додати матеріал


Теоретичні основи математичних та інструментальних методів економіки

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Теоретичні основи спеціальності.

Оптимізаційні методи вирішення економічних завдань. Класична постановка задачі оптимізації. Оптимізація функцій. Оптимізація функціоналів. Загальна постановка задачі.

До економічним завданням оптимізаційного типу відносяться завдання, в яких потрібно знайти найкраще або оптимальне рішення при заданих умовах виробництва. Такі завдання називаються завданнями на максимум або мінімум. Особливістю завдань оптимізаційного типу є багатоваріантність їх рішень, обумовлена ​​наступними причинами: взаємозамінністю ресурсів; взаємозамінністю готових видів продукції; існуванням альтернативних технологій виробництва; неоднаковість техніко-економічних показників навіть однотипних господарських суб'єктів.
Можливі два підходи до постановки оптимізаційних завдань: при першому підході потрібно отримати максимальні кінцеві результати при заданих умовах виробництва; при другому підході потрібно отримати задані кінцеві результати при мінімальних витратах ресурсів.
Математичний інструментарій, що дозволяє вирішувати економічні завдання оптимального типу, називається програмуванням. Розрізняють лінійне і нелінійне програмування.
На практиці найбільше поширення набуло лінійне програмування.
Методи лінійного програмування в математиці відомі під назвою загальної задачі лінійного програмування.
Аналітична формулювання загальної задачі лінійного програмування
Загальна задача лінійного програмування формулюється наступним чином:
Знайти рішення {Х 1, Х 2, .... Х n}, що дозволяє максимізувати або мінімізувати цільову функцію
F = C 1 X 1 + C 2 X 2 + ... + C n X n
за умов

Х 1 ≥ 0; Х 2 ≥ 0; ...; Х n ≥ 0.
Це розгорнута запис загальної задачі лінійного програмування.
Скорочена запис цієї моделі має вигляд:
Знайти рішення {X j}, що дозволяє максимізувати (мінімізувати) функцію

за умов
, I = 1,2, ..., n;
X j ≥ 0, j = 1,2, ..., n.
Вищенаведені запису загальної задачі лінійного програмування називають аналітичної формою запису.
Будь-яке рішення, яке задовольняє умовам, називається допустимим рішенням. Допустиме рішення систем нерівностей, що задовольняє цільової функції, називається оптимальним рішенням. Таке рішення єдино при заданих умовах.
Матрична форма запису загальної задачі лінійного програмування

при обмеженнях AX ≤ B
X ≥ 0,
де С = (з 1, с 2, ..., з n);

де С - матриця-рядок
А - матриця системи
Х - матриця-стовпець змінних
В - матриця-стовпець вільних членів
Векторна форма запису загальної задачі лінійного програмування
F = CX → max (min)
при обмеженнях

Х ≥ 0,
де СГ - скалярний добуток векторів
З = (С 1, С 2, ..., С n) і Х = (х 1, х 2, ..., х n),
вектори

складаються відповідно з коефіцієнтів при змінних і вільних членів.
(Про функціонал)
У загальному випадку задача оптимізації формулюється як задача відшукання max або min значення I (v) для .
Під рішенням такого завдання розуміється таке , Що для решти елементів виконується нерівність або в залежності від вимог завдання.
При цьому:
v - деяка функція
I (v) - функціонал виду

Багатокритеріальна оптимізація. Методи відомості багатокритеріальної задачі до однокритерійним. Метод поступок. Методи визначення рівня переваг. Способи пошуку паретовского безлічі альтернатив.

Багатокритеріальна оптимізація являє собою мінімізацію нікого вектора цілей F (x), на якій можуть бути накладені додаткові обмеження або граничні значення:

(3-47)
Зазначимо, що оскільки F (x) є певним вектором, то будь-які компоненти F (x) являюся конкуруючими і відсутня якесь єдине рішення поставленої задачі. Замість цього, для опису характеристик цілей вводиться концепція безлічі точок неулучшаемих рішень [41] (так звана оптимальність за Паретто [4], [6]). Неухудшаемое рішення є таке рішення, в якому поліпшення в одній з цілей призводить до нікому ослаблення інший. Для більш точного формулювання даної концепції розглянемо якусь область допустимих рішень в параметричному просторі , Яке задовольняє всім прийнятим обмеженням, тобто

(3-48)
при обмеженнях

Звідси можливо визначити відповідну область допустимих рішень для простору цільових функцій .
, Де за умови
(3-49)
Точка неулучшаемого рішення може бути визначена як:
Визначення. Точка є неулучшаемим рішенням, якщо для деякої околиці немає нікого такого, що і

Стратегія зважених сум
Дана стратегія зважених сум перетворює многокритериальную завдання мінімізації вектора в якусь скалярну завдання шляхом побудови якихось зважених сум для всіх вибраних об'єктів.

(3-51)
Далі вже до даної задачі оптимізації вже може бути застосований стандартний алгоритм оптимізації без наявності обмежень. У цьому випадку розглядаються зважені коефіцієнти для кожної з обраних цілей. Зважені коефіцієнти необов'язково повинні безпосередньо відповідати відносної значимості відповідної мети або брати до уваги взаємовплив між конкретно вибраними цілями. Більш того, межі неулучшаемих рішень можуть бути і не досягнуто, так що певні рішення є по суті недосяжними.
Метод epsilon -Обмежень
Якийсь певний спосіб, який певною мірою дозволяє подолати проблему опуклості методу зважених сум, є метод -Обмежень. У цьому випадку здійснюється мінімізація основної мети і при поданні інших цілей у формі обмежень типу нерівностей.

(3-52)
при виконанні умови

Подібний підхід дозволяє визначити якусь кількість неулучшаемих рішень для випадку увігнутою кордону, що, по суті, є недоступним в методі зважених сум, наприклад, в точці шуканого рішення і . Проте проблемою даного методу є відповідний вибір , Який міг би гарантувати допустимість нікого рішення.
Метод досягнення мети.
Описаний далі метод являє собою метод досягнення мети Гембік. Даний метод включає в себе вираз для безлічі намірів розробника , Яке пов'язане з безліччю цілей . Таке формулювання завдання допускає, що цілі можуть бути або недо-або передостіжімимі, і що дає розробникові можливість відносно точно висловити вихідні наміри. Відносна ступінь недо-або передостіжімості поставлених намірів контролюється за допомогою вектора зважених коефіцієнтів і може бути представлена ​​як стандартна задача оптимізації за допомогою наступної формулювання

(3-53)
За умови, що

Член вносить в цю задачу елемент ослаблення, що, інакше кажучи, позначає жорсткість заданого наміри. Ваговий вектор w дає досліднику можливість досить точно висловити міру взаємозв'язку між двома цілями. Наприклад, установка вагового вектора w як рівного вихідного наміру вказує на те, що досягнутий той же самий відсоток недо-або передостіжімості мети . За допомогою установки в нуль окремого вагового коефіцієнта (тобто ) Можна внести жорсткі обмеження в поставлену задачу. Метод досягнення мети забезпечує відповідну інтуїтивну інтерпретацію поставленої дослідницької мети і яка, в свою чергу, є цілком вирішуваною за допомогою стандартних процедур оптимізації.

Гладка оптимізація. Сідлова крапка. Умова Куна-Таккера. Двоїсті задачі оптимізації.

Метод множників Лагранжа дозволяє відшукувати максимум або мінімум функції при обмеженнях-равенствах. Основна ідея методу полягає в переході від завдання на умовний екстремум до задачі відшукання безумовного екстремуму деякої побудованої функції Лагранжа. Нехай задана завдання НП при обмеженнях-равенствах виду
мінімізувати (5.2.1)
при обмеженнях
(5.2.2)
Припустимо, що всі функції - Диференційовні. Введемо набір змінних (Число яких дорівнює числу обмежень), які називаються множник ями Лагранжа, і складемо функцію Лагранжа такого виду:
(5.2.3)
Справедливо таке твердження [18]: для того щоб вектор був рішенням завдання (5.2.1) при обмеженнях (5.2.2), необхідно, щоб існував такий вектор , Що пара векторів задовольняла б системі рівнянь
(5.2.4)
(5.2.5)
множників Лагранжа, який складається з наступних кроків.
Складають функцію Лагранжа
Знаходять приватні похідні
Вирішують систему рівнянь
(5.2.16)
і відшукують точки , Що задовольняють системі (5.2.16).
Знайдені точки далі досліджують на максимум (або мінімум).
Сідлова точка і завдання нелінійного програмування
Розглянемо функцію Лагранжа
Визначення Пара векторів називається сідловою функції Лагранжа , Якщо при всіх виконується умова
(5.3.28)
Нерівність (5.3.28) називають нерівністю для сідлової точки. Очевидно, що в сідлової точці виконується умова
(5.3.29)
Між поняттям сідлової точки функції Лагранжа і рішенням задачі НП існує взаємозв'язок, яка встановлюється в наступній теоремі.
Теорема 5.9. Нехай і все опуклі та функції задовольняють умові регулярності Слейтера. Вектор є рішенням задачі НП (5.3.1), (5.3.2) тоді і тільки тоді, коли існує такий вектор , Що
(5.3.30)
і
(5.3.31)
Теорема Куна-Таккера. Нехай функції , Мають безперервні приватні похідні на деякій відкритій множині , Що містить точку . Якщо є точкою мінімуму функції при обмеженнях , Що задовольняють умові регулярності у вигляді лінійної незалежності векторів , То існують такі невід'ємні множники Лагранжа , Що
(5.3.15)
(5.3.16)
Визначимо функцію Лагранжа наступним чином:
(5.3.17)
Тоді теорему Куна-Таккера можна записати у вигляді
(5.3.18)
(5.3.19)
(5.3.20)
Зауважимо, що множники Лагранжа в задачі НП з обмеженнями-рівностями є знаконеопределеннимі, тоді як в теоремі Куна-Таккера вони повинні бути позитивними.
Кожній задачі лінійного програмування відповідає двоїста задача. Двоїста задача стосовно вихідної завданню будується за такими правилами:
· Якщо вихідна завдання ставиться на максимум, то двоїста ставиться на мінімум і навпаки.
· Коефіцієнти цільової функції вихідної задачі стають правими частинами обмежень двоїстої задачі. Праві частини обмежень вихідної задачі стають коефіцієнтами цільової функції двоїстої задачі.
· Якщо A-матриця коефіцієнтів вихідної задачі, то транспонована матриця TA буде матрицею коефіцієнтів двоїстої задачі.
· У задачі на максимум всі обмеження мають знак ≤ (=), а в задачі на мінімум всі обмеження мають знак ≥.
· Кількість змінних в двоїстої задачі дорівнює числу обмежень у вихідній задачі. Кожному обмеження вихідної задачі відповідає мінлива двоїстої задачі. Якщо обмеження вихідної завдань має знак (≥), то відповідна змінна двоїстої задачі неотрицательна. Якщо обмеження має знак (=), то відповідна змінна двоїстої задачі може приймати позитивні і негативні значення і навпаки.

Градієнтні методи гладкою оптимізації. Загальна ідея градієнтного спуску (підйому). Пропорційний градієнтний метод. Полношаговий градієнтний метод. Метод спряжених градієнтів.

Методи відшукання екстремуму, що використовують похідні, мають строге математичне обгрунтування. Відомо, що при знаходженні екстремуму не існує кращого напрямку, ніж рух по градієнту.
Градієнтом диференціюється f (x) в точці х [0] називається n-мірний вектор f (x [0]), компоненти якого є приватними похідними функції f (х), обчисленими в точці х [0], тобто
f '(x [0]) = (дf (х [0]) / дх 1, ..., дf (х [0]) / дх n) T.
Цей вектор перпендикулярний до площини, проведеної через точку х [0], і дотичної до поверхні рівня функції f (x), що проходить через точку х [0]. У кожній точці такої поверхні функція f (x) приймає однакове значення. Прирівнюючи функцію різним постійним величинам С 0, С 1, ... , Отримаємо серію поверхонь, що характеризують її топологію
Вектор-градієнт спрямований у бік найшвидшого зростання функції в даній точці. Вектор, протилежний градієнту (-f '(х [0])), називається антіградіентом і направлений у бік найшвидшого спадання функції. У точці мінімуму градієнт функції дорівнює нулю. На властивостях градієнта засновані методи першого порядку, звані також градієнтним і методами мінімізації. Використання цих методів в загальному випадку дозволяє визначити точку локального мінімуму функції.
Очевидно, що якщо немає додаткової інформації, то з початкової точки х [0] розумно перейти в точку х [1], що лежить в напрямку антіградіента - найшвидшого спадання функції. Вибираючи в якості напрямку спуску р [k] антіградіент - f '(х [k]) в точці х [k], отримуємо ітераційний процес виду
х [k + 1] = x [k] - a k f '(x [k]), а k > 0; k = 0, 1, 2, ...
У координатної формі цей процес записується наступним чином:
x i [k +1] = х i [k] - a k f (x [k]) / x i
i = 1, ..., n; k = 0, 1, 2, ...
В якості критерію зупину ітераційного процесу використовують або виконання умови малості приріст аргументу | | x [k + l] - x [k] | | <= e, або виконання умови малості градієнта
| | F '(x [k + l]) | | <= g,
Тут e і g - задані малі величини.
Тепер зробимо угруповання даних аналогічно процедурі, описаної в 6.3, а саме, визначимо

(50)
Очевидно, що в силу випадкових коливань емпіричні частоти будуть відрізнятися від теоретичних ймовірностей . Щоб контролювати цю відмінність, слід підібрати гарну міру розбіжності між експериментальними даними та гіпотетичним теоретичним розподілом. За аналогією з ідеєю методу найменших квадратів в якості такого заходу розбіжності можна взяти, наприклад, , Де позитивні числа можна вибирати більш-менш довільно. Як показав К. Пірсон, якщо вибрати , То отримана величина буде мати поруч чудових властивостей. Таким чином, покладемо

(51)


Підкреслимо, що величина обчислюється по вибірці. Функцію прийнято називати статистикою Пірсона. Обговоримо її властивості.
Поведінка , Коли гіпотеза вірна.
Мова йде про поведінку при збільшенні обсягу вибірки: .
Теорема К. Пірсона. Припустимо, що гіпотеза вірна. Тоді при розподіл величини сходиться до розподілу хі-квадрат з ступенем свободи, тобто,

Практичний сенс цієї теореми в тому, що при великому обсязі вибірки розподіл можна вважати розподілом хі-квадрат з ступенем свободи.
Поведінка , Коли гіпотеза невірна.
Припустимо тепер, що і розбиття таке, що

де ймовірності обчислені за функцією розподілу . Тоді можна показати (див., наприклад, [13, § 10.4]), що
якщо
(52)


Критерій перевірки.
Та обставина, що поведінка істотно різна залежно від того вірна чи ні гіпотеза , Дає можливість побудувати критерій для її перевірки. Задамося деяким рівнем значущості (Допустимої ймовірністю помилки) і візьмемо квантиль , Певну формулою (45):

Визначимо критичний безліч :

Таким чином, наші дії з ухвалення (або відкидання) гіпотези полягають у наступному. Підстановкою наявних даних у формулу (51) обчислюється значення функції , Яке потім порівнюється з :
якщо , То гіпотеза відкидається (при цьому говорять, що вибірка виявляє значуще відхилення від гіпотези ),
якщо , То гіпотеза приймається (кажуть, що вибірка сумісна з гіпотезою ).
Дійсно, таке вирішальне правило відповідає вищевикладеним фактам про поведінку функції . Наведемо аргументи, засновані на здоровому глузді, що свідчать на користь цього вирішального правила. Якщо значення функції виявилися `` занадто великими'', то, беручи до уваги (52), розумно вважати, що гіпотеза не має місця. Якщо ж значення `` Не надто великі'', то, швидше за все, гіпотеза вірна, оскільки це узгоджується з теоремою Пірсона.
При такому вирішальному правилі ми може допустити помилку, відкинувши вірну гіпотезу . З теореми Пірсона випливає, що при великих величина ймовірності цієї помилки близька до .

Регресії. Лінійна регресія для системи двох випадкових величин. Основні аспекти множинної регресії. Нелінійна регресія. Метод найменших квадратів.

Нехай спостережувана випадкова величина $ X $ залежить від випадкової величини або випадкового вектора $ Z $ . Значення $ Z $ ми або задаємо, або спостерігаємо. Позначимо через $ F (t) $ функцію, яка відображатиме залежність середнього значення $ X $ від значень $ Z $ :
\ Begin {equation} {\ mathsf E} \, (X ~ \ lvert ~ Z = t) = f (t). \ End {equation}
(29)
Функція $ F (t) $ називається лінією регресії $ X $ на $ Z $ , А рівняння $ X = f (t) $ - Регресійним рівнянням.
У регресійному аналізі вивчається одностороння залежність змінної Y від однієї або декількох змінних X 1, ... , X k. Мінливу Y називають функцією відгуку або що пояснюється змінної, а X 1, ... , X k - пояснюють змінними. Основне завдання регресійного аналізу - встановлення форми залежності між що пояснюється і пояснюють змінними і аналіз достовірності модельних параметрів цієї залежності.
Нехай потрібно знайти аналітичний вигляд (формулу обчислення) деякого економічного показника Y.
На першому кроці регресійного аналізу ідентифікують змінні X 1, ... , X k, від яких залежить Y, тобто визначають ті істотні фактори, які впливають на цей показник. Символічно цей факт записується так: .
На другому кроці регресійного аналізу потрібно специфікація форми зв'язку між Y і X 1, ... , X k, тобто визначення виду функції f. Орієнтиром для визначення виду залежності є зміст розв'язуваної задачі, результати спостережень за поведінкою показника щодо зміни факторів на основі статистичних даних. Наприклад, вибіркові спостереження пар спостережуваних значень , Наведені на Рис. 9.1a), говорять про лінійний характер залежності виду , А на Рис 9.1b) - про поліноміальної залежності виду .

Рис. 9.1. Приклади емпіричних залежностей
Припустимо, що в результаті специфікації визначена лінійна залежність між показником Y і чинниками X 1, ... , X k:

Завдання третього кроку регресійного аналізу полягає у визначенні конкретних числових значень параметрів на основі статистичних даних про спостереження значень Y, X 1, ... , X k.
Природно, лінійні залежності виду (9.2.1) найбільш прості для економетричних досліджень. Виявляється, що в ряді випадків до виду (9.2.1) можна привести і нелінійні залежності за допомогою логарифмування, введення зворотних величин і інших прийомів. Перетворення нелінійних функцій в лінійні називається лінеаризацією.
Почнемо з дуже простого прикладу. Припустимо, що є три зразка деякого матеріалу, маси яких , і невідомі. У наявності є ваги, що допускають випадкову нормально розподілену похибка. Зразки зважують окремо, отримуючи при цьому свідчення терезів , і відповідно. Потім три зразки зважують разом і отримують свідчення терезів . Якщо допустити, що ваги щоразу роблять незалежну помилку, то, як правило, виявиться, що .
Якби ми допустили `` ідеальну''ситуацію, коли ваги визначають масу абсолютно точно, то, очевидно, в четвертому зважуванні не було б ніякого сенсу. Що стосується реального досвіду, коли до теоретичних масам додаються випадкові помилки, то інтуїтивно здається, що четверте зважування може містити в собі корисну інформацію. Питання тільки в тому, як її правильно обробити.
Загальна лінійна модель
Тепер сформулюємо і обговоримо загальну модель, а потім повернемося до прикладу.
Припустимо, що невідомі величини послідовно вимірюються деяким вимірювальним приладом, додається випадкова помилку, розподілену за нормальним законом . Вважаючи ці виміри незалежними між собою і позначаючи результати цих вимірювань через відповідно, запишемо




(37)



де - Незалежні випадкові величини, розподілені за законом . Основне апріорне припущення полягає в тому, що вектор належить деякому лінійному підпростору евклідового -Мірного простору . Зауважимо, що вимірювання , Отримані в результаті досвіду зовсім не зобов'язані належати . Мета - отримати оцінку для вектора невідомих параметрів , Використовуючи дані вимірювань .
Так як незалежні і має розподіл , Неважко виписати функцію правдоподібності (тобто спільну щільність розподілу , Див. також 6.6):

(38)
Як шуканої оцінки будемо шукати точку , В якій функція правдоподібності приймає максимальне значення:

Вираз (38) переписується в наступному вигляді:

де - Звичайне евклідова відстань між векторами в . Звідси видно, що максимальне значення досягається в такій точці , Для якої

З курсу лінійної алгебри відомо, що така точка єдності і являє собою проекцію на підпростір : . Оскільки завдання звелася до мінімізації суми квадратів, цей метод отримав назву методу найменших квадратів.

Основи кореляційного аналізу. Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції. Функціональна і статистична кореляція залежності. Вибірковий коефіцієнт кореляції. Кореляційне відношення як міра кореляційного зв'язку.

Кореляційний аналіз дозволяє кількісно оцінити зв'язок між великим числом взаємодіючих економічних явищ як між випадковими величинами. Його застосування робить можливим перевірку різних економічних гіпотез про наявність і силою зв'язку між двома величинами або групою величин. Кореляційний аналіз тісно пов'язаний з регресійним аналізом, завдання якого полягає в експериментальному визначенні параметрів кореляційних залежностей (див. § 2.5) між економічними показниками шляхом спостереження за характером їх зміни. Одним з основних методів регресійного аналізу є метод найменших квадратів, короткий зміст якого було викладено в § 2.5. Моделі, отримані за допомогою регресійного аналізу, дозволяють прогнозувати варіанти розвитку економічних процесів і явищ, вивчити тенденції зміни економічних показників, тобто служать інструментом науково-обгрунтованих передбачень. Результати прогнозу є вихідним матеріалом для постановки реальних економічних цілей і завдань, для виявлення та прийняття найкращих управлінських рішень, для розробки господарської та фінансової стратегій у майбутньому.
Кореляційні моменти, коефіцієнт кореляції - це числові характеристики, тісно пов'язані у введеним вище поняттям випадкової величини, а точніше з системою випадкових величин. Тому для введення і визначення їх значення і ролі необхідно пояснити поняття системи випадкових величин і деякі властивості притаманні їм.
Два або більше випадкові величини, що описують деякий явище називають системою або комплексом випадкових величин.
Перші початкові моменти являють собою математичні очікування величин Х і Y, що входять в систему
σ 1,0 = m x σ 0,1 = m y.
Сукупність математичних очікувань m x, m y представляє собою характеристику положення системи. Геометрично це координати середньої точки на площині, навколо якої відбувається розсіювання точки (Х, Y).
Важливу роль на практиці відіграють також другі центральні моменти систем. Два з них являють собою дисперсії величин Х і Y
,
характеризують розсіювання випадкової точки у напрямку осей Ox і Oy.
Особливу роль грає другий зміщений центральний момент:
,
званий кореляційним моментом (інакше - "моментом зв'язку") випадкових величин Х і Y.
Кореляційний момент є характеристика системи випадкових величин, що описує, крім розсіювання величин Х і Y, ще і зв'язок між ними. Для того, щоб переконатися в цьому відзначимо, що кореляційний момент незалежних випадкових величин дорівнює нулю.
Зауважимо, що кореляційний момент характеризує не тільки залежність величин, але і їх розсіювання. Тому для характеристики зв'язку між величинами (Х; Y) в чистому вигляді переходять від моменту K xy до характеристики
,
де σ x, σ y - середні квадратичні відхилення величин Х і Y. Ця характеристика називається коефіцієнтом кореляції величин Х і Y.
Згідно з визначеннями моменту кореляції та коефіцієнта кореляції
. (6.37)
Нехай є вибірка . Вибірковим коефіцієнтом кореляції називається оцінка істинного коефіцієнта, отримана за формулою
. (6.38)
Тут , , - Вибіркові середні значення і дисперсії. Вибірковий коефіцієнт кореляції є випадковою величиною. Звідси після обчислення виникає необхідність перевірки гіпотези про значущість отриманої оцінки. Перевіряється гіпотеза про рівність нулю генерального коефіцієнта кореляції проти альтернативи про нерівність нулю коефіцієнта кореляції. Для перевірки гіпотези проти альтернативи використовують статистику
. (6.39)
Відомо [1], що ця статистика має розподіл Стьюдента з (n-2) ступенями свободи. Введемо рівень значимості для вирішення і тоді вирішальне правило набуває вигляду
. (6.40)
Тут - Квантиль розподілу Стьюдента рівня (1 - ) З ступенями свободи.
Для графічної оцінки кореляційного зв'язку двох випадкових змінних будують так звані діаграми розсіювання
  Коефіцієнт кореляції визначає тісноту лінійної кореляційної зв'язку між двома випадковими змінними x і y. Однак кореляційний зв'язок між змінними не обов'язково є лінійною. Поставимо задачу описання кореляційного зв'язку в узагальненому вигляді. З'ясуємо чи змінюється одна випадкова величина (y) при зміні іншої випадкової величини (x). Розглянемо площину (xy), на якій задані ці величини. На осі x вкажемо k точок в який нас діапазоні значень і для кожної j-ї точки цього діапазону виміряємо q раз значення змінної y. У результаті отримуємо k діапазонів (груп) для величини y, в кожному з яких є q відліків. Значення y всередині окремої групи будемо розглядати як самостійну сукупність і для неї знайдемо внутригрупповую середню і внутригрупповую дисперсію відповідно:
. (6.41)
(Зазначимо, що в межах даного пункту використовується формула для обчислення зміщеною оцінки дисперсії.)
Знайдемо середню арифметичну внутрішньогрупових дисперсій
, (6.42)
а також середнє значення по всій сукупності точок
. (6.43)
Запишемо вираз для розрахунку міжгруповий дисперсії, яка описує розсіювання групових середніх щодо середньої по всій сукупності точок
, (6.44)
і вираз для розрахунку загальної дисперсії, що описує розсіяння окремих точок відносно середнього по всій сукупності
(6.45)
Якщо змінна y пов'язана з x функціональною залежністю, то значенню x відповідає певне значення y і в кожній групі містяться q однакових чисел. Це означає, що внутригрупповая дисперсія дорівнює нулю і на основу (6.51)
. (6.52)
Якщо ж змінні x і y пов'язані кореляційною залежністю, то
. (6.53)
На основу даного важливого властивості співвідношення між груповий і загальної дисперсій вводиться міра оцінки тісноти кореляційного зв'язку
. (6.54)
Міра (6.54) називається вибірковим кореляційним відношенням і характеризує тісноту як лінійної, так і нелінійної кореляційного зв'язку між двома випадковими величинами. Очевидно, що
. (6.55)
Оскільки найбільш загальним видом зв'язку двох змінних є поліноміальна зв'язок, можна сказати, що кореляційне відношення оцінює тісноту зв'язку виду
(6.56)
Можливий і комбінований критерій, що складається в одночасному виконанні зазначених умов. Градієнтні методи відрізняються один від одного способами вибору величини кроку а k.
При методі з постійним кроком для всіх ітерацій вибирається деяка постійна величина кроку. Досить малий крок а k забезпечить спадання функції, тобто виконання нерівності
f (х [k +1]) = f (x [k] - a k f '(x [k])) <f (x [k]).
Однак це може привести до необхідності проводити неприйнятно велика кількість ітерацій для досягнення точки мінімуму. З іншого боку, занадто великий крок може викликати несподіване зростання функції або привести до коливань близько точки мінімуму (зациклення). Через складність отримання необхідної інформації для вибору величини кроку методи з постійним кроком застосовуються на практиці рідко.
Більш економічні в сенсі кількості ітерацій і надійності градієнтні методи із змінним кроком, коли в залежності від результатів обчислень величина кроку деяким чином змінюється. Розглянемо застосовуються на практиці варіанти таких методів.
Метод найшвидшого спуску
При використанні методу найшвидшого спуску на кожній ітерації величина кроку а k вибирається з умови мінімуму функції f (x) у напрямку спуску, тобто
f (x [k]-a k f '(x [k])) = f (x [k] - af '(x [k])).
Ця умова означає, що рух вздовж антіградіента відбувається до тих пір, поки значення функції f (x) убуває. З математичної точки зору на кожній ітерації необхідно вирішувати завдання одномірної мінімізації за а функції
j (a) = f (x [k] - af '(x [k])).
Алгоритм методу найшвидшого спуску полягає в наступному.
1. Задаються координати початкової точки х [0].
2. У точці х [k], k = 0, 1, 2, ... обчислюється значення градієнта f '(x [k]).
3. Визначається величина кроку a k, шляхом одномірної мінімізації за а функції j (a) = f (x [k] - af '(x [k])).
4. Визначаються координати точки х [k + 1]:
х i [k + 1] = x i [k] - а k f 'i (х [k]), i = 1 ,..., п.
5. Перевіряються умови зупинки стераціонного процесу. Якщо вони виконуються, то обчислення припиняються. В іншому випадку здійснюється перехід до п. 1.
У розглянутому методі напрям руху з точки х [k] стосується лінії рівня в точці x [k + 1] (Мал. 2.9). Траєкторія спуску зигзагоподібна, причому сусідні ланки зигзага ортогональні один одному. Дійсно, крок a k вибирається шляхом мінімізації за а функції φ (a) = f (x [k] - af '(x [k])). Необхідна умова мінімуму функції d j (a) / da = 0. Обчисливши похідну складної функції, одержимо умову ортогональності векторів напрямків спуску в сусідніх точках:
d j (a) / da =-f '(x [k + 1] f' (x [k]) = 0.
Градієнтні методи сходяться до мінімуму з високою швидкістю (зі швидкістю геометричної прогресії) для гладких опуклих функцій. У таких функцій найбільшу М і найменше m власні значення матриці других похідних (матриці Гессе)

мало відрізняються один від одного, тобто матриця Н (х) добре обумовлена. Нагадаємо, що власними значеннями l i, i = 1, ..., n, матриці є корені характеристичного рівняння

Однак на практиці, як правило, мінімізіруемие функції мають погано обумовлені матриці других похідних (т / М <<1). Значення таких функцій вздовж деяких напрямків змінюються набагато швидше (іноді на кілька порядків), ніж в інших напрямках. Їх поверхні рівня в найпростішому випадку сильно витягуються, а в більш складних випадках згинаються і являють собою яри. Функції, що володіють такими властивостями, називають яружний. Напрямок антіградіента цих функцій (див. Рис. 2.10) суттєво відхиляється від напрямку в точку мінімуму, що призводить до уповільнення швидкості збіжності.
Метод спряжених градієнтів
Розглянуті вище градієнтні методи відшукують точку мінімуму функції в загальному випадку лише за нескінченне число ітерацій. Метод спряжених градієнтів формує напрями пошуку, в більшій мірі відповідні геометрії мінімізіруемой функції. Це істотно збільшує швидкість їх збіжності і дозволяє, наприклад, мінімізувати квадратичну функцію
f (x) = (х, НХ) + (b, х) + а
із симетричною позитивно певної матрицею Н за кінцеве число кроків п, яка дорівнює кількості змінних функції. Будь-яка гладка функція в околі точки мінімуму добре апроксимується квадратичної, тому методи спряжених градієнтів успішно застосовують для мінімізації та неквадратічних функцій. У такому випадку вони перестають бути кінцевими і стають ітеративними.
За визначенням, два n-мірних вектора х і у називають сполученими по відношенню до матриці H (або H-сполученими), якщо скалярний добуток (x, Ну) = 0. Тут Н - симетрична позитивно певна матриця розміром п х п.
Однією з найбільш істотних проблем в методах сполучених градієнтів є проблема ефективної побудови напрямків. Метод Флетчера-Рівса вирішує цю проблему шляхом перетворення на кожному кроці антіградіента-f (x [k]) в напрям p [k], H-поєднане з раніше знайденими напрямками р [0], р [1], ..., р [k -1]. Розглянемо спочатку цей метод стосовно до задачі мінімізації квадратичної функції.
Напрями р [k] обчислюють за формулами:
p [k] = - f '(x [k]) + b k-1 p [k-l], k> = 1;
p [0] = - f '(x [0]).
Величини b k -1 вибираються так, щоб напрямки p [k], р. [k -1] були H-сполученими:
(P [k], Hp [k-1]) = 0.
У результаті для квадратичної функції
,
ітераційний процес мінімізації має вигляд
x [k + l] = x [k] + a k p [k],
де р [k] - напрямок спуску на k-му кроці, а k - величина кроку. Остання вибирається з умови мінімуму функції f (х) по а в напрямку руху, тобто в результаті рішення задачі одномірної мінімізації:
f (х [k] + а k р [k]) = f (x [k] + ар [k]).
Для квадратичної функції

Алгоритм методу спряжених градієнтів Флетчера-Рівса полягає в наступному.
1. У точці х [0] обчислюється p [0] = - f '(x [0]).
2. На k-му кроці за наведеними вище формулами визначаються крок а k. І крапка х [k + 1].
3. Обчислюються величини f (x [k +1]) і f '(x [k +1]).
4. Якщо f '(x [k +1]) = 0, то точка х [k +1] є точкою мінімуму функції f (х). В іншому випадку визначається новий напрямок p [k + l] із співвідношення

і здійснюється перехід до наступної ітерації. Ця процедура знайде мінімум квадратичної функції не більше ніж за п кроків. При мінімізації неквадратічних функцій метод Флетчера-Рівса з кінцевого стає ітеративним. У такому випадку після (п + 1)-ї ітерації процедури 1-4 циклічно повторюються з заміною х [0] на х [п +1], а обчислення закінчуються при , Де - Задане число. При цьому застосовують наступну модифікацію методу:
x [k + l] = x [k] + a k p [k],
p [k] =-f '(x [k]) + b k-1 p [k-l], k> = 1;
p [0] =-f '(x [0]);
f (х [k] + a k p [k]) = f (x [k] + ap [k];
.
Тут I - множина індексів: I = {0, n, 2 п, Зп, ...}, тобто оновлення методу відбувається через кожні п кроків.
Геометричний зміст методу спряжених градієнтів полягає в наступному (Мал. 2.11). З заданої початкової точки х [0] здійснюється спуск у напрямку р [0] =-f '(x [0]). У точці х [1] визначається вектор-градієнт f '(x [1]). Оскільки х [1] є точкою мінімуму функції в напрямку р [0], то f '(х [1]) ортогонален вектору р [0]. Потім відшукується вектор р [1], H-зв'язаний до р [0]. Далі відшукується мінімум функції вздовж напрямку р [1] і т. д.

Рис. 2.11. Траєкторія спуску в методі сполучених градієнтів
Методи сполучених напрямків є одними з найбільш ефективних для вирішення задач мінімізації. Однак слід зазначити, що вони чутливі до помилок, які виникають у процесі рахунки. При великому числі змінних похибка може настільки зрости, що процес доведеться повторювати навіть для квадратичної функції, тобто процес для неї не завжди входить у п кроків.

Опукла оптимізація. Умова опуклості. Субградієнтного метод опуклої оптимізації. Метод розтягування простору. Метод еліпсоїдів.

Основне завдання опуклого програмування
Нехай задано опукле і замкнутий безліч . Розглянемо безліч
= { }, = ( , ..., ), Î .
де ( ) - Увігнуті (опуклі вгору) безперервні на скалярні функції. У теорії математичного програмування кожен елемент Î прийнято називати допустимим планом, а саме безліч - Безліччю допустимих планів.
Формальна постановка задачі опуклого програмування
Задачу
,
де опукла, а визначається вищенаведеними умовами, називається основним завданням опуклого програмування.
REF _Ref433730605 \ r \ h Визначення означає, що ставиться завдання:
Якщо існує мінімальне значення функції на множині , То серед всіх допустимих планів знайти оптимальний план , Для якого
= =
при цьому число називають значенням завдання.
Якщо оптимального плану не існує, то потрібно
· Або знайти значення завдання як точну нижню межу значень функції на множині :
=
· Або переконатися, що необмежена знизу на безлічі ;
· Або переконатися в тому, що безліч допустимих планів порожньо.
Для вирішення запропонованої оптимізаційної задачі слід виконати наступні дії:
· Визначити безліч .
· Визначити вектор-функцію = ( , ..., ) І вектор Î .
· Визначити безліч допустимих планів = { }.
· Привести задачу до стандартної формі основної задачі опуклого програмування і визначити оптимізується функція .
· Перевірити, чи є отримана оптимізаційна задача ЗВП, для цього
· Перевірити на опуклість безліч ;
· Перевірити на опуклість функцію .
У разі успіху п. REF _Ref435679505 \ r \ h 5
· Побудувати функцію Лагранжа отриманої ЗВП.
· За допомогою диференціальних умов Куна-Таккера знайти сідлові точки побудованої функції Лагранжа.
У разі невдачі п. REF _Ref435679505 \ r \ h \ * MERGEFORMAT 5 спробувати знайти інші методи розв'язання задачі.
Методи субградієнтного оптимізації. Ці ітеративні процедури формують послідовність векторів {l k}. Починаючи з деякого початкового значення l 0 ці вектора змінюються за наступним правилом
l k + 1 = l k + t k (A x k - b),
де x k - оптимальне рішення задачі , А t k - розмір кроку. Фундаментальний теоретичний результат полягає в тому, що [14]
.
Розмір кроку на практиці зазвичай вибирають, слідуючи [11],

де q k - скаляр, 0 <q k 2 і z * - верхня межа для n (D). Зазвичай z * одержують евристикою для P. У методі гілок і меж z * - поточний рекорд. Послідовність q k, як правило, починається з q 0 = 2 і потім q k ділиться навпіл, через фіксовану кількість ітерацій, залежне від розмірності задачі.

Елементи функціонального аналізу. Метричні, лінійні та нормовані простору. Евклідова простору. Гільбертів простір. Лінійні оператори і функціонали в лінійних нормованих просторах

Функціональний аналіз, частина сучасної математики, головним завданням якої є вивчення нескінченновимірних просторів і їх відображень. Найбільш вивчені лінійні простору та лінійні відображення. Для Ф. а. характерне поєднання методів класичного аналізу, топології і алгебри. Абстрагуючись від конкретних ситуацій, вдається виділити аксіоми і на їх основі побудувати теорії, що включають в себе класичні задачі як окремий випадок і дають можливість вирішувати нові завдання. Сам процес абстрагування має самостійне значення, прояснюючи ситуацію, відкидаючи зайве і відкриваючи несподівані зв'язки. В результаті вдається глибше проникнути в суть математичних понять і прокласти нові шляхи дослідження.
Розвиток Ф. а. відбувалося паралельно з розвитком сучасної теоретичної фізики, при цьому з'ясувалося, що мова Ф. а. найбільш адекватно відображає закономірності квантової механіки, квантової теорії поля і т.п. У свою чергу ці фізичні теорії зробили істотний вплив на проблематику і методи Ф. а.
1. Лінійні простору. Базис
Одне з основних понять сучасної математики - лінійний простір.
Нехай L - деяке безліч об'єктів довільної природи, а C - безліч комплексних чисел. Безліч L називають лінійним простором, якщо на ньому визначені дві операції: 1) операція складання будь-яких двох елементів цієї множини і 2) операція множення елементів цієї множини на комплексне число, причому ці операції задовольняють деяким природним аксіомам. Більш точно:
Визначення. Безліч L називається лінійним простором над полем комплексних чисел C, якщо
  1. кожній парі елементів x, y з цього простору поставлено у відповідність елемент z цього простору, званий сумою елементів x і y (позначення: );
  2. кожному елементу x з L і кожному комплексному числу поставлено у відповідність елемент з L, званий твором і x (і позначається або x);
  3. зазначені операції задовольняють наступним аксіомам:
  4. для будь-яких ,
  5. для будь-яких ,
  6. існує "нульовий" елемент , Такий, що для будь-якого ,
  7. для кожного існує "протилежний" йому елемент , Такий, що ,
  8. для будь-якого ,
  9. для будь-якого і будь-яких ,
  10. для будь-якого і будь-яких ,
  11. для будь-якого і будь-яких .
Підкреслимо, що перераховані аксіоми є природним узагальненням добре відомих властивостей додавання і множення чисел, додавання векторів і їх множення на число і т.д.
Іноді розглядають лінійний простір не над полем комплексних, а над полем дійсних чисел R (тобто замість операції множення на комплексні числа розглядається операція множення на дійсні числа). Аксіоми лінійного простору при цьому не змінюються.
Наведемо деякі типові приклади лінійних просторів.
Приклад 1. Лінійне простір векторів на площині (або в тривимірному просторі) зі звичайними операціями додавання векторів і множення вектора на дійсне число. Нульовим елементом є нульовий вектор.
Приклад 2. Лінійне простір всіляких послідовностей комплексних чисел з операціями

.
Нульовий елемент - послідовність (0, 0, ..., 0, ...).
Нехай тепер - Деякі елементи лінійного простору L, а - Довільні комплексні (або дійсні) числа. Елемент простору L, рівний , Називається лінійною комбінацією елементів .
Визначення. Система (набір) елементів простору L називається лінійно незалежною, якщо лінійна комбінація дорівнює нульовому елементу простору тільки у разі .
Іншими словами, система називається лінійно незалежною, якщо з рівності випливає, що .
Визначення. Система елементів простору L називається лінійно залежною, якщо рівність виконано при деякому наборі констант , Хоча б одна з яких відмінна від нуля.
Таким чином, система називається лінійно залежною, якщо вона не є лінійно незалежною.
Визначення. Лінійне простір має розмірність n (або, коротко, n-мірно), якщо в ньому знайдеться n лінійно незалежних елементів, але будь-які (n +1) елемент лінійно залежні. Лінійний простір називається безкінечномірні, якщо в ньому можна вказати будь наперед заданий число лінійно незалежних елементів.
Визначення. Система елементів лінійного простору називається базисом цього простору, якщо будь-який елемент цього простору можна єдиним чином представити у вигляді лінійної комбінації елементів даної системи.
Як ми переконалися, в n-мірному просторі будь-яка лінійно незалежна система з n елементів утворює базис.
Визначення. Безліч M називається метричним простором, якщо кожним двом елементам x, y цієї множини поставлене у відповідність дійсне число, позначуване і зване відстанню між елементами x і y, причому виконані наступні аксіоми:
  1. для будь-яких , Причому в тому і тільки в тому випадку, коли ;
  2. для будь-яких ;
  3. для будь-яких .
Якщо x, y - два фіксованих елемента множини M, то є дійсне число, однак, вважаючи x і y рівними всіляких елементів множини M, отримаємо, що є функцією двох змінних x, y. Ця функція називається метрикою даного простору.
Визначення. Лінійне простір називається нормованим, якщо кожному елементу x цього простору поставлено у відповідність дійсне число (Норма x), причому виконані наступні аксіоми:
  1. для будь-якого x, причому тоді і тільки тоді, коли ;
  2. для будь-якого x і будь-якого комплексного;
  3. для будь-яких x, y з даного простору.
Для лінійних просторів над полем дійсних чисел також вводиться поняття нормованого простору з тими ж аксіомами.
Нерівність, яке фігурує в третій аксіомі, називається нерівністю Маньківського.
Найпростішими прикладами нормованих просторів можуть служити безлічі дійсних чисел R і комплексних чисел C, де в якості норми числа розглядається його модуль, а також простір векторів на площині (або в просторі) з нормою, яка дорівнює довжині вектора.
У просторі неперервних функцій на (Дійсному чи комплексному) норму можна ввести, наприклад, такими способами:
, .
Зазначимо тепер наступний важливий факт. У будь-якому лінійному нормованому просторі можна ввести метрику наступним чином:

При цьому виконання першої аксіоми метричного простору випливає з першої аксіоми нормованого простору. Виконання другої аксіоми також очевидно:
.
Нарешті, виконання третьої аксіоми метричного простору випливає з нерівності Мінковського:

Отже, будь-лінійне нормований простір можна зробити метричним простором зазначеним вище природним способом (так, вказані нами норми в просторі неперервних функцій породжують відповідно рівномірну і середньоквадратичне метрику, тобто породжують простору і відповідно). Протилежне твердження, взагалі кажучи, невірно: не в будь-якому метричному просторі можна ввести норму, оскільки поняття норми вводиться лише в лінійному просторі, а метричний простір може не бути наділене лінійною структурою. Однак, якщо метричний простір наділене лінійною структурою (є лінійним простором), то його завжди можна зробити нормованим, запровадивши норму
Нехай $ L $ - Дійсне $ N $ -Мірний простір, в якому заданий базис $ {E_1, \, e_2, \ ldots, \, e_n} $ . Тоді вектори $ A $ і $ B $ з $ L $ задаються своїми координатами:
$ \ Displaystyle a = {\ alpha} _1e_1 + {\ alpha} _2e_2 + \ ldots + {\ alpha} _ne_n, \ quad b = {\ beta} _1e_1 + {\ beta} _2e_2 + \ ldots + {\ beta} _ne_n. $
Скалярний добуток векторів, означає воно зазвичай $ {(A, b)} $ , Задається формулою
$ \ Displaystyle (a, b) = {\ alpha} _1 {\ beta} _1 + {\ alpha} _2 {\ beta} _2 + \ ldots + {\ alpha} _n {\ beta} _n. $
(18.3)



На відміну від звичайного тривимірного простору, де за допомогою транспортира та лінійки можна виміряти кут між векторами і довжину вектора, в $ N $ -Мірному просторі ні кут між векторами, ні довжину вектора виміряти неможливо (як можна, наприклад, виміряти довжину многочлена або кут між многочленами?). Тому ортонормированном в $ N $ -Мірному просторі називається той базис, в якому скалярний добуток обчислюється за формулою (18.3).
Якщо $ {{\ Alpha} = \ left (\ begin {array} {c} {\ alpha} _1 \ \ {\ alpha} _2 \ \ \ vdots \ \ {\ alpha} _n \ end {array} \ right)} $ , $ {{\ Beta} = \ left (\ begin {array} {c} {\ beta} _1 \ \ {\ beta} _2 \ \ \ vdots \ \ {\ beta} _n \ end {array} \ right)} $ - Координатні стовпчики векторів $ A $ і $ B $ , То скалярний добуток можна задати формулою
$ \ Displaystyle (a, b) = {\ alpha} ^ {\ top} {\ beta}. $
Надаємо читачеві самостійно переконатися в збігу цієї формули з формулою (18.3)
Визначення 18.5 Речовий лінійний простір, в якому задано скалярний твір називається евклідовим простором.
У тривимірному просторі за допомогою склярного твори визначався кут між векторами. У евклідовому просторі теж можна визначити кут між векторами. Але кут в $ N $ -Мірному просторі не має істотного значення, крім одного випадку. У тривимірному проcтранстве два вектори ортогональні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Визначення 18.6 Два вектора евклідового простору називаються ортогональними, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Визначення 18.7 Комплексне лінійний простір, у якому введено скалярний добуток, називається унітарною простором.
В унітарній просторі модуль вектора і умова ортогональності вводяться за допомогою скалярного твори так само, як в евклідовому просторі. У координатної запису
Гільбертів простір, математичне поняття, що узагальнює поняття евклідового простору на нескінченновимірних випадок. Виникло на межі 19 і 20 ст. у вигляді природного логічного висновку з робіт ньому. математика Гільберта в результаті узагальнення фактів і методів, що відносяться до розкладання функцій в ортогональні ряди і до дослідження інтегральних рівнянь. Поступово розвиваючись, поняття «Г. п. »знаходило все більш широкі програми в різних розділах математики і теоретичної фізики; воно належить до числа найважливіших понятті математики.
Спочатку Р. п. розумілося як простір послідовностей зі збіжним рядом квадратів (т.зв. простір l 2). Елементами (векторами) такого простору є нескінченні числові послідовності
x = (x 1, x 2 ,..., x n ,...)
такі, що ряд x 1 Лютого + x 2 2 + ... + Х 2 n + ... сходиться. Суму двох векторів x + y і вектор lx, де l - дійсне число, визначають природним чином:
  x + y = (x 1 + y 1 ,..., x n + y n ,...),
lx = (lx 1, lx 2, ..., lx n ,...)/
Для будь-яких векторів х, y Про l 2 формула
  (X, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ... + X n y n + ...
визначає їх скалярний твір, а під довжиною (нормою) вектора х розуміється невід'ємне число

Скалярний твір завжди звичайно і задовольняє нерівності | (х, у) | Ј | | x | | | | y | |. Послідовність векторів х n називається збіжної до вектора х, якщо | | х n-х | | ® 0 при n ® Г. Багато визначення і факти теорії скінченновимірних евклідових просторів переносяться і на Р. п. Наприклад, формула

де 0 Ј j Ј p визначає кут j між векторами х та у. Два вектора х і у називаються ортогональними, якщо (х, у) = 0. Простір l 2 повно: будь-яка фундаментальна послідовність Коші елементів цього простору (тобто послідовність х n, що задовольняє умові | | х п-х m | | ® 0 при n, m ® Г) має межу. На відміну від евклідових просторів, Г. п. l 2 нескінченновимірної, тобто у ньому існують нескінченні системи лінійно незалежних векторів; наприклад, таку систему утворюють одиничні вектори
e 1 = (1, 0, 0 ,...), e 2 = (0, 1, 0 ,...),...
При цьому для будь-якого вектора x з l 2 має місце розкладання
x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ... (1)
по системі {e n}.
Оператори (загальні поняття). Функціонали. Нехай X, Y - лінійні простору; відображення A: X ® Y називається лінійним, якщо для x, у О X, l, m Про ,
де x 1 ,..., x n і (Ax) 1 ,..., (Ax) n - координати векторів x та Ax відповідно. При переході до безкінечномірні лінійним топологічним просторів становище значно ускладнюється. Тут перш за все необхідно розрізняти безперервні і розривні лінійні оператори (для скінченновимірних просторів вони завжди безупинні). Так, чинний з простору L 2 (а, b) у нього ж оператор

(Де K (t, s) - обмежена функція - ядро А) - безперервний, в той час як певний на підпросторі C 1 (a, b) М L 2 (a, b) оператор диференціювання

є розривним (взагалі, характерною особливістю розривних операторів є те, що вони не визначені на всьому просторі).
Лінійний функціонал, узагальнення поняття лінійної форми на лінійні простору. Лінійним функціоналом f на лінійному нормованому просторі Е називають числову функцію f (x), визначену для всіх х з Е і що володіє наступними властивостями:
1) f (x) лінійна, тобто f ((x + (у) = (f (x) + (f (y),
де х і у - будь-які елементи з Е, a і b - числа;
2) f (x) неперервна.
Безперервність f рівносильна вимогу, щоб було обмежено в Е; вираз називають нормою f і позначають .
У просторі С [a, b] функцій a (t), безперервних при a (t (b, з нормою Л. ф. є, наприклад, висловлювання:
,
f 2 [((t)] = ((t 0), a (t 0 (b.
  У гільбертовому просторі Н Л. ф. суть скалярні добутки (l, х), де l - будь-який фіксований елемент простору Н; ними вичерпуються всі Л. ф. цього простору.
У багатьох завданнях можна із загальних міркувань встановити, що та чи інша величина є Л. ф. Наприклад, до Л. ф. наводить рішення лінійних диференціальних рівнянь з лінійними крайовими умовами. Тому дуже важливим є питання про загальний аналітичному вираженні Л. ф. в різних просторах.
Сукупність усіх Л. ф. даного простору Е перетворюється на лінійне нормований простір , Якщо визначити природним чином складання Л. ф. і множення їх на числа. Простір називають спряженим до ; Цей простір грає велику роль при вивченні Е.
З поняттям Л. ф. пов'язане поняття слабкої збіжності. Послідовність {xn} елементів лінійного нормованого простору називають слабо збіжної до елемента х, якщо

Моделювання як метод наукового пізнання. Поняття моделі та моделювання. Елементи й етапи процесу моделювання. Види моделювання. Особливості математичного моделювання економічних об'єктів. Виробничо-технологічний і соціально-економічний рівні економіко-математичного моделювання. Особливості економічних спостережень і вимірів. Випадковість і невизначеність в економіко-математичному моделюванні. Перевірка адекватності моделей.

Моделювання в наукових дослідженнях стало застосовуватися ще в глибоку давнину і поступово захоплювало все нові області наукових знань: технічне конструювання, будівництво і архітектуру, астрономію, фізику, хімію, біологію і, нарешті, суспільні науки. Великих успіхів і визнання практично у всіх галузях сучасної науки приніс методу моделювання ХХ ст. Проте методологія моделювання довгий час розвивалася незалежно окремими науками. Була відсутня єдина система понять, єдина термінологія. Лише поступово стала усвідомлюватись роль моделювання як універсального методу наукового пізнання.
Термін "модель" широко використовується в різних сферах людської діяльності і має безліч значеннєвих значень. Розглянемо лише "моделі", які є інструментами отримання знань.
Модель - це такий матеріальний чи подумки представлений об'єкт, який у процесі дослідження заміщає об'єкт-оригінал так, що його безпосереднє вивчення дає нові знання про об'єкт-оригіналі
Під моделюванням розуміється процес побудови, вивчення і застосування моделей. Воно тісно пов'язане з такими категоріями, як абстракція, аналогія, гіпотеза та ін Процес моделювання обов'язково включає й побудова абстракцій, і умовиводи за аналогією, і конструювання наукових гіпотез.
Головна особливість моделювання в тому, що це метод опосередкованого пізнання за допомогою об'єктів-заступників. Модель виступає як своєрідний інструмент пізнання, який дослідник ставить між собою і об'єктом і з допомогою якого вивчає цікавить його. Саме ця особливість методу моделювання визначає специфічні форми використання абстракцій, аналогій, гіпотез, інших категорій і методів пізнання.
Необхідність використання методу моделювання залежить від того, що багато об'єктів (або проблеми, які стосуються цих об'єктів) безпосередньо досліджувати чи взагалі неможливо, або ж це дослідження потребує багато часу і коштів.
Процес моделювання включає три елементи:
· Суб'єкт (дослідник),
· Об'єкт дослідження,
· Модель, опосередковує відносини пізнає суб'єкта і пізнаваного об'єкта.
Нехай є або необхідно створити певний об'єкт А. Ми конструюємо (матеріально чи подумки) або знаходимо в реальному світі інший об'єкт В - модель об'єкта А. Етап побудови моделі припускає наявність деяких знань про об'єкт-оригіналі. Пізнавальні можливості моделі обумовлюються тим, що модель відображає будь-які суттєві риси об'єкта-оригіналу. Питання про необхідність і достатній мірі схожості оригіналу і моделі вимагає конкретного аналізу. Очевидно, модель втрачає свій сенс як у випадку тотожності з оригіналом (тоді вона перестає бути оригіналом), так і у випадку надмірного у всіх істотних відносинах відмінності від оригіналу.
Таким чином, вивчення одних сторін модельованого об'єкта здійснюється ціною відмови від відображення інших сторін. Тому будь-яка модель заміщає оригінал лише в строго обмеженому сенсі. З цього випливає, що для одного об'єкта може бути побудовано декілька "спеціалізованих" моделей, які концентрують увагу на певних сторонах досліджуваного об'єкта або ж характеризують об'єкт з різним ступенем деталізації.
На другому етапі процесу моделювання модель виступає як самостійний об'єкт дослідження. Однією з форм такого дослідження є проведення "модельних" експериментів, при яких свідомо змінюються умови функціонування моделі і систематизуються дані про її "поведінці". Кінцевим результатом цього етапу є безліч знань про моделі.
На третьому етапі здійснюється перенесення знань з моделі на оригінал - формування безлічі знань про об'єкт. Цей процес переносу знань проводиться за певними правилами. Знання про моделі повинні бути скоректовані з урахуванням тих властивостей об'єкта-оригіналу, які не знайшли відображення чи були змінені при побудові моделі. Ми можемо з достатньою підставою переносити будь-який результат з моделі на оригінал, якщо цей результат необхідно пов'язаний з ознаками схожості оригіналу і моделі. Якщо ж певний результат модельного дослідження пов'язаний з відмінністю моделі від оригіналу, то цей результат переносити неправомірно.
Четвертий етап - практична перевірка одержуваних за допомогою моделей знань та їх використання для побудови узагальнюючої теорії об'єкта, його перетворення або управління ім.
Для розуміння сутності моделювання важливо не випустити з уваги, що моделювання - не єдине джерело знань про об'єкт. Процес моделювання "занурений" у більш загальний процес пізнання. Ця обставина враховується не тільки на етапі побудови моделі, але і на завершальній стадії, коли відбувається об'єднання та узагальнення результатів дослідження, одержуваних на основі різноманітних засобів пізнання.
Моделювання - циклічний процес. Це означає, що за першим чотирьохетапну циклом може відбутися другий, третій і т.д. При цьому знання про досліджуваному об'єкті розширюються і уточнюються, а вихідна модель поступово вдосконалюється. Недоліки, виявлені після першого циклу моделювання, зумовлені малим знанням об'єкту і помилками в побудові моделі, можна виправити у наступних циклах. У методології моделювання, таким чином, закладені великі можливості саморозвитку.
Більшість об'єктів, що вивчаються економічною наукою, може бути охарактеризоване кібернетичним поняттям складна система.
Найбільш поширеним є розуміння системи як сукупності елементів, що знаходяться у взаємодії і утворюють певну цілісність, єдність. Важливою якістю будь-якої системи є емерджентність - наявність таких властивостей, які не притаманні жодному з елементів, що входять в систему. Тому при вивченні систем недостатньо користуватися методом їх розчленування на елементи з подальшим вивченням цих елементів окремо. Одна з труднощів економічних досліджень - в тому, що майже не існує економічних об'єктів, які можна було б розглядати як окремі (позасистемні) елементи.
Складність системи визначається кількістю вхідних в неї елементів, зв'язками між цими елементами, а також взаємовідносинами між системою і середовищем. Економіка країни має всі ознаки дуже складної системи. Вона об'єднує величезне число елементів, відрізняється різноманіттям внутрішніх зв'язків і зв'язків з іншими системами (природне середовище, економіка інших країн і т.д.). У народному господарстві взаємодіють природні, технологічні, соціальні процеси, об'єктивні і суб'єктивні чинники.
Складність економіки іноді розглядалася як обгрунтування неможливості її моделювання, вивчення засобами математики. Але така точка зору в принципі неправильна. Моделювати можна об'єкт будь-якої природи і будь-якої складності. І як раз складні об'єкти становлять найбільший інтерес для моделювання; саме тут моделювання може дати результати, які не можна отримати іншими способами дослідження.
Потенційна можливість математичного моделювання будь-яких економічних об'єктів і процесів не означає, зрозуміло, її успішної здійсненності при даному рівні економічних і математичних знань, наявної конкретної інформації та обчислювальної техніки. І хоча не можна вказати абсолютні межі математичної формализуемости економічних проблем, завжди будуть існувати ще неформалізовані проблеми, а також ситуації, де математичне моделювання недостатньо ефективно.
Вже тривалий час головним гальмом практичного застосування математичного моделювання в економіці є наповнення розроблених моделей конкретною і якісною інформацією. Точність і повнота первинної інформації, реальні можливості її збору і обробки багато в чому визначають вибір типів прикладних моделей. З іншого боку, дослідження з моделювання економіки висувають нові вимоги до системи інформації.
У залежності від модельованих об'єктів і призначення моделей використовувана в них вихідна інформація має суттєво різний характер і походження. Вона може бути розділена на дві категорії: про минуле розвитку і сучасний стан об'єктів (економічні спостереження та їх обробка) і про майбутній розвиток об'єктів, що включає дані про очікувані зміни їх внутрішніх параметрів і зовнішніх умов (прогнози). Друга категорія інформації є результатом самостійних досліджень, які також можуть виконуватись шляхом моделювання.
Методи економічних спостережень і використання результатів цих спостережень розробляються економічною статистикою. Тому варто відзначити тільки специфічні проблеми економічних спостережень, пов'язані з моделюванням економічних процесів.
В економіці багато процесів є масовими, вони характеризуються закономірностями, які не виявляються на підставі лише одного або кількох спостережень. Тому моделювання в економіці повинне спиратися на масові спостереження.
Інша проблема породжується динамічністю економічних процесів, мінливістю їх параметрів і структурних відносин. Внаслідок цього економічні процеси доводиться постійно тримати під наглядом, необхідно мати стійкий потік нових даних. Оскільки спостереження за економічними процесами і обробка емпіричних даних зазвичай займають досить багато часу, то при побудові математичних моделей економіки потрібно коригувати вихідну інформацію з урахуванням її запізнення.
Пізнання кількісних відносин економічних процесів і явищ спирається на економічні виміри. Точність вимірювань значною мірою зумовлює і точність кінцевих результатів кількісного аналізу за допомогою моделювання. Тому необхідною умовою ефектного використання математичного моделювання є вдосконалення економічних вимірювачів. Застосування математичного моделювання загострило проблему вимірювань і кількісних зіставлень різних аспектів і явищ соціально-економічного розвитку, достовірності та повноти одержуваних даних, їх захисту від навмисних і технічних спотворень.
У процесі моделювання виникає взаємодія "первинних" і "вторинних" економічних вимірювачів. Будь-яка модель народного господарства спирається на певну систему економічних вимірювачів (продукції, ресурсів, елементів і т.д.). У той же час одним з важливих результатів народногосподарського моделювання є отримання нових (вторинних) економічних вимірювачів - економічно обгрунтованих цін на продукцію різних галузей, оцінок ефективності різноякісних природних ресурсів, вимірників суспільної корисності продукції. Однак ці вимірники можуть відчувати вплив недостатньо обгрунтованих первинних вимірювачів, що змушує розробляти особливу методику коригування первинних вимірювачів для господарських моделей.
З точки зору "інтересів" моделювання економіки в даний час найбільш актуальними проблемами вдосконалення економічних вимірювачів є: оцінка результатів інтелектуальної діяльності (особливо у сфері науково-технічних розробок, індустрії інформатики), побудова узагальнюючих показників соціально-економічного розвитку, вимірювання ефектів зворотних зв'язків (вплив господарських і соціальних механізмів на ефективність виробництва).
Для методології планування економіки важливе значення має поняття невизначеності економічного розвитку. У дослідженнях з економічного прогнозування та планування розрізняють два типи невизначеності: "справжню", зумовлену властивостями економічних процесів, і "інформаційну", пов'язану з неповнотою і неточністю наявної інформації про ці процеси. Істинну невизначеність не можна змішувати з об'єктивним існуванням різних варіантів економічного розвитку і можливість свідомого вибору серед них ефективних варіантів. Мова йде про принципову неможливість точного вибору єдиного (оптимального) варіанту.
У розвитку економіки невизначеність викликається двома основними причинами. По-перше, хід планованих і керованих процесів, а також зовнішні впливи на ці процеси не можуть бути точно передбачувані через дії випадкових факторів і обмеженості людського пізнання в кожен момент. Особливо характерно це для прогнозування науково-технічного прогресу, потреб суспільства, економічної поведінки. По-друге, загального державному планування і управління не тільки не всеохоплюючі, але й не всесильні, а наявність безлічі самостійних економічних суб'єктів з особливими інтересами не дозволяє точно передбачити результати їх взаємодій. Неповнота та неточність інформації про об `єктивні процеси і економічній поведінці посилюють справжню невизначеність.
На перших етапах досліджень з моделювання економіки застосовувалися в основному моделі детерміністськими типу. У цих моделях всі параметри передбачаються точно відомими. Однак детерміністські моделі неправильно розуміти в механічному дусі і ототожнювати їх з моделями, які позбавлені всіх "ступенів вибору" (можливостей вибору) і мають єдине допустиме рішення. Класичним представником жорстко детерміністських моделей є оптимізаційна модель народного господарства, яка застосовується для визначення найкращого варіанту економічного розвитку серед безлічі припустимих варіантів.
У результаті накопичення досвіду використання жорстко детерміністських моделей були створені реальні можливості успішного застосування більш досконалої методології моделювання економічних процесів, що враховують стохастику і невизначеність. Тут можна виділити два основних напрямки досліджень. По-перше, вдосконалюється методика використання моделей жорстко детерміністськими типу: проведення різноманітних розрахунків і модельних експериментів з варіацією конструкції моделі та її вихідних даних; вивчення стійкості і надійності одержуваних рішень, виділення зони невизначеності; включення в модель резервів, застосування прийомів, що підвищують пристосовуваність економічних рішень до ймовірних і непередбачені ситуацій. По-друге, набувають поширення моделі, безпосередньо відбивають стохастику і невизначеність економічних процесів і використовують відповідний математичний апарат: теорію ймовірностей і математичну статистику, теорію ігор і статистичних рішень, теорію масового обслуговування, стохастичне програмування, теорію випадкових процесів.
Складність економічних процесів і явищ та інші зазначені вище особливості економічних систем ускладнюють не тільки побудова математичних моделей, але і перевірку їх адекватності, істинності отриманих результатів.
У природних науках достатньою умовою істинності результатів моделювання і будь-яких інших форм пізнання є збіг результатів дослідження з спостерігаються фактами. Категорія "практика" збігається тут з категорією "дійсність". В економіці та інших суспільних науках розуміються таким чином принцип "практика - критерій істини" у більшій мірі застосований до простих дескриптивних моделей, що використовуються для пасивного опису і пояснення дійсності (аналізу минулого розвитку, короткострокового прогнозування некерованих економічних процесів і т.п.).
Однак головне завдання економічної науки конструктивна: розробка наукових методів планування та управління економікою. Тому поширений тип математичних моделей економіки - це моделі керованих і регульованих економічних процесів, які використовуються для перетворення економічної дійсності. Такі моделі називаються нормативними. Якщо орієнтувати нормативні моделі тільки на підтвердження дійсності, то вони не зможуть служити інструментом вирішення якісно нових соціально-економічних завдань.
Специфіка верифікації нормативних моделей економіки полягає в тому, що вони, як правило, "конкурують" з іншими, вже знайшли практичне застосування методами планування і управління. При цьому далеко не завжди можна поставити чистий експеримент по верифікації моделі, усунувши вплив інших управляючих впливів на модельований об'єкт.
Ситуація ще більш ускладнюється, коли ставиться питання про верифікацію моделей довгострокового прогнозування та планування (як дескриптивних, так і нормативних). Адже не можна ж 10-15 років і більше пасивно чекати настання подій, щоб перевірити правильність передумов моделі.
Незважаючи на зазначені ускладнюючі обставини, відповідність моделі фактам і тенденціям реальному економічному житті залишається найважливішим критерієм, що визначає напрями вдосконалення моделей. Всебічний аналіз виявлених розбіжностей між дійсністю і моделлю, зіставлення результатів за моделлю з результатами, отриманими іншими методами, допомагають виробити шляхи корекції моделей.
Значна роль у перевірці моделей належить логічному аналізу, в тому числі засобами самого математичного моделювання. Такі формалізовані прийоми верифікації моделей, як доказ існування рішення в моделі, перевірка істинності статистичних гіпотез про зв'язки між параметрами і змінними моделі, зіставлення розмірності величин і т.д., дозволяють звузити клас потенційно "правильних" моделей.
Внутрішня несуперечність передумов моделі перевіряється також шляхом порівняння один з одним одержуваних з її допомогою наслідків, а також з наслідками "конкуруючих" моделей.
Оцінюючи сучасний стан проблеми адекватності математичних моделей економіці, слід визнати, що створення конструктивної комплексної методики верифікації моделей, що враховує як об'єктивні особливості модельованих об'єктів, так і особливості їх пізнання, як і раніше є однією з найбільш актуальних завдань економіко-математичних досліджень.

Основи оптимального управління. Економічні процеси та їх формалізоване представлення. Управління та управляючі. Загальна постановка задачі оптимального управління.

Розглянемо загальну постановку задачі оптимізації економічних систем. Нехай є система, стан якої може змінитися в результаті деякої кількості керуючих впливів. Ставлячи ці дії, можна отримати певний процес зміни стану системи. При цьому виникають два завдання: перша передбачає вибір таких впливів на систему, щоб відбувається процес задовольняв заданим умовам, такі процеси прийнято називати припустимими), друге завдання - вибір з цієї множини допустимих процесів найкращого (оптимального) процесу.
Щоб вирішувати оптимізаційні задачі за допомогою математичних методів, потрібно сформулювати на математичній мові розглядаються процеси, обмеження, що накладаються на стан системи та управляючі, а так само записати математичні моделі, що описують ці процеси.
Введемо деякі поняття і позначення. Розглянемо безліч М з елементами v , Де v - пари виду v = (x, у), , , - Деякі задані множини. Проекцією безлічі М на безліч Х назвемо підмножина М x, що володіє тим властивістю, що для кожного існує такий елемент , Що пара міститься в множині М.
Введемо поняття перетину М x безлічі М при даному x. Перетином М x будемо називати безліч всіх y, при яких пара належить безлічі М.
Введемо поняття функціоналу, що є одним з головних в задачах оптимального управління. Будемо говорити, що на безлічі М заданий функціонал F, якщо відоме правило, яке кожному елементу ставить у відповідність певне дійсне число F (v).
У загальному вигляді завдання оптимізації формулюється як задача відшукання мінімального (або максимального) значення функціоналу F (v) на множині М.
Припустимо, що потрібно мінімізувати функціонал F (v) на множині М. Якщо рішення цієї задачі існує (позначимо його через ), То називається оптимальним елементом множини M, а величина - Оптимальним значенням функціоналу. Рішення поставленої задачі F і будемо записувати в такий спосіб:
.
Аналогічно формулюється задача про знаходження максимального значення функціоналу.
Введемо поняття точної нижньої і верхньої межі функціоналу. Точної нижньою межею функціонала на множині М назвемо таке число т, якщо:
1) для будь-якого ;
2) існує послідовність , На якій .
Точна нижня межа функціонала позначається
.
Послідовність {v s} називається мінімалізує послідовністю.
Точно так само визначається точна верхня межа n функціонала :

Назвемо функціонал обмеженим знизу (зверху) на множині М, якщо існує таке число A, що при всіх ( ). Якщо функціонал є обмеженим знизу (зверху), то рішення задачі про знаходження його точної нижньої (верхньої) кордону існує, тобто має місце наступна теорема (наведемо без доведення): Нехай на множині М заданий обмежений знизу функціонал . Тоді реалізується одна з двох можливостей:
1) Існують елемент і число , При яких і при всіх .
2) Існують послідовність елементів множини М і число , Що задовольняє умовам , і при всіх .
Дана теорема має важливе значення для розуміння сутності задачі оптимізації з двох причин. По-перше, вона говорить про те, що постановка завдання про відшукання найменшого (найбільшого) значення обмеженого знизу (зверху) функціоналу має сенс. По-друге, вона пояснює природу вирішення такого завдання. А саме: рішенням буде або певний елемент безлічі М, що мінімізують (максимізує) функціонал , Або послідовність елементів множини М, що є мінімалізує (максимізує) послідовністю. У першому випадку можна говорити про точний вирішенні завдання, а в другому - про наближеному.
Завдання оптимізації керованих процесів (оптимального управління) є приватними по відношенню до сформульованої вище загальної задачі оптимізації. Розглянемо постанову задач оптимального управління.
Введемо деякі поняття.
Найважливішими з них є поняття стану системи і управління. Будемо розглядати системи, стан яких може бути в будь-який момент часу визначено вектором х n-мірного простору з координатами . Простір Х будемо називати простором станів системи.
Так як система змінюється в часі, то її поведінку можна описати послідовністю станів. Таку послідовність системи називають її траєкторією.
Змінна t (називається аргументом процесу) може бути деяким відрізком числової прямої ( ) Або відрізком натурального ряду ( ). У першому випадку процес, що відбувається в системі, називається безперервним, у другому випадку - багатокрокових, а системи - відповідно безперервними і дискретними.
Зміна стану системи, тобто процес в ній, може відбуватися в результаті керуючих впливів. Будемо розглядати системи, управляючі дії в яких моделюються за допомогою елементів r-мірного простору U:
, .
Керуючі впливи можуть задаватися у вигляді функцій від t, тобто .
На допустимі стану системи та управління можуть бути накладені обмеження. Розглянемо безліч трійок - Сукупність - Вимірних векторів в просторі . Тоді обмеження на стан системи та управління у самому загальному випадку можуть бути записані у вигляді
,
де - Деяка область (підмножина) розглянутого - Мірного простору. Обмеження на величини , в кожний фіксований момент часу t можуть бути задані і у вигляді
,
де V t - перетин множини V при заданому значенні t.
Пару функцій назвемо процесом. Між функціями є зв'язок: як тільки задано управління системою, послідовність її станів (траєкторія системи) визначається однозначно. Зв'язок між і моделюється по-різному залежно від того, є система безперервної або дискретної.
Для безперервних систем моделі процесів задаються системою диференціальних рівнянь виду
,
  або у векторній формі
. (4.2.1)
Нехай задано стан, у якому система перебувала в початковий момент . Для простоти цей момент приймемо рівним нулю, а момент закінчення процесу - Рівним Т. Тоді аргумент процесу t змінюється в межах , А початковим станом системи буде вектор
, (4.2.2)
де - Початкове значення i-ї координати вектора стану системи.
Проаналізуємо, яким чином модель відображає зв'язок між управліннями та станом системи, змінюються під їх впливом. Нехай на проміжку задано управління . Підставляючи його в праву частину системи (4.2.3), отримаємо
(4.2.3)
Маємо систему диференціальних рівнянь відносно невідомої функції . Вирішуючи її з урахуванням початкових умов (4.2.2), отримаємо . Це рішення і є траєкторія, що відповідає заданим управління .
Модель дискретної керованої системи має вигляд системи рекурентних рівнянь:
, .
У векторній формі цю модель можна записати у вигляді
, (4.2.4)
Тут t приймає значення . Початкове значення будемо вважати відомим.
У дискретній системі, як і в безперервній, завдання керуючих впливів при дозволяє однозначно визначити відповідальну їм траєкторію системи. При підстановці значення u (t) у праву частину (4.2.4) отримуємо систему рівнянь, яка дозволяє при відомому значенні стану в момент часу t визначити стан в наступний момент часу. Так як в початковий момент стан відомо, то, підставивши його в праву частину (4.2.4), отримаємо
.
Підставляючи потім знайдене значення і в (4.2.4), так само знайдемо значення . Продовжуючи цей процес, через Т кроків отримаємо останнє шукане значення .
Таким чином, і в дискретному випадку рівняння моделі (4.2.4) дозволяють однозначно визначити траєкторію системи , Якщо задано управління .
Отже, процес повинен задовольняти наступним обмеженням:
1) при всіх ;
2) Пара задовольняє системі рівнянь процесу:
а) системі (4.2.1) у безперервному випадку при ;
б) системі (4.2.4) у дискретному випадку при ;
3) Задано початкові умови (4.2.2);
4) У безперервному випадку на функції , накладаються деякі додаткові обмеження, пов'язані з применимостью вживаних тут математичних записів. Функцію будемо вважати кусково-неперервною, а вектор-функцію - Безперервної і кусково-диференційованою.
Процеси , Що задовольняють умовам 1) - 4), будемо називати допустимими. Таким чином, допустимий процес - це дії, що управляють і відповідна їм траєкторія системи , Що задовольняють перерахованим обмеженням.
Для постановки оптимізаційної задачі необхідно ввести в розгляд функціонал F, заданий на множині М. Задача оптимального управління буде полягати у виборі елемента множини M, на якому функціонал F досягає мінімального значення. Такий процес називають оптимальним процесом, управління - Оптимальним управлінням, а траєкторію оптимальної траєкторією.
Функціонал F, заданий на множині допустимих процесів, описує мету, згідно якій оптимізується процес.
У задачах оптимального керування для безперервних систем будемо розглядати функціонали такого вигляду:
, (4.2.5)
де ; - Задані функції. Вираз (4.2.5) дозволяє обчислити для кожного допустимого процесу певне значення і тим самим поставити функціонал на множині допустимих процесів. Для цього необхідно підставити x (t), замість аргументів функції , Яка стає функцією часу, після чого обчислити її інтеграл. Потім до значення інтеграла додаємо значення функції при .
Функціонал складається з двох частин: і . Перше з цих складових оцінює якість процесу на на всьому проміжку , Другий доданок - якість кінцевого стану системи. Іноді в задачах оптимального управління кінцевий стан системи задається. У цьому випадку другий доданок функціоналу (4.2.5) є незмінною і, отже, не впливає на його мінімізацію. Такі завдання називаються завданнями з фіксованим правим кінцем траєкторії.
Для задач оптимізації в дискретних системах функціонал має вигляд
. (4.2.6)
До функціоналу (4.2.6) відносяться всі зауваження і коментарі, зроблені до функціонала (4.2.5).
Таким чином задача оптимізації керованих процесів зводиться до постановки задачі про мінімум функціоналу (4.2.5) у безперервному та (4.2.6) у дискретному випадку на безлічі М допустимих процесів , Які відповідають обмеженням 1) -4).
Це завдання може вирішуватися в двох варіантах:
1. Визначити оптимальний процес , Щоб
;
2. Визначити минимизирующую послідовність , Щоб
.
У теорії оптимального управління терміни «стан» і «управління» мають змістовний сенс. Він полягає в тому, що, ставлячи управління , Ми ставимо і траєкторію процесу , А змінюючи управляючі дії - «Управляємо» процесом.
З умови можна виділити обмеження на стан і управління:
, , (4.2.7)
де - Проекція безлічі на простір X; - Перетин множини при даному
У задачах оптимального управління область можливих станів часто є постійною чи збігається з усім простором, а область можливих управлінь не залежить від x. Ці припущення виконуються у великому числі практичних випадків, що спрощує вирішення задачі.
Вище передбачалося, що проміжок часу фіксований, тобто заданий момент Т закінчення процесу. Проте можливі постановки завдань, де цей момент не заданий, а визначається рішенням завдання. Це відноситься, зокрема, до так званих завданням про швидкодію, коли потрібно перевести систему (4.2.4) із заданого початкового стану х (0) = х 0 в заданий кінцевий стан , Мінімізуючи при цьому час протікання процесу.

Класифікація економіко-математичних моделей. Приклади.

Математичні моделі економічних процесів і явищ більш стисло можна назвати економіко-математичними моделями. Для класифікації цих моделей використовуються різні підстави.
За цільовим призначенням економіко-математичні моделі діляться на теоретико-аналітичні, використовувані в дослідженнях загальних властивостей і закономірностей економічних процесів, і прикладні, вживані в рішенні конкретних економічних завдань (моделі економічного аналізу, прогнозування, управління).
Економіко-математичні моделі можуть призначатися для дослідження різних сторін народного господарства (зокрема, його виробничо-технологічної, соціальної, територіальної структур) і його окремих частин. При класифікації моделей по досліджуваних економічних процесів і змістовній проблематиці можна виділити моделі народного господарства в цілому і його підсистем - галузей, регіонів і т.д., комплекси моделей виробництва, споживання, формування і розподілу доходів, трудових ресурсів, ціноутворення, фінансових зв'язків і т . д.
Зупинимося детальніше на характеристиці таких класів економіко-математичних моделей, з якими пов'язані найбільші особливості методології і техніки моделювання.
Відповідно до загальної класифікації математичних моделей вони поділяються на функціональні та структурні, а також включають проміжні форми (структурно-функціональні). У дослідженнях на народногосподарському рівні частіше застосовуються структурні моделі, оскільки для планування та управління велике значення мають взаємозв'язки підсистем. Типовими структурними моделями є моделі міжгалузевих зв'язків. Функціональні моделі широко застосовуються в економічному регулюванні, коли на поведінку об'єкта ("вихід") впливають шляхом зміни "входу". Прикладом може служити модель поведінки споживачів в умовах товарно-грошових відносин. Один і той самий об'єкт може описуватися одночасно і структурою, і функціональною моделлю. Так, наприклад, для планування окремої галузевої системи використовується структурна модель, а на народногосподарському рівні кожна галузь може бути представлена ​​функціональною моделлю.
Вище вже показувалися відмінності між моделями дескриптивних і нормативними. Дескриптивні моделі відповідають на питання: як це відбувається? або як це найімовірніше може далі розвиватися?, тобто вони лише пояснюють спостережувані факти або дають вірогідний прогноз. Нормативні моделі відповідають на питання: як це має бути?, Тобто припускають цілеспрямовану діяльність. Типовим прикладом нормативних моделей є моделі оптимального планування, формализующие тим чи іншим способом цілі економічного розвитку, можливості і засоби їх досягнення.
Застосування дескриптивного підходу в моделюванні економіки пояснюється необхідністю емпіричного виявлення різних залежностей в економіці, встановлення статистичних закономірностей економічної поведінки соціальних груп, вивчення ймовірних шляхів розвитку яких-небудь процесів при неизменяющиеся умовах або протікають без зовнішніх впливів. Прикладами дескриптивних моделей є виробничі функції і функції купівельного попиту, побудовані на основі обробки статистичних даних.
Чи є економіко-математична модель дескриптивної або нормативної, залежить не тільки від її математичної структури, але від характеру використання цієї моделі. Наприклад, модель міжгалузевого балансу дескриптивна, якщо вона використовується для аналізу пропорцій минулого періоду. Але ця ж математична модель стає нормативною, коли вона застосовується для розрахунків збалансованих варіантів розвитку народного господарства, що задовольняють кінцеві потреби суспільства при планових нормативах виробничих витрат.
Багато економіко-математичні моделі поєднують ознаки дескриптивних і нормативних моделей. Типова ситуація, коли нормативна модель складної структури об'єднує окремі блоки, які є приватними дескриптивними моделями. Наприклад, міжгалузева модель може включати функції купівельного попиту, які описують поведінку споживачів при зміні доходів. Подібні приклади характеризують тенденцію ефективного поєднання дескриптивного і нормативного підходів до моделювання економічних процесів. Дескриптивний підхід широко застосовується в імітаційному моделюванні.
За характером відображення причинно-наслідкових зв'язків розрізняють моделі жорстко детерміністські і моделі, що враховують випадковість і невизначеність. Необхідно розрізняти невизначеність, описувану імовірнісними законами, і невизначеність, для опису якої закони теорії ймовірностей незастосовні. Другий тип невизначеності набагато складніший для моделювання.
За способами відображення чинника часу економіко-математичні моделі діляться на статичні і динамічні. У статичних моделях всі залежності ставляться до одного моменту або періоду часу. Динамічні моделі характеризують зміни економічних процесів у часі. За тривалістю розглянутого періоду часу розрізняються моделі короткострокового (до року), середньострокового (до 5 років), довгострокового (10-15 і більше років) прогнозування і планування. Сам час в економіко-математичних моделях може змінюватися або безперервно, або дискретно.
Моделі економічних процесів надзвичайно різноманітні за формою математичних залежностей. Особливо важливо виділити клас лінійних моделей, найбільш зручних для аналізу і обчислень і одержали внаслідок цього велике розповсюдження. Відмінності між лінійними і нелінійними моделями істотні не тільки з математичної точки зору, але і в теоретико-економічному відношенні, оскільки багато залежності в економіці носять принципово нелінійний характер: ефективність використання ресурсів при збільшенні виробництва, зміна попиту і споживання населення при збільшенні виробництва, зміна попиту і споживання населення при зростанні доходів і т.п. Теорія "лінійної економіки" істотно відрізняється від теорії "нелінійної економіки". Від того, чи передбачаються безлічі виробничих можливостей підсистем (галузей, підприємств) опуклими або ж неопуклих, істотно залежать висновки про можливість поєднання централізованого планування і господарської самостійності економічних підсистем.
За співвідношенням екзогенних і ендогенних змінних, що включаються в модель, вони можуть розділятися на відкриті та закриті. Повністю відкритих моделей не існує; модель повинна містити хоча б одну ендогенну змінну. Повністю закриті економіко-математичні моделі, тобто не включають екзогенних змінних, виключно рідкісні, їх побудова вимагає повного абстрагування від "середовища", тобто серйозного огрублення реальних економічних систем, завжди мають зовнішні зв'язки. Переважна більшість економіко-математичних моделей займає проміжне положення і розрізняються за ступенем відкритості (закритості).
Для моделей народногосподарського рівня важливо поділ на агреговані та деталізовані.
У залежності від того, чи включають народногосподарські моделі просторові чинники та умови або не включають, розрізняють моделі просторові і точкові.
Таким чином, загальна класифікація економіко-математичних моделей включає більше десяти основних ознак. З розвитком економіко-математичних досліджень проблема класифікації застосовуваних моделей ускладнюється. Поряд з появою нових типів моделей (особливо змішаних типів) і нових ознак їх класифікації здійснюється процес інтеграції моделей різних типів у більш складні модельні конструкції.
У вигляді прикладів можна навести найпростіші моделі - транспортна задача, задача розподілу ресурсів, та інше.
Дескриптивні моделі являють собою в основному статистичні моделі (криві зростання, регресійні лінії), призначені для дослідження об'єктів шляхом встановлення кількісних співвідношень між їхніми характеристиками або параметрами.
Приклади:
1. Потрібно визначити залежність споживання побутових послуг від рівня доходу населення, забезпеченості побутовими предметами на душу населення та інших факторів споживання. Для цього складають регресійне рівняння

де Y - споживання побутових послуг на душу населення; - Фактори споживання; - Коефіцієнти рівняння. Якщо відомі коефіцієнти, то залежність споживання побутових послуг від прийнятих факторів вважається визначеною. Вона відображає реальну ситуацію тільки в середньому, або у статистичному сенсі.
2. Потрібно визначити кількість заступників директора для типових структур управління підприємством. У цьому випадку проводять статистичне дослідження чисельності зазначеної категорії працівників на існуючих підприємствах і виводять статечне рівняння. При певній спеціалізації кількість заступників директора визначають за формулою
,
де - Чисельність промислового персоналу; - Основні і оборотні фонди.
Моделі без управління застосовуються для вивчення фактично існуючих процесів, без втручання в їх перебіг. До моделей без управління належать моделі економіки країни, розширеного відтворення, прогнозування народжуваності, чисельності населення і т.д. Як правило, вони дають загальне уявлення про об'єкт. Процеси в моделируемом об'єкті відображаються в агрегованому вигляді та максимально узагальнені. Тому моделі без управління не дають повного уявлення про об'єкт моделювання і придатні для вивчення тільки самих загальних змін і тенденцій. Моделі без управління дозволяють вивчати явища в цілому, комплексно і встановлюють загальні фундаментальні властивості об'єктів і процесів.
Оптимізаційні моделі. Їх поява і застосування викликано необхідністю вирішення практичних завдань економіки і техніки. Особливістю оптимізаційних моделей є цілеспрямованість рішення і явна оцінка ефективності (якості) різних варіантів рішення. На відміну від моделей без управління оптимізаційні моделі припускають виявлення мети управління і побудова цільової функції.
Суть отримання оптимального рішення на моделі полягає у виборі з безлічі можливих рішень одного, що забезпечує максимальну ефективність.
Завдання про оптимальну перевезення вантажів (транспортна задача). Нехай здійснюється виробництво деякого товару в пунктах . Обсяг виробництва товару в кожному пункті дорівнює відповідно . Товар необхідно доставити в магазини чи споживачам, що знаходяться в інших населених пунктах: . Відома потреба кожного споживача в товарі: . Задано також вартість транспортування товару з кожного пункту виробництва кожному споживачеві . Потрібно скласти план завозу товару в магазини, що забезпечує задоволення їх попиту при мінімальних транспортних витратах.
Транспортна задача
Нехай необхідно перевезти деякі партії товару з трьох складів чотирьом покупцям, при цьому відомий обсяг товару на кожному складі і необхідну кількість для кожного покупця, також у таблиці вказані вартості перевезення від кожного складу до кожного покупця. Знайти оптимальний за ціною план перевезень.
14
28
21
28
27
10
17
15
24
20
14
30
25
21
43
33
13
27
17
Побудова оптимального плану, методом північно-західного кута
14
27
28
21
28
27
10
6
17
13
15
1
24
20
14
30
25
26
21
17
43
33
13
27
17
Розрахунок потенціалів
якщо .
u v
0
7
5
1
-14
14
27
28
21
21
19
28
15
27

+
-10
10
6
17
13
15
1
24
11
20
+
-20
14
20
30
27
25
26
21
17
43
33
13
27
17
Отриману різницю потенціалів можна трактувати як збільшення ціни продукту при перевезенні з пункту i в пункт j. За критерієм оптимальності, якщо потенціали в нульових клітинах менше цін на перевезення, то план оптимальний. Інакше план може бути покращений.
За основу перетворення звичайно береться клітина з максимальною різницею.
u v
0
13
11
7

+
-14
14
27
28
27
21
25
28
21
27
-4
10
4
17
13
15
6
24
11
20
+
-14
14
6
30
27
25
20
21
17
43
33
13
27
17
Даний план теж не оптимальний: клітина (1,3)
u v
0
9
7
7

+
-14
14
7
28
23
21
20
28
21
27
-8
10
8
17
13
15
7
24
15
20
+
-14
14
26
30
23
25
10
21
17
43
33
13
27
17
За даним планом обчислюється оптимальне (найменше) значення сумарних значень на перевезення:
F = 14 * 7 +21 * 20 +17 * 13 +15 * 7 +14 * 26 +21 * 17 = 1565
Завдання про користь послуг. Побудуємо оптимізаційну модель, у якій деякі змінні можуть приймати тільки цілі значення. Вона називається целочисленной задачею лінійного програмування. Припустимо, перед людиною стоїть питання, якими видами побутових послуг - - Йому слід скористатися, щоб максимально полегшити свій побут (заощадити час). Передбачається, що сума грошей, яку він має дорівнює d. Можна скласти такий список:

Клас оптимізаційних моделей дуже широкий. Наведені вище завдання ставляться до лінійного програмування. Існують також моделі динамічного програмування, в яких потрібно відшукати не одне, а декілька рішень, наприклад, рішення приймаються в різні моменти часу; екстремальні моделі, що дозволяють знайти екстремальне значення одного або кількох параметрів об'єкта; гомеостатичні моделі, призначені для утримання параметрів об'єкта в певних межах при наявності яких-небудь збурюючих впливів, і т.д.
Ігрові моделі. У деяких ситуаціях оптимізаційні моделі не можуть бути застосовані безпосередньо. В основному в тих ситуаціях, коли система містить підсистеми з різними і почасти суперечливими цілями. Наприклад, при описі цілеспрямованої діяльності колективів людей, прийнятті політичних та економічних рішень в умовах невизначеності необхідно аналізувати інтереси і цілі об'єктів, що вступають в контакт.
Випадки, коли для об'єкта моделювання характерна наявність протидіючих сил або невизначеності параметрів, властивостей або поведінки, розглядаються теорією ігор. Це теорія математичних моделей прийняття оптимальних рішень в умовах конфлікту або невизначеності. Під конфліктом слід розуміти будь-яке розбіжність, що виникає внаслідок неспівпадання інтересів.
Велике значення має поняття невизначеності. Розглянемо на прикладах. При моделюванні попиту на який-небудь товар можуть бути відомі тільки або верхній і нижній межі коливання попиту, або статистичний розподіл можливих значень попиту. Тоді в першому випадку має місце статистична невизначеність, коли невідомий навіть закон розподілу подій (значень попиту), а в другому - статистична невизначеність, відповідна нагоди, при якому не можна точно назвати значення попиту, хоча закон розподілу відомий. Невизначеності такого роду можуть виникнути в результаті дій конкурента, що задовольняють якусь частину попиту, або внаслідок «гри природи» (зміни кліматичних, соціальних та інших умов). У будь-якій грі є наступні елементи: безліч всіх гравців , Де i - довільний гравець. Кожен гравець має в своєму розпорядженні безліч стратегій поведінки, або можливих дій, .
Процес гри полягає у виборі кожним гравцем однієї певної стратегії , Що забезпечує гравцеві, наприклад, максимальний виграш . Тут функція називається функцією виграшу гравця. Таким чином, у наявності безліч стратегій гравців зване ситуацією, в якій кожен гравець або їх група (коаліція) має будь-який виграш (програш).
Ігри бувають безкоаліційному, коли метою кожного учасника є отримання максимального індивідуального виграшу, і коаліційні, пов'язані із забезпеченням максимального виграшу для всієї коаліції гравців. Якщо виграш одного гравця дорівнює програшу іншого при будь-якої стратегії, то гра називається антагоністичною. Якщо число стратегій одного гравця звичайно, то така гра має назву матричної.
Основні принципи визначення оптимальної поведінки гравців зводяться до принципів стійкості, які полягають у тому, щоб відхилення від обраної оптимальної стратегії зменшує виграш гравця. Наприклад, для безкоаліційній гри найкраща стратегія поведінки відповідає принципу рівноваги, при якому жодному гравцю не вигідно змінювати стратегію, якщо у інших гравців залишаються незмінними.
Імітаційні системи. Застосування оптимізаційних та ігрових моделей у практичних завданнях зустрічає утруднення, коли заходить мова про моделювання «великих систем». До них відносяться соціально-економічні системи, що характеризуються великою кількістю параметрів, складним переплетінням інтересів, невизначеною структурою і численними цілями. Об'єкти такого типу погано піддаються формалізації і математичного опису на основі апарату оптимізаційних і ігрових моделей. Складність побудови моделей «великих систем» полягає насамперед у труднощі постановки або формулювання задачі моделювання, яка вимагає комплексного системного опису найбільш важливих сторін об'єкта.
Імітаційне моделювання являє собою систему, що складається з сукупностей наступних елементів:
· Імітаційних моделей, що відображають певні риси, властивості або частини «великої системи» і дозволяють відповідати на питання: що буде за даних умов і прийняте рішення (пряма задача моделювання)?
· Експертів та експертних процедур, необхідних для аналізу та оцінки різних рішень, виключення свідомо слабких рішень, побудови «сценаріїв» розвитку подій, вироблення цілей і критеріїв;
· «Мов ЕОМ», на основі яких здійснюється двосторонній контакт експертів з ЕОМ. Експерт задає вихідні дані, змінює структуру моделей, формулює питання ЕОМ за допомогою спеціальних мов моделювання.
Імітаційні моделі являють собою програми для комп'ютера, які описують поведінку компонентів системи і взаємодія між ними. Розрахунки при різних вихідних даних дозволяють імітувати динамічні процеси, що відбуваються в реальному систем.
Математичний апарат, використовуваний для побудови імітаційних моделей, може бути найрізноманітнішим, наприклад, теорія масового обслуговування, теорія агрегативно систем, теорія автоматів, теорія диференціальних рівнянь і т.д. Імітаційні моделі зазвичай вимагають статистичної обробки результатів моделювання, тому в основу будь-якої імітації входять методи теорії ймовірностей і математичної статистики.
Експертні процедури використовують колективний досвід людей і призначені для усереднення думок і отримання об'єктивної оцінки будь-які події або явища. Наприклад, для визначення пропорцій розвитку галузевих груп обслуговування експертам роздають анкети певного зразка та пропонує ознайомитися зі «сценарієм» розвитку сфери обслуговування населення. «Сценарій» представляє собою прогноз певного роду стану розвитку суспільних потреб на тривалу перспективу, включаючи чисельність населення, його доходи та видатки за статтями витрат, житлові умови, впровадження в практику нової техніки і технологій, вдосконалення видів і форм обслуговування і т.п.
Після ознайомлення зі «сценарієм» експерти висловлюють свою думку у вигляді балів. Потім анкети збирають, і результати експертного аналізу усереднюють по кожній галузевій групі і нормують, тобто бали по кожній галузевій групі ділять на їх загальну суму. Отримані нормовані бали відображають бажані пропорції розвитку галузевих груп обслуговування. Можна здійснити облік компетентності експерта, проставивши йому відповідний «вагу», аналогічний балам.
При оцінці якості функціонування будь-якої імітаційної моделі експерти визначають, які параметри моделі головні, а які - другорядні; встановлюють бажані межі зміни параметрів; здійснюють вибір кращого варіанту моделі. У завдання експерта входить також зміна умов моделювання в тих випадках, коли після проведення модельних експериментів виявляються нові невраховані чинники.

Економетрика. Основні поняття економетричного моделювання

Під статистичними даними розуміють систематизовані і групувати однорідні, кількісні відомості про реальну економічну діяльність за минулі періоди часу або результати багаторазово проведених експериментів і спостережень. Такі дані грають важливу роль в економіко-математичному моделюванні, зокрема, для
· Побудови аналітичного вигляду функцій, що описують взаємозв'язку між економічними величинами;
· Оцінки параметрів і перевірки адекватності економіко-математичних моделей реальним явищам;
· Виявлення закономірностей, яким підпорядковуються економічні явища, і тенденцій розвитку динамічних процесів.
На стику економічної практики та математичної статистики на початку 30-х років зародилася нова самостійна дисципліна, яка отримала назву "Економетрика".
Економетрика - це наука, яка вивчає статистичні закономірності в економіці.
Методологічна особливість економетрики полягає в застосуванні досить загальних гіпотез про статистичні властивості економічних параметрів і помилок при їх вимірі. Отримані при цьому результати можуть виявитися нетотожні тому змісту, який вкладається в реальний об'єкт. Тому важливе завдання економетрики - створення як більш універсальних, так і спеціальних методів для виявлення найбільш стійких характеристик у поведінці реальних економічних показників. Економетрика розробляє методи підгонки формальної моделі з метою найкращого імітування нею поведінки модельованого об'єкта на основі гіпотези про те, що відхилення модельних значень параметрів від їх реально можна побачити випадкові і імовірнісні характеристики їх відомі.
Математична статистика є тим універсальним апаратом, який вдало вписується у зміст різних економетричних досліджень. Такі її розділи, як кореляційний і регресійний аналізи, метод найменших квадратів і прогнозування, як не можна краще підходять для виявлення статистичних закономірностей у економіці.
Кореляційний аналіз дозволяє кількісно оцінити зв'язок між великим числом взаємодіючих економічних явищ як між випадковими величинами. Його застосування робить можливим перевірку різних економічних гіпотез про наявність і силою зв'язку між двома величинами або групою величин. Кореляційний аналіз тісно пов'язаний з регресійним аналізом, завдання якого полягає в експериментальному визначенні параметрів кореляційних залежностей (див. § 2.5) між економічними показниками шляхом спостереження за характером їх зміни. Одним з основних методів регресійного аналізу є метод найменших квадратів, короткий зміст якого було викладено в § 2.5. Моделі, отримані за допомогою регресійного аналізу, дозволяють прогнозувати варіанти розвитку економічних процесів і явищ, вивчити тенденції зміни економічних показників, тобто служать інструментом науково-обгрунтованих передбачень. Результати прогнозу є вихідним матеріалом для постановки реальних економічних цілей і завдань, для виявлення та прийняття найкращих управлінських рішень, для розробки господарської та фінансової стратегій у майбутньому.
Як складова частина математичної економіки, економетрика цілком природно вписується у загальний алгоритм економіко-математичних досліджень. Економетричні дослідження починаються після того, як
· Визначено загальний вигляд математичної моделі з невідомими параметрами;
· Зібрані всі необхідні статистичні дані, що мають відношення до оцінюваним параметрам;
· Поставлена ​​задача відшукання значень невідомих параметрів, що забезпечують найкраще наближення модельних значень до їх значень, що спостерігався в дійсності.
Економетрика якраз і займається методами отримання кращих оцінок параметрів економетричних моделей, що конструюються в прикладних цілях.
Економетричні моделі в порівнянні з аналітичними більш точні і докладні, не вимагають грубих допущень і спрощень, дозволяють врахувати велике число чинників. Основні їх недоліки - громіздкість, погана видимість, великий витрата машинного часу при їх побудові та аналізі і крайня труднощі пошуку оптимальних рішень, які доводиться шукати "на дотик", шляхом здогадів та проб (на відміну від більш пристосованих до оптимізаційним завданням аналітичних моделей). Найбільш ефективна методика економіко-математичних досліджень - це спільне застосування аналітичних та економетричних моделей. Аналітична модель дає можливість в загальних рисах розібратися в явищі, намітити як би контури основних закономірностей. Уточнення ж цих закономірностей - прерогатива економетричних моделей. З цієї точки зору важливе завдання економетрики - перевірка теоретико-економічних положень і висновків на фактичному (емпіричному) матеріалі за допомогою методів математичної статистики.
У загальному випадку економетрична модель може містити кілька рівнянь, а в кожному рівнянні - кілька змінних. Завдання оцінювання параметрів такої розгалуженої моделі вирішується за допомогою складних і химерних методів. Проте всі вони мають одну й ту ж теоретичну основу. Тому для отримання початкового уявлення про зміст економетричних методів ми обмежимося в наступних параграфах розглядом простої лінійної регресії. Термін "регресія" використовується для опису природи зв'язку між змінними, а термін "кореляція" - для вимірювання тісноти зв'язку.
У міру зростання складності після статистичного аналізу, який стосується поведінки окремих змінних, йде лінійна регресія з двома змінними (парна регресія). Проста лінійна регресія пов'язана з тим, що називається двовимірним розподілом випадкових величин, тобто розподілом двох змінних. Зрозуміло, що використання двох змінних дає велику інформацію, ніж однієї. Наприклад, дохід від продажу товару можна аналізувати, використовуючи лише дані про дохід на минулих періодах часу поза зв'язку з іншими чинниками (статистичний аналіз). Але ми отримаємо набагато більш багату інформацію, якщо візьмемо до уваги інші фактори, які впливають на обсяг продажів: попит, ціна товару, ціна товару-конкурента, період часу, витрати на рекламу та ін Якщо при цьому витрати на рекламу стали б головним чинником , визначає обсяг продажів, то знання виду зв'язку обсягу продажів і витрат на рекламу було б вельми корисним для планування фінансової політики компанії. Точно так само нас можуть цікавити двовимірні розподілу обсягу продажів і ціни товару, доходу від продажів і рівня попиту і т.д. Іншими прикладами лінійної регресії з двома змінними могли б бути співвідношення між витратами виробництва і кваліфікацією робітників, між якістю продукції і тривалістю робочого дня, між вагою і віком курей і т.д.
Лінійну регресію, як математичну модель, можна використовувати для того, щоб робити якісь прогнози або передбачення. Наприклад, будь-яка курка, реальна вага якої значно відрізняється від прогнозованого середньої ваги, може бути піддана обстеженню. У результаті подальшого аналізу можуть бути виявлені причини відхилення ваги та вжиті заходи щодо поліпшення раціону харчування або зміни режиму обслуговування та умов утримання.
Основним недоліком, властивим лінійної економетричної моделі з двома змінними, є їх неадекватність до реальної дійсності. Це викликано, по-перше, тим, що статистична (і, зокрема, кореляційний) залежність між економічними величинами практично ніколи не буває в чистому вигляді лінійної, по-друге, багато чинників, що впливають на ці дві змінні, залишаються за межами моделі, тобто виявляються неврахованими.

Основи системного аналізу. Формулювання проблеми. Визначення цілей. Формування критеріїв. Генерування альтернатив. Вибір. Інтерпретації та аналіз очікуваних результатів.

Системний аналіз - це методологія дослідження складних об'єктів як систем. Ця методологія є ефективним способом вирішення складних, не зовсім чітко сформульованих проблем. У задачах системного аналізу будь-який об'єкт розглядається не як єдине ціле, а як система взаємозалежних частин (об'єктів), їх взаємозв'язків і характеристик. Системний аналіз можна звести до уточнення складної проблеми, її структурованості щодо сукупності завдань, які вирішуються шляхом деталізації цілей, побудова методів досягнення цих цілей за допомогою економіко-математичних та інших методів ..
Системний аналіз, зародившись у надрах суспільних і біологічних наук, перейшов до "освоєння" технічних наук. Проте системи громадські і соціальні, біологічні і екологічні, технічні системи, інформаційні системи і системи наукових знань - це все ж системи з абсолютно різними характеристиками і навіть з різною термінологією. Внаслідок цього формулювання основних положень системного аналізу стосовно до конкретних класах систем іноді сприймаються як занадто загальні і навіть алегоричний, з іншого боку, занадто спеціальна термінологія конкретизує, але одночасно і сильно звужує область застосування вироблених формулювань. Мабуть, все ж таки єдино розумним шляхом представляється "переклад" основних положень системного аналізу з "загального" мови на мову конкретної області знань, до якої належить досліджуваний об'єкт.
Перший крок системного аналізу - представлення об'єкта у вигляді системи. Наступний крок - системне дослідження об'єкта в трьох аспектах. У табл.2 відображені напрямки системного дослідження і послідовність здійснення його етапів.
Найбільш успішно системний аналіз застосовують при вивченні комплексних систем складної структури. Інтуїції, кваліфікації однієї людини, незалежно від здібностей і досвіду, тепер уже недостатньо для управління складними виробничими системами. Надалі керівнику доведеться вирішувати проблеми не тільки в масштабі підприємства, але і в масштабі галузі. Для прийняття рішень керівнику необхідно спиратися на емпіричну і фактичну інформацію. Замість екстраполяції минулого досвіду, як головного шляху для прийняття рішень, тепер рекомендується застосовувати математичні моделі, інформаційні системи, що становлять основу системного аналізу.
Системний аналіз має суто практичну орієнтацію. Однак, незважаючи на безліч різних прикладів його вдалого застосування, поки не повністю розроблена його методологія. При вирішенні кожного завдання вибирається своя методика, яка базується на засадах наук, законах логіки і деяких специфічних процедурах. При цьому можна виділити наступні основні особливості системного аналізу:
· Необхідність складання моделей досліджуваної задачі (необов'язково математичної, можна фізичної або графічної);
· Успішне застосування його для вивчення багатофакторних, комплексних систем, коли рішення важко досягти за допомогою одного будь-якого розділу науки або простого з'єднання методів різних дисциплін;
· Необхідність точного формулювання завдання: необхідно точно описати, якого результату, якої мети і за яких обмеженнях прагнуть досягти при вирішенні завдання;
· Постановка і вирішення проблеми для досягнення бажаних результатів повинні підкорятися цілісного підходу: при вирішенні частин проблеми весь час необхідно мати на увазі мета рішення всієї системи.
Обгрунтування процесу рішення проводиться за допомогою спільної мети системи. Тільки при цьому буде враховано явище синергізму-досягнення більш високого результату дії системи в порівнянні з адитивним ефектом, тобто в порівнянні з сумою результатів дії окремих елементів системи.
Завдання системного аналізу можна розділити на дві групи: математику і логіку.
Математику системного аналізу застосовують при вирішенні оптимізаційних завдань вже чітко сформульованих, для чого складаються рівняння, що описують зв'язки безлічі змінних обмежень системи. При цьому визначаються кількісні результати функціонування системи з точки зору обраного критерію оптимальності.
Логіка має компоненти, пов'язані з процесом прийняття рішень, виявленням таких проблем, як визначення цілей системи, шляхів їх досягнення, аналіз зовнішніх умов і обмежень.
Мета в системному аналізі розуміється як антипод проблеми: це те, що треба зробити для зняття проблеми (а рішення - те, як це зробити).
Під критерієм у системному аналізі мається на увазі спосіб порівняння альтернатив, тобто будь-який їх ознака, значення якого можна зафіксувати кількісно або якісно. В ідеалі побудова критеріїв вимагає створення чіткої ієрархії цілей з визначенням всіх співвідношень між ними; реально ж може використовуватися кілька критеріїв, що описують одну мету по-різному і доповнюють один одного.
При інтеграції знань найбільш суттєві, на наш погляд, 2 критерію "хорошою" ("правильної") інтеграції:
· Інтегрувати будь-яку інформацію;
· Виключати внутрішні протиріччя.
При моделюванні крім цих критеріїв слід використовувати специфічні критерії "хорошою" моделі:
• універсальність - можливість описувати будь-яке знання від окремого факту до філософського узагальнення;
· Зв'язність - наявність закономірних причинних зв'язків між подіями, процесами, явищами;
· Активність - можливість породження нового знання, наприклад, за схемою: факт - узагальнений факт - емпіричний закон - теоретичний закон - нові факти.
Загальний алгоритм:
· Визначення конфігуратора.
· Постановка проблеми - відправною момент дослідження. У дослідженні складної системи йому передує робота по структуризації проблеми.
· Розширення проблеми до проблематики, тобто знаходження системи проблем, істотно пов'язаних з досліджуваною проблемою, без урахування яких вона не може бути вирішена.
· Виявлення цілей: цілі вказують напрям, в якому треба рухатися, щоб поетапно вирішити проблему.
· Формування критеріїв. Критерій - це кількісне відображення ступеня досягнення системою поставлених перед нею цілей. Критерій-це правило вибору кращого варіанту рішення з ряду альтернативних. Критеріїв може бути декілька. Багатокритеріальної є способом підвищення адекватності опису мети. Критерії повинні описати по можливості всі важливі аспекти мети, але при цьому необхідно мінімізувати кількість необхідних критеріїв.
· Агрегування критеріїв. Виявлені критерії можуть бути об'єднані або в групи, або замінені узагальнюючим критерієм.
· Генерування альтернатив і вибір з використанням критеріїв найкращою з них. Формування множини альтернатив є творчим етапом системного аналізу.
· Дослідження ресурсних можливостей, включаючи інформаційні потоки і ресурси.
· Вибір формалізації (побудова та використання моделей та обмежень) для вирішення проблеми.
· Оптимізація (для простих систем).
· Декомпозиція.
· Спостереження та експерименти над досліджуваної системою.
· Побудова системи.
· Використання результатів проведеного системного дослідження.

Основні положення теорії систем. Визначення системи. Властивості системи. Класифікація систем. Моделі економічних систем.

Під системою розуміють безліч елементів, що знаходяться у відносинах і зв'язках один з одним, яка утворює певну цілісність, єдність. Поняття "система" передбачає розгляд об'єкта як цілого, що складається із сукупності елементів. Подання про систему завжди пов'язується з такими поняттями, як елемент, цілісність, структура, зв'язок, підсистема.
Будь-яку систему можна розчленувати (не обов'язково єдиним способом) на кінцеве число частин, званих підсистемами, кожну з яких у свою чергу, можна розділити на кінцеве число підсистем більш низького рівня аж до отримання підсистем першого рівня-елементів системи.
Зазвичай під елементом системи розуміють об'єкт або процес, який не підлягає при дослідженні подальшого розчленування на частини.
Під структурою системи розуміють щодо стійкий порядок внутрішніх просторових зв'язків між її окремими елементами, що визначає функціональне призначення системи та її взаємодію з зовнішнім середовищем.
Під цілісністю системи розуміють принципову незвідність властивостей системи до суми властивостей складових її елементів.
Зв'язок - це взаємозумовленість існування явищ, розділених у просторі і в часі. Зв'язки можуть бути суттєвими і несуттєвими. За типом процесу, який визначає зв'язок, вони поділяються на зв'язку управління, функціонування та ін, а за напрямом дії-на прямі і зворотні.
У складних системах часто зворотні зв'язки розглядають як передачу інформації про протікання процесу, на підставі якої виробляються керуючі впливи. У цьому випадку зворотні зв'язки називаються інформаційними. Поняття зворотного зв'язку як форми взаємодії відіграє велику роль в аналізі функціонування складних систем.
Два основні властивості систем:
· Цілісність системи означає, що комплекс елементів, що розглядається в якості системи, володіє характерними властивостями і поведінкою, причому властивості системи несвідомих до суми властивостей її елементів;
· Подільність системи відображає той факт, що будь-який об'єкт можна представити що складається з елементів. Це означає, що будь-який об'єкт можна розглядати як мінімум у трьох аспектах: як щось цілісне (систему), як частина більш загальної системи (надсистеми) і як сукупність дрібніших частин (елементів, підсистем).
Системи поділяють на три групи: прості, складні і дуже складні. Система взуттєвого виробництва відноситься до третьої групи-дуже складною. Основними відмітними ознаками складної системи є:
· Наявність великої кількості взаємозв'язаних і взаємодіючих між собою елементів;
· Складність функції, виконуваної системою і спрямованої на досягнення заданої мети функціонування;
· Можливість розбиття системи на підсистеми, цілі функціонування яких, підпорядковані загальній меті функціонування всієї системи;
· Наявність управління (часто має ієрархічну структуру), розгалуженої інформаційної мережі та інтенсивних потоків інформації;
· Наявність взаємодії з зовнішнім середовищем і функціонування в умовах взаємодії випадкових факторів.
Структура системи - це закономірні стійкі зв'язки між елементами системи, що відображають просторове і тимчасове розташування елементів і характер їх взаємодії (або причинно-наслідкові відносини). При цьому зауважимо, що зв'язки в системі бувають корисні, непотрібні і шкідливі.
Функція системи - це зовнішній прояв властивостей системи, певний спосіб взаємодії з навколишнім середовищем. У будь-якої системи багато функцій, а проте майже завжди серед цієї множини можна виділити одну, найсуттєвішу в даній системі відносин. Ця функція називається головною корисною функцією (ДПФ) системи.
КЛАСИФІКАЦІЯ СИСТЕМ
Існує багато різних підходів до класифікації систем. Наприклад, класифікація може грунтуватися на складності системи. У класифікації, наведеної нижче, цілий ряд більш складних систем пропущено, тому що не представляє для нас інтересу.
1. Морфологічні системи. Це системи, які описуються за допомогою мережі структурних взаємозв'язків (наприклад, типова організаційна схема).
2. Каскадні системи. Вони показують шляхи проходження речовини і енергії в системі (наприклад, схема інформаційних потоків в організації).
3. Системи типу дія - реакція об'єднують зазначені вище і показують спосіб, яким структура прив'язана до процесу життєдіяльності (наприклад, накладення інформаційних потоків на організаційну схему).
4. Керуючі системи (transducers)-системи типу 3, в яких основні компоненти контролюються людиною. Ми можемо вважати деяку організацію керуючої, або кібернетичної, системою, якщо контроль за допомогою зворотного зв'язку приводить до саморегулювання.
Інший спосіб класифікації грунтується на взаємодії з зовнішнім середовищем.
1. Ізольована система. Межі такої системи закриті для експорту та імпорту речовини і енергії (або інформації).
2. Закрита система. Границі її перешкоджають експорту та імпорту речовини, але відкриті для енергії (або інформації).
3. Відкрита система. Така система обмінюється і речовиною, і енергією (інформацією) з зовнішнім середовищем. Усі управлінські системи є відкритими, хоча при аналізі ми іноді розглядаємо їх як закриті, ігноруючи будь-яке взаємодія з зовнішнім середовищем.
Крім того, ми розглядаємо системи або їх оточення як статичне або динамічне в залежності від швидкості зміни їх характеристик у часі. Адаптивна система може реагувати на зміни середовища спосіб, що відповідає її звичайним дій. Звичайно, це відноситься до тих змін, які відбуваються у зовнішньому середовищі і не стосуються внутрішніх проблем фірми. Таким чином, ми говоримо про релевантної середовищі, тобто про події чи об'єктах, не пов'язаних з тим, що відбувається усередині системи. Іноді вживають термін «проблемне оточення». Цей термін уже, ніж релевантна навколишнє середовище, тому що охоплює лише діяльність покупців, постачальників, конкурентів і регламентуючих груп, наприклад уряду.
Економісти говорять про економічні системах, що знаходяться в стані рівноваги, тобто в стані спокою, чи відсутності діяльності. Можливо, до «живих» систем, де змінні швидше залишаються в рамках заздалегідь встановлених обмежень, ніж перетворюються на постійні, більше підходить термін «стійкі». Про систему, яка функціонує в умовах високої стійкості, кажуть, що вона знаходиться в стаціонарному стані (steady state condition).
Економічна система є сукупність взаємопов'язаних і певним чином упорядкованих елементів економіки. Поза системного характеру економіки не могли б відтворюватися (постійно відновлюватись) економічні відносини та інститути, не могли б існувати економічні закономірності, не могло б скластися теоретичного осмислення економічних явищ і процесів, не могло б бути скоординованою і ефективної економічної політики.
· Сучасна ринкова економіка (сучасний капіталізм). У порівнянні з усіма ринкова система виявилася найбільш гнучкою: вона здатна перебудовуватися, пристосовуватися до мінливих внутрішніх і зовнішніх умов.
· Традиційна система. В економічно слаборозвинених країнах існує традиційна економічна система. Цей тип економічної системи базується на відсталій технології, широкому поширенні ручної праці, багатоукладності економіки.
· Адміністративно-командна система (централізовано-планова, комуністична). Ця система панувала раніше в СРСР, країнах Східної Європи і ряді азіатських держав. В останні роки багато вітчизняних і зарубіжні економісти в своїх роботах спробували дати її узагальнену характеристику. Характерними рисами адміністративно-командної системи є суспільна (а в реальності державна) власність практично на всі економічні ресурси, монополізація і бюрократизація економіки в специфічних формах, централізоване економічне планування як основа господарського механізму.
У випадку з'єднання і переплетення різних форм господарства, різних формаційних утворень, різних цивілізаційних систем, а також більш складних поєднань різних елементів системи можна говорити про змішані економічних системах (змішаної економіки). Їх відмінна риса - гетерогенність (різнорідність) входять до них елементів.
Шведська модель. Термін "шведська модель" виник в зв'язку зі становленням Швеції як одного з найбільш розвинених у соціально-економічному відношенні держав. Він з'явився в кінці 60х років, коли іноземні спостерігачі стали відзначати успішне поєднання в Швеції швидкого економічного росту з обширною політикою реформ на фоні відносної соціальної безконфліктності в суспільстві. Цей образ успішної і безтурботної Швеції особливо сильно контрастували тоді з зростанням соціальних і політичних конфліктів в навколишньому світі.
Зараз цей термін використовується в різних значеннях і має різний зміст в залежності від того, що в нього вкладається. Деякі відзначають змішаний характер шведської економіки, що поєднує ринкові відносини і державне регулювання, переважну приватну власність у сфері виробництва і усуспільнення споживання.
Інша характерна риса післявоєнної Швеції специфіка відносин між працею і капіталом на ринку праці. Протягом багатьох десятиліть важливою частиною шведської дійсності була централізована система переговорів про укладення колективних договорів в області заробітної плати за участю потужних організацій профспілок і підприємців в якості головних діючих осіб, причому політика профспілок грунтувалася на принципах солідарності між різними групами трудящих.
Ще один спосіб визначення шведської моделі виходить з того, що у шведській політиці явно виділяються два домінуючі цілі: повна зайнятість і вирівнювання доходів, що і визначає засоби економічної політики. Активна політика на високорозвиненому ринку праці і виключно великий державний сектор (при цьому мається на увазі передусім сфера перерозподілу, а не державна власність) розглядаються як результати цієї політики.
Нарешті, в самому широкому сенсі шведська модель це весь комплекс соціально-економічних і політичних реалій в країні з її високим рівнем життя і широким масштабом соціальної політики. Таким чином, поняття "шведська модель" не має однозначного тлумачення.
Шведська модель виходить з положення, що децентралізована ринкова система виробництва ефективна, держава не втручається у виробничу діяльність підприємства, а активна політика на ринку праці повинна звести до мінімуму соціальні витрати ринкової економіки. Сенс полягає в максимальному зростанні виробництва приватного сектора і як можна більшій перерозподілі державою частини прибутку через податкову систему і державний сектор для підвищення життєвого рівня населення, але без впливу на основи виробництва. При цьому наголос робиться на інфраструктурні елементи і колективні грошові фонди.
Це привело до дуже великої ролі держави у Швеції в розподілі, споживанні і перерозподілі національного доходу через податки і державні витрати, які досягли рекордних рівнів. У реформістської ідеології така діяльність одержала назву "функціональний соціалізм".
Американська модель. Американська модель - це ліберальна ринково-капіталістична модель, що припускає пріоритетну роль приватної власності, ринково-конкурентного механізму, капіталістичних мотивацій, високий рівень соціальної диференціації.
Сполучені Штати Америки - провідна держава капіталістичного світу, що володіє найбільшим економічним і науково-технічним потенціалом. Ні в одній іншій країні протиріччя капіталізму не виступають так оголено і гостро, як в США.
Становлення і розвиток американської моделі проходило в ідеальних умовах. Це пояснюється багатьма причинами, серед яких можна виділити мінімум дві: по-перше, США виникли на території відносно вільною від попередніх традицій і різних нашарувань соціального характеру. По-друге, європейські переселенці привнесли підприємницьку активність та ініціативу, засновані на що зміцнювалися товарно-грошових відносинах у Європі.
Таким чином, американська модель побудована на системі всебічного заохочення підприємницької активності, збагачення найбільш активної частини населення. Малозабезпеченим групам створюється прийнятний рівень життя за рахунок часткових пільг і допомог. Завдання соціальної рівності тут взагалі не ставиться. Ця модель заснована на високому рівні продуктивності праці та масової орієнтації на досягнення особистого успіху
Німецька модель. Німецька модель - це модель соціального ринкового господарства, яка розширення конкурентних засад пов'язує зі створенням особливої ​​соціальної інфраструктури, пом'якшувальною недоліки ринку і капіталу, з формуванням багатошарової інституційної структури суб'єктів соціальної політики.
У німецької економічної моделі держава не встановлює економічні цілі - це лежить в площині індивідуальних ринкових рішень, - а створить надійні правові та соціальні рамкові умови для реалізації економічної ініціативи. Такі рамкові умови втілюються в громадянському суспільстві і соціальній рівності індивідів (рівності прав, стартових можливостей і правовий захист). Вони фактично складаються з двох основних частин: цивільного і господарського права, з одного боку, та системи заходів з підтримання конкурентного середовища, з іншого. Найважливіше завдання держави - забезпечувати баланс між ринковою ефективністю і соціальною справедливістю. Трактування держави як джерела і захисника правових норм, що регулюють господарську діяльність, і конкурентних умов не виходить за межі західної економічної традиції. Але розуміння держави в німецькій моделі і, в цілому, в концепції соціальної ринкової економіки відрізняється від розуміння держави в інших ринкових моделях уявленням про більш активне втручання держави в економіку.
Німецька модель характеризується такими рисами:
· Індивідуальна свобода як умова функціонування ринкових механізмів і децентралізованого прийняття рішень. У свою чергу, ця умова забезпечується активною державною політикою підтримки конкуренції;
· Соціальну рівність - ринковий розподіл доходів обумовлено обсягом вкладеного капіталу або кількістю індивідуальних зусиль, в той час як досягнення відносної рівності вимагає енергійної соціальної політики. Соціальна політика спирається на пошук компромісів між групами, що мають протилежні інтереси, а також на пряму участь держави у наданні соціальних благ, наприклад, у житловому будівництві;
· Антициклічне регулювання;
· Стимулювання технологічних і організаційних інновацій;
· Проведення структурної політики;
· Захист і заохочення конкуренції. Перераховані особливості німецької моделі є похідні від основоположних принципів соціальної ринкової економіки, першим з яких є органічна єдність ринку і держави.
Японська модель. Сьогодні досягненнями Японії нікого не здивуєш. Набагато важливіше зрозуміти і пояснити причини «японського економічного дива», чи, вірніше, феноменального післявоєнного ривка Японії, що вивів її в розряд «економічної наддержави». І хоча в японському ривку важливу роль зіграв американський чинник, все-таки головними виявилися власні зусилля нації.
Таким чином, японська модель характеризується певним відставанням рівня життя населення (в тому числі рівня заробітної плати) від зростання продуктивності праці. За рахунок цього досягається зниження собівартості продукції і різке підвищення її конкурентоспроможності на світовому ринку. Перешкод майнового розшарування не ставиться. Така модель можлива тільки при виключно високому розвитку національної самосвідомості, пріоритеті інтересів нації над інтересами конкретної людини, готовності населення йти на певні матеріальні жертви заради процвітання країни.
Китайська модель. Стверджується, що китайська економіка зростає так швидко тому, що рівень розвитку в Китаї був низьким, а темпи зростання слаборозвинених країн вище, ніж більш розвинених країн. Проте дослідження середньорічних темпів зростання ВВП на душу населення показує, що такої закономірності не існує. При одних і тих же душових показниках ВВП можливий і швидкий ріст і глибоке падіння. Жодна інша слаборозвинена країна не мала темпів зростання, скільки-небудь близьких до китайських. Більш того, темпи зростання Китаю виявилися унікальними для всієї світової економіки. Вирішальний внесок у прискорення економічного зростання внесла структура китайської економіки - низька частка промисловості і висока частка сільського господарства.

Елементи математичної статистики. Вибірки та їх типи. Статистичне розподіл вибірки. Емпірична функція розподілу. Статистичні оцінки параметрів розподілу. Емпіричні моменти, асиметрія та ексцес. Оцінки параметрів. Вибіркові розподілу.

Математична статистика - це розділ математики, присвячений методам збору, аналізу та опрацювання статистичних даних для наукових і практичних цілей.
Статистичні дані представляють собою дані, отримані в результаті обстеження великого числа об'єктів або явищ, отже, математична статистика має справу з масовими явищами.
Сучасна математична статистика підрозділяється на дві великі області: описову та аналітичну статистику.
Описова статистика охоплює методи опису статистичних даних, подання їх у формі таблиць, розподілів і пр.
Ці дані можуть бути або кількісними (наприклад, вимірювання зросту і ваги), або якісними (наприклад, стать і тип особистості).
Аналітична статистика називається також теорією статистичних висновків. Її предметом є обробка даних, отриманих в ході експерименту, і формулювання висновків, що мають прикладне значення для самих різних областей людської діяльності.
Теорія статистичних висновків тісно пов'язана з іншою математичною наукою - теорією ймовірностей, і базується на її математичному апараті.
Планування й аналіз експериментів являє собою третю важливу гілку статистичних методів, розроблену для виявлення та перевірки причинних зв'язків між змінними.
Експериментальні дані - це результати вимірювання деяких ознак об'єктів, обраних з великої сукупності об'єктів.
Частину об'єктів дослідження, певним чином обрана з більш великої сукупності, називається вибіркою, а вихідна сукупність, з якої взята вибірка, - генеральної (основний) сукупністю.
Дослідження, в яких беруть участь всі без винятку об'єкти, що становлять генеральну сукупність, називаються суцільними дослідженнями. Може використовуватися вибірковий метод. Суть його в тому, що для обстеження залучається лише вибірка з генеральної сукупності, але за результатами цього обстеження судять про властивості всієї генеральної сукупності.
Найважливіша характеристика вибірки - обсяг вибірки, тобто число елементів в ній; його прийнято позначати символом n.
Предметом вивчення в статистиці є змінюються (варіюються) ознаки, які іноді називаються статистичними. Вони діляться на якісні та кількісні.
Якісними ознаками об'єкт має або не володіє. Вони не піддаються безпосередньому виміру (наприклад, спортивна спеціалізація, кваліфікація, національність, територіальна приналежність і т. п.).
Кількісні ознаки являють собою результати підрахунку або вимірювання. Відповідно до цього вони поділяються на дискретні і безперервні.
Емпіричні розподілу представляють собою розподілу елементів вибірки за значеннями досліджуваного ознаки. Побудова емпіричних розподілів - необхідний етап застосування статистичних методів.
Можна використовувати наступний евристичний принцип - будемо вважати, що досліджувана нами генеральна сукупність близька до гіпотетичної генеральної сукупності, що складається тільки із значень х 1 ,..., x n, що містяться в ній у рівній пропорції, тобто випадкова величина близька до випадкової величиною , Приймаючої п значень х 1 ,..., x n з імовірностями 1 / n (це, дійсно, максимум інформації про значення випадкової величини та їх ймовірностях, яку можна витягти з вибірки). Розподіл випадкової величини   називається емпіричним розподілом випадкової величини , А її функція розподілу - Емпіричною функцією розподілу. Очевидно, що кожній вибірці відповідає своя емпірична функція розподілу, тобто можна сказати, що - Випадкова функція. являє собою східчасту функцію, зростаючу від 0 до 1 зі стрибками заввишки 1 / n у точках х 1 ,..., x n (очевидно, якщо деяке значення повторюється k разів, то йому буде відповідати один стрибок величиною k / n). Можна визначити емпіричну функцію формулою , Де n x - число значень вибірки, що не перевершують х.
Оскільки емпірична функція розподілу є оцінкою для F (x) (можна довести, що при ймовірність того, що максимальна розбіжність між і F (x) не перевершить заданого малого числа , Прагне до одиниці), можна взяти характеристики в якості оцінок характеристик генерального розподілу.
Нижче ми наводимо отримані таким чином формули для деяких вибіркових характеристик.
Назва характеристики
Формула
Вибірковий момент порядку k

Вибірковий центральний момент
Порядку k

Вибіркове середнє - перший нецентральних момент

Вибіркова дисперсія - (див. у розділі 2 обгрунтування поділу на n -1 замість поділу на n)

Вибірковий коефіцієнт асиметрії

Вибірковий коефіцієнт ексцесу

вибіркове середнє = (X 1 + x 2 +...+ x n) / n оцінка математичного сподівання
медіана = X k +1, при n = 2k +1
= (X k + X k +1) / 2, при n = 2k
мода таке значення x m, яке зустрічається у вибірці найчастіше
розмах R = X max - X min
вибіркова дисперсія - Оцінка дисперсії
середнє квадратичне відхилення S = - Оцінка б
Статистичною оцінкою теоретичного розподілу називають функцію f (X1, X2, ..., Xn) від спостережуваних С.В. X1, X2, ..., Xn. Точкової називають статистичну оцінку, яка визначається одним числом K *= f (x1, x2, ..., xn), де х1, х2, ..., xn - результати n спостережень над кількісним ознакою Х (вибірка). Незміщеної називають точкову оцінку, мат. очікування якої дорівнює оцінюваному параметру при будь-якому обсязі вибірки. Зміщеною називають точкову оцінку, мат. очікування якої не дорівнює оцінюваному параметру. Незміщеної оцінкою генеральної середньої (мат. очікування) служить вибіркова середня: Хв = (сума за i від 1 до k nixi) / n, де xi - варіанту вибірки, ni - частота варіанти xi, n = сума за i від 1 до k ni - обсяг вибірки. Зміщеною оцінкою генеральної дисперсії служить вибіркова дисперсія: Dв = (сума за i від 1 до k ni (ХI-Xв) * 2) / n. Незміщеної оцінкою генеральної дисперсії служить виправлена ​​вибіркова дисперсія: s * 2 = n/n-1 * Dв = сума ni (xj - Xв) * 2/n-1. Метод моментів точкової оцінки невідомих параметрів заданого розподілу полягає в прирівнювання теоретичних моментів відповідним емпіричним моментів того ж порядку. Якщо розподіл визначається одним параметром, то для його відшукання прирівнюють один теоретичний момент одному емпіричному моменту такого ж порядку. Наприклад, можна прирівняти початковий теоретичний момент першого порядку початкового емпіричному моменту першого порядку: v1 = M1. Враховуючи, що v1 = M (X) та М1 = Хв, отримаємо М (Х) = Хв. Якщо розподіл визначається двома параметрами, то прирівнюють два теоретичних миті двом відповідним емпіричним моментів того ж порядку. Враховуючи, що v1 = M (X), M1 = Хв, мю = D (X), m2 = Dв, маємо систему: М (Х) = Хв, D (X) = Dв.
Метод найбільшої правдоподібності точкової оцінки невідомих параметрів заданого розподілу зводиться до відшукання максимуму функції одного або декількох оцінюваних параметрів. Д.С.В. Нехай Х - Д.С.В., яка в результаті n дослідів прийняла можливі значення х1, х2, ..., xn. Припустимо, що вид закону розподілу величини Х задано, але невідомий параметр K, яким визначається цей закон; потрібно знайти його точкову оцінку K *= K (x1, x2, ..., xn). Позначимо ймовірність того, що в результаті випробування величина Х прийме значення xi через р. (xi; K). Функцією правдоподібності Д.С.В. Х називають функцію аргументу K: L (x1, x2, ..., xn; K) = p (x1; K) * p (x2; K) ... p (xn; K). Оцінкою найбільшої правдоподібності параметра K називають таке його значення K *, при якому функція правдоподібності досягає максимуму. Функції L і lnL досягають максимуму при одному і тому ж значенні K, тому замість відшукання максимуму функції L шукають, що зручніше, максимум функції lnL. Н.С.В. Нехай Х - Н.С.В., яка в результаті n випробувань прийняла значення х1, х2, ..., xn. Припустимо, що вид щільності розподілу - функції f (x) - заданий, але невідомий параметр K, яким визначається ця функція. Функцією правдоподібності Н.С.В. Х називають функцію аргументу K: L (x1, x2, ..., xn; K) = f (x1; K) * f (x2; K) ... f (xn; K).
Інтервальної називають оцінку, яка визначається двома числами - кінцями інтервалу, що покриває оцінюваний параметр. Довірчий інтервал - це інтервал, який з заданою надійністю гамма покриває заданий параметр. 1. Інтервальної оцінкою з надійністю гамма мат. сподівання а нормально розподіленого кількісної ознаки Х по вибіркової середньої Хв при відомому середньому квадратичному відхиленні сигма генеральної сукупності служить довірчий інтервал: Хв - t (сигма / корінь з n) <a <Хв + t (сигма / корінь з n), де t ( сигма / корінь з n) = дельта - точність оцінки, n - обсяг вибірки, t - значення аргументу функції Лапласа Ф (t), при якому Ф (t) = гама / 2; при невідомому сигма (і обсязі вибірки n <30) Хв - t гамма (s / корінь з n) <a <Хв + t гамма (s / корінь з n), де s-виправлене вибіркове середнє квадратичне відхилення. 2. Інтервальної оцінкою (з надійністю гамма) середнього квадратичного відхилення сигма нормально розподіленого кількісної ознаки Х по «виправленому» вибіркового середньому квадратичному відхиленню s служить довірчий інтервал s (1-q) <сігма <s (1 + q), при q <1, 0 <сігма <s(1+q), при q> 1. 3. Інтервальної оцінкою (з надійністю гамма) невідомої ймовірності р біноміального розподілу по відносній частоті w служить довірчий інтервал (з наближеними кінцями р1 і р2).
ряд спостережень над випадковою (будемо далі думати - завжди дискретної) величиною. За цим спостереженням можна будувати таблиці або гістограми, використовуючи значення відповідних частот (замість вірогідності). Такі розподілу прийнято називати вибірковими, а сам набір даних спостережень - вибіркою.
Нехай ми маємо таке вибіркове розподіл деякої випадкової величини X - тобто для ряду її значень (цілком можливо неповного, з "пропусками" деяких допустимих) у нас є розраховані нами ж частоти fi.
У більшості випадків нам невідомий закон розподілу СВ або про його природу у нас є здогадки, припущення, гіпотези, але значення параметрів і моментів (а це невипадкові величини!) Нам невідомі.
Зрозуміло, частоти fi суть безперервні СВ і, крім першої проблеми - оцінки розподілу X, ми маємо ще одну - проблему оцінки розподілу частот.
Існування закону великих чисел, доведеність центральної граничної теореми допоможе нам мало:
· По-перше, треба мати досить багато спостережень (щоб частоти "збіглися" з ймовірностями), а це завжди дорого;
· По-друге, найчастіше у нас немає ніяких гарантій в тому, що умови спостереження залишаються незмінними, тобто ми спостерігаємо за незалежною випадковою величиною.
Теорія статистики дає ключ до вирішення подібних проблем, пропонує методи "роботи" з випадковими величинами. Більшість цих методів з'явилося на світ саме завдяки теоретичним дослідженням розподілів безперервних величин.

Перевірка статистичних гіпотез. Рівень значущості. Правило Неймана-Пірсона відбору критеріїв для простих гіпотез. Критерії значимості. Довірча область. Нормальний розподіл. Критерій згоди Пірсона.

Визначення 19.1. Статистичної гіпотезою називають гіпотезу про вид невідомого розподілу генеральної сукупності або про параметри відомих розподілів.
Визначення 19.2. Нульовий (основний) називають висунуту гіпотезу Н0. Конкуруючої (альтернативної) називають гіпотезу Н1, яка суперечить нульовий.
Визначення 19.3. Простий називають гіпотезу, яка містить лише одне припущення, складною - гіпотезу, що складається з кінцевого або нескінченного числа простих гіпотез.
У результаті перевірки правильності висунутої нульової гіпотези (така перевірка називається статистичної, тому що виробляється із застосуванням методів математичної статистики) можливі помилки двох видів: помилка першого роду, яка полягає в тому, що буде відкинута правильна нульова гіпотеза, і помилка другого роду, яка полягає в тому , що буде прийнята невірна гіпотеза.
Зауваження. Яка з помилок є на практиці більш небезпечною, залежить від конкретного завдання. Наприклад, якщо перевіряється правильність вибору методу лікування хворого, то помилка першого роду означає відмову від правильної методики, що може уповільнити лікування, а помилка другого роду (застосування неправильної методики) загрожує погіршенням стану хворого і є більш небезпечною.
Визначення 19.4. Імовірність помилки першого роду називається рівнем значущості α.
Основний прийом перевірки статистичних гіпотез полягає в тому, що за наявною вибіркою обчислюється значення деякої випадкової величини, що має відомий закон розподілу.
Визначення 19.5. Статистичним критерієм називається випадкова величина К з відомим законом розподілу, що служить для перевірки нульової гіпотези.
Визначення 19.6. Критичною областю називають область значень критерію, за яких нульову гіпотезу відкидають, областю прийняття гіпотези - область значень критерію, за яких гіпотезу приймають.
Отже, процес перевірки гіпотези складається з наступних етапів:
· Вибирається статистичний критерій К;
· Обчислюється його бачимо значення Кнабл за наявною вибірці;
· Оскільки закон розподілу До відомий, визначається (за відомим рівнем значущості б) критичне значення kкр, що розділяє критичну область і область прийняття гіпотези (наприклад, якщо р (К> kкр) = б, то праворуч від kкр розташовується критична область, а ліворуч - область прийняття гіпотези);
· Якщо обчислене значення Кнабл потрапляє в область прийняття гіпотези, то нульова гіпотеза приймається, якщо в критичну область - нульова гіпотеза відкидається.
Розрізняють різні види критичних областей:
· Правосторонню критичну область, яка визначається нерівністю K> kкр (kкр> 0);
· Лівобічну критичну область, яка визначається нерівністю K <kкр (kкр <0);
· Двосторонню критичну область, яка визначається нерівностями K <k1, K> k2 (k2> k1).
Визначення 19.7. Потужністю критерію називають імовірність влучення критерію в критичну область за умови, що вірна конкуруюча гіпотеза. Якщо позначити ймовірність помилки другого роду (прийняття неправильної нульової гіпотези) в, то потужність критерію дорівнює 1 - в. Отже, чим більше потужність критерію, тим менше ймовірність зробити помилку другого роду. Тому після вибору рівня значимості слід будувати критичну область так, щоб потужність критерію була максимальною.
У ряді випадків виявляється досить важко, а іноді і неможливо визначити навіть хоча б приблизно не тільки апріорні ймовірності гіпотез, але й ціни рішень. Класичним прикладом такої ситуації є виявлення сигналів в радіолокації. Те ж саме має місце і в системах передачі дискретних повідомлень при виявленні початку інформаційної послідовності (радіограми, команди і т.п.).
У цих умовах зазвичай доводиться задаватися деяким значенням ймовірності помилкового рішення при справедливості однією з гіпотез (наприклад, ) І вибирати стратегію, що забезпечує мінімальне значення ймовірності помилкового рішення при справедливості іншої гіпотези . Такий критерій оптимізації стратегії називається критерієм Неймана-Пірсона. Стосовно до нагоди радіолокаційного виявлення задаються ймовірністю помилковою реєстрації сигналу при наявності на вході тільки шуму, званої ймовірністю помилкової тривоги . Мінімізіруемая ймовірність   при цьому носить назву ймовірності пропуску цілі .
Можна показати, що стратегія, оптимальна за Нейманом-Пирсону, як і раніше зводиться до порівняння величини відношення правдоподібності   з деяким граничним значенням , Обумовленим в даному випадку необхідним значенням ймовірності помилкової тривоги .
Значущості рівень статистичного критерію, ймовірність помилково відкинути основну проверяемую гіпотезу, коли вона вірна. У теорії статистичної перевірки гіпотез З. у. називається ймовірністю помилки першого роду. Поняття "З. у." виникло у зв'язку із завданням перевірки узгодженості теорії з досвідченими даними. Якщо, наприклад, в результаті спостережень реєструються значення n випадкових величин X 1 ,..., X n і якщо потрібно за цими даними перевірити гіпотезу Н, згідно з якою спільний розподіл величин X 1 ,..., X n володіє деяким певним властивістю, то відповідний статистичний критерій конструюється за допомогою відповідним чином підібраною функції Y = f (X 1, ..., X n); ця функція зазвичай приймає малі значення, коли гіпотеза Н вірна, і великі значення, коли Н помилкова. Зокрема, якщо X 1 ,..., X n - результати незалежних вимірювань деякої відомої постійної а і гіпотеза Н представляє собою припущення про відсутність у результатах вимірювань систематичних помилок, то для перевірки Н розумно як Y вибрати (2m - n) 2 , де m - кількість тих результатів вимірювань X 1, які перевищують істинне значення а. спостерігається в досвіді велике значення Y можна розглядати як значуще статистичне спростування гіпотетичного згоди між результатами спостережень та перевіряється гіпотезою. Відповідний критерій значимості являє собою правило, згідно з яким значущими вважаються значення Y, що перевершують заданий критичне значення у. У свою чергу вибір величини у визначається заданим З. у., Який у разі справедливості гіпотези Н збігається з ймовірністю події {Y> y}.
Ми розглядаємо незалежну вибірку , Позначаючи невідому функцію розподілу . Нас цікавить питання про те, чи узгоджуються дані спостережень з простою гіпотезою

де - Деяка конкретна фіксована функція розподілу.
Спочатку разоб'ем безліч на кінцеве число непересічних підмножин . Нехай - Ймовірність, відповідна функції розподілу , Позначимо Очевидно, що

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Економіко-математичне моделювання | Реферат
388.1кб. | скачати


Схожі роботи:
Теоретичні основи методів навчання фізики
Дослідження методів та інструментальних засобів проектування цифрових пристроїв на основі програмованих
Застосування математичних методів у мовознавстві
Застосування економіко-математичних методів в економіці
Застосування математичних методів при оновленні парку автотранспортного підприємства
Особливості математичних методів застосовуваних для вирішення економічних задач
Історія виникнення і розвитку методів реконструкції математичних моделей динамічних систем
Еволюція методів державного регулювання економіки США
Дидактичні основи побудови підручників з природничо математичних дисциплін для початкових шкіл України
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru