Спектральний аналіз коливань

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Академія Росії
Кафедра Фізики
Реферат на тему:
СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ КОЛИВАНЬ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Орел 2009


Зміст
Введення
Спектральний склад періодичних коливань
Аналіз періодичних коливань
Частотний складу неперіодичного коливання
Бібліографічний список

Вступ

Серед різноманітних систем ортогональних функцій, які можуть використовуватися в якості базисів для подання радіотехнічних сигналів, виняткове місце займають гармонійні функції. Їх значення обумовлене низкою причин, основними з яких є:
- Гармонійні сигнали інваріантні (не змінюються) щодо перетворень, здійснюваних стаціонарними лінійними електричними ланцюгами. Якщо такий ланцюг збуджена джерелом гармонійних коливань, то сигнал на виході ланцюга залишається гармонійним з тією ж частотою, відрізняючись від вхідного сигналу лише амплітудою і початковою фазою;
- Техніка генерування гармонійних сигналів досить проста.
Крім того, відомо (курс математики), що будь негармонійні коливання, що задовольняє певним умовам, можна представити у вигляді суми гармонійних коливань. При цьому говорять, що здійснено спектральне розкладання цього сигналу, а окремі гармонійні компоненти сигналу утворюють його спектр.

Спектральний склад періодичних коливань
Математичною моделлю процесу, повторюваного у часі, є періодичне коливання з наступним властивістю:
, N = 1, 2, ...,
де Т - період коливання.
Відомо, що будь-яка періодична функція, яка задовольняє умовам Діріхле (інтервал, на якому функція визначена, може бути розбитий на кінцеве число інтервалів, в кожному з яких функція неперервна і монотонна, і у всякій точці розриву функції існують переходи від одного кінцевого значення до іншого) , може бути представлена ​​рядом Фур'є. Якщо ряд Фур'є представлений у тригонометричній формі, то його запис має наступний вигляд:
, K = 0, 1, 2, ...,
де .
Тобто періодичне коливання можна представити як суму постійної складової і гармонійних коливань з частотами k w 1 (гармонік), причому сукупність амплітуд гармонік називається спектром амплітуд коливання , А сукупність початкових фаз називається спектром фаз коливання .
Дуже часто використовують комплексну форму ряду Фур'є. Для переходу до цієї форми скористаємося формулою Ейлера:
.
Тоді ряд Фур'є запишеться у вигляді
.
Звідси легко визначаються комплексні амплітуди гармонік:
.
Оскільки періодичне коливання відомого періоду Т повністю описується сукупністю амплітуд і фаз своїх складових, то завдання спектру такого коливання зводиться до завдання його спектрів амплітуд і фаз.
Приклад графічного зображення спектрів амплітуд і фаз деякого періодичного коливання наведено на малюнку 1.

Рис. 1. Графічне зображення спектрів амплітуд і фаз коливання
Кожна частотна складова зображується на графіку спектра одним вертикальним відрізком - спектральної лінією. Довжина відрізка визначає величину амплітуди або початкової фази , А місце розташування відрізка на осі частот - частоту складової ( ).
Іноді користуються і табличним способом завдання спектру (табл. 1).
Таблиця 1
Частота
0




Амплітуда





Початкова фаза
-




Приклад. Визначити спектральний склад коливання, що представляє собою періодичну послідовність прямокутних відеоімпульсів з відомими параметрами .

Рішення.
У радіотехніці ставлення називають скважностью послідовності. За формулою ряду Фур'є в комплексній формі знаходимо
.
Комплексна амплітуда пропорційна функції виду , Графік якої зображений на малюнку 2.

Рис. 2. Графік функції
Амплітуди гармонік визначаються як модуль :

і пропорційні функції виду , Графік якої зображений на малюнку 4.

Рис. 4. Графік функції
Графік спектру амплітуд при зображений на малюнку 5.

Рис. 5. Графік спектру амплітуд
Пунктирна лінія, побудована за формулою , Називається огинаючої спектра амплітуд, в яку вписуються амплітуди гармонік на своїх частотах . Нулі обвідної будуть на тих частотах, на яких
(N = 1, 2, 3, ...),
звідки . Постійна складова визначається як .
У межах першого пелюстки огинаючої спектра амплітуд ( ) Комплексна амплітуда позитивна і речовинна, значить ( ). В області частот величина речовинна і негативна, значить ( ). Отже, початкові фази гармонік змінюються на 180 ° при переході через нулі огинаючої. Графік спектру фаз показаний на малюнку 6.

Рис. 6. Графік спектру фаз
Зміна періоду проходження імпульсів Т призводить до згущення (при збільшенні) або розрядці (при зменшенні) спектральних ліній.
Зміна тривалості імпульсів викликає зміщення нулів обвідної на осі частот, положення ж спектральних ліній при цьому залишається без зміни. У тому випадку, коли шпаруватість послідовності імпульсів , Послідовність має багатим спектром, що містить дуже велике число повільно відбувають за амплітудою гармонік, і широко використовується в синтезаторах частот.
Спектр амплітуд дозволяє наочно судити про співвідношення між амплітудами гармонік і про смугу частот, в межах якої розташовані енергетично значні частотні складові.
Для періодичного коливання середня потужність Р ср може бути представлена ​​формулою
.
Крім того, доведено, що середня потужність періодичного коливання дорівнює сумі середніх потужностей складових гармонік:
.
Це рівність називають рівністю Парсеваля. Зіставляючи квадрати амплітуд гармонік, можна судити про розподіл загальної потужності періодичного коливання по діапазону частот, а, отже, будувати радіотехнічні пристрої, обмежуючи спектр переданого коливання необхідним числом спектральних складових, тим самим зменшуючи частотний діапазон переданих сигналів. Зазвичай спектр обмежують частотою, на якій сума потужностей постійної складової і увійшли в цей діапазон гармонік становить не менше 90% повної середньої потужності коливання.
Аналіз періодичних коливань в електричних ланцюгах
В основу аналізу лінійних електричних ланцюгів, що знаходяться під впливом періодичних негармонійні коливань, лежить принцип накладення. Його суть стосовно негармонійні впливів зводиться до розкладання негармоніческого періодичного коливання в одну з форм ряду Фур'є та визначення реакції ланцюга від кожної гармоніки окремо. Результуюча реакція знаходиться як сума отриманих приватних реакцій.
Аналіз проведемо на прикладі. Нехай до входу послідовної RC-ланцюга (рис. 7) підведено вплив у вигляді періодичної послідовності відеоімпульсів з амплітудою А = Е і скважностью .

Рис. 7
Потрібно визначити реакцію - напруга на елементі ємності .
На вхід ланцюга надходить періодичне коливання, розкладання якого в ряд Фур'є дає наступний результат:

З ряду видно, що у складі розкладання відсутні гармоніки з парними номерами, так як шпаруватість послідовності імпульсів дорівнює 2. Обмежимося першими трьома членами розкладання. Прикладена напруга містить постійну складову , Першу і третю гармоніки з нульовими початковими фазами. Знайдемо напругу на ємності від постійної складової прикладеної напруги:
.
Комплексне чинне напруга від першої гармоніки дорівнюватиме:

Аналогічно знаходимо напруга на ємності від 3-ї гармоніки
.
Тепер можна записати миттєве значення напруги на ємності у вигляді ряду:
.
Чинне значення напруги визначаємо, як
.

Частотний складу неперіодичного коливання
Від періодичного коливання до неперіодичному можна просто перейти, якщо не змінюючи форми імпульсу безмежно збільшувати період його проходження, що, у свою чергу, призведе до нескінченно близькому розташуванню один до одного спектральних складових, а значення їх амплітуд стають нескінченно малими. Однак початкові фази цих складових такі, що сума нескінченно великого числа гармонічних коливань нескінченно малих амплітуд відрізняється від нуля і дорівнює функції тільки там, де існує імпульс. Тому поняття спектру амплітуд для неперіодичного коливання не має сенсу, і його замінюють, використовуючи пряме і зворотне перетворення Фур'є.
Відомо, що функція, яка задовольняє заданим умовам, може бути представлена ​​інтегралом Фур'є (зворотне перетворення Фур'є)
.
Використовуючи пряме перетворення Фур'є, приходимо до інтегралу
.
Функція називається комплексної спектральною щільністю амплітуд, а її модуль - Спектральною щільністю амплітуд. Аргумент називають фазовим спектром неперіодичного коливання.
В якості прикладу розглянемо коливання, що описується експоненційної функцією при позитивному матеріальному значенні параметра a.
Знайдемо спектральну щільність:

Особливістю комплексного спектру є його розповсюдження, як на позитивну, так і на негативну області частот. Графіки нормованого амплітудного і фазового спектрів представлені на рисунку 8.
а б
Рис. 8. Спектральна щільність експоненціального видеоимпульса:
а - нормований амплітудний спектр; б - фазовий спектр
Розподіл енергії в спектрі неперіодичного коливання
Нехай неперіодичне коливання описується функцією . Тоді можна записати
.
Проінтегруємо цей вислів по змінній в нескінченних межах:

У цьому виразі
,
де - Комплексна величина, зв'язана з .
Отже,
.
Твір двох сполучених комплексних величин дорівнює квадрату модуля однієї з них, тому
.
Оскільки ліва частина рівності визначає енергію коливання , То це можна сказати і про праву частини. Але тоді

є ні що інше, як енергія коливання, що припадає на один радіан смуги частот для поточної частоти w.
Іншими словами, є спектральною щільністю енергії коливання і характеризує розподіл енергії в смузі частот коливання:
.
Енергетично значущі ділянки спектру розташовані в тих частотних смугах, в яких значення спектральної щільності відносно великі.
Приклад. Визначити спектральну щільність енергії прямокутного видеоимпульса з параметрами: тривалість , Амплітуда і розташовується симетрично відносно початку відліку часу.

На підставі формули прямого перетворення Фур'є знайдемо спектральну щільність амплітуд

Спектральну щільність енергії легко визначити шляхом зведення в квадрат спектральної щільності амплітуд:

Введемо безрозмірну змінну і представимо результати визначення спектральної щільності амплітуд і спектральної щільності енергії в наступному вигляді:
;
.
Тепер легко побудувати нормовані спектри як функцій безрозмірною частотної змінної (Рис. 9 та 10).

Рис. 9. Графік нормованої спектральної щільності прямокутного видеоимпульса як функції параметра

Рис. 10. Нормований енергетичний спектр прямокутного
видеоимпульса як функції безрозмірної частотної змінної

Бібліографічний список
1. Білецький А. Ф. Теорія лінійних електричних ланцюгів .- М.: Радіо і зв'язок, 1986.
2. Судніщіков В. С. Основи теорії передачі та пристрої перетворення сигналів (частина 1) .- Орел:
3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Довідник з математики для інженерів і учнів втузів .- М.: Наука, 1986.
.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Фізика та енергетика | Реферат
49.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Спектральний аналіз
Спектри і спектральний аналіз
Спектр і спектральний аналіз
Спектри та спектральний аналіз у фізиці
Спектральний і кореляційний аналіз неперіодичних сигналів
Лазерний атомно- фотоіонізаційний спектральний аналіз
Фізико-хімічні методи аналізу рефрактометрія спектральний аналіз
Кількісний емісійний спектральний аналіз його апаратура Полум`яна фотометрія
Методи розрахунку лінійних електричних ланцюгів при імпульсній дії Спектральний аналіз сигналів
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru