додати матеріал


Теорія подібності

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

МІНІСТЕРСТВО Наука і ОСВІТИ України
Дніпропетровський національний університет
 
Механіко-математичний факультет
Кафедра обчіслювальної механікі І міцності конструкцій
 
 
 
 
 
РЕФЕРАТ
 
з курсу «експериментальні методи в механіці деформованого твердого тіла»
на тему:
«Теорія подібностей»
 
 
 
Виконала: студент групи МД-2000-1
Курів Євген Валерійович
Перевірів: доцент
Прокопав Євген Федорович
 
 
 
Дніпропетровськ
2004
ЗМІСТ
"1-3" 1. Історичне введення. 3
2. Математичне та фізична подібність. 6
3. Теореми подібності. 10
4. Моделювання. 15
5. Методи подібності в механіці. 15
Рух математичного маятника. 15
Закінчення важкої рідини через водозлив. 18
6. Висновок. 19
7. Список використаної літератури. 22

1. Історичне введення.

Близько ста п'ятдесяти років тому виникла нова галузь наукового знання - вчення про подібність явищ.
Геніальне передбачення цієї науки було висловлено Ньютоном в 1686 р. Але тільки в 1848 р. Член французької академії наук Жозеф Бертран вперше встановив основна властивість подібних явищ, сформулювавши першу теорему подібності, теорему про існування інваріантів подоби.
Подібними називаються явища, що відбуваються в геометрично подібних системах, якщо у них у всіх подібних точках відносини однойменних величин є постійні числа. Ці відносини, так звані константи подібності, не можуть бути вибираної довільно, так як величини, що характеризують явище, взагалі кажучи, не незалежні один від одного, а перебувають у певному зв'язку, зумовленої законами природи. У багатьох випадках цей зв'язок може бути виражена у вигляді рівняння. Для подібних між собою явищ воно повинно мати однаковий вигляд. Наявність такого «рівняння зв'язку» між фізичними величинами, що характеризують явище, накладає певне обмеження на вибір констант подоби.
Ці відносини, так звані константи подібності, не можуть бути вибираної довільно, так як величини, що характеризують явища, взагалі кажучи, не незалежні один від одного, а перебувають у певному зв'язку, зумовленої законами природи. У багатьох випадках цей зв'язок може бути виражена математично у вигляді рівняння. Для подібних між собою явищ воно повинно мати однаковий вигляд. Наявність такого «рівняння зв'язку» між фізичними величинами, що характеризують явище, накладає певне обмеження на вибір констант подоби.
Бертран вивів першу теорему подібності для випадку подібності механічних явищ.
Виходячи з існування математичного зв'язку між силою, масою та прискоренням, встановлюється другим законом Ньютона, Бертран показав, що у подібних явищ комплекс величин: «сила * довжина / маса * швидкість в квадраті» має одне і те ж значення в подібних точках подібних явищ. Цей комплекс називається інваріантом, чи критерієм механічного подоби. У природі існують тільки ті подібні явища, у яких критерії однакові.
Якби фізичне рівняння зв'язку можна було б перетворити так, щоб воно було складено з інваріантів подібності, то це було б загальне рівняння, чисельно однакове для всіх подібних явищ.
Друга історія подібності встановлює можливість такого перетворення фізичних рівнянь.
Вона була виведена російським ученим А. Федерманом в 1911 р. і декількома роками пізніше, в 1914 р., американським ученим Букінгемом.
У 1925 р. Т.А. Афанасьєва-Еренфест вивела обидві теореми для випадку подібності будь-яких явищ природи і показала, що критеріальне рівняння містить, крім критеріїв-комплексів, складених із змінних величин, ще критерії крайових величин і симплекси - відносини однойменних величин (наприклад, відносини двох швидкостей, характеризують явище) . Тим самим вчення про властивості подібних явищ в основному було завершено.
Негайно після виходу першої теореми вона почала знаходити практичне застосування для обробки досвідчених данях в критеріях подоби. Осборн Рейнольдс висловив закон руху рідини по трубах однією загальною формулою, через критерій подібності, названої згодом його ім'ям. Виявилося можливим об'єднати таким шляхом всі чисельні дані дослідів по гідравлічному опору, проведених різними дослідниками на воді, повітрі, парі, різних маслах і т.д. Фруда, вивчаючи морехідні якості судів на моделях, представив результати дослідів над ними у вигляді критеріального рівняння, яке можна було поширити на судна, подібні за своєю геометричній конфігурації випробуваним моделями. Наш видатний вчений Н.Є. Жуковський поклав теорію подібності в основу критеріальної обробки дослідів над моделями літаків, що продуваються в аеродинамічній трубі, для того, щоб результати дослідів можна було перевести на подібні моделям літаки.
Друга теорема узаконила цю практику.
Критерії подібності виводяться з рівняння зв'язку. Тому для отримання критеріального рівняння треба знати рівняння, що зв'язує між собою величини, що характеризують розглядається явище.
Для більшості фізичних явищ рівняння зв'язку знайдені у формі диференціальних рівнянь, проте отримати інтегральні рішення їх вдається лише для окремих приватних випадків. Тому критерії подібності, як правило, виводяться з диференціальних рівнянь зв'язку, і потрібно було ще підтвердити, що критерії, виведені з проінтегрувати рівнянь, залишаються ті ж. Це було зроблено П. К. Конакова.
Таким чином, виявилося можливим результати досвідом над явищами виражати в критеріях подоби, отриманих з диференціальних рівнянь, аналітичний розв'язок яких не вдалося знайти.
Для того щоб мати право переносити дані дослідів, проведених на одному об'єкті, на інші, йому подібні, у висновках теорії подібності не вистачало ще одного важливого ланки.
Перша і друга теореми були виведені на основі припущення, що йдеться про явища, подобу яких заздалегідь відомо. Обидві теореми встановлюють властивості подібних явищ, але вони не вказують способу для визначення того, подібні чи два яких-небудь, порівнюваних між собою, явища. Виникає питання, за якими ознаками можна дізнатися, що явища подібні один одному.
Відповідь дається третьою теоремою подібності.
Третя теорема встановлює умови, необхідні і достатні для того, щоб явища виявилися подібними один одному. Формулювання її була дана М.В. Кирпичовим і А.А. Гухманом, а доказ теореми - М. В. Кирпичовим в 1930 р. (8).
Одиничне явище виділяється з групи явищ, що підкоряються одному і тому ж рівнянню зв'язку, приєднанням до нього умов однозначності, або моновалентною. У подібних явищах що входять в умови однозначності величини, моноваленти, очевидно, повинні бути подібні. Далі, згідно з першою теоремі, реально існуючі подібні явища повинні мати однакові критерії, в тому числі і складені моновалентов.
Третя теорема доводить, що два ці ознаки достатні для того, щоб мати право вважати явища подібними.
Зроблений історичний відбір показує, що вчення про подібність, що складається спочатку у вивченні властивостей подібних явищ, поступово зробилося вченням про методи обробки фізичних дослідів. Експериментатор ставить перед собою наступні питання: які величини треба вимірювати в досвіді, як слід обробляти результати досвіду і на які явища їх можна поширювати.
Теорія подібності дає відповідь на всі три питання.
1) Виміряти треба всі величини, які входять до складу критеріїв подібності.
2) Обробляти результати досвіду треба у вигляді залежності між критеріями подібності для того, щоб можна було поширити їх на всі подібні явища.
3) Подоба ж їх можна дізнатися за подобою моновалентов та однаковості моновалентних критеріїв.
Застосування теорії подібності до експерименту розвивалося у двох напрямках.
З одного боку, теорія подібності проникла у фізику і стала науковою основою фізичного експерименту. З іншого боку, вона знайшла застосування в техніці, відкривши можливість вивчати різні технічні пристрої на моделях.
Між обома напрямками не можна провести різкий кордон, так як експеримент у фізиці часто ставиться над процесами, що протікають в різних частинах технічних пристроїв, моделі ж можуть охоплювати також не тільки цілі технічні об'єкти, а й окремі частини їх. Таким чином, теорія подібності зробилася науковою основою одночасно як фізичного, так і технічного експерименту.
Здійснити всі умови подібності, які накладаються третій теоремою, часто буває дуже важко.
Тому розвитку моделювання дуже сприяв розроблений в СРСР метод не точного, а наближеного моделювання, коли дотримуються не всі умови подібності і в моделі виходить з достатньою для практики точністю наближене подобу.
Експериментальна перевірка наближеного методу моделювання проведена була в широких межах М. А. Міхєєвим і рядом інших радянських учених.
Іноді досліднику доводиться зустрічатися з явищами, настільки складними і невивченими, що їх не вдається висловити за допомогою математичних формул і скласти рівняння зв'язку між фізичними величинами. Для випадків, коли виявляється можливим встановити ті фізичні величини, які повинні були б увійти в рівняння зв'язку, Ж. Бертран у 1878 р. запропонував метод, що дозволяє з міркувань про розміреності окремих членів фізичного рівняння відгадати вид критеріїв подібності і підібрати емпіричне рівняння зв'язку для них . Цей шлях менш надійний, і його слід застосовувати тільки при неможливості вивести рівняння зв'язку.
Так як вчення про розмірності лежать в основі фізичних рівнянь, то з нього ми й почнемо виклад учення про подібність.

2. Математичне та фізична подібність.

Будь-яке явище природи представляє собою систему матеріальних тіл, яка зазнає певну зміну стану, оскільки в ній відбуваються різні процеси.
Явищами, подібними один одному, називаються системи тіл, геометрично подібні один одному, в яких протікають процеси однакової природи і в яких однойменні величини, що характеризують явища, відносяться між собою як постійні числа.
Іншими словами, можна визначити подобу явища так: явище, подібне заданому, може бути отриманий шляхом такого його перетворення, коли розмір кожної її величини змінюється в певне число разів.
Таке перетворення називається подібним перетворенням явища.
Поняття подібного перетворення спочатку виникло в геометрії, де таким шляхом виходять подібні фігури і тіла, відношення будь-яких подібних відрізків в них дорівнює одному і тому ж постійному числу з l, так що можна сказати, що тіло, подібне початкового отримано шляхом зображення його в іншому геометричному масштабі.
Поняття «механічне подоба» передусім включає в себе геометричне подібність систем, потім - кінематичне прикладу: мається на увазі, що в будь-яких подібних точках систем швидкості рухомих тіл паралельні і пропорційні один одному, тобто що відносини між їх швидкостями однаково у всіх точках системи. Якщо система складається з окремих дискретних частинок, то у подібних явищ маси теж відносяться між собою як постійне число, а якщо має місце протягом суцільного тіла, краплинної або газоподібному рідини, то щільності і коефіцієнти в'язкості в усіх подібних точках подібних систем мають постійне ставлення.
Далі поняття механічного подібності включає в себе динамічне подобу, тобто паралельність і пропорційність сил в подібних точках.
Теплове подобу увазі пропорційність один одному всіх характеризуючих теплові явища величин: температур, теплових потоків, теплоємностей, коефіцієнтів теплопровідності і т.д.
Позначаючи відношення відстаней між геометрично подібними точками, тобто подібних відрізків довжин двох подібних систем, через с l, швидкостей - з w, мас - з m, сил - з f і т.д., можна дати математичну формулювання поняття подібності у вигляді такої системи рівностей:
і т.д., де одним і двома штрихами позначені перше і друге подібні явища.
Коефіцієнти пропорційності c l, c w і т.д., називаються константами подоби. Для кожного роду величин вони мають свою особливу чисельну величину; тому константи подібності мають відповідні підрядкові значки, що показують, до якого роду величинам вони відносяться.
Узагальнюючи сказане, можна подобу явищ визначити, як пропорційність один одному всіх величин, що характеризують явище, причому коефіцієнт пропорційності зберігає постійне значення в усіх точках системи для певного найменування величин, але є різним для величин різного найменування.
У загальному вигляді перехід від величин одного явища до величинам іншого, йому подібного, може бути виражений рівнянням
.
Це перше основне рівняння теорії подібності.
Константи подоби зберігають своє значення для будь-яких випадків відносини подібних величин. Наприклад, якщо і - Подібні відрізки двох подібних систем, мають місце рівності:
,
і, отже, відношення величин можна замінити відношенням будь-яких інших відрізків за умови, що заміна ця для будь-яких подібних явищ робиться однаковим чином. Це так зване правило заміщення одних величин іншими того ж найменування.
Таку заміну можна робити для всіх інших величин, наприклад і.т.д.
У подальшому часто буде зустрічатися диференціація величин.
На них також можна поширювати правило заміщення величин. Це правило можна застосовувати, коли розглянута середу передбачається суцільним тілом, тобто коли спостерігач має справу з такими розмірами тіла, які в дуже велике число разів перевершують відстані між молекулами δ, так що дискретне будова тіла непомітно і може не братися до уваги.
За визначенням, диференціал функції dy дорівнює похідної, помноженої диференціал незалежної змінної dx:
.
Тут dx - довільна величина, яка у фізиці повинна лежати в межах
,
тобто бути значно більше відстаней між молекулами, для того, щоб можна було розглядати тіло суцільним, як континуум, і водночас настільки малим, щоб до нього з достатнім ступенем точності можна було застосовувати формули диференціального, а не різницевого обчислення. Таким чином, у фізиці dx є хоча і дуже мала, але кінцева величина і, отже, повинна розглядатися, як різниця x 2-x 1. Тому
.
Подібним же чином dy = y 2-y 1 і, отже, до нього можна застосувати .
Взагалі кажучи, подібних один одному явищ буває не два, а значна кількість. Ми будемо говорити, що вони складають групу подібних явищ.
Порівнюючи всі члени групи з одним явищем, яке служить зразком для них, помічаємо, що при переході від одного, подібного зразка явища до іншого, до третього і т.д. константи подібності щоразу отримують інше значення, зберігаючи в той же час свою властивість - бути постійними у всіх точках кожного системи, подібної зразком.
Об'єднуючи перехід від явища зразка до всіх подібних йому, ми можемо розглядати його вираз як групове перетворення явища, маючи на увазі під константою послідовно її значення для всієї групи подібних зразком величин.
Подоба явищ можна виразити і іншим способом: не константами подібності, а за допомогою так званих інваріантів подоби.
Перейдемо від абсолютної системи одиниць, загальною для всіх явищ даного класу, до відносної системі, придатною лише для одного явища цього класу. Для цього виберемо за одиниці вимірювання величин розглянутої системи значення цих величин в яких-небудь точках самої системи. Відзначимо їх підрядковим індексом (0). Тоді всі величини та інші для першого явища отримають чисельні значення:

і т.д.
Якщо у другому явищі за одиниці вимірювання величин вибрати їх значення в подібних першій системі точках, то їх значення у відносних одиницях будуть

і.т.д.
Очевидно, і т. д. будуть ті ж, що і в першій системі.
Справді легко бачити, що
і. т. д.
Переставляючи члени пропорції, отримаємо
.
Те ж саме вийде для будь-яких інших величин, що характеризують такі явища.
Тому значки, які відзначають, до якого з явищ відносяться величини L, W і т. д., можна відкинути, тому що при переході від одного явища до іншого, йому подібного, всі величини, виражені у відносних одиницях виміру, залишаться чисельно колишніми.
Іншими словами, вони є інваріантами подоби. Будемо позначати це властивість їх словами іnv. (Інваріант) або іdem (те ж саме).
Отже, L = idem, W = idem або для загального випадку .
Слід уміти добре відрізнити поняття «константа подібності» і «інваріант подоби».
Константа зберігає постійне значення в усіх точках системи, але вона робиться інший, коли одна пара подібних явищ замінюється іншою.
Інваріант подоби, навпаки, різний для різних точок системи, оскільки він зображує одну з величин цієї системи, що має різний чисельне значення в різних точках системи, та він не змінюється при переході від одного явища до будь-якого іншого, подібного йому. Інакше кажучи, він зберігає один і той же значення в подібних точках всієї групи подібних явищ.
Надалі ми будемо користуватися визначенням подібності і через константи, і через інваріанти в залежності від того, яке визначення при розгляді різних питань виявляється зручніше в сенсі простоти викладу.
Повертаючись до визначення подібності через константи подібності, відзначимо, що на перший погляд вибір всіх констант подібності може здаватися довільним. Насправді це не так. Величини, що характеризують різні явища, не є незалежними один від одного. Часто між ними існує певний зв'язок. Цей зв'язок, звана законом природи, у багатьох випадках може бути виражена у математичній формі у вигляді рівняння.
Наявність такого рівняння, що робить одні величини залежними від інших, накладає і на константи подібності певні обмеження.
Знаходження залежності між константами подоби, спричиненої існуванням рівняння, що зв'язує між собою характеризують явище величини, становить зміст теореми подібності, яка буде викладена в наступному розділі.
Рівняння, що описують різні явища природи, можна розглядати, як мають різну ступінь спільності.
Найбільш загальні рівняння, що виражають загальні закони природи, такі, як загальні закони механіки, закон збереження енергії, можна назвати рівняннями, що охоплюють цілий клас явищ. Такі були рівняння, що представляють другий закон Ньютона і перший закон термодинаміки. Ці загальні рівняння можуть отримувати різні приватні види залежно від того, до яких приватним видів явищ даного класу вони будуть додаватися. Так загальні рівняння механіки приймають вид рівняння Нав'є-Стокса в застосуванні до течії рідини, вид рівняння коливань пружного середовища і т. п. Ці види явищ містять окремі властивості однотипних явищ, що відрізняються один від одного тільки завданням різних умов однозначності явищ. І, нарешті, одиничні явища виділяються з сімейства чисельним завданням умов однозначності, які для кожного одиничного явища сімейства буквено однакові, але чисельно відмінні один від одного.
Надалі властивість рівнянь зв'язку, яке накладає на них подобу явищ, буде викладатися спершу для самих загальних знаків природи і для них будуть виводитися теореми подібності. Однак не менше значення буде мати додаток загальної теорії подібності до окремих випадків і до одиничних явищ, тому що тільки таким шляхом виявиться можливим приховати найбільш важливі сторони вчення про подібність.

3. Теореми подібності.

Для забезпечення максимальної ефективності (в широкому сенсі слова) будь-яких експериментальних досліджень ці дослідження необхідно організувати так, щоб можна було визначити критерії подібності і представити отримані результати критеріальної функціональної залежність. Такий підхід дозволяє при обмеженому числі експериментів дати оцінку ходу процесу або поведінки системи при різноманітних сполученнях параметрів, їх характеризують, і, отже, отримати відповіді на ті додаткові питання, які зазвичай виникають вже після закінчення експериментально-дослідних і випробувальних робіт.
Розглянуті положення, однак, відносяться до випадку завідомо подібних процесів, тобто визначають необхідні умови існування подібності. У зв'язку з цим виникає природне запитання щодо того, як розпізнати подобу або спеціально забезпечити його при побудові моделі, тобто питання про умови, не тільки необхідних, але і достатніх для існування подібності. Такі умови включають в себе поряд з вимогою рівності критеріїв подібності зіставлюваних процесів також і певні додаткові вимоги до умов однозначності - вимоги подібності початкових і граничних умов зіставляються процесів (а при дотриманні геометричної подоби - і подібності геометричних характеристик відповідних просторових областей).
Викладені вище положення щодо необхідних і достатніх умов подібності зазвичай систематизуються у вигляді першої, другої і третьої теорем про подібність; перші дві теореми визначають необхідні, третя - необхідні і достатні умови подібності (Висловлюються міркування, що тільки друга теорема подібності може розглядатися як теорема в тому сенсі, в якому це поняття вживається в математиці, а перша і третя теореми є правилами виявлення та забезпечення подоби. У даному викладі зберігається найбільш поширена термінологія - введене ще І. Ньютоном назва першої теореми і запропоноване М. В. Кирпичовим і А. А. Гухманом назва третьої теореми).
Перша теорема подібності. В основній сучасному формулюванні, що враховує можливість існування різних видів подібності, перша теорема має такий вигляд: явища, подібні у тому чи іншому сенсі (повно, наближено, фізично, математично і т. д.), мають певні поєднання параметрів, звані критеріями подібності, чисельно однакові для подібних явищ. Перша теорема подібності називається також теоремою Ньютона або Ньютона-Бертрана.
Перша теорема подібності стверджує, що для явищ (об'єктів, процесів), подібних у тому чи іншому сенсі, існують однакові критерії подібності - ідентичні за формою алгебраїчної запису та рівні чисельно безрозмірні степеневі комплекси (твори або відносини) певних груп фізичних факторів, які характеризують ці явища . Формулюючи необхідні умови існування подібності (однакові критерії подібності у подібних явищ), перша теорема, проте, не вказує способи встановлення подібності і способи його реалізації при побудові моделей.
Друга теорема подібності. В основній формулюванні ця теорема, частіше зустрічається під назвою π-теореми, має такий вигляд: кожне повне рівняння фізичного процесу, записане в певній системі одиниць, може бути представлено функціональною залежністю між критеріями подібності, отриманими з беруть участь у процесі параметрів.
Ця теорема стверджує, що повне рівняння фізичного процесу, записане в певній системі одиниць, може бути представлено залежністю між критеріями подібності, тобто залежністю, яка зв'язує безрозмірні величини, певним чином отримані з беруть участь у процесі параметрів. Так само як і перша, друга теорема подібності грунтується на передумові, що факт подібності між процесами відомий, і встановлює число критеріїв подібності і існування однозначної залежності між ними. При цьому вирази для критеріїв подібності можуть бути отримані, якщо відомий склад параметрів (факторів), які беруть участь у даному процесі, але невідомо його математичний опис. Теорема ця, однак, також як і перша, не вказує способів виявлення подібності між зіставляються процесами і способів реалізації подібності при побудові моделей.
Друга теорема встановлює можливість подання інтеграла диференціального рівняння фізичного процесу не як функції параметрів процесу і системи, у якій протікають ці процеси, а як функція відповідним чином побудованих деяких безрозмірних величин - критеріїв подібності. Якщо вихідне диференціальне рівняння проінтегрувати, то функціональні зв'язки між критеріями подібності будуть однозначно визначені у відповідності з тими припущеннями, які були прийняті при складанні та інтегрування даного рівняння. Якщо ж диференціальне рівняння було відсутнє або не інтегрувалося, то вид функціональних зв'язків між критеріями подібності не буде виявлено.
Друга теорема грунтується на дослідженнях Букінгема, Федерман і Еренфест-Афанасьєвої. Можливість подання інтеграла як функції від критеріїв подібності, знайдених з диференціального рівняння, була строго доведена для окремого випадку Букінгемом. У більш загальному вигляді це положення як математична теорема було доведено Федерманом. Еренфест-Афанасьєв-ва призвела доказ в загальному вигляді, показавши умови, при яких інтеграл можна представити як функцію критеріїв подібності. Одночасно було показано, що зі співвідношень, що вказують на однорідність рівняння, що зв'язує фізичні величини (однакова розмірність всіх членів рівняння), і з можливості отримання безрозмірних співвідношень після ділення цього рівняння на будь-який з його членів випливає важливий висновок про існування певних співвідношень між розмірностями фізичних параметрів . Еренфест-Афанасьєвої було показано, що критерії подібності можна знайти за відсутності диференціального рівняння процесу на основі аналізу розмірностей фізичних величин, що беруть участь в цьому процесі. Ця можливість була сформульована і строго доведена у вигляді теореми, названої л-теоремою, оскільки згадані вище безрозмірні параметри (критерії подібності) позначалися буквою л.
Третя теорема подібності. У найбільш поширеною формулюванні третій теорема має такий вигляд: необхідними і достатніми умовами для створення подоби є пропорційність подібних параметрів, що входять в умови однозначності, і рівність критеріїв подібності зіставлюваних явищ. Третя теорема подібності іменується також зворотного теоремою подібності або теоремою Кирпичова-Гухман.
Нагадаємо поняття умов однозначності. Відомо, що диференціальне рівняння в загальному вигляді описує нескінченну безліч процесів, що відносяться до даного класу. Так, наприклад, диференціальне рівняння u = iR + Ldi / dt описує зміна струму в часі в ланцюзі з активним опором R і індуктивністю L при включенні її на u = const. Умови, що визначають індивідуальні особливості процесу або явища і які виділяють із загального класу конкретний процес або явище, називаються умовами однозначності. До них належать такі, що не залежать від механізму самого явища, фактори й умови:
· Геометричні властивості системи, в якій протікає процес;
· Фізичні параметри середовища і тіл, що утворюють систему;
· Початковий стан системи (початкові умови);
· Умови на кордонах системи (граничні або крайові умови);
· Взаємодія об'єкта і зовнішнього середовища.
Очевидно, не можна математично формулювати умови однозначності в загальному вигляді. У кожному конкретному випадку вони можуть бути різні в залежності від роду розв'язуваної задачі і виду рівняння. Так, для виділення певного процесу із сукупності процесів, що описуються наведеним рівнянням, досить знати параметри u, R, L і початкові умови, наприклад, i = i 0 при t = t 0. У більшості завдань, пов'язаних з дослідженням полів, однозначність процесів визначається не тільки початковими умовами, але і властивостями середовища, геометричними властивостями системи і граничними умовами.
Друга формулювання третього теореми подібності. Практично більш вдала формулювання третій теореми, запропонована останнім часом, має вигляд, що відповідає реальним завданням створення різних моделей. Це формулювання складається з трьох положень.
Положення 1. Створення моделі можливе, якщо критерії подібності (безрозмірні комплекси), складені з величин, що характеризують лише її системні (матеріальні) параметри, рівні відповідним критеріям досліджуваної системи-оригіналу.
Положення 2. У створеній, згідно з положенням 1, моделі здійснення процесів, подібних оригіналу, можливо, якщо критерії подібності, які містять тільки параметри процесів, що входять в умови однозначності і в тому числі початкові умови (параметри вихідного режиму, обурення і відхилень), в моделі і оригіналі відповідно однакові.
Положення 3. Здійснення моделі згідно формулювань 1 і 2 можливо в як завгодно складних анізотропних, нелінійних або мають ймовірнісно задані параметри системах за умови одночасного дотримання відповідних додаткових положеннях, сформульованих нижче.
Додаткові положення теорії подібності. Ці положення, запропоновані авторами, поширюють три основні теореми подібності на системи складні, системи з нелінійними або змінними параметрами, анізотропні системи (з різними властивостями по різним координатам) і системи, задані ймовірнісно-статистичними характеристиками; цими ж положеннями охоплюються геометрично неподібні системи, а також системи, для яких поняття подібності інтерпретується ширше, ніж постійність масштабних коефіцієнтів у подібних точках простору параметрів в подібні моменти часу.
У загальному випадку додаткові положення теорії подібності формулюються наступним чином:
- Подоба складних геометрично подібних і ізотропних систем з детермінована певними лінійними або постійними параметрами, утворених декількома відповідно подібними окремо підсистемами, забезпечується, якщо виконується додаткова умова подібності всіх подібних елементів, які є загальними для цих підсистем;
- Умови подібності складних геометрично подібних і ізотропних систем з детермінована певними лінійними і постійними параметрами можуть бути поширені на складні системи з нелінійними або змінними параметрами, заданими детермінованою, якщо виконується додаткова умова збігу відносних характеристик подібних параметрів, які є нелінійними або змінними;
- Умови подібності детермінована певними геометрично подібних ізотропних складних систем можуть бути поширені на анізотропні геометрично подібні складні системи, задані детермінованою, якщо виконується додаткова умова забезпечення однакової відносної анізотропії в зіставлюваних системах;
- Умови подібності детермінована певними геометрично подібних анізотропних складних систем з змінними або нелінійними параметрами можуть бути поширені на геометрично неподібні складні системи з детермінована певними параметрами, якщо виконується додаткова умова забезпечення такого нелінійного подоби простору параметрів, при якому існують подібні зміни параметрів процесу в подібних точках цього простору;
- Умови подібності складних геометрично неподібних анізотропних систем з детермінована певними нелінійними або змінними параметрами можуть бути поширені, на системи з ймовірносно (статистично) певними параметрами, якщо виконуються додаткові умови збігу щільностей ймовірностей подібних параметрів і пропорційності їх статистичних моментів, ступеня масштабних коефіцієнтів при яких збігаються з порядками відповідних моментів.

4. Моделювання.

Подоба фізичних процесів і систем широко використовується в техніці для дослідження методом моделювання. У тих випадках коли математичне рішення задачі утруднене, а то й просто неможливо, цілком природним є звернення до експериментального дослідження на моделях з подальшим перерахунком отриманих результатів на натуру, яка стала прототипом моделі. При цьому модель і натура повинні перебувати між собою у відносинах подоби.
Дослідження на моделях дозволяє прискорити або сповільнити процеси, які в натурних умовах розвиваються зі швидкістю, що ускладнюють вести спостереження. При проведенні експерименту безпосередньо на натурі майже завжди доводиться відмовлятися від активного пошуку оптимальних конструктивних рішень, бо це пов'язано зі значними грошовими витратами, а не рідко і просто не можливо.
Теорія моделювання базується на принципах, що випливають з теорії подібності. Ці принципи полягають у дотриманні умов, які визначають співвідношення між параметрами моделі і натури, а так само правила перерахунку досліджуваних величин з моделі на натуру і назад. Однак, відомо, що жодна модель не може з абсолютною повнотою відтворити досліджуваний оригінал - для цього має бути повне їх тотожність. Тому при моделюванні намагаються дотримати в моделі принаймні ті характеристики натури, які є найбільш важливими у загальній картині фізичного процесу, забезпечуючи задану точність результатів (наприклад при розрахунку стрижневих конструкцій нехтують власною вагою, а при проектуванні греблі насипу розглядають як розподілене навантаження).

5. Методи подібності в механіці.

Рух математичного маятника

В якості першого прикладу ми розглянемо класичний приклад про рух математичного маятника.
Математичний маятник (рис. 1) являє собою важку матеріальну точку, підвішену на невагомою і нерозтяжній нитки, яка закріплена іншим своїм кінцем нерухомо. Сукупність можливих рухів ми обмежимо умовою, що рухи маятника плоскі.

Рис. 1. Математичний маятник.
Введемо позначення: l - довжина маятника, φ - кут між ниткою і вертикаллю, t - час, m - маса вантажу та N - натяг нитки. Якщо знехтувати силами опору, то завдання про рух маятника приводиться до розв'язання рівнянь
, (1)
(2)
з початковою умовою
при t = 0 φ = φ 0 і ,
тобто за початковий момент часу прийнятий той момент, коли маятник відхилений на кут φ 0, а швидкість дорівнює нулю.
З рівнянь (1), (2) і початкової умови очевидно, що в якості визначальних параметрів можна взяти наступну систему:
t, l, g, m, φ 0.
Числові значення усіх інших величин визначаються повністю значеннями цих параметрів. Отже, ми можемо написати
φ = φ (t, φ 0, l, g, m), N = mgf (t, φ 0, l, g, m) (3)
де φ і f - безрозмірні величини.
Числові значення функцій φ і f не повинні залежати від системи одиниць вимірювання. Вигляд цих функцій можна визначити або вирішуючи рівняння (1) і (2), або експериментальним способом.
Із загальних міркувань, викладених вище, випливає, що п'ять аргументів функцій φ і f можна звести лише до двох аргументів, які представляють собою безрозмірні комбінації, складені з t, l, g, m і φ 0, так як є три незалежні одиниці виміру.
З величин t, l, g, m і φ 0 можна скласти дві незалежні безрозмірні комбінації
φ 0 і (4)
Всі інші безрозмірні комбінації, складені з t, l, g, m і φ 0 або взагалі з будь-яких величин, визначених цими параметрами, будуть функціями комбінацій (4). Отже, можна написати
, (5 ')
. (5 ")
Формули (5), отримані за допомогою методу розмірності, показують, що закон руху не залежить від маси вантажу, а натяг нитки прямо пропорційно масі вантажу. Ці висновки випливають також безпосередньо з рівнянь (1) і (2). Величину можна розглядати як час, виражене в спеціальній системі одиниць виміру, в якій довжина маятника і прискорення сили тяжіння прийняті рівними одиниці.
Позначимо через Г який-небудь характерний проміжок часу, наприклад час руху маятника між крайнім і вертикальним положеннями або між двома однаковими фазами, тобто період коливання, і т. д. (існування періодичного руху можна прийняти як гіпотезу або як результат, відомий з додаткових даних). Маємо

функція f 2 є безрозмірну величину, а так як з l, g і m не можна скласти безрозмірну комбінацію, то очевидно, що функція f 2 не залежить від l, g і m. Отже,
(6)
Формула (6) встановлює залежність часу Г від довжини маятника. Отримати вид функції f 20) за допомогою теорії розмірності не можна. Визначення f 20) необхідно зробити або теоретично, на підставі рівняння (1), або експериментально.
Формулу (6) можна отримати безпосередньо зі співвідношень (5 '). У самому справі, для періоду коливань співвідношення (5 ') дає
.
Вирішуючи це рівняння, отримаємо формулу (6).
Якщо Г є період коливання, то з міркувань симетрії очевидно, що період Г не залежить від знака φ 0, тобто
f 20) = f 2 (-φ 0).
Отже, функція f 2 є парною функцією аргументу φ 0. Припускаючи, що при малих φ 0 функція f 20) регулярна, можна написати
f 20) = c 1 + c 2 φ 0 2 + з 3 φ 0 4 + ... (7)
Для малих коливань члени зі ступенями φ 0 2 і вище можна відкинути, і для періоду Г ми отримуємо формулу
. (8)
Рішення рівняння (1) показує, що з 1 = 2π. Таким чином, ми бачимо, що для малих коливань маятника за допомогою теорії розмірності можна отримати формулу періоду коливання маятника з точністю до постійного множника.
Формули (5) і (6) збережуть свою справедливість і в тому випадку, якщо замість рівняння (1) ми візьмемо рівняння
,
де f (φ) є будь-яка функція кута φ. Взагалі справедливість формул (5) і (6) випливає з єдиного умови, яке полягає в тому, що стан руху визначається параметрами
t, l, g, m, φ 0.
Для встановлення цієї системи параметрів нам послужили рівняння руху, але її можна вказати і не вдаючись до рівнянь руху. У самому справі, для характеристики маятника треба вказати l і m. Далі необхідно вказати g, тому що сутність явища визначається силою тяжіння. Нарешті, необхідно вказати φ 0 і t, так як конкретне рух і стан руху визначаються кутом крайнього відхилення φ 0 і розглядаються моментом часу t.

Закінчення важкої рідини через водозлив

Розглянемо задачу про струменевому русі важкої рідини через водозлив (рис. 2), який представляє собою вертикальну стінку з трикутним отвором, розташованим симетрично щодо вертикалі, причому кут отвору α дорівнює 90 º. Рідина витікає під натиском h, що дорівнює висоті рівня рідини над вершиною трикутника на далеких відстанях від отвору водозливу. Для простоти ми приймемо, що посудина, в якому знаходиться рідина, дуже великий, і тому рух рідини можна вважати сталим. При струминному русі рідини основне значення мають властивості інерції і вагомості, які характеризуються значеннями щільності ρ і прискорення сили тяжіння g.

Рис. 2. Перетікання важкої рідини через водозлив.
Стале протягом рідини через розглянутий водозлив повністю визначається наступними параметрами:
ρ, g, h.
Вага рідини Q, що випливає через отвір водозливу в одиницю часу, може бути функцією лише цих параметрів
Q = f (ρ, g, h).
За допомогою теорії розмірності неважко знайти вид цієї функції. У самому справі, розмірність Q дорівнює кгс / с. Комбінація також має розмірність кгс / с. Тому ставлення

є безрозмірною величиною. Це відношення є функцією величин ρ, g, h, з яких не можна утворити безрозмірною комбінації, тому можна написати

або
, (9)
де С є абсолютна стала, яку найпростіше визначити з досвіду. Отримана формула повністю визначає залежність кількості протікає рідини від напору h і від щільності ρ.
Сукупність розглянутих рухів можна розширити, допускаючи водозливи з різними кутами α. У цьому випадку система визначальних параметрів доповнюється кутом α, і формула (9) набуде вигляду
, (10)
тобто коефіцієнт С буде залежати від кута α.
Якщо водозлив має прямокутну форму шириною b, то система визначальних параметрів буде
ρ, g, h, b.
Всі безрозмірні величини визначаються параметром h / b. Формула (9) в цьому випадку заміниться наступною:
. (11)
Функцію f (h / b) можна визначити дослідним шляхом, спостерігаючи протягом через водозлив різної ширини b, але з постійним h. Визначивши таким способом функцію f (h / b), формулу (11) можна застосовувати до випадків постійної ширини b = const, але з різним натиском h, тобто тих випадків, в яких досвід не проводився.
Цей приклад показує, що міркування, отримані за допомогою методу розмірності, можуть приносити велику користь при постановці дослідів, дозволяючи обмежувати їх кількість і отримувати завдяки цьому економію не лише у засобах, але і в часі. Зміна одних величин можна заміняти в дослідах зміною інших величин. На основі дослідів, проведених з водою, можна дати вичерпні відповіді про явище витікання нафти, ртуті і т. д.

6. Висновок.

Три теореми подібності складають головну основу теорії подібності.
Ось короткий зміст викладеної теорії подібності:
1) Подібні явища протікають в геометрично подібних системах і описуються буквально однаковими рівняннями зв'язку.
Ці рівняння повинні бути безумовно чи умовно однорідними.
2) Умовно однорідними фізичні рівняння робляться приєднанням до них «обумовлюють рівностей», які встановлюють рівність одиниці індикаторів подібності, що виходять з рівнянь, або, що те ж, однаковість для подібних явищ критерієм подібності.
3) Однорідні рівняння можуть бути представлені як функції статечних комплексів (критеріїв) і симплексу.
Такі «критеріальні» рівняння чисельно однакові для всієї групи подібних явищ.
4) Подібні ті явища, рівняння зв'язку яких буквено однакові і умови однозначності яких подібні, тобто у яких однойменні моноваленти (величини, що входять в умови однозначності) знаходяться в чисельно постійному відношенні, а однойменні моновалентні (визначають) критерії однакові.
Теорія подібності дає, отже, загальні методичні вказівки, як поступати в кожному окремому випадку при аналізі рівнянь, що описують явище, при постановці і обробці даних досліду над ним і при розповсюдженні результатів досвіду на інші явища. Якщо ж дана натура і дослідити її хочуть на моделі, то теорія подібності містить методичні вказівки щодо розрахунку та побудови моделі, подібної натурі.
Основні методичні вказівку про застосування теорії подібності до досвіду, чи то фізичне експериментування або технічне моделювання, полягає в наступному.
При дослідженні явища треба встановити для нього рівняння зв'язку, що дають взаємний зв'язок фізичних величин, що беруть участь в явищі.
Ці рівняння повинні бути сформульовані для того окремого випадку, який є об'єктом дослідження. Приєднання до них умов однозначності робить дослідження визначеним і дозволяє застосувати теорію подоби.
Тому у всіх випадках, коли рівняння зв'язку можуть бути знайдені, метод аналізу рівнянь є єдино правильний шлях застосування теорії подібності і тільки тоді, коли встановити математичну залежність між величинами, що характеризують явище, не вдається, слід звернутися до методу аналізу розмірності. Цей шлях менш надійний і тому результат її слід перевіряти на досвіді. Їм не слід нехтувати, тому що в багатьох випадках аналіз розмірності дає при обробці дослідів цінні висновки.
В даний час теорія подібності має такі напрями.
Першим за часом напрямком є ​​додаток теорії подібності до вивчення різноманітних технічних споруд і моделей.
Моделювання стало потужним засобом для виявлення різних недоліків, наявних в наступних технічних пристроях, і для вишукування шляхів до їх усунення.
Далі моделювання вже стало широко застосовуватися для перевірки знову конструйованих об'єктів, так що до їх виконання, в процесі проектування, моделювання дозволяє удосконалювати нові, ще не випробувані на практиці конструкції.
Теорія подібності знайшла також застосування при узагальненні робочих показників цілих груп однотипних машин і пристроїв, так що на підставі обробки даних численних випробувань виявляється можливим створювати нові, засновані на критеріях подоби, способи розрахунку різних технічних об'єктів, які приводять до встановлення раціональних, пов'язаних з економією енергії режимів.
Теорія подібності стала науковою основою узагальнення даних фізико-технічних випробувань, свого роду теорією експерименту, що вказує у всіх тих випадках, коли рішення диференціальних рівнянь фізики наштовхується на труднощі, шлях до такої постановки дослідів, що їх результати можуть бути поширені на всю область досліджуваних явищ.
Останнім часом теорія подібності не тільки використовує рівняння фізики для узагальнення дослідних даних, але і, назад, при виведенні диференціальних рівнянь вона дає вказівки, з одного боку, про введення в рівняння критеріїв подібності і безрозмірних змінних і, з іншого боку, про використання узагальнення методами теорії подібності досвідчених даних, що є вихідними для складання рівнянь. Як приклад цього нового напрямку теорії подібності можна навести встановлення для турбулентного потоку автомодельності окремо для прикордонного шару і окремо для турбулентного ядра, що дозволяє одержати більш просту і точну формулу гідравлічного опору труб. Таким чином, теорія подібності на наших очах стає невід'ємною частиною теоретичної фізики.


7. Список використаної літератури.


1. Сєдов Л. І. Методи подібності і розмірності в механіці. - 10-е вид., Доп. - М.: Наука. Гол. ред. фіз.-мат. лит., 1987 р. - 432 с.
2. Віників В. А., Віників Г. В. Теорія подібності і моделювання (стосовно
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Виробництво і технології | Реферат
94.3кб. | скачати


Схожі роботи:
Подібності та відмінності католиків і православних
Організаційно-правові форми підприємств Подібності і
Кіпрський і карабахську конфлікти Подібності та відмінності
Прогнозування критичних властивостей речовин і критеріїв подібності
Подібності та відмінності злочинної банди і незаконного збройного фор
Подібності та відмінності злочинної банди і незаконного збройного формування
Московська держава і Велике князівство Литовське риси подібності та відмінності
Нетрудові теорії вартості теорія граничної корисності теорія факторів виробництва теорія попиту
Теорія анархії і теорія правової держави стосовно до умов російської дійсності
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru