Спосіб доведення теореми Ферма в загальному вигляді за допомогою методів елементарної математики

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Спосіб доведення теореми Ферма в загальному вигляді
за допомогою методів елементарної математики

Вчені-математики ось уже 400 років безуспішно б'ються над доказом теореми Ферма. Вони категорично заперечують доказ теореми елементарними способами. Настільки тривалі спроби докази, очевидно пов'язані з відсутністю регулярної роботи над темою і малої її актуальною значимістю. Адже знайшли ж російські вчені при крайній нужді, в терміновому порядку, методи захисту вітчизняних кораблів від магнітних мін противника. Деякі вчені вважали доказ теореми навіть нерозв'язним завданням. Тим не менш, нарешті в 1995 році оприлюднено доказ теореми Ферма англійським вченим А. Уайлсом. Воно базується на останні досягнення математичної науки і є по суті результатом колективної праці певного кола математиків, що працюють у різних напрямках математичних досліджень.
А. Уайлс у своєму доведенні виходить з того, що теорема Ферма вписується, є наслідком гіпотези Таніями про модулярних еліптичних утвореннях. Такий висновок зроблено на підставі обмеженої кількості точок x, y, z з теореми Ферма, які дозволяють стверджувати автору, що ці точки характірізуют всі поєднання x, y, z і n в якості причетних до модулярним еліптичним кривим. Доказ А. Уайлса - складне і трудомістке, тому що треба було довести справедливість самої теореми Таніями і причетність елементів теореми до модулярним еліптичним кривим. При цьому стає незрозумілим: чи то доводиться справедливість гіпотези Таніями за допомогою недоведеною теореми Ферма, чи то доводиться теорема Ферма за допомогою недоведеною гіпотези Таніями. Доказ будь теореми має базуватися на загальновизнаних постулатах. Доказ А. Уайлса займає 150 сторінок друкованого тексту і викладено спеціальним математичним мовою, мало доступним більшості цікавляться. Але головний його недолік - воно не є прямим і безпосереднім. Викликає сумнів відсутність взаємозв'язку показників ступенів n> 2 зі ступенями n = 1 і 2, не показана поширеність умов теореми Ферма по площині XOY і зокрема на цілі від'ємні числа. Я не беруся ставити під сумнів подібне доказ, але вважаю за необхідне стверджувати, що будь-які три точки x n , Y n , Z n можуть вписуватися у степеневі числові ряди, в трикутники Піфагора чи, як буде показано нижче, стануть вихідними при доведенні теореми елементарними методами. Це свідчить про те, що доказ теореми Ферма за допомогою модулярних еліптичні кривих не є єдино можливим і прийнятним у загальному вигляді. Можуть з'явитися й інші докази, в тому числі і з використанням елементарної математики.
Після опублікування доказу О. Уайлса в математичних журналах в інтернеті з'являються нові докази любителів математики, що свідчить про їх невгасаючому інтерес до теми і прагненні до пошуку більш простого і доступного до розуміння безпосереднього доведення теореми Ферма. Цей процес в більшості своїй не переслідує будь-яких корисливих цілей, а швидше за все носить безкорисливий спортивний або престижний характер.
Всупереч думку вчених математиків, нижче пропонується до обговорення офіційним особам з інституту ім. В.А. Стеклова і любителям математики з Інтернету компактний, практично на 2-х сторінках спосіб елементарного докази теореми Ферма в загальному вигляді, заснований на розкладанні рівнянь Ферма по біному Ньютона на його складові. Це дозволяє після перетворення рівнянь Ферма
x n + y n = Z n                                                                                                   (1)
до виду
(X - a) n + X n - (X + b) n = 0 (2) де x, a і n - цілі числа, а b         - Ціле або неціле кількість, залежно від співвідношення x, a і n; одночасно:
- Спростити доказ, звівши його до одного невідомому;
- З'ясувати взаємозв'язок b з параметрами x, a і n;
- Визначити структурну формулу для x в пошуках цілих рішень при всіх показниках ступенів n; - виявити причину утворення нецілих z при n> 2;
- Показати, що на площині            XOY рівняння Ферма мають нецілі рішення для z при n> 2, як для позитивних, так і для негативних чисел x і y , За винятком квадрантів II і IV за непарних n, де теорема Ферма не має сенсу.
Отже, приступимо до розкладання рівнянь (2) по біному Ньютона щодо основоположного параметра x:
(X-a) n + x n = 2x n - nx n-1 a + c n 2 x n-2 a 2 - c n 3 x n-3 a 3 ...... + a n
- (X + b) n = x n + nx n-1 b + c n 2 x n-2 b 2 + c n 3 x n-3 b 3 .......+ b n
Δ = x n - nx n-1 (a + b) + c n 2 x n-2 (a 2-b 2) - c n 3 x n-3 (a 3 + b 3) ... + (a n + b n) = 0 (3)
Ми отримали основне рівняння (3) для пошуку цілих рішень z
Спростимо рівняння (3), прийнявши в ньому а = b = 1,2,3 .... При цьому доказ теореми зводиться до вирішення задачі з одним невідомим х (обгрунтування прийняття а = b = 1,2,3 ... див. нижче). У цьому випадку вираз (3) після рішення його відносно х прийме вигляд:
x n = 2nx n-1 a + 2c n 3 x n-3 a 3 + 2c n 5 x n-5 a 5 + ... (A n + a n) ... (4)
Позначимо через P (a, n) = 2c n 3 x n-3 a 3 + 2c n 5 x n-5 a 5 + ... (a n + a n ) - Добавку після перших двох членів рівняння (4). Тоді воно набуде вигляду: x n = 2 nx n -1 a + P (a, n). Розділивши ліву і праву частини рівняння (5) на x n -1, отримаємо шукане структурний вираз для х:
x = 2 na + P (a, n) / x n -1                                                                                                       (5)
в якому 2 na - ціле число, а добавка P (a, n) ≥ 0 - функція, від якої залежить доказ теореми Ферма. При P (a, n) = 0 для n = 1 та 2 мають місце рішення z в цілих числах; для n> 2 P (a, n)> 0 і z при вирішенні виходять нецілим. У цьому полягають відмінності рівнянь Ферма ступенів n = 1 і 2 від рівнянь ступенів n> 2. Отже, доказ теореми Ферма зводиться до доказу того, що функція P (a, n) / x n -1 при n> 2 завжди є нецілим числом.
Перед доказом попередньо введемо поняття вихідних x, y, z, що грають основну роль при доказі. Власне в основному всі доказ теореми зводиться до доведення її при вихідних x, y, z. З припущень а = b = 2,3,4 ... приймемо а = b = 1. Тоді отримаємо
x = 2 n + P (1, n) / x n -1       y = x -1 і z = x +1 (6)
Ці параметри і будемо вважати вихідними при доведенні теореми Ферма. Інші параметри x, y, z, відповідні висловом а = b = 2,3,4 ... повторюють результуючі характеристики вихідних x, y, z на більш віддалених х, пропорційно числах 2,3,4.
Повертаючись до доказу, попередньо скоротимо чисельник і знаменник у добавці P (1, n) / x n -1 на загальні співмножники і приведемо її до вигляду:
P (1, n) / x n-1 = 2 c n 3 / x 2 + 2 c n 5 / x 4 + 2 c n 7 / x 6 + ... (1 + 1 ) / X n -1 (7)
У чисельнику кожного члена розкладання представлені поєднання c n k - Цілі числа, розподіл яких симетрично щодо центру з максимумом в точці (n +1) / 2. У знаменнику - функція х 2, наростаюча за квадратичним законом. У першій половині розкладання (7) через наростання чисельника і відносної малості знаменника утворюється велика числова сума. У другій половині розкладання через убування чисельника і різкого збільшення знаменника утворюється числова сума значно менше першої. Відзначимо, що безпосереднє визначення параметра х запропонованим способом доказу передбачається здійснювати за допомогою методу послідовних наближень, при якому всі підставляються х, крім початкової, є нецілим числами. Отже, суми в першій і другій половині розкладання (7), як результат ділення числителей на нецілі знаменники, будуть нецілим. Результат їх підсумовування буде також нецілим. Якщо у винятковому випадку (що неймовірно) припустити, що в отриманій загальній сумі після коми обчислювалися значущі цифри до прийнятого порядку, наприклад 10 9 і всі вони виявилися рівними нулю, то подальший розрахунок до близько 10 10, з-за малого збільшення зробить суму обов'язково нецілої. Нецілої стає і P (1, n) / x n -1    , А це означає, що теорема Ферма доведена для n> 2.
Звернемося тепер до правомочності прийняття допущення а = b = 1,2,3 .... При доведенні теореми прийнято а = b = 1. У загальному випадку а змінюється в межах від 0 при у = х і n = 1 до х при у = 0. Йому відповідає зміна b в межах 2 при а = 0, n = 1, до 0 при а = х. При х> y маємо:
. . Звідси b ≤ x. (N √ 2-1). Це нерівність дотримується при всіх змінах а. Нас цікавить вибір a і b. За вихідне прийнято а = 1 тому, що при ньому забезпечується максимальне значення z і воно найближче до граничного z = x   n √ 2. Відповідне йому b = 1 прийнято з таких міркувань. Зі зростанням n величина b   зменшується, проходячи через точку b = 2 при n   = 1, точку b = 1,657 при n = 2, далі переходить через точку b = 1 при невідомому n і, стаючи менше 1, зменшується до 0 при збільшенні n   до нескінченності. b = 1 виявляється єдиним цілим числом для n> 2, при якому можливі цілі z.
Повнота і спільність пропонованого докази може бути проілюстрована також можливостями окремих доказів теореми, що випливають з наслідків загального докази, при цілих позитивних і негативних x і y. Завдяки допущенню a = b = 1, вихідні x, y, z виявляються розташованими поруч на відстані 1 один від одного в наступній послідовності: x -1, x, x +1. Ця властивість може бути використано для доказу теореми Ферма за допомогою трикутників Піфагора, числових статечних рядів і ін Трикутники Піфагора при n> 2 відображаються на площині xOy у вигляді гострокутних трикутників в квадрантах площині xOy I і IV або тупоугольние квадрантах II і III. Для перших характерно x n + (x -1) n <(x +1) n і позитивний
cos B = 0,5-1,5 / (x-1).
Для других x n + (x -1) n> (x +1) n і негативний cos B. Неціле теореми Ферма доводиться через неціле cos B в спотворених трикутниках.
При використанні елементів рівнянь Ферма x n, y n, z n в якості складових елементів числових статечних рядів представляється можливим при n> 2 і a = b = 1,2,3 ... безпосередньо переконатися в нецілісну z при підсумовуванні в лавах x n = ( 2 n) n і y n = (2 n -1) n .
Особливої ​​уваги заслуговує імовірнісний підхід до доведення теореми Ферма. Його сутність полягає у використанні статечних рядів, що складаються з порядкових натуральних чисел 1,2,3 ... і їх ступенів 1 n, 2 n, 3 n ... Між ступенями розміщуються порядкові цілі числа, наприклад, між 2 лютого та 3 2 знаходяться числа 5,6,7,8. З них не можна витягти цілі квадратні корені так як вони знаходяться між двома поруч стоять цілими числами. Це дозволяє стверджувати, що будь-яка ступінь у ряді містить суму всіх попередніх ступенів, які при вилученні з них коренів дає як цілі, так і нецілі коріння при всіх ступенях n. Отже, для кожного x можна визначити ймовірність (частість) P = x / x n , Де в чисельнику цілі x, а в знаменнику - сума цілих і нецілих x, або після скорочення на x: P = 1 / x n -1 , Де 1 - одиночне подія, а x n -1 - МОЖ, Математичне сподівання кількості експериментальних спроб для одержання 1-го події (широко використовується в артилерійській практиці). Якщо тепер припустити, що в статечних лавах перебувають рівняння Ферма x n + y n = z n, що задовольняють умові a = b = 1,2,3 ... і вони дають нецілі рішення z в лавах (див. викладене вище), то для них в той же час можна визначити ймовірність отримання цілих z P = 1 / (xa + a) n -1 і МОЖ = (xa + a) n -1 .
Розглянемо на конкретному прикладі умови отримання цілого z для n = 4 за умов: a = b = 1; x = 2 * 4 = 8; z = 8 +1 = 9. Для них P = 1 / 9 3 та МОЖ = 729 - Стільки потрібно експериментальних спроб з поєднання x і y , Щоб отримати одне ціле z. (Число m = 38 визначається зі співвідношення = M! / 2! (M-2 )!=(( m-1) * m) / 2 = 729. Вирішуючи рівняння m2-m-тисячі чотиреста п'ятьдесят-вісім = 0, отримаємо m приблизно дорівнює 38) Для нецілих z = 36 <<729, чого явно не досить для виявлення цілого z і з позиції експериментатора воно залишається нецілим числом, тому що реалізація ймовірності P = 1 / 9 3 можливо тільки за умови = МОЖ = 729.
З ростом x і n МОЖ різко зростає, що ставить під сумніви можливості експериментальних перевірок. При n = 3 і 4 ці можливості реально існують і могли б стати підтвердженням наявності цілих z при n> 2 для n = 3 в околицях x = 6, y = 5 при МОЖ = 49; для т = 4 x = 8; y = 7; при МОЖ = 729. Це дозволило б судити про подвійність теореми Ферма більш конкретно, а з іншого боку, оцінити правочинність імовірнісного підходу до оцінки теореми Ферма.
На закінчення, крім сказаного, слід додати: запропонований спосіб докази досить просто і переконливо висвітлює причину нецілих рішень z при n> 2 і цілих рішень при n = 2. Він дозволяє розглядати доказ, як єдиний процес, поширений на всі показники ступенів, починаючи з n = 1 і відстаней від вихідного x = 2 при n = 1 до нескінченності.
Теорема на площині xOy - достовірна, як при позитивних цілих x, y так і негативних x, y, за винятком квадрантів II і IV площині xOy при непарних n, де вона не має сенсу (розгляд x n - y n = z n теореми не передбачено)
Є підстави вважати що при n> 2 рівняння Ферма можуть мати цілі рішення для z, що зажадає трудомістких експериментальних досліджень для їх підтвердження.
З повагою: М. І. Пічугін
Ветеран ВВВ і ЗС
Інвалід II групи
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
28кб. | скачати


Схожі роботи:
Доказ Великої теореми Ферма методами елементарної алгебри
Доказ Великої теореми Ферма за допомогою методу нескінченних невизначених спусків
Загальне доказ гіпотези Біля великої теореми Ферма і теореми Піфагора
До вирішення теореми Ферма
Доказ теореми Ферма для n3
Доказ великої теореми Ферма 5
Доказ великої теореми Ферма 2
Доказ теореми Ферма для n4
Доказ теореми Ферма для n 4
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru