дітей уміння аналізувати умову задачі, продумувати послідовність дій, спрямованих на її виконання. Контролювати правильність своїх дій на всіх етапах роботи і коригувати їх у випадках допущеної помилки, тобто направити учнів на формування широкого спектру умінь, які будуть необхідні у подальшій навчальної та навчально-трудової діяльності дитини, а в майбутньому і будь-якої професійної діяльності.
Мета: вивчення теоретичних положень з теорії ігор і створення елективного курсу "Елементи теорії ігор в початковій школі" з методичною підтримкою.
Об'єкт дослідження: Теорія ігор
Предмет дослідження: Навчання теорії ігор в початковій школі.
Завдання дослідження:
вивчити теоретичний матеріал
відібрати завдання для практичної реалізації
розробити алгоритми розв'язання задач
програмно реалізувати відібрані завдання
розробити елективний курс
створити електронний посібник
Гіпотеза: якщо в процесі навчання використовувати поняття виграшної стратегії, то це буде сприяти розвитку логічного мислення та кмітливості у молодших школярів, а також підвищить загальний рівень підготовки з інформатики.
Новизна роботи полягає в наступному:
На даний момент не існує шкільного курсу на тему теорії ігор в початковій школі.
Створена програмна підтримка, що дозволяє здійснити ефективне вивчення даної теми в початковій школі.
Розроблено елективний курс "Елементи теорії ігор в початковій школі" та програмно-методична підтримка до нього.

Глава I Основні положення Теорії ігор

1.1 Предмет і задачі теорії ігор

У процесі цілеспрямованої людської діяльності виникають ситуації, в яких інтереси окремих осіб (учасників, груп, сторін) або прямо протилежні (антагоністичні), або, не будучи непримиренними, все ж таки не збігаються. Найпростішими і найбільш наочними прикладами таких ситуацій є спортивні ігри, арбітражні спори, військові навчання (маневри), боротьба між блоками виборців за своїх кандидатів, у міжнародних відносинах - відстоювання інтересів своєї держави і т.п. Тут кожен з учасників свідомо прагне домогтися найкращого результату за рахунок іншого учасника. Подібного роду ситуації зустрічаються і в різних сферах виробничої діяльності.
Усі ситуації, коли ефективність дії одного з учасників залежить від дій інших, можна розбити на два типи: інтереси учасників збігаються, і вони можуть домовитися про спільні дії; інтереси учасників не збігаються. У цих випадках може виявитися невигідним повідомляти іншим учасникам свої рішення, так як хто-небудь з них зможе скористатися знанням чужих рішень і отримає більший виграш за рахунок інших учасників. Ситуації такого типу називаються конфліктними.
Для зазначених ситуацій характерно, що ефективність рішень, які приймаються у ході конфлікту кожної зі сторін, суттєво залежить від дій другої сторони. При цьому жодна із сторін не може повністю контролювати положення, так як і тієї й іншої сторони рішення доводиться приймати в умовах невизначеності. Так, при визначенні обсягу випуску продукції на одному підприємстві не можна не враховувати розмірів випуску аналогічної продукції на інших підприємствах. У реальних умовах нерідко виникають ситуації, в яких антагонізм відсутній, але існують протилежні тенденції. Наприклад, для нормального функціонування виробництва, з одного боку, необхідна наявність запасів різноманітних ресурсів, але з іншого - прагнення до надзвичайного збільшення цих запасів викликає додаткові витрати по їх утриманню і зберіганню. У наведених прикладах конфліктні ситуації виникають в результаті свідомої діяльності людей. Однак на практиці зустрічаються невизначеності, які породжуються не свідомим протидією іншого боку, а недостатньою поінформованістю про умови проведення планованої операції.
Розділ математики, що вивчає конфліктні ситуації на основі їхніх математичних моделей, називається теорією ігор. Таким чином, теорія ігор - це математична теорія конфліктних ситуацій, що розробляє рекомендації з найбільш раціонального способу дій кожного з учасників у ході конфліктної ситуації, тобто таких дій, які забезпечували б йому найкращий результат. Ігрову схему можна надати багатьом ситуацій в економіці. Тут виграшем можуть бути ефективність використання дефіцитних ресурсів, виробничих фондів, величина прибутку, собівартість і т.д.
Необхідно підкреслити, що методи і рекомендації теорії ігор розробляються відповідно до таких специфічним конфліктних ситуацій, які мають властивість багаторазової повторюваності. Якщо конфліктна ситуація реалізується одноразово або обмежене число разів, то рекомендації теорії ігор втрачають сенс.
Щоб проаналізувати конфліктну ситуацію за її математичної моделі, ситуацію необхідно спростити, врахувавши лише найважливіші чинники, які суттєво впливають на хід конфлікту.
Визначення 1. Грою називається спрощена математична модель конфліктної ситуації, що відрізняється від реального конфлікту тим, що ведеться за певними правилами.
Гра - це сукупність правил, що визначають можливі дії (чисті стратегії) учасників гри. Суть гри в тому, що кожен з учасників приймає такі рішення в розвивається конфліктної ситуації, які, як він вважає, можуть забезпечити йому найкращий результат. Результат гри - це значення деякої функції, званої функцією виграшу (платіжної функцією), яка може задаватися або аналітично виразом, або таблично (матрицею). Величина виграшу залежить від стратегії, що застосовується гравцем.
Людство здавна користується такими формалізованими моделями конфліктних ситуацій, які є іграми в буквальному сенсі слова. Прикладами можуть служити шашки, шахи, карткові ігри і т.д. Всі ці ігри носять характер змагання, що протікає по відомим правилам і закінчує "перемогою" (виграшем) того чи іншого гравця.
Такі формально регламентовані, штучно організовані ігри являють собою найбільш підходящий матеріал для ілюстрації та засвоєння основних понять теорії ігор. Термінологія, запозичена з практики таких ігор, застосовується і при аналізі інших конфліктних ситуацій: сторони, що беруть участь у них, умовно іменуються "гравцями", а результат зіткнення - "виграшем" однієї зі сторін.
Визначення 2. Під "правилами гри" мається на увазі система умов, що регламентує можливі варіанти дій обох сторін.
Визначення 3. Стратегією гравця називається сукупність правил, однозначно визначають послідовність дій гравця в кожній конкретній ситуації, що складається в процесі гри.
Визначення 4. Оптимальною називається стратегія, яка при багаторазовому повторенні гри забезпечує даному гравцю максимально можливий середній виграш.
Основне припущення, виходячи з якого знаходять оптимальні стратегії, полягає в тому, що супротивник по меншій мірі так само розумний, як і сам гравець, і робить все для того, щоб досягти своєї мети.
Кількість стратегій у кожного гравця може бути кінцевим або нескінченним, в залежності від цього ігри поділяються на кінцеві і нескінченні.
Будь-яка гра складається з окремих партій.
Визначення 5. Партією називається кожен варіант реалізації гри певним чином.
У свою чергу, в партії гравці здійснюють конкретні ходи.
Визначення 6. Ходом називається вибір і реалізація гравцем одного з допустимих варіантів поведінки.
Ходи бувають особисті і випадкові. При особистому ході гравець самостійно й усвідомлено вибирає і реалізує ту або іншу чисту стратегію. Набір можливих варіантів при кожному особистому ході регламентований правилами гри і залежить від всієї сукупності попередніх ходів обох сторін. Наприклад, у шахах кожен хід є особистим. При випадковому ході вибір чистої стратегії здійснюється з використанням будь-якого механізму випадкового вибору, наприклад із застосуванням таблиці випадкових чисел. Прикладом можуть служити кидання монети або гральної кістки.
Конфліктні ситуації, що зустрічаються в практиці, породжують різні види ігор. Класифікувати ігри можна за різними ознаками. Розрізняють, наприклад, ігри за кількістю гравців. У грі може брати участь будь-яке кінцеве число гравців.
Визначення 7. Якщо в грі гравці об'єднуються у дві групи, що переслідують протилежні цілі, то така гра називається грою двох осіб (парна гра).
У залежності від кількості стратегій у грі вони діляться на кінцеві або нескінченні. Залежно від взаємовідносин учасників розрізняють ігри безкоаліційний (учасники не мають права укладати угоди), або некооперативна, і коаліційні, або кооперативні. За характером виграшів ігри поділяються на ігри з нульовою сумою і ненульовий сумою.
Визначення 8. Грою з нульовою сумою називається гра, в якій загальний капітал гравців не змінюється, а лише перерозподіляється в ході гри, у зв'язку з чим сума виграшів дорівнює нулю (програш приймається як негативний виграш).
В іграх з ненульовою сумою сума виграшів відмінна від нуля. Наприклад, при проведенні лотереї частина внеску учасників йде організатору лотереї.
По виду функції виграшу ігри поділяються на матричні, біматрічние, безперервні, опуклі, сепарабельним та ін
Визначення 9. Матричної грою (при двох учасників) називається гра, в якій виграші першого гравця (програші другого гравця) задаються матрицею.
У біматрічних іграх виграші кожного гравця задаються своєї матрицею. Інші типи таких ігор розрізняються видом аналітичного виразу платіжної функції. За кількістю ходів ігри поділяються на одноходові (виграш розподіляється після одного ходу кожного гравця) і багатоходові (виграш розподіляється після декількох ходів). Багатоходові ігри у свою чергу діляться на позиційні, стохастичні, диференціальні та ін У залежності від обсягу наявної інформації розрізняють ігри з повною та неповною інформацією.
У реальних конфліктних ситуаціях кожен з гравців свідомо прагне знайти найкраще для себе поведінка, маючи загальне уявлення про безліч допустимих для партнера дій у відповідь, але не відаючи про те, яке ж конкретне рішення буде вибрано їм на даний момент. У цьому виявляється в рівній мірі невизначеність ситуації для кожного з партнерів.
Визначення 10. Ігри, в яких учасники прагнуть домогтися для себе найкращого результату, свідомо обираючи допустимі правилами гри способи дій, називаються стратегічними.
Однак в економічній практиці нерідко доводиться формалізувати (моделювати) ситуації, надаючи їм ігрову схему, в яких один з учасників байдужий до результату гри. Такі ігри називають іграми з природою, розуміючи під терміном "природа" всю сукупність зовнішніх обставин, в яких свідомому гравцеві (його називають іноді статистиком, а відповідну гру - статистичної) доводиться приймати рішення. Наприклад, вибір агрономічної службою сільськогосподарського підприємства ділянок для посіву тієї чи іншої культури в надії отримати в майбутньому році найкращий врожай; визначення обсягу випуску сезонної продукції в очікуванні найбільш вигідного для її реалізації рівня попиту; формування пакета цінних паперів у розрахунку на високі дивіденди і т. п. Тут в якості другого гравця виступає: у першому прикладі - у буквальному сенсі природа, у другому - рівень попиту, у третьому - розміри очікуваного прибутку.
В іграх з природою ступінь невизначеності для свідомого гравця (статистика) зростає: якщо в стратегічних іграх кожен з учасників постійно очікує найгіршого для себе відповідь дії партнера, то в статистичних іграх "природа", будучи індиферентної щодо виграшу інстанцією, може вживати й такі відповідні дії (будемо говорити: реалізовувати такі стани), які їй абсолютно невигідні, а вигідні свідомому гравцеві (статистику).
Надалі ми будемо розглядати тільки парні матричні гри з нульовою сумою. Так як у випадку кінцевої гри двох осіб функції виграшу кожного з гравців зручно представляти у вигляді матриці виграшів, де рядки являють стратегії одного гравця, стовпці - стратегії іншого гравця, а в клітинах матриці вказуються виграші кожного з гравців у кожній з утворених ситуацій. [9, 16, 17, 40, 46]

1.2 Рішення матричної гри в чистих стратегіях

Розглянемо просту математичну модель кінцевої конфліктної ситуації, в якій є два учасники і виграш однієї дорівнює програшу іншого. Така модель називається антагоністичною грою двох осіб з нульовою сумою. Гра складається з двох ходів: гравець А вибирає одну з можливих стратегій А i, , А гравець В вибирає одну з можливих стратегій У j, . Кожен вибір проводиться при повному незнанні вибору суперника. У результаті виграш гравців складе відповідно a ij і - a ij. Мета гравця А - максимізувати величину a ij, а гравця В - мінімізувати цю величину.
Визначення 1. Матриця, складена з величин a ij, , ,

називається платіжною матрицею, або матрицею гри. Кожен елемент платіжної матриці a ij, , дорівнює виграшу А (програшу В), якщо він вибрав стратегію А i, , А гравець В вибирав стратегію У j, .
Приклад. У грі беруть участь перший і другий гравці, кожен з них може записати незалежно від іншого цифри 1, 2 і 3. Якщо різниця між цифрами, записана гравцями, позитивна, то перший гравець виграє кількість очок, рівну різниці між цифрами, і, навпаки, якщо різниця негативна, то виграє другий гравець. Якщо різниця дорівнює нулю, то гра закінчується внічию.
У першого гравця три стратегії (варіанта дії): А 1 (записати 1), А 2 (записати 2), А 3 (записати 3); у другого гравця також три стратегії: В 1, В 2, В 3 (табл.1 ).
Таблиця 1
У 1 = 1
У 2 = 2
У 3 = 3
А 1 = 1
0
-1
-2
А 2 = 2
1
0
-1
А 3 = 3
2
1
0
Завдання першого гравця - максимізувати свій виграш. Завдання другого гравця - мінімізувати свій програш чи мінімізувати виграш першого гравця. Платіжна матриця має вигляд
.
Завдання кожного з гравців - знайти найкращу стратегію гри, при цьому передбачається, що противники однаково розумні і кожен з них робить все, щоб отримати найбільший прибуток.
Знайдемо найкращу стратегію першого гравця. Якщо гравець А вибрав стратегію А i, , То в гіршому випадку (наприклад, якщо його хід відомий В) він отримає виграш . Передбачаючи таку можливість, гравець А має вибрати таку стратегію, щоб максимізувати свій мінімальний виграш.
.

Визначення 2. Величина a - гарантований виграш гравця А називається нижньою ціною гри. Стратегія A i опт, що забезпечує отримання виграшу a, називається Максимін.
Якщо перший гравець буде дотримуватися своєї максимінної стратегії, то у нього є гарантія, що він у будь-якому випадку виграє не менше a.
Аналогічно визначається найкраща стратегія другого гравця. Гравець В при виборі стратегії В j, в гіршому випадку отримає програш . Він вибирає стратегію B j опт, при якій його програш буде мінімальним і складе
.
Визначення 3. Величина b - гарантований програш гравця У називається верхньою ціною гри. Стратегія B j опт, що забезпечує отримання програшу b, називається мінімаксної.
Якщо другий гравець буде дотримуватися своєї мінімаксної стратегії, то у нього є гарантія, що він у будь-якому випадку програє не більше b.
Фактичний виграш гравця А (програш гравця В) при розумних діях партнерів обмежений верхньої та нижньої ціною гри. Для матричної гри справедливо нерівність a £ b.
Визначення 4. Якщо a = b = v, тобто
= ,
то виграш гравця А (програш гравця В) визначається числом v. Воно називається ціною гри.
Визначення 5. Якщо a = b = v, то така гра називається грою з сідловою, елемент матриці а iопт jопт = v, відповідний парі оптимальних стратегій (A i опт, B j опт), називається сідловою матриці. Цей елемент є ціною гри.
Сідлової точці відповідають оптимальні стратегії гравців. Їх сукупність - рішення гри, що має властивість: якщо один з гравців дотримується оптимальної стратегії, то другому відхилення від своєї оптимальної стратегії не може бути вигідним.
Визначення 6. Якщо гра має сідлової точки, то говорять, що вона вирішується в чистих стратегіях.
Знайдемо рішення гри розглянутого вище прикладу:
,
a = a 3 - нижня ціна гри.
,
b = b 3 - верхня ціна гри.
Так як a = b = 0, матриця гри має сідлової крапку.
Оптимальна стратегія першого гравця - А 3, другого - B 3. З таблиці видно, що відхилення першого гравця від оптимальної стратегії зменшує його виграш, а відхилення другого гравця від У 3 збільшує його програш.
Наявність сідлової точки в грі - це далеко не правило, швидше, виняток. Існує різновид ігор, які завжди мають сідлові точки і, значить, вирішуються в чистих стратегіях. Це так звані ігри з повною інформацією.
Визначення 7. Грою з повною інформацією називається така гра, в якій кожен гравець при кожному особистому ході знає всю передісторію її розвитку, тобто результати всіх попередніх ходів.
Прикладами ігор з повною інформацією можуть служити шашки, шахи, "хрестики-нулики" і т.д.
Теорема 1. Кожна гра з повною інформацією має сідлові точки і, значить, має рішення в чистих стратегіях.
У кожній грі з повною інформацією існує пара оптимальних стратегій, що дає стійкий виграш, рівний ціні гри v. Якщо рішення гри відомо, сама гра втрачає сенс. Наприклад, шахова гра або закінчується виграшем білих, або виграшем чорних, або нічиєї, тільки чим саме - ми поки не знаємо (на щастя для любителів шахів). Додамо ще: навряд чи будемо знати в доступному для огляду майбутньому, так як число стратегій таке велике, що вкрай важко привести шахову гру до матричної формі і знайти в ній сідлової крапку. Вказати звідки це взялося, тобто вказати посилання

1.3 Рішення матричної гри в змішаних стратегіях

Якщо платіжна матриця не має сідлової точки, тобто a <b і , То пошук розв'язання гри призводить до застосування складної стратегії, що складається у випадковому застосуванні двох і більше стратегій з певними частотами.
Визначення 1. Складна стратегія, яка полягає у випадковому застосуванні всіх стратегій з певними частотами, називається змішаною.
У грі, матриця якої має розмірність m 'n, стратегії першого гравця задаються наборами ймовірностей (X 1, x 2 ,..., x m), з якими гравець застосовує свої чисті стратегії. Ці набори можна розглянути як m-мірні вектори, для координат яких виконуються умови

, X i ³ 0, .
Аналогічно для другого гравця набори ймовірностей визначають n-мірні вектори (Y 1, y 2 ,..., y n), для координат яких виконуються умови
= 1, y j ³ 0, .
Виграш першого гравця при використанні змішаних стратегій визначають як математичне очікування виграшу, тобто він дорівнює
.
Теорема 1. (Неймана. Основна теорема теорії ігор) Кожна кінцева гра має, принаймні, одне рішення, можливо, в області змішаних стратегій. Застосування оптимальної стратегії дозволяє отримати виграш, рівний ціні гри: a £ v £ b. Застосування першим гравцем оптимальної стратегії опт повинно забезпечити йому за будь-яких діях другого гравця виграш не менше ціни гри. Тому виконується співвідношення
, .
Аналогічно для другого гравця оптимальна стратегія опт повинна забезпечити при будь-яких стратегіях першого гравця програш, що не перевищує ціну гри, тобто справедливе співвідношення

, .
Якщо платіжна матриця не містить сідлової точки, то завдання визначення змішаної стратегії тим складніше, чим більше розмірність матриці. Тому матриці великої розмірності доцільно спростити, зменшивши їх розмірність шляхом викреслювання дублюючих (однакових) і не домінуючих стратегій.
Визначення 2. Дублюючими називаються стратегії, у яких відповідні елементи платіжної матриці однакові.
Визначення 3. Якщо всі елементи i-го рядка платіжної матриці більше відповідних елементів k-го рядка, то i-я стратегія гравця А називається домінуючою над k-й стратегією. Якщо всі елементи j-го стовпця платіжної матриці менше відповідних елементів k-го стовпця, то j-я стратегія гравця В називається домінуючою над k-й стратегією.
Приклад. Розглянемо гру, представлену платіжною матрицею
.
a = max (2, 2, 3,2) = 3, b = min (7, 6, 6, 4,5) = 4, a ¹ b, .
Всі елементи стратегії А 2 менше елементів стратегії А 3, тобто А 2 очевидно невигідна для першого гравця і її можна виключити. Всі елементи А 4 менше А 3, виключаємо А 4.
.

Для другого гравця: порівнюючи В 1 і В 4, виключаємо У 1; порівнюючи У 2 і У 4, виключаємо У 2; порівнюючи У 3 і В 4, виключаємо В 3. У результаті перетворень отримаємо матрицю
.
a = max (2,3) = 3, b = min (4,5) = 4, a ¹ b, .

1.4 Рішення ігор графічним методом

Графічний метод застосуємо до ігор, у яких хоча б один гравець має тільки дві стратегії.
Перший випадок. Розглянемо гру (2 '2) з матрицею

без сідлової точки. Рішенням ігри є змішані стратегії гравців (X 1, x 2) і (Y 1, y 2), де x 1 - ймовірність застосування першим гравцем першої стратегії, x 2 - ймовірність застосування першим гравцем другої стратегії, y 1 - ймовірність застосування другим гравцем першої стратегії, y 2 - ймовірність застосування другим гравцем другої стратегії. Очевидно, що
x 1 + x 2 = 1, y 1 + y 2 = 1.
Знайдемо рішення гри графічним методом. На осі Про X відкладемо відрізок, довжина якого дорівнює одиниці. Лівий кінець (x = 0) відповідає стратегії першого гравця А 1, правий (x = 1) - стратегії А 2. Внутрішні точки відрізка будуть відповідати змішаним стратегіям (X 1, x 2) першого гравця, де x 1 = 1 - x 2. Через кінці відрізка проведемо прямі, перпендикулярні осі О X, на яких будемо відкладати виграш при відповідних чистих стратегіях. Якщо гравець В застосовує стратегію В 1, то виграш при використанні першим гравцем стратегій А 1 і А 2 складе відповідно а 11 і а 21. Відкладемо ці точки на прямих і з'єднаємо їх відрізком В 1 В 1. Якщо гравець А застосовує змішану стратегію, то виграшу відповідає деяка точка М, що лежить на цьому відрізку. (Див. рис.1)


В1 А21
М
В1
А11
х2 х11 Х
Рис.1. Підписати малюнок
Аналогічно будується відрізок В 2 В 2, відповідний стратегії В 2 гравця В.
Визначення 1. Ламана лінія, складена з частин відрізків, що інтерпретують стратегії гравця В, розташована нижче всіх відрізків, називається нижньою межею виграшу, одержуваного гравцем А.
Визначення 2. Стратегії, частини яких утворюють нижню межу виграшу, називаються активними стратегіями.
У грі (2 '2) обидві стратегії є активними.

В1 А21
В2
А12 До
В2 А22
В1
А11 v
Про х2 N х1 1 Х
Рис.2.
Ламана В 1 КВ 2 є нижньою межею виграшу, одержуваного гравцем А. (див. рис.2) Точка К, в якій він максимальний, визначає ціну гри та її рішення. Знайдемо оптимальну стратегію першого гравця. Запишемо систему рівнянь

Прирівнюючи вирази для v з рівнянь системи і враховуючи, що
x 1 + x 2 = 1, одержимо , , (1)
. (2)
Складаючи аналогічну систему

та враховуючи умову
y 1 + y 2 = 1,

можна знайти оптимальну стратегію гравця В:
. (3)
Приклад 1. Знайти рішення гри, заданої матрицею
.
х 1
Х
1
N
0
v
До
а 22
а 21
а 12
а 11
У 2
У 2
У 1
У 1
х 2

a = max (1,1) = 1, b = min (3,2) = 2, a ¹ b, . Гра не має сідлової точки. Оптимальне рішення слід шукати в області змішаних стратегій. Побудуємо на площині відрізки, відповідні стратегіям другого гравця. (Див. рис.3)
Рис.3.
За формулами (1) - (3) знаходимо оптимальні стратегії та ціну гри:
x 1 = 1 / 3, x 2 = 2 / 3; y 1 = 2 / 3, y 2 = 1 / 3; v = 5 / 3.
Відповідь. Оптимальні змішані стратегії гравців (1 / 3, 2 / 3) і (2 / 3, 1 / 3), ціна гри складає v = 5 / 3.
Даний відповідь означає наступне:
якщо перший гравець з імовірністю 1 / 3 буде застосовувати першу стратегію і з імовірністю 2 / 3 другу, то при досить великій кількості ігор з даною матрицею його виграш в середньому складе не менше 5 / 3;
якщо другий гравець з імовірністю 2 / 3 буде застосовувати першу стратегію і з ймовірністю 1 / 3 другу, то при досить великій кількості ігор з даною матрицею його програш в середньому складе не більше 5 / 3.
Другий випадок. Розглянемо гру (2 'n) з матрицею
.
Для кожної з n стратегій гравця У будується відповідний їй відрізок на площині. Знаходиться нижня межа виграшу, одержуваного гравцем А, і визначається точка на нижній межі, відповідна найбільшому виграшу. Виділяються дві активні стратегії гравця В, відрізки яких проходять через дану точку. Далі розглядаються тільки ці дві стратегії гравця В. Гра зводиться до гри з матрицею (2 '2). Оптимальні стратегії і ціну гри знаходять за формулами (1) - (3).
Приклад 2. Знайти рішення гри, заданої матрицею
.
a = max (1,1) = 1, b = min (4, 3, 3,4) = 3, a ¹ b, .
Гра не має сідлової точки. Оптимальне рішення слід шукати в області змішаних стратегій. Побудуємо на площині відрізки, відповідні стратегіям другого гравця. (Див. рис.4)

х 3
Х
1
Про
v
До
У 2
У 4
У 1
У 1
х 4
У 4
У 2
У 3
У 3

Рис.4.
Нижньою межею виграшу для гравця А є ламана У 3 КВ 4. Стратегії У 3 і В 4 є активними стратегіями гравця В. Точка їх перетину До визначає оптимальні стратегії гравців і ціну гри. Другому гравцеві невигідно застосовувати стратегії В 1 і В 2, тому ймовірність їх застосування дорівнює нулю, тобто у 1 = у 2 = 0. Рішення гри зводиться до вирішення гри з матрицею (2 '2)
.
a = max (1,1) = 1, b = min (3,4) = 3, a ¹ b, .
За формулами (1) - (3) знаходимо оптимальні стратегії та ціну гри:
x 1 = 2 / 5, x 2 = 3 / 5; y 3 = 3 / 5, y 2 = 2 / 5; v = 11 / 5.
Відповідь. Оптимальні змішані стратегії гравців (2 / 5, 3 / 5) і (0, 0, 3 / 5, 2 / 5), ціна гри складає v = 11 / 5.
Даний відповідь означає наступне:
якщо перший гравець з імовірністю 2 / 5 буде застосовувати першу стратегію і з імовірністю 3 / 5 другу, то при досить великій кількості ігор з даною матрицею його виграш в середньому складе не менш 11 / 5;
якщо другий гравець з імовірністю 3 / 5 буде застосовувати третій стратегію, з імовірністю 2 / 5 четверту і не буде використовувати першу і другу стратегії, то при досить великій кількості ігор з даною матрицею його програш в середньому складе не більше 11 / 5.
Третій випадок. Розглянемо гру (m '2) з матрицею
.
Рішення гри може бути отримано аналогічно нагоди два. Для кожної з m стратегій гравця А будується відповідний їй відрізок на площині.
Знаходиться верхня межа програшу, одержуваного гравцем В, і визначається точка на нижній межі, відповідна найменшому програшу. Виділяються дві активні стратегії гравця А, відрізки яких проходять через дану точку.
Далі розглядаються тільки ці дві стратегії гравця А. Гра зводиться до гри з матрицею (2 '2). Оптимальні стратегії і ціну гри знаходять за формулами (1) - (3).
Приклад 3. Знайти рішення гри, заданої матрицею
.
a = max (3, 2, 0, - 1) = 3, b = min (4,6) = 4, a ¹ b, . Гра не має сідлової точки. Оптимальне рішення слід шукати в області змішаних стратегій. Побудуємо на площині відрізки, відповідні стратегіям першого гравця. (Див. рис.5).
v
1
y 2
y 1
Про
Y
А 4
А 4
А 3
А 3
А 2
А 2
А 1
А 1
K

Рис.5.
Верхньою межею програшу для гравця В є ламана А 1 КА 4. Стратегії А 1 і А 4 є активними стратегіями гравця А. Точка їх перетину До визначає оптимальні стратегії гравців і ціну гри. Першому гравцеві невигідно застосовувати стратегії А 2 і А 3, тому ймовірність їх застосування дорівнює нулю, тобто x 2 = x 3 = 0. Рішення гри зводиться до вирішення гри з матрицею (2 '2)
.
a = max (3, - 1) = 3, b = min (4,6) = 4, a ¹ b, .
За формулами (1) - (3) знаходимо оптимальні стратегії та ціну гри:
x 1 = 7 / 8, x 4 = 1 / 8; y 1 = 3 / 8, y 2 = 5 / 8; v = 27 / 8.
Відповідь. Оптимальні змішані стратегії гравців (7 / 8, 0, 0, 1 / 8) і (3 / 8, 5 / 8), ціна гри складає v = 27 / 8.
Даний відповідь означає наступне:
якщо перший гравець з імовірністю 7 / 8 буде застосовувати першу стратегію, з імовірністю 1 / 8 четверту і не буде використовувати другу і третю стратегії, то при досить великій кількості ігор з даною матрицею його виграш в середньому складе не менш 27 / 8;
якщо другий гравець з імовірністю 3 / 8 буде застосовувати першу стратегію і з ймовірністю 5 / 8 другу, то при досить великій кількості ігор з даною матрицею його програш в середньому складе не більше 27 / 8.

1.5 Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування

Теорія ігор перебуває в тісному зв'язку з лінійним програмуванням, тому що кожна кінцева гра двох осіб з нульовою сумою може бути представлена ​​як задача лінійного програмування і вирішена симплексним методом і, навпаки, кожна задача лінійного програмування може бути представлена ​​як кінцева гра двох осіб з нульовою сумою . Розглянемо гру двох осіб з нульовою сумою, задану платіжною матрицею
.
Якщо платіжна матриця не має сідлової точки, тобто a <b і , То рішення гри представлено у змішаних стратегіях (X 1, x 2 ,..., x m) і (Y 1, y 2 ,..., y n). Застосування першим гравцем оптимальної стратегії опт повинно забезпечити йому за будь-яких діях другого гравця виграш не менше ціни гри.
, .

Розглянемо задачу відшукання оптимальної стратегії гравця А, для якої мають місце обмеження

Величина v невідома, однак можна вважати, що ціна гри v> 0. Остання умова виконується завжди, якщо всі елементи платіжної матриці ненегативні, а цього можна досягти, додавши до всіх елементів матриці деяке позитивне число.
Перетворимо систему обмежень, розділивши всі члени нерівностей на v.
(1)
де
, . (2)
За умовою x 1 + x 2 + ... + x m = 1.
Розділимо обидві частини цієї рівності на v.
.
Оптимальна стратегія (X 1, x 2 ,..., x m) гравця А повинна максимізувати величину v, отже, функція

(3)
повинна приймати мінімальне значення.
Таким чином, отримана завдання лінійного програмування: знайти мінімум цільової функції (3) при обмеженнях (1), причому на змінні накладено умова позитивності (2). Вирішуючи її, знаходимо значення , і величину 1 / v, потім відшукуються значення x i = vt i.
Аналогічно для другого гравця оптимальна стратегія опт повинна забезпечити при будь-яких стратегіях першого гравця програш, що не перевищує ціну гри.
, .
Розглянемо задачу відшукання оптимальної стратегії гравця B, для якої мають місце обмеження

Перетворимо систему обмежень, розділивши всі члени нерівностей на v.
(4) де , . (5)

За умовою y 1 + y 2 + ... + y n = 1. Розділимо обидві частини цієї рівності на v.
.
Оптимальна стратегія (Y 1, y 2 ,..., y n) гравця В повинна мінімізувати величину v, отже, функція
(6)
повинна приймати максимальне значення.
Отримано завдання лінійного програмування: знайти максимум цільової функції (6) при обмеженнях (4), причому на змінні накладено умова позитивності (5).
Таким чином, для знаходження рішення гри маємо симетричну пару двоїстих задач лінійного програмування. Можна знайти вирішення однієї з них, а рішення другої перебуває з використанням теорії подвійності.
Приклад. Знайти рішення гри, заданої матрицею
.
a = max (2, 3,1) = 3, b = min (4, 5, 6,5) = 4, a ¹ b, .
Гра не має сідлової точки. Оптимальне рішення слід шукати в області змішаних стратегій.
Для визначення оптимальної стратегії гравця А маємо наступне завдання лінійного програмування:
,

* , .
Для знаходження оптимальної стратегії гравця В маємо таку завдання лінійного програмування:
,

, .
Оптимальні рішення пари двоїстих задач мають вигляд
, , .
Враховуючи співвідношення між x i і t i, y j і s j, а також рівність
,
можна знайти оптимальні стратегії гравців і ціну гри:
* (1 / 2, 1 / 2, 0), (3 / 4, 0, 0, 1 / 4), v = 7 / 2.

1.6 Ігри з природою

У розглянутих вище матричних іграх передбачалося, що в них беруть участь два гравці, інтереси яких протилежні. Тому дії кожного гравця спрямовані на збільшення виграшу (зменшення програшу). Проте в деяких завданнях, наведених до ігрових, є невизначеність, викликана відсутністю інформації про умови, в яких здійснюється дію (погода, купівельний попит і т.д.). Ці умови залежать не від свідомих дій іншого гравця, а від об'єктивної дійсності. Такі ігри називаються іграми з природою. Людина в іграх з природою намагається діяти обачно, другий гравець (природа, купівельний попит) діє випадково.
Умови гри задаються матрицею
.
Нехай гравець А має стратегії А 1, А 2, ..., А m, а природа - стану В 1, В 2, ..., У n. Найбільш простий є ситуація, коли відома ймовірність p j кожного стану природи В j. При цьому, якщо враховані всі можливі стани, p 1 + p 2 + ... + p j + ... + p n = 1.
Якщо гравець А вибирає чисту стратегію А i, то математичне сподівання виграшу складе p 1 a i 1 + p 2 a i 2 + ... + p n a in. Найбільш вигідною буде та стратегія, при якій досягається
* (P 1 a i 1 + p 2 a i 2 + ... + p n a in).
*
Якщо інформація про стани з природою мала, то можна застосувати принцип недостатнього підстави Лапласа, згідно з яким можна вважати, що всі стани природи равновероятностни:
,
тобто стратегію, для якої середнє арифметичне елементів відповідного рядка максимальне.
Є ряд критеріїв, які використовуються при виборі оптимальної стратегії. Розглянемо деякі з них.
1. Критерій Вальда. Рекомендується застосовувати Максиміна стратегію. Вона вибирається з умови

і збігається з нижньою ціною гри. Критерій є песимістичним, вважається, що природа буде діяти найгіршим для людини способом.
2. Критерій максимуму. Він вибирається з умови
.
Критерій є оптимістичним, вважається, що природа буде найбільш сприятлива для людини.
3. Критерій Гурвіца. Критерій рекомендує стратегію, яка визначається за формулою
,

де a - ступінь оптимізму і змінюється в діапазоні [0, 1].
Критерій дотримується деякої проміжної позиції, враховує можливість як найгіршого, так і найкращого поведінки природи. При a = 1 критерій перетворюється на критерій Вальда, при a = 0 - в критерій максимуму. На a впливає ступінь відповідальності особи, яка приймає рішення щодо вибору стратегії. Чим більше наслідки помилкових рішень, більше бажання застрахуватися, тим a ближче до одиниці.
4. Критерій Севіджа. Суть критерію полягає у виборі такої стратегії, щоб не допустити надмірно високих втрат, до яких вона може призвести. Знаходиться матриця ризиків, елементи якої показують, який збиток понесе людина (фірма), якщо для кожного стану природи він не вибере найкращої стратегії.
.
Елементи матриці ризиків знаходяться за формулою
,
де - Максимальний елемент у стовпці початкової матриці.
Оптимальна стратегія визначається виразом
.
При прийнятті рішень в умовах невизначеності слід оцінювати різні варіанти з точки зору декількох критеріїв. Якщо рекомендації збігаються, можна з більшою впевненістю вибрати найкраще рішення; якщо рекомендації суперечать один одному, остаточне рішення треба приймати з урахуванням його сильних і слабких сторін.
Приклад. Можливе будівництво чотирьох типів електростанцій: А 1 (теплових), А 2 (схилів), А 3 (бесшлюзових), А 4 (шлюзових). Стану природи позначимо через Р 1, Р 2, Р 3, Р 4. Економічна ефективність будівництва окремих типів електростанцій змінюється в залежності від стану природи і задана матрицею
.
1) Згідно з критерієм Вальда
* ,
*
слід будувати бесшлюзовую електростанцію.
2) Скористаємося критерієм Севіджа. Побудуємо матрицю ризиків:
.
Згідно з критерієм Севіджа визначаємо
.

Відповідно до цього критерію також пропонується будувати бесшлюзовую електростанцію.
3) Скористаємося критерієм Гурвіца. Покладемо a = 1 / 2.
,
тобто слід прийняти рішення про будівництво пригреблева електростанції.
4) Якщо взяти відомим розподіл ймовірностей для різних станів природи, наприклад вважати ці стани равновероятностнимі 1 = р 2 = р 3 = р 4 = 1 / 4), то для прийняття рішення слід знайти математичні очікування виграшу:
,
,
,
.
Так як максимальне значення має М 3, то варто будувати бесшлюзовую електростанцію. [16, 18, 21, 25, 27, 49]

Висновки по I чолі

Таким чином, у першому розділі були розглянуті основні теоретичні положення і визначення теорії ігор. Було сформульовано і дано визначення теорії ігор, а також були порушені такі поняття як: гра, правила гри, стратегія, оптимальна стратегія, партія, хід.
У результаті вивчення основних характеристик гри, можна сказати, що дуже важлива ефективність прийнятих рішень у ході конфлікту (ігри) кожної зі сторін, що також суттєво залежить і від дій другої сторони. При цьому жодна із сторін не може повністю контролювати положення, так як їм обом доводиться приймати рішення в умовах невизначеності.
Важливою проблемою є й те, що не завжди при виборі оптимальної стратегії вам вдасться досягти бажаного результату.
Виходячи з того, що гра залежить від багатьох параметрів, були представлені різні види ігор та способи їх вирішення:
Рішення матричної гри в чистих стратегіях.
Рішення матричної гри в змішаних стратегіях.
Рішення ігор графічним методом.
Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування.
Ігри з природою.
Аналіз літератури показав, що в даний час застосування основних положень теорії ігор дуже велике в різних галузях науки і техніки. Їй цікавляться не тільки математики, але й військові, які використовують її в якості апарату стратегічних рішень. Соціологи та економісти знайшли в ній плідний джерело теоретичних моделей.
Як результат викладу теоретичного матеріалу у першому розділі, було розглянуто необхідний обсяг знань, для формування елективного курсу, спрямованого на розвиток логічного мислення та інтелектуальних здібностей учнів початкової школи.

Глава II Розробка елективного курсу "Елементи теорії ігор в початковій школі"

2.1 Місце комп'ютера в початковій школі

Чому маленьким дітям на уроці не завжди цікаво? Те втомляться, то нудьга здолає. Чому життя школи часом несхожа на кольоровий, яскравий світ, який супроводжує дитину в його спілкуванні з друзями і книгами? Школа і шкільне життя повинна захоплювати дитини, вводячи його в дивовижний світ пізнання.
Ось тут-то на допомогу і приходить комп'ютер зі своїм цікавим і пізнавальним світом. Діапазон використання комп'ютера в навчально-виховному процесі зростає все більше: від тестування учнів, врахування їх особистісних якостей до гри. Комп'ютер може бути як об'єктом вивчення, так і засобом навчання, тобто можливі два види напряму комп'ютеризації навчання: вивчення інформатики і також його використання при вивченні різних предметів. При цьому комп'ютер є потужним засобом підвищення ефективності навчання. [23]
Багато хто приходить до переконання, що в результаті отриманих знань про комп'ютери та набутих навичок роботи з ними діти будуть краще підготовлені до життя і матеріального добробуту в мінливому світі.
Комп'ютер дозволяє підсилити мотивацію учня. Не тільки новизна роботи з комп'ютером, яка сама по собі сприяє підвищенню інтересу до навчання, але і можливість регулювати пред'явлення навчальних завдань за ступенем складності, заохочення правильних рішень позитивно позначається на мотивації.
Крім того, комп'ютер дозволяє повністю усунути одну з найважливіших причин негативного ставлення до навчання - неуспіх, обумовлений нерозумінням, значними прогалинами у знаннях. Працюючи на комп'ютері, учень отримує можливість довести рішення задачі до кінця, спираючись на необхідну допомогу.
Комп'ютер дозволяє істотно змінити способи керування навчальною діяльністю, занурюючи учнів у певну ігрову ситуацію, даючи можливість учням запросити певну форму допомоги, викладаючи навчальний матеріал з ілюстраціями, графіками і т.д.
Комп'ютер сприяє формуванню в учнів рефлексії своєї діяльності, дозволяє учням наочно уявити результат своїх дій.
Застосування комп'ютерної техніки робить урок привабливим і по-справжньому сучасним, відбувається індивідуалізація навчання, контроль і підведення підсумків проходять об'єктивно і вчасно [34].
Включення ігрових предметів може бути використане і для закріплення вивченого матеріалу, узагальнення при показі основних прийомів роботи.
2.2 Методи і прийоми навчання у початковій школі
Проблема методів навчання є однією з найважливіших у педагогічній науці і в практиці шкільного навчання, особливо якщо це стосується початкової школи, оскільки навчальні методи - це головні інструменти, за допомогою яких вчитель озброює учнів основами наук, розвиває в них пізнавальні здібності, забезпечує розвиток особистості , формує науковий світогляд. Від вибору і характеру використання того чи іншого методу залежить, чи буде навчальний працю для дітей радісним і цікавим або обтяжливим, виконуваних лише для відбуття повинності. [38]
Від методів залежать результативність та плідність навчання. Методи визначають творчість вчителя, ефективність його роботи, засвоєння навчального матеріалу і формування якостей особистості учня.
Вчитель виступає в ролі посередника між знаннями, зафіксованими в досвіді людства, і свідомістю дитини, яка не має цих знань.
Учитель пропонує шлях пізнання, яким має йти учень, щоб засвоїти певні сторони досвіду людства. Але вчитель не просто передає знання, подібно електронно-обчислювальної машини, а організує певні шляхи, способи, прийоми засвоєння навчального матеріалу. [35]
Методи навчання залежать також від анатомо-фізіологічних, біологічних особливостей організму, що розвивається. У процесі організації пізнавальної діяльності учнів потрібно враховувати їх вікове біологічний розвиток, від якого залежать багато компоненти навчання: працездатність, стомлення, стан творчості, фізичне здоров'я. [38]
Однією з проблем, яка хвилює вчителів є питання, як розвинути в дитини стійкий інтерес до навчання, до знань і потребу в їх самостійному пошуку. Вирішення цих завдань спирається на мотиваційно-потребностную сферу дитини. Учні початкової школи не можуть вчитися "для самих себе". Іноді вони навчаються за оцінку, іноді за похвалу іноді, за подарунки. Але будь-якому з цих мотивів приходить кінець. Тому вчителю необхідно формувати навчальну мотивизации на основі пізнавального інтересу. Дитині повинна подобатися його діяльність, і вона повинна бути йому доступна.
Дуже часто при постановці завдання перед учнями вчитель запитує, чи знають вони що-небудь в цій області і чи зможуть вирішити поставлену задачу самостійно. Навіть якщо учні однозначно відмовляються від прийняття самостійних рішень, вчитель повинен постаратися шляхом логічних запитань підвести учнів до висновку не даючи готових знань відразу.
На уроках інформатики в початковій школі в умовах звичайної класно-урочної системи вчителями успішно використовуються такі методи і форми навчання, що дозволяють ефективно побудувати навчальний процес з урахуванням специфічних особливостей особистості школяра:
діалоги;
робота в групах;
ігрові методики;
інформаційні хвилинки;
евристичний підхід; [12]
Також не можна забувати і про наочних методах навчання, які сприяють розвитку пам'яті, мислення, уяви. Наочні методи навчання - це такі методи навчання, при яких засвоєння навчального матеріалу в процесі навчання залежить від застосування наочних посібників і технічних засобів. Характер наочних посібників істотно впливає на розуміння навчального матеріалу, визначає зміст і структуру думки учня.
Серед наочних методів навчання виділяють спостереження, ілюстрацію і демонстрацію. Завдяки спостереженню можливо порушити в учнів інтерес до навколишнього життя і навчити аналізувати природні і соціальні явища, а також навчити їх концентрувати увагу на головному, виділяти особливі ознаки. Завдяки демонстрації увагу учнів виявляється спрямованим на істотні, а невипадково виявлені, зовнішні характеристики розглянутих предметів, явищ, процесів. Ілюстрація особливо добре використовується при поясненні нового матеріалу.
При проведенні уроку в початковій школі треба ще враховувати й такі методи:
методи стимулювання і мотивації навчально-пізнавальної діяльності;
методи організації та здійснення навчально-пізнавальної діяльності;
методи контролю і самоконтролю за ефективністю навчально-пізнавальної діяльності.
Існують і інші класифікації, наприклад, проста класифікація методів навчання іменована бінарним, розроблена Махмутовим ініціали та посилання:
До першої групи належать способи викладання: розповідь, бесіда, опис, пояснення, в яких провідна роль належить вчителю. Завдання учня зводяться до того, щоб слідувати логіці міркувань вчителя, зрозуміти викладене зміст, запам'ятати і в подальшому вміти відтворити вивчений матеріал. Словесні методи навчання вимагають від учителя логічної послідовності і доказовості в поясненні, вірогідності матеріалу, образності й емоційності викладу, літературно правильною, чіткої мови.
До другої групи належать способи навчання: вправи, самостійні, практичні та контрольні роботи.
При вирішенні поставленої задачі найкраще застосовувати такі методи:
Частково-пошуковий метод, званий іноді евристичним, містить у собі елементи репродуктивної і пошукової діяльності. Суть методу полягає в тому, що учням не дається остаточне рішення задачі, частина посильних питань їм пропонується вирішити самостійно.
Проблемний метод навчання передбачає постановку певних проблем, які вирішуються в результаті творчої діяльності учнів. Цей метод розкриває перед учнями логіку наукового пізнання.
Дослідницький метод слід розглядати як вищий щабель творчої діяльності учнів, у процесі якої вони знаходять рішення нових для них завдань. Дослідницький метод формує в учнів знання та вміння, які мають високий ступінь переносу і можуть застосовуватися в нових трудових ситуаціях.

2.3 Гра як метод навчання в початковій школі

Бурхливий розвиток нових інформаційних технологій і впровадження їх у школи останні кілька років наклали певний відбиток на розвиток особистості сучасної дитини. Потужний потік нової інформації, реклами, застосування комп'ютерних технологій у телебаченні, розповсюдження ігрових приставок, електронних іграшок і комп'ютерів великий вплив на виховання дитини та її сприйняття навколишнього світу. Істотно змінюється і характер її улюбленої практичної діяльності - гри.
Гра по своїй суті сприяє розвитку пізнавальних сил учнів; стимулює творчі процеси діяльності; сприяє розрядці напруженості; знімає стомлення; створює благополучну атмосферу навчальної діяльності; сприяє розвитку інтересу до навчання.
Включення ігрових предметів може бути використане і для закріплення вивченого матеріалу, узагальнення при показі основних прийомів роботи, дозволяє дитині активно включатися у творчий процес, розвивати уяву і фантазію, допомагає бачити нове його рішення в тій чи іншій техніці, збагачувати первісний задум. [15]
В даний час проведення уроків на основі ігрових методик при навчанні інформатики в молодших класах виходить на перший план. Це пов'язано з тим, що ці методики, включаючи в себе практично всі форми роботи (діалог, робота в групі тощо), надають широкі можливості для творчої діяльності, інтелектуального розвитку дитини.
На уроках інформатики в молодших класах вчитель змушений завжди створювати свій новий, комбінований тип гри. Як відомо, гра дає перерву в повсякденності з її утилітаризмом, монотонністю, з її жорсткою детерминацией способу життя. Гра дає порядок. Система правил у грі абсолютна і незаперечна. Неможливо порушувати правила і бути в грі. Це якість порядку дуже цінно в нашому нестабільному, безладному світі. Гра дає можливість створити і згуртувати колектив. Привабливість гри настільки велика і ігровий контакт людей один з одним настільки сповнений і глибоким, що ігрові співдружності виявляють здатність зберігатися і після закінчення гри, поза її меж.
Гра дає елемент невизначеності, який збуджує, активізує розум, налаштовує на пошук оптимальних рішень.
Гра дає поняття про честь, про самообмеження і самопожертву на користь колективу.
Гра дає розвиток уяви, оскільки воно необхідне для створення нових світів, міфів, ситуацій, правил гри.
Однак чітку межу провести між функціями гри неможливо, Кожна гра чомусь вчить, виховує певні якості у гравців і в той же час забезпечує досягнення розважальної мети. [12]

2.4 Аналіз програм і стандарту з інформатики в початковій школі

Вивчивши стандарт по технології в початковій школі, виявилося, що інформатика вивчається в рамках предмету "Технологія" як окремий модуль з 3 класу.
Так як провідної діяльністю у дітей цього віку є гра, тому ми вважаємо, що доцільно запроваджувати елементи теорії ігор.
Були проаналізовані найбільш поширені програми з інформатики для початкової школи авторів А.В. Горячева, Матвєєвої Н.В. і А.Л. Семенова. На основі аналізу можна виділити наступне:
Програма А.В. Горячева:
Серед основних напрямків (ліній) розвитку учнів засобами предмета "Інформатика" можна виділити: вміння розпізнавання недостатньої інформації, визначення стратегії її пошуку, отримання, оцінювання та використання недостатньої інформації можуть освоюватися в процесі навчання іншим розділам інформатики за рахунок спеціальним чином складених завдань.
Цілі: формування загальнонавчальних і загальнокультурних навичок роботи з інформацією - розвиток у школярів теоретичного, творчого мислення, формування операційного мислення, спрямованого на вибір оптимальних рішень, а також уміння грамотно користуватися джерелами інформації, уміння правильно організувати інформаційний процес, оцінити інформаційну безпеку і т.д .
Завдання:
алгоритмічний підхід до вирішення завдань - вміння планування послідовності дій для досягнення будь-якої мети, а також вирішення широкого класу задач, для яких відповіддю є не число чи твердження, а опис послідовності дій;
створення кругозору в областях знань, тісно пов'язаних з інформатикою: знайомство з графами, комбінаторними завданнями, логічними іграми з виграшною стратегією ("починають і виграють") і деякими іншими. [48]
Програма А.Л. Семенова:
В основу побудови теоретичного курсу покладено ряд принципів, переглянувши їх до нашої теми можна вибрати тільки це: ясні правила гри, однаково розуміються вчителем та учнем;
Вимоги до знань і вмінь учнів, що закінчують початкову школу:
мати уявлення про побудову виграшних стратегій в іграх з повною інформацією;
мати уявлення про ймовірності та випадковості на ігрових прикладах;
брати участь у колективному обговоренні та спільної діяльності, розуміти і суворо дотримуватися встановлених правил гри. [47]
Програма Н.В. Матвєєвої:
Мета: формування вміння будувати найпростіші інформаційні моделі і використовувати їх при вирішенні навчальних і практичних завдань, в тому числі при вивченні інших шкільних предметів.
У цій програмі не приділяється увага теорії ігор. []

2.5 елективний курс

"Елементи теорії ігор в початковій школі"
Пропедевтичний курс інформатики спрямований на формування в учнів знань, умінь і навичок, що відповідають за первинне знайомство дітей з предметом інформатики.
Відмінною особливістю навчання інформатики на даному ступені є специфічний набір методів, які необхідно застосовувати в ході ведення уроку.
Саме тому даний елективний курс припускає під собою набір логічно пов'язаних уроків у формі гри.
Навчальний курс "Теорія ігор" призначений для вивчення в 3-4 класів загальноосвітньої школи.
Курс є елективний. Курс розрахований на 10 годин, які проводяться протягом навчального часу по 1 годині на тиждень.
Цей курс формує в учнів необхідні знання з "Теорії ігор" та про її основних поняттях. Учні отримають уявлення про основні поняття, про способи побудови структурних дерев та рішення типових завдань.
Даний курс сприяє розвитку інтелектуальних здібностей, логічного мислення та пізнавальних інтересів школярів. Вивчення предмета сприяє подальшому розвитку таких умінь, як: правильне складання програм, моделювання, прогнозування, організація власної діяльності.
Мета:
Забезпечити оволодіння учнями основами знань з теми "Теорія ігор" і на цій основі розширити уявлення про правила гри, видах ігор, стратегії, а також навчити застосовувати отримані навички на практиці при вирішенні різних завдань (ігрових ситуацій).
Завдання:
Ознайомити з поняттями гра, правила гри, гравці, стратегія, хід, партія.
Показати відміну звичайної стратегії від виграшної (оптимальної) стратегії.
Продемонструвати приклади роботи програми "Теорія ігор" для того, щоб наочно показати ігрові ситуації.
Навчити будувати "дерево гри".
Навчити розв'язувати задачі з пошуком виграшної стратегії.
Компетенція:
Застосовувати отримані знання під час (при рішенні) ігри або ситуації схожої з нею.
Вимоги до рівня сформованості ключових компетенцій учнів.

Таблиця 2
Рівень I
Рівень II
Рівень III
Рішення проблем
1. Демонструє розуміння поставленого завдання (ігрової ситуації),
2. Демонструє розуміння послідовності дій при вирішенні даної задачі,
1. Висловлюється з приводу передбачуваного результату і демонструє свій спосіб вирішення у вид структурованого дерева.
1. На основі побудованого дерева визначає виграшну стратегію.
Критерії оцінки рівня сформованості ключових компетентностей учнів.
Таблиця 3
1 бал
2 бали
3 бали
4 бали
5 балів
6 балів
Рішення проблем
Учень підтвердив розуміння поставленого перед ним завдання.
Учень виявив що йому відомо і що потрібно знайти.
Учень описав поставлене перед ним завдання і пояснив послідовність своїх дій при рішенні.
Учень представив дерево рішення задачі.
Учень інтерпретував умови задачі у зворотний бік, тобто по дереву визначив умову задачі.
Учень розв'язав задачу оптимальним способом, тобто визначив виграшну стратегію.
Вимоги до учнів до освоєння курсу (з усіх предметів):
Знати
таблицю додавання і віднімання однозначних чисел;
правила порядку виконання дій у числових виразах;
призначення основних пристроїв комп'ютера;
Вміти
виконувати інструкції при вирішенні навчальних завдань;
розв'язувати текстові задачі арифметичним способом (не більше 2 дій);
креслити за допомогою лінійки відрізок заданої довжини
отримувати необхідну інформацію про об'єкт діяльності, використовуючи малюнки, схеми, ескізи, креслення (на паперових та електронних носіях);
перевіряти правильність виконаних обчислень
порівняння і упорядкування об'єктів за різними ознаками: довжині, площі, масі, місткості;
вирішення завдань, пов'язаних з побутовими життєвими ситуаціями (купівля, вимірювання, зважування тощо);
Використовувати набуті знання і вміння в практичній діяльності та повсякденному житті для:
оволодіння нормами російського мовного етикету в ситуаціях повсякденного спілкування.
ведення діалогу, побудови монологічних висловлювань в умовах побутового спілкування;
вирішення навчальних і практичних завдань із застосуванням можливостей комп'ютера;
зміни та створення простих інформаційних об'єктів на комп'ютері.
Вимоги до рівня підготовки учнів:
Після вивчення курсу учні повинні
Знати / розуміти
Визначення ігри (ігрової ситуації).
Основні поняття: хід, види хід, стратегія, правила гри
Різні класифікації ігор.
Призначення "дерева гри"
Вміти
Визначати виграшну стратегію
Будувати "дерево ігри" за умовами задачі
Вирішувати завдання за зразком
Вирішувати завдання із застосуванням оптимального пошуку рішення
Таблиця 4
Тематичне планування:

Тема
Вимоги до підготовки (цілі навчання)
Всього годин
Теорія
Практика
1
Гра що це таке? (Сфери застосування ігор, види ігор, приклади ігор).
Знати / розуміти
Що таке гра, види ігор
вміти
Наводити приклади ігор (не комп'ютерних) або ігрових ситуацій
1
+
+
2
Основні поняття: гра, гравці, правила, хід, стратегії.
Знати
Основні поняття: гра, гравці, правила, хід, стратегії.
1
+
+
3
Знайомство з програмою "Теорія ігор в початковій школі"
Знати
Призначення всіх кнопок і те як запустити обрану гру
Вміти
Виконувати дії передбачені програмою.
1
+
4
Стратегія: поняття, види. Оптимальний спосіб рішення або виграшна стратегія.
Знати
Визначення стратегії.
Вміти
Визначати найбільш оптимальну стратегію, яка приведе до необхідного рішенням
1
+
+
5
Будуємо дерево гри (ігрової ситуації) (1 частина).
Вміти
Пояснити по вже готовому дереву суть самої ігрової ситуації
1
+
+
6.
Будуємо дерево гри (ігрової ситуації) (2 частина).
Вміти
По дереву визначати умову задачі.
Визначати виграшну стратегію по дереву завдання.
Будувати самим дерево завдання (ігри, ігрової ситуації).
1
+
7
Рішення однотипних ігор в картинках.
Вміти
Підтвердити розуміння поставленого перед ним завдання.
Виявити, що йому відомо і що потрібно знайти.
Вирішувати завдання за зразком.
1
+
8
Рішення різних ігор (ігрових ситуацій).
Вміти
Підтвердити розуміння кожної поставленої перед ним завдання.
Виявити що йому відомо і що потрібно знайти.
Вирішувати завдання за зразком.
1
+
9
Рішення задач з пошуком оптимального рішення.
Вміти
Вирішувати завдання за зразком і з застосуванням власного рішення.
1
+
10
Урок - гра "Все що ми дізналися про теорію ігор"
Вміти
Використовувати отримані знання на практиці
1
+
Поурочне планування
Урок 1
Тема уроку: Що таке гра.
Тип року: пояснення нового матеріалу.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів пізнавальні інтереси, мислення; розвивати культуру висловлювання власної думки.
Виховна: привчати учнів до уважності при поясненні нового матеріалу.
Практична: мати уявлення про ігри, вміти наводити свої приклади.
Методичні та технічні засоби: проектор, комп'ютер, дошка, маркер, зошити.
Основні поняття: гра, виграш, види ігор.
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: Так як це перший урок, то ви повинні пояснити учням, чим вони будуть займатися на наступних уроках цього курсу. Що ж стосується безпосередньо цього уроку, то він повинен пройти у вигляді бесіди на тему різних ігор, тобто ви розповідаєте про іграх, приводите якісь свої приклади, попросіть учнів розповісти про іграх. Запитайте, в які ігри вони грають і що їм подобаються. Також вам необхідно торкнутися деяких визначення і записати їх у зошити. Все що їм необхідно законспектувати бажано, оформити у вигляді презентації. Ближче до кінця уроку можна запропонувати пограти в яку-небудь гру для всього класу.
Контрольні питання:
1. Що таке гра?
2. Приклади ігор.
3. Що таке виграш?
4. Назвати основні види ігор.
5. Кого можна назвати засновником Теорії ігор?
6. Що вивчає Теорія ігор?
Урок 2
Тема уроку: Основні поняття Теорії ігор.
Тип року: комбінований урок: пояснення нового теоретичного матеріалу та розгляд практичних прикладів.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів пізнавальні інтереси, пізнавальні та творчі здібності.
Виховна: привчати учнів до уважності при поясненні нового матеріалу і до шанобливого ставлення до однокласників.
Практична: дати визначення вивченим поняттям, наводити свої приклади на вивчену тему.
Методичні та технічні засоби: проектор, комп'ютер, дошка, маркер, зошити, роздатковий матеріал.
Основні поняття: гра, гравці, правила, хід, стратегії.
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: Продовжуєте знайомити учнів з основними поняттями. Всі визначення, які зустрінуться на цьому уроці можете оформити у вигляді презентації. На практичному прикладі спробуйте, щоб учні самі виявили основні поняття, з якими вони вже ознайомлені, тобто пропонуєте їм яку-небудь гру і по ній вони повинні визначити, де правила, скільки гравців і можливу стратегію.
Контрольні питання:
1. Що таке правила гри? Як ви це розумієте?
2. Спробуйте визначити правила для хрестиків і нуликів.
3. Дайте визначення партії.
4. Як ви розумієте хід у грі?
5. Поясніть на прикладі що таке стратегія.
Урок 3
Тема уроку: Знайомство з програмою "Теорія ігор в початковій школі.
Тип року: пояснення нового матеріалу на практичних прикладах.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів логічне мислення та пізнавальні інтереси, розвивати інтерес до предмета інформатики.
Виховна: привчати учнів бути уважними при поясненні нового матеріалу і під час самостійної роботи.
Практична: знати призначення всіх кнопочок, вміти запускати гри.
Методичні та технічні засоби: проектор, комп'ютер, дошка, маркер, зошити.
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: На цьому уроці ви знайомите учнів з програмою "Теорія ігор в початковій школі". Спочатку ви продемонструйте ним проект, розкажіть як все працює і влаштовано, в учнів можуть виникнути питання., Так що будьте готові відповісти. Переконавшись , що вони засвоїли основні принципи роботи дайте їм можливість все подивитися самостійно.
Контрольні питання:
1. Наведіть приклади ігор та ігрових ситуацій з даної програми?
2. Як запустити довідку про будь-яку грі?
3. Як запустити саму гру?
4. Чи можна вибирати ігри в різному порядку?
Урок 4
Тема уроку: Стратегія: поняття, види. Оптимальний спосіб рішення або виграшна стратегія.
Тип року: пояснення нового матеріалу та розгляд практичних прикладів.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів логічне мислення, пізнавальні інтереси.
Виховна: виховувати шанобливе ставлення до інформатики; привчати учнів бути уважними при поясненні нового матеріалу.
Практична: знати основні визначення, вміти самостійно наводити приклади на вивчену тему.
Методичні та технічні засоби: проектор, комп'ютер, дошка, маркер, зошити.
Основні поняття: стратегія, виграшна стратегія.
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: знайомить учнів з поняттям стратегії. Також необхідно донести до дітей що розуміється під виграшної стратегії. Всі теоретичні аспекти краще оформити у вигляді презентації. В якості прикладів можна навести деякі ігри з програми.
Контрольні питання:
1. Дайте визначення стратегії.
2. Як ви думаєте можна використовувати стратегії в будь-яких життєвих ситуаціях?
3. Що таке оптимальна стратегія. Як ви це розумієте?
4. Наведіть свої приклади оптимальних стратегій.
Урок 5
Тема уроку: Будуємо дерево гри (ігрової ситуації).
Тип року: пояснення нового матеріалу та розгляд практичних прикладів.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів логічне та образне мислення, активізувати мозкові процеси.
Виховна: привчати учнів до уважності при поясненні нового матеріалу і шанобливого ставлення один до одного.
Практична: вміти будувати дерево гри, наводити свої приклади.
Методичні та технічні засоби: проектор, комп'ютер, дошка, маркер, зошити.
Основні поняття: умова задачі, дерево гри.
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: Поясніть для початку, що ми розуміємо під деревом гри, потім що це нам дає, тобто це більш наочне уявлення умов завдання, і виходячи з чого можна його побудувати. А також, що можна знайти завдяки побудові такого дерева. Продемонструйте як приклад кілька ігор з готовими деревами, все це краще оформити у вигляді презентації. Після чого, спробуйте з учнями побудувати до якої-небудь грі дерево.
Контрольні питання:
1. Що таке дерево гри?
2. Як можна його побудувати?
3. Для чого ми будуємо дерева ігор?
4. Чи можна по дереву ігрової ситуації визначити виграшну стратегію?
Урок 6
Тема уроку: Будуємо дерево гри (ігрової ситуації).
Тип року: закріплення на практиці вивченого матеріалу.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів логічне та образне мислення
Виховна: привчати учнів до самостійного виконання завдання, а також до шанобливого ставлення один до одного.
Практична: вміти будувати дерева за умовою гри (завдання).
Методичні та технічні засоби: проектор, комп'ютер, дошка, маркер, зошити.
Основні поняття: умова задачі, дерево гри, виграшна стратегія.
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: Теоретичний матеріал по цій темі ви вже пояснили, тепер вам потрібно закріпить його на практиці з учнями. Нехай вони самі спробують побудувати дерева гри. Умови завдань краще оформити у вигляді презентації.
Контрольні питання:
1. Що таке дерево гри?
2. Як можна його побудувати?
3. Чи можна за вже готовим дереву сформулювати умову задачі?
4. Що крім умови задачі можна визначити по дереву гри?
Урок 7
Тема уроку: Рішення однотипних ігор в картинках.
Тип року: пояснення нового матеріалу на практичних прикладах.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів логічне мислення, пізнавальні інтереси.
Виховна: привчати учнів до уважності при виконанні завдань і до активної участі на уроці.
Практична: вміти вирішувати однотипні завдання за прикладом.
Методичні та технічні засоби: проектор, комп'ютер, дошка, маркер, зошити, роздатковий матеріал.
Основні поняття: умова ігрової ситуації, дерево гри.
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: На цьому уроці ви розглядаєте рішення однотипних завдань. Умови завдань краще представити у вигляді презентації. При поясненні завдання можете вже залучати дітей до вирішення, тому що в них можуть з'явитися свої варіанти. Вам буде необхідно заготовити картинки до завдань, щоб використовувати їх при рішенні.
Урок 8
Тема уроку: Рішення різних ігор (ігрових ситуацій).
Тип року: пояснення нового матеріалу та розгляд практичних прикладів.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів логічне та образне мислення, пізнавальні інтереси, уяву.
Виховна: привчати учнів до уважності при поясненні нового матеріалу і до активної участі на уроці.
Практична:: вміти вирішувати завдання різного типу.
Методичні та технічні засоби: проектор, комп'ютер, дошка, маркер, зошити.
Основні поняття: стратегія, умова ігрової ситуації, дерево ігри
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: На прикладах покажіть рішення декількох завдань і дайте можливість учням самим спробувати що-небудь вирішити. Умови завдань краще представити у вигляді презентації.
Урок 9
Тема уроку: Рішення задач з пошуком оптимального рішення.
Тип року: пояснення нового матеріалу та розгляд практичних прикладів.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів логічне та образне мислення, пізнавальні інтереси і уяву.
Виховна: привчати учнів до самостійного вирішення завдання
Практична: вміти вказати оптимальний спосіб розв'язання
Методичні та технічні засоби: проектор, комп'ютер, дошка, маркер, зошити.
Основні поняття: стратегія, умова гри (ігрової ситуації), дерево ігри
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: На прикладах показуєте рішення різних завдань, також нагадайте учням що таке оптимальне рішення (виграшна стратегія), яке потрібно буде визначити в ході рішення. Умови завдань краще представити у вигляді презентації.
Урок 10
Тема уроку: "Все що ми дізналися про теорію ігор"
Тип року: самостійна робота.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів логічне та образне мислення, пізнавальні інтереси, активізувати мозкові процеси.
Виховна: привчати учнів до самостійного виконання роботи.
Практична: знати всі поняття курсу, вміти вирішувати основні гри.
Методичні та технічні засоби: проектор, комп'ютер, дошка, маркер, зошити, роздатковий матеріал.
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: Підводите підсумок всього раніше вивченого. Учням необхідно виконати запропоновані вами завдання. Перед виконанням повторіть з ними деякі основні моменти вивченого матеріалу. Текст підсумкового заняття наведений у додатку 2.

2.6 Педагогічний експеримент

Педагогічний експеримент був проведений під час педагогічної практики в МОУ СЗШ № 153 міста Челябінська. Експеримент проводився під час навчальних занять у 3 У класі.
На заняттях були розглянуті такі теми як: "Що таке гра", "Основні поняття теорії ігор", також був продемонстрований програмний продукт. Учням були доступно пояснено деякі теоретичні моменти, а для того щоб їх більше захопити були розібрані деякі гри в якості прикладів.
Під час занять учні виявили зацікавленість і захоплення цією темою. Всі уроки проходили у жвавій атмосфері. Використання даної ігрової методики підвищило увагу учнів, дозволило урізноманітнити навчальний процес, підвищити якість засвоєного матеріалу.

2.7 Опис програмного продукту

Дана програма являє собою ігрове поле з дев'яти клітинок. Кожна клітина це окрема гра або ситуація, що вимагає вибір оптимальної стратегії (рис.7).

Рис.7. Вікно програми
Перш ніж вибрати будь-яке поле, необхідно ознайомитися з умовами та вимогами. Для цього потрібно натиснути . Після чого відкриється Довідка.
Наприклад, ви вибрали перше поле. Гра в ньому називається "Дві квітки" (рис.8).

Рис.8. Вікно гри "Дві квітки"

Для виграшу вам потрібно набрати непарна кількість квіток. В іншому випадку ви програєте. Ви можете клацати по квітках, тим самим обираючи їх. Після натискання на кнопку "Показати", починається гра, і комп'ютер показує свою кількість квіток. Після чого виводиться повідомлення про результат гри. Для того, щоб зіграти ще раз натисніть кнопку "Скинути"
Ділимо торт.
Спочатку ознайомитеся з довідкою. Для того щоб почати гру потрібно натиснути кнопку внизу, після чого з'являється чорна лінія, яка ділить торт. Ви ділите торт, а комп'ютер в цей час вибирає одну з частин. Після чого видається повідомлення про результат гри (рис.9).

Рис.9. Вікно гри "Ділимо торт"
Хрестики-нулики.
Розглядається звичайна гра в хрестики-нулики з ігровим полем 3х3 (рис.10).


Рис.10. Вікно гри "Хрестики Нулики"
Баше.
Спочатку ознайомтеся з Довідкою, в якій все детально викладено, що від вас вимагається. Потім в ігровому полі, в самому верхньому лівому віконці можете вказати кількість каменів на ваш розсуд. У верхньому правому віконці вказано максимальну кількість каменів, яке можна взяти. Після чого натискаєте кнопку "Гра" та в нижньому вікні пишете кількість каменів, яке ви хочете взяти і натискаєте Enter. Граєте до тих пір, поки не закінчаться камені (рис.11).

Рис.11. Вікно гри "Баше"
Пальці.
Тут ви граєте на окуляри. Для початку ознайомтеся з Довідкою. Коли запустіть саму гру, у віконці вам потрібно буде вказати ту кількість пальців, яке ви хочете показати. Для виграшу вам потрібно показати більше пальців, ніж супротивник. Потім натискаєте кнопку "Показати" і комп'ютер покаже свої пальці. Після чого з'явиться повідомлення про підсумок, тобто, хто з вас переміг. Для того, щоб зіграти ще раз натисніть кнопку "Скидання" (рис.12).

Рис.12. Вікно гри "Пальці"
Лижник.
Уявіть, що ви їдете на лижах і вам на зустріч їде інший лижник. Ви вирішуєте поступитися чи ні. Залежно від вашого рішення в підсумку ви отримаєте відповідний час (рис.13).

Рис.13. Вікно ігрової ситуації "Лижник"
Станції.
Є дві станції, на які необхідно виставити товар. У залежності від того, як ви це зробите, ви заробите відповідну кількість грошей. Розрахунок здійснюється по натисненню на кнопку "! "(Рис.14).

Рис.14. Вікно ігрової ситуації "Станції"
Морозиво на пляжі.
Влітку на пляжі дуже жарко. По обох кінцях пляжу перебувають кіоски з морозивом. Відпочиваючі готові переплатити за морозиво рубль аби не йти зайве 50 метрів. Проект можна запустити після натискання на кнопку з картинкою морозива (рис.15).

Рис.15. Вікно ігрової ситуації "Морозиво на пляжі"
Аукціон печива.
Є пакет з печивом, скільки в ньому печива нікому не відомо. Ви у верхньому лівому куті пишіть ту кількість печива, яке хочете взяти. Також є інші гравці, які теж запитують якусь кількість. Потім після натискання на кнопку відбувається сортування всіх запитів, починаючи з найменшого, і виводиться результат. У разі якщо запросили занадто багато, то ні чого не отримаєте. Якщо ж є кілька однакових замовлень, то печиво ділиться між ними порівну. Залишилося печиво дістається "ведучому" (рис.16).

Рис.16. Вікно ігрової ситуації "Аукціон печива"

Висновки по II главі

Педагогічний експеримент проводився під час педагогічної практики в МОУ СЗШ № 153 м. Челябінська. Експеримент був проведений під час навчальних занять у 3 У класі.
Практика показала, що використання даної методики підвищило інтерес учнів, дозволило урізноманітнити навчальний процес, покращити якість засвоєного матеріалу. Заняття проводилися з використанням розробленої навчальної програми "Теорія ігор в початковій школі" та електронного посібника.
Виходячи з того що, використання комп'ютера в навчально-виховному процесі зростає все більше і більше, тому розроблений проект був дуже цікавий і корисний для дітей.
Виступаючи як засіб навчання, комп'ютер підвищує ефективність роботи на уроці, залучаючи учнів в пізнавальний світ інформації.
По скільки цей проект несе не тільки на якийсь ігровий сенс, а також спрямований на розвиток логічного мислення, то в зв'язку з цим, учні будуть краще підготовлені до життя в постійно мінливому світі.
Оскільки даний проект спрямований на початкову школу, то відповідно до цього були виділені деякі методи і прийоми роботи на уроці. Всім відомо, що провідною діяльністю в учнів початкової школи є гра, тому, гра як метод навчання був основним.
Переглянувши деякі програми з інформатики для початкової школи, виявилося, що деякі з них зачіпають елементи Теорії ігор. Сюди можна віднести програми Горячева А.В. і Семенової А.Л.
Таким чином, у II главі дослідження ми розробили і апробували елективний курс "Елементи Теорії ігор в початковій школі" та програмно-методичну підтримку до нього у вигляді програми "Теорії ігор в початковій школі". А також був розроблений електронний підручник та методичні рекомендації для вчителя.

Висновок

Таким чином, в процесі дослідження були реалізовані наступні завдання:
Вивчено основні теоретичні положення в рамках досліджуваної теми.
Відібрано завдання для практичної реалізації та складені до них алгоритми рішення.
Розроблено програмний продукт, який реалізує деякі завдання з теорії ігор.
Розроблено та адаптовано шкільний елективний курс з вивчення теми теорії ігор для учнів початкової школи;
Складені методичні рекомендації до даного курсу.
Розроблено програмно-методична підтримка курсу у вигляді електронного підручника "Елементи Теорії ігор" та методичних рекомендацій для вчителя.
Проведено впровадження курсу "Елементи Теорії ігор в початковій школі" в 3 класі школи № 153 м. Челябінська.
Таким чином, поставлену мету і гіпотезу можна вважати досягнутими, а завдання виконаними.
Тому ми припускаємо, що можна вводити теорію ігор в початковій школі, так як провідної діяльністю у дітей цього віку є гра. Через гру легше і краще засвоюється новий матеріал. Коли урок проходить в нетрадиційній формі, а, приміром, в ігровій, то учні приймають більш активну участь на заняття, в цьому випадку можна навіть залучити тих дітей, які мало активні.

Список використаної літератури

1. Агапова Р. Про три покоління комп'ютерних технологій навчання в школі. / / Інформатика та освіта. -1994. - № 2.
2. Айламазьян А. М. Актуальні методи виховання і навчання: ділова гра (Навчальний посібник для студентів). М.: МГУ, 1989.
3. Акорі Р., М. Сашені. Основи дослідження операцій. - М.: Мир, 1971, - 421 с., Іл.
4. Алексюк А.М. Проблема методів навчання в загальноосвітній школе.М., 1979.
5. Антіпов І. М. Граємо і програмуємо / / Початкова школа, № 5, 6, 1992
6. Антіпов І.І., Боковня О.А., Степанов М.Є. Про викладання інформатики в молодших класах. / / Інформатика та освіта, № 5, 1993.
7. Багленова А.Л. Принципи навчання школярів основам екранної грамотності. / / Фахівець. - 1992 - № 5.
8. Бєлавіна І.Г. Сприйняття дитиною комп'ютера і комп'ютерних ігор. / / Питання психології. - 1993. - № 3.
9. Блекуелл Л., Гіршік М.А. Теорія ігор і статистичних рішень. - М.: Іноземна література. 1958.
10. Босова Л.Л. Цікаві завдання з інформатики. - М.: БІНОМ. Лабораторія знань, 2005. - 119 с.
11. Босова Л.Л. Розвиваючі завдання. - М: Освіта і управління, 1999.
12. Бриксін О. Ф. Інформаційні хвилинки на уроках у початковій школі. / / Інформатика, № 6, 2000.
13. Буцин Є.С. Навчання молодших школярів початків інформатики. / / Інформатика та освіта. - 1991. - № 3.
14. Вагнер Р. Основи дослідження операцій: у 3х т. Пер. з англ. - М.: Світ, 1973.
15. Венгер А. А. Гра як вид діяльності / / Питання психології, № .3, 1978
16. Вентцель Є.С. Дослідження операцій. - М.: Сов. радіо, 1972, 392 с., іл.
17. Венцель Е.С. Елементи теорії ігор. -М, 1961.
18. Питання аналізу та процедури прийняття рішень. СБ пер. - М.: Мир, 1976, - 248 с., Іл.
19. Вілкас Е.Й. Поняття оптимальності в теорії ігор. - В кн.: Сучасні напрямки теорії ігор. _ Вільнюс, 1976.
20. Воробйов М.М. Сучасний стан теорії ігор. - УМН, 1970, т.25, вип.2 (152).
21. Волков І.К., Загоруйко Є.А. Дослідження операцій. М.: Із МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2000.
22. Гершунский Б.С. Комп'ютеризація серед освіти. -М., - 1987.
23. Глушко О.І. Комп'ютерний клас у школі. / / Інформатика та освіта. - 1994. - № 4.
24. Гребенів І.В. Методичні проблеми комп'ютеризації навчання у школі. / / Педагогіка - 1994. - № 5.
25. Зайченко Ю.П. Дослідження операцій. Ізд.2. - Київ: Вищ. Школа, 1979, - 512 с., Іл.
26. Зінченко Г.П. ЕОМ у початковій школі. / / Інформатика та освіта. -1991. - № 3.
27. Дослідження операцій в 2х т. Пер. з англ. / Под ред. Дж. Маудера, С. Елмаграбі. - М.: Мир, 1981, т.1 - 712 с.6 т.2 - 677 с., Іл.
28. Каракозов М.С. Формування навички роботи з клавіатурою. / / Інформатика та освіта. - 1994. - № 2.
29. Карелін В. Методи оптимізації. Метод. посібник. - Таганрог: Вид. ТРТІ, 1978, - 31 с.
30. Карлін С. Математичні методи в теорії ігор, програмуванні та економіці. - М.: Світ, 1964.
31. Кернер І. Я. Дидактична система методів навчання. М.: Знание, 1976.
32. Кершан Б. І ін Основи комп'ютерної грамотності. -М., 1993.
33. Кіні Р.Л., Райфа Х. Застосування рішень при багатьох критеріях: переваги і заміщення. Пер. з англ. - М.: Радіо і зв'язок, 1981, - 560 с., Іл.
34. Клейман Т.М. Школи майбутнього: Комп'ютери у процесі навчання. -М.: Радіо і зв'язок, 1997.
35. Крупська Н.К. Методичні нотатки. Педагогічне твір. М., т.3.1959.
36. Лернер І.Я. Дидактичні основи методів навчання. М., 1981.
37. Ліхтарніков Л.М. Цікаві логічні задачі. - СПб.: Лань, МИК, 1996.
38. Луначарський А.В. Учитель, вчися. Учительська газета. № 1, 1984.
39. Міркін Б.Г. Проблеми групового вибору. М., Наука, 1974.
40. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теорія ігор і економічна поведінка. М., Наука, 1970.
41. Оуен Г. Теорія ігор. - М.: Наука, 1971.
42. Паращін А. В, Паращін В.П. Активні методи навчання. -Новосибірськ: МДПУ, 1991.
43. Партхасаратхи Т., Рачхаван Т. Деякі питання ігор двох осіб. М., Мир, 1974.
44. Первін С.П. Діти, комп'ютери і комунікації. / / Інформатика та освіта. -1994. - № 4.
45. Подіновскій В.В., Ногін В.Д. Паретооптімальние рішення багатокритеріальних задач. - М.: Наука, 1982, - 256 с., Іл.
46. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Сьоміна Є.А. Теорія ігор: Навчальний посібник для університетів: / - М.: Вищ. шк., Книжковий дім "Університет", 1998. - 304с.: Іл.
47. Програма курсу інформатики для початкової школи по комплекту навчальних посібників А.Л. Семенова.
48. Програма пропедевтичного курсу інформатики А.В. Горячева.
49. Сучасний стан теорії дослідження операцій / Под ред. М.М. Моісеєва, М., Наука, 1979, 464с.
50. Солпостер Джуді. Діти та комп'ютер. - М., 1996
51. Сухарєв А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методів оптимізації. М.: Наука, 1986.
52. Тихомиров В.М. Розповіді про максимумах і мінімумах. М.: Наука, 1986. (Бібліотечка "Квант", випуск 56).

Програми

Додаток 1
Опис ігор
Практична частина цієї роботи будуть складатися з таких ігор, реалізованих у програмному вигляді:
Хрестики - нулики
Розглядається звичайна гра "Хрестики - нулики". Для початку давайте згадаємо правила цієї гри. Перед вами ігрове поле 3х3 (див. рис.17).
Про
Х
Про
Х
Х
Про
Х
Про
Х
Рис.17.
Ви обираєте чим би будете ходити або хрестиком або нуликів. Як правило, хрестики ходять першими. Можна поставити хрестик (нулик) у будь-яке місце на полі. Необхідно вибудувати ряд (або по вертикалі, або по горизонталі, або по діагоналі) з хрестиків (нуликів). Кому вдасться це зробити першим, той і переміг. Але, так як ви будете ходити по черзі, це не так-то просто буде зробити.
Виграшна стратегія, за умови, що ви ходите першим (див. рис.18):
про
х

про
про
х

х
про
про
х
х
про
х
про
про
х
х
про
х
х
Рис.18.
Ділимо торт.
Комп'ютер розрізає торт на дві частини. У цей час ви, не бачачи як розрізаний торт, вибираєте ту частину, яку хочете взяти. Для того щоб виграти вам потрібно вгадати більшу частину. У випадку, частини виявляться рівними, то нічия. Наступного разу ви ріжете торт, а комп'ютер вибирає (рис. 19).
обираєте меншу частину
вибираєте більшу частину
частини виявилися рівними
Ви програли
Виграв комп'ютер
Ви
виграли
Комп'ютер програв
Нічия

Рис. 19. Дерево гри "Ділимо торт"
3. Дві квітки
Ви і комп'ютер одночасно показуєте один або дві квітки. Потім вважають суму показаних квіток, вона може бути отримана від двох до чотирьох (1 і 1, 1 і 2, 2 і 2). Якщо сума є парною (2 або 4), комп'ютер виграє у вас, якщо ж сума є непарною, то ви виграєте біля комп'ютера (рис. 20).
Сума парна
Сума непарна
Ви програли
Ви виграли

Рис. 20. Дерево гри "Дві квітки"
4. Пальці
Ви і комп'ютер граєте на окуляри. Ви обоє одночасно показуєте скільки-то пальців.
Якщо кількість пальців виявилося однаковим, то нічия.
Якщо число пальців, показаних вами і комп'ютером, відрізняється на одиницю, то той, хто показав менше пальців, отримує два очки.
В інших випадках, той, хто показав більше пальців, отримує одне очко (рис.21).

Однакова кількість пальців
Комп'ютер показав на 1 палець менше
Ви показали на 1 палець менше
Комп'ютер показав більше пальців
Ви показали більше пальців
нічия
2 бали
2 бали
1 бал
1 бал

Рис.21. Дерево гри "Пальці"
Про лижників.
Два спортсмени біжать по лижній трасі один одному на зустріч. Перед кожним з них стоїть вибір або поступитися, або не поступитися. Той, хто поступиться дорогу втратить на цьому 2 секунди, інакше якщо ніхто не поступиться і вони зіткнуться, то будуть розплутуватися 10 секунд (рис.22).
Якщо хтось із вас поступиться
Якщо ніхто з вас не поступиться
Той хто поступився втрачає 2 секунди
Обидва втрачаєте по 10 секунд

Рис.22. Дерево гри "Про лижників"
Торговці на станції
На станції Шершні троє місцевих продавців, Андрій, Василь і Семен, продають пасажирам, відповідно, тканину, нитки та голки. Вранці приходять одразу два потяги, тому кожен поспішає виставити свій товар на першій або другій платформі. Якщо продавець працює на платформі поодинці, його виручка від продажу товарів пасажирам відповідного поїзда визначається з таблиці:
Таблиця 5
Платформа
Андрій
Василь
Семен
1
80
60
60
2
100
40
40
Якщо в одному місці продаються і тканину і нитки, то цих товарів вдасться продати на 50 відсотків більше, через те що ці товари доповнюють один одного. Утім якщо продавець ниток і продавець голок знаходяться на одній платформі, то внаслідок конкуренції обидва виручають вдвічі менше, ніж коли вони знаходяться на різних платформах (рис.23).
Перша платформа Друга платформа
Андрій
100
Василь
40
Семен
40
Андрій
80
Василь
60
Семен
60

Рис.23. Дерево гри "Торговці на станції"
Продавці морозива на пляжі.
На міському пляжі коштують два кіоски з морозивом. Продавці незалежно один від одного встановлюють ціни. Виглядає це приблизно так:

Відпочиваючі рівномірно розподілені по пляжу і загоряють. У цей день дуже спекотно, тому кожен готовий переплатити за морозиво рубль, тільки б не йти зайві 100 метрів по гарячому піску (рис.24).
Ларьок А
Ларьок У
Ціни на 1 рубль дорожче, але вибір більше
Ціни на рубль дешевше, але вибір менший

Рис.24. Дерево гри "Продавці морозива на пляжі"
Аукціон печива.
Є пакет з печивом, який потрібно поділити між декількома учасниками. Скільки печива в пакеті нікому не відомо. Кожен учасник таємно від інших пише на листку паперу своє ім'я і скільки печива він би хотів отримати. Всі заявки впорядковуються за зростанням, після чого ведучий по черзі видає кожному запитане їм кількість, починаючи з тих хто написав саме дрібненькі кількість печива. Якщо в деякий момент печиво закінчується, то ті хто заявили занадто багато, на жаль, залишаються ні з чим. (Якщо залишився печива виявляється не досить, щоб обслужити кілька однакових замовлень, то ділимо між ними порівну) Якщо ж залишилися зайві печива, то вони дістаються ведучому (рис.25).


Написав невелику кількість печива
Залишилося печиво, але його не вистачить щоб обслужити кілька однакових заявок
Написав занадто багато
Залишилося зайве печиво
Отримаєш свою частку
Ділимо по одно між ними
Нічого не отримаєш
Отримує провідний


Рис.25. Дерево гри "Аукціон печива"
Баше
У грі ви ходите по черзі. На столі лежить купа каміння, кількість каменів нікому не відомо. У свій хід можна взяти від одного до чотирьох каменів. Виграє той, хто своїм ходом залишає порожній стіл (рис.26).

Забираєте зі столу останні камені
Залишаєте на столі камені і їх усе забирає ваш супротивник
Ви виграли
Ви програли


Рис.26. Дерево гри "Баше"

Додаток 2
Контрольна робота
Тестові завдання (максимальна кількість балів = 8).
Теоретичні:
1) Виберіть правильний варіант. Що називається послідовністю дій обмежених певними правилами?
Завдання
Гра
Ситуація
2) Виберіть правильний варіант. Ким можуть визначаться правила гри?
Учасниками гри
Одним з учасників гри
Комп'ютер
3) Виберіть правильний варіант. Що можна назвати позитивним результатом гри?
Програш
Приз
Виграш
4) Виберете правильний варіант. Що ми маємо на увазі під правилами гри?
Система невідомих
Система рішень
Система умов
5) Виберете правильний варіант. Кого можна назвати основоположником Теорії ігор?
Джон фон Нейман
Ісаак Ньютон
Архімед
6) Виберете правильний варіант. Ігри можна класифікувати як:
Одно-виграшні і багато виграшні
Одноходові і багатоходові
Однокрокові і багатокрокові
7) Виберете правильний варіант. Що може служити прикладом випадкового ходу?
Кидання монети
Шахи
Гра в карти
8) Виберете правильний варіант. Учасники ігрового процесу це -
Люди
Гравці
Учні
Практичні завдання (максимальна кількість балів = 12)
I варіант
1) З вихідного малюнка спробуйте сформулювати умову задачі, яка починається так - У вас із товаришем є по 2 квітки. Ви і ваш товариш одночасно показуєте один або дві квітки. Потім вважають суму показаних квіток, вона може бути отримана від двох до чотирьох (див. рис.27).
Сума парна
Сума непарна
Ви програли
Ви виграли

Рис.27. Дерево гри.

2) Визначте виграшну стратегію наступної гри: У грі ви ходите по черзі. На столі лежить купа каміння, кількість каменів нікому не відомо. У свій хід можна взяти від одного до чотирьох каменів. Виграє той, хто своїм ходом залишає порожній стіл.
II варіант
1) Спробуйте сформулювати правила гри в хрестики-нулики.
2) Спробуйте намалювати дерево рішення наступного завдання:
Ви і ваш товариш граєте на окуляри. Ви обоє одночасно показуєте скільки-то пальців. Якщо кількість пальців виявилося однаковим, то нічия. Якщо число пальців, показаних вами і товаришем, відрізняється на одиницю, то той, хто показав менше пальців, отримує два очки. В інших випадках, той, хто показав більше пальців, отримує одне очко.
Таким чином, максимальна кількість балів, які може набрати учень = 20 (8 + 12). Що відповідає рівням компетенцій учнів наступним чином: 7 - 10 - 1 рівень, 11 - 15 - 2 рівень; 16 - 20 - 3 рівень;

Додаток 3
Урок 1.
Тема уроку: Що таке гра.
Тип року: пояснення нового матеріалу.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів пізнавальні інтереси, мислення; розвивати культуру висловлювання власної думки.
Виховна: привчати учнів до уважності при поясненні нового матеріалу.
Практична: мати уявлення про ігри, вміти відповідати на запитання вчителя, вміти наводити свої приклади.
Методичні та технічні засоби: проектор, дошка, маркер, зошити
Основні поняття: гра, виграш, види ігор.
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: Так як це перший урок, то ви повинні пояснити учням чим вони будуть займатися на наступних уроках цього курсу. Що ж стосується безпосередньо цього уроку, то він повинен пройти у вигляді бесіди на тему різних ігор, тобто ви їм розповідаєте про іграх, приводите якісь свої приклади, просите їх про що-небудь розповісти. Запитайте, в які ігри вони грають і що їм подобаються. Також вам необхідно торкнутися деяких визначення і записати їх у зошити. Все що їм необхідно законспектувати бажано оформити у вигляді презентації. Ближче до кінця уроку можна запропонувати пограти в яку-небудь гру для всього класу.
Контрольні питання:
1. Що таке гра?
2. Приклади ігор.
3. Що таке виграш?
4. Назвати основні види ігор.
5. Кого можна назвати засновником Теорії ігор?
6. Що вивчає Теорія ігор?
Етапи уроку:
1) Організаційний момент (2 хв).
2) Пояснення нового матеріалу (35 хв)
3) Підведення підсумків та видача домашнього завдання (3 хв).

Таблиця.
Етап
Учитель
Учень
Дошка
Зошит
Час
Організаційний момент.
Здравствуйте діти. Сідайте.
Мене звуть Новікова Ксенія Сергіївна. Я буду вести у вас якийсь час уроки інформатики.
Вітають вчителя.
2 хв
Пояснення нового матеріалу.
У курсі наших занять ми з вами повинні познайомиться з деякими елементами теорії ігор. Значить ТИ це такий розділ математики, який вивчає різного виду гри.
Сьогодні на уроці ми з вами познайомимося з що ж таке гра. Ви всі напевно граєте в ігри. А хто-небудь з вас коли-небудь замислювався про те, хто і за яких обставин їх придумав? І взагалі звідки з'явилися гри. Для людей ігри є і були як розваги, іноді навіть і як змагання. Наприклад, гри в шашки, шахи і карти.
Ну, тепер давайте повернемося безпосередньо до нашої теми. Теорія ігор, про яку ми з вами будемо говорити, була заснована Джоном фон Нейманом.
Давайте спробуємо сформулювати визначення гри. Що нам про це відомо? Тобто, при яких умовах здійснюється гра? Ви ж не можете просто придумати будь-яку назву гри і відразу ж в неї грати, адже цього буде не достатньо. Чи не так? Так, правильно вона йде за правилами. І так ми з вами отримали, що гра - це послідовність дій обмежених певними правилами.
Тепер відкрийте свої зошити, запишіть число і тему уроку "Що таке гра". Після цього - визначення гри, яке на дошці.
Правила гри може встановлювати будь-яка людина, який вам пояснює, як у неї грати. Також у процесі гри, самі учасники можуть домовиться про зміну будь-які умови.
Можете навести приклади якихось ігор і розповісти за якими правилами вони ведуться? Добре. Наприклад, всім добре знайома гра в хованки. Уявіть, що я не знаю як в неї грати і хто мені може пояснити як це робиться? Дуже добре.
От ви граєте в хрестики - нулики і обов'язково хто з вас повинен виграти, а хтось програти. Вірно? І ваш виграш буде називатися позитивним результатом гри. Давайте це з вами запишемо, виграш - позитивний результат гри.
Далі ми з вами розглянемо, які існують види ігор. Наприклад, вони можуть бути парними, тобто гравці в процесі гри об'єднуються в пари. Хоча можна й грати по одному. Напевно, багато хто з вас бачили, як грають у бадмінтон, зазвичай вони грають один на один, а ще можна грати в парах, то є два проти два. Хто може навести приклад подібної ситуації? Молодці.
Наступна класифікація характеризується кількістю ходів. Ігри поділяються на: одноходові - тут виграш розподіляється після одного ходу кожного гравця і багатоходові відповідно виграш розподіляється після декількох ходів. Прикладами одноходових ігор можуть служити спір на кулачках. Після одного скідиванія вам вже відомо хто програв суперечку. Спробуйте привести свої приклади. Добре. Ну, а прикладами багатоходових ігор можна назвати гри в шашки, шахи, карти. Які приклади ви можете навести тут? Добре. Всі впоралися із завданням.
Ну а тепер у нас відсталість ще час і я пропоную вас зіграти в одну дуже просту гру. Хто хоче взяти участь, мені потрібно двоє бажаючих. Правила гри наступні: Двоє грають у гру: перший називає однозначне число (тобто ціле число від 1 до 9 включно), другий додає до нього ще яке-небудь однозначне число і називає суму, до цієї суми перших додає ще яке-небудь однозначне число і знову називає суму і так далі. Виграє той, хто першим назве число 66.
Відповідають на поставлене питання.
Відповідають, що вона виконується за правилами.
Наводять свої приклади.
Пояснюють гру в піжмурки.
Наводять свої приклади.
Наводять свої приклади.
Наводять свої приклади.
Що таке гра.
гра - це послідовність дій обмежених певними правилами.
Виграш - позитивний результат гри
Що таке гра.
гра - це послідовність дій обмежених певними правилами.
Виграш - позитивний результат гри
35 хв
Підведення підсумків та видача домашнього завдання.
Сьогодні на уроці ми з вами познайомилися з деякою інформацією про ігри, про яку ви навіть ніколи й не думали, про те як їх класифікують. Тепер відкрийте свої щоденники і запишемо домашнє завдання. Удома вам потрібно буде вивчити визначення гри і виграшу. Усім спасибі. До побачення.
Записують домашнє завдання.
3 хв

Урок 2.
Тема уроку: Основні поняття Теорії ігор.
Тип року: комбінований урок: пояснення нового теоретичного матеріалу та розгляд практичних прикладів.
Цілі уроку:
Розвиваюча: розвивати в учнів пізнавальні інтереси, пізнавальні та творчі здібності.
Виховна: привчати учнів до уважності при поясненні нового матеріалу.
Практична: наводити приклади на вивчену тему
Методичні та технічні засоби: проектор, дошка, маркер, зошити, роздатковий матеріал.
Основні поняття: гра, гравці, правила, хід, стратегії.
Методичні рекомендації вчителя щодо проведення уроку: Продовжуєте знайомити учнів з основними поняттями. Всі визначення, які зустрінуться на цьому уроці можете оформити у вигляді презентації. На практичному прикладі спробуйте, щоб учні самі виявили основні поняття, з якими вони вже ознайомлені, тобто пропонуєте їм яку-небудь гру і по ній вони повинні визначити де правила, скільки гравців і можливу стратегію.
Контрольні питання:
1. Що таке правила гри? Як ви це розумієте?
2. Спробуйте визначити правила для хрестиків і нуликів.
3. Дайте визначення партії.
4. Як ви розумієте хід у грі?
5. Поясніть на прикладі що таке стратегія.
Етапи уроку:
1) Організаційний момент (2 хв).
2) Пояснення нового матеріалу (30 хв)
3) Застосування нового матеріалу на практиці (10 хв).
4) Підведення підсумків та видача домашнього завдання (3 хв).

Таблиця.
Етап
Учитель
Учень
Дошка
Зошит
Час
Організаційний момент
Здравствуйте. Сідайте. Давайте відзначимо відсутніх.
2 хв
Пояснення нового матеріалу.
На минулому занятті ми з вами познайомилися з грою, з умовами визначальними її, з поняттям виграшу і розглянули класифікацію ігор.
Наш урок мені б хотілося почати з опитування. Вашим домашнім завданням було - вивчити що таке гра і виграш. Хто мені скаже що таке гра? Якщо не можете дати точне визначення, спробуйте пояснити своїми словами. Виграш?
Сьогодні ми з вами познайомимося ще з деякими поняттями Теорії ігор, такими як: хід, гравці, правила гри, стратегія.
Ми з вами дуже багато говорили про правила гри, тепер давайте дамо визначення. Під правилами гри ми розуміємо систему умов, яка визначає можливі варіанти дій гравців.
Відкрийте свої зошити, запишіть число і тему уроку "Основні поняття Теорії ігор", а також що таке правила гри.
Під гравцями ми маємо на увазі самих учасників ігрового процесу. Чи не дамою, що це потрібно записувати, адже ви і так запам'ятайте.
Партія, напевно багато хто чув це поняття, - можна назвати варіант здійснення гри яким-небудь чином. Відповідно партія складається з ходів. Ходом можна назвати прийнятним варіант поведінки в грі. Вони бувають особисті і випадкові. Прикладом особистого ходу може бути гра в шахи, а випадкового кидання монети.
Ще нам залишилося познайомиться з таким поняттям як стратегія. Точне визначення стратегії наступне - сукупність правил, однозначно визначають послідовність дій гравця в кожній конкретній ситуації, що складається в процесі гри. Іншими словами - це вибрана вами, певна послідовність ходів. Докладніше можна розібрати на прикладі. Ви і ваш товариш скидати на кулачках, ви постійно показуєте "ножиці", думаючи, що можливість того, що ви виграєте більше - це і є в даному випадку ваша стратегія. Ну, а та стратегія, яка забезпечить вам найбільший виграш називається виграшною стратегією.
Спробуйте привести свої приклади.
Тепер давайте трохи запишемо все, про що ми говорили.
Гравці - учасники ігрового процесу. Партія - варіант реалізації гри яким-небудь чином. Хід - допустимий варіант поведінки в грі. Стратегія - сукупність правил, однозначно визначають послідовність дій гравця в кожній конкретній ситуації, що складається в процесі гри.
Слухають.
Відповідають.
Записують.
Наводять приклади.
"Основні поняття Теорії ігор"
Правила гри - система умов, яка визначає можливі варіанти дій гравців.
Гравці - учасники ігрового процесу. Партія - варіант реалізації гри яким-небудь чином. Хід - допустимий варіант поведінки в грі. Стратегія - сукупність правил, однозначно визначають послідовність дій гравця в кожній конкретній ситуації, що складається в процесі гри.
"Основні поняття Теорії ігор"
Правила гри - система умов, яка визначає можливі варіанти дій гравців.
Гравці - учасники ігрового процесу. Партія - варіант реалізації гри яким-небудь чином. Хід - допустимий варіант поведінки в грі. Стратегія - сукупність правил, однозначно визначають послідовність дій гравця в кожній конкретній ситуації, що складається в процесі гри.
Застосування нового матеріалу на практиці.
До кінця уроку у нас ще залишився час і мені б хотілося продемонструвати вам приклад однієї ігрової ситуації. Зараз вся увага на дошку. Умови цієї гри такі: Ви і ваш товариш одночасно показуєте один або дві квітки. Потім вважаєте суму показаних квіток, вона може бути отримана від двох до чотирьох (1 і 1, 1 і 2, 2 і 2). Якщо сума є парною (2 або 4), ваш товариш виграє у вас, якщо ж сума є непарною, то ви виграєте у нього.
Наприклад, я вибираю одну квітку, а мій суперник показав 2так як сума непарна - я виграла.
Скажіть мені, що є правилами цієї гри? Ходом? Гравцями?
Зараз я вам роздам квіточки з паперу і ви спробуєте пограти з товаришами по парті.
Відповідають на запитання.
Підведення підсумків та видача домашнього завдання.
Сьогодні ми познайомилися ще з деякими поняттями, які вам дума належить вивчити. Занотуйте собі в щоденник вивчити визначення правила гри, хід, партія, стратегія.
Побачимося на наступному тижні. До побачення.
Записують домашнє завдання.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Диплом
306.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Теорія ігор 2
Теорія ігор 2
Моделі дуополії та теорія ігор
Теорія ігор Корпоративні ігри
Теорія управління і імперія ігор у системі соціального управління
Нетрудові теорії вартості теорія граничної корисності теорія факторів виробництва теорія попиту
Ф Бастіа Теорія послуг і економічних гармоній теорія розподілу суспільного продукту
Теорія анархії і теорія правової держави стосовно до умов російської дійсності
Обща теорія на пазарното стопанство Загальна теорія ринкової економіки
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru