Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати





























Вища математика

Контрольна робота № 1

Варіант 3



Завдання № 1

Дана система лінійних алгебраїчних рівнянь:

Тр ебуется:

  1. Записати матрицю коефіцієнтів (А) і вільних членів ( );

  2. Вирішити систему методом Гаусса та (у разі її невиродженого) Крамера.

Рішення.

  1. Запишемо матрицю коефіцієнтів:

Матриця вільних членів:

  1. Вирішимо систему методом Гаусса.

Запишемо розширену матрицю системи і перетворимо її методом Гауса (приведемо до східчастого виду за допомогою елементарних перетворень рядків):

Крок 1: з рядка 2 віднімаємо рядок 1, помножену на 2; з рядка 3 віднімаємо рядок 1;

Крок 2: з рядка 3 віднімаємо рядок 2;

Отримали виродження систему рівнянь, тому що якщо записати рівняння по останньому рядку перетвореної матриці, отримаємо 0 = -1, що невірно. Значить, задана система не має рішень.

Відповідь: рішення системи не існує.

Завдання № 2

Вирішити матричне рівняння:

АXB т + m AB = С

, і , M = 2.

Рішення.

Для того, щоб вирішити заданий матричне рівняння, перенесемо всі відомі складові в праву частину, а невідомі залишимо в лівій:

Потім обидві частини рівняння домножити справа на матрицю, зворотну до транспонованої матриці В, і домножити зліва на матрицю, зворотний до матриці А, отримаємо:

де Е - одинична матриця.

Для того, щоб знайти Х, знайдемо всі необхідні матриці, потім перемножимо їх.

(*)

Запишемо транспоновану матрицю B т, для чого на місце стовпців запишемо відповідні рядки:

Обчислимо твір матриць А і В, потім помножимо отриману матрицю на m = 2:

Віднімемо отриману матрицю з матриці С:

Тепер знайдемо матриці .

Підставляємо всі знайдені матриці в рівняння (*)

Відповідь: .

Завдання № 3

Дано вектори:

, і .

Потрібно:

  1. - Знайти довжину вектора ;

  2. - Обчислити скалярний твір ;

  3. - Знайти координати вектора ;

  4. - Встановити, чи є система векторів , , лінійно залежною.

Рішення.

  1. Довжина (модуль) вектора знаходиться за формулою:

Значить, довжина вектора дорівнює:

  1. Скалярний добуток векторів і шукається наступним чином:

Підставляємо координати векторів і .

  1. Додавання і віднімання векторів полягає в поелементному відповідно складання або віднімання їх координат. Щоб помножити вектор на число, необхідно помножити кожну координату вектора на це число. Тому:

Для того, щоб визначити, чи є система з трьох векторів, лінійно незалежної, досить обчислити визначник третього порядку, складений з координат цих векторів. Якщо визначник виявиться рівним 0, отже, система векторів лінійно залежна, якщо визначник буде відмінний від 0 - система векторів лінійно незалежна. Координати векторів будуть рядками визначника. Обчислимо визначник, розклавши його на першу колонку.

Так як визначник не дорівнює 0, отже, система векторів лінійно незалежна.

Відповідь: 1) , 2) , 3) ; 4) система векторів лінійно незалежна.

Завдання № 4

Дано координати точок:

Потрібно:

  1. знайти загальне рівняння прямої , Що проходить через точки А 1 і А 2;

  1. знайти рівняння прямої , Що проходить через точку паралельно прямий ;

  2. знайти відстань між прямими і ;

  3. написати рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно прямий і знайти координати точки перетину цих прямих;

  4. побудувати схематичне креслення.

Рішення.

  1. Спочатку запишемо рівняння прямої, що проходить через дві точки М 1 (x 1, y 1) і М 2 (x 2, y 2):

Підставляємо координати точок А 1 і А 2 і отримуємо:

Перетворимо отримане рівняння і отримаємо загальне рівняння прямої :

  1. Запишемо рівняння прямої у вигляді :

Якщо прямі паралельні, то вони мають однаковий коефіцієнт k. Значить пряма має вигляд . Так як вона проходить через точку , Значить можемо підставити координати цієї точки і знайти b:

Рівняння прямої : або

  1. Якщо дві паралельні прямі задані загальними рівняннями і , То відстань між ними можна обчислити за формулою:

Підставляючи коефіцієнти з рівнянь прямих і , Отримуємо:

  1. Рівняння прямої, що проходить через точку М1 (x 1, y 1) і перпендикулярної до прямої , Представляється рівнянням:

Підставимо координати точки і коефіцієнти рівняння прямої :

Координати точки перетину прямих і знайдемо, вирішивши систему рівнянь:

Координати точки перетину прямих D (0,5; 5,5).

  1. На малюнку зобразимо всі необхідні прямі і точки:

Відповідь: 1) , 2) , 3) ; 4) ; D (0,5; 5,5) ..

Завдання № 5

Побудувати на площині область рішень і визначити координати кутових точок області рішень системи нерівностей:

Рішення.

Побудуємо прямі:

На малюнку зображені прямі і виділена цікавить нас область рішень S.

Кутовими точками цій галузі є точки А, В, С і D. Знайдемо їх координати, як координати точок перетину відповідних двох прямих:

Отже, координати кутових точок області рішень нерівностей:

Відповідь: .

Завдання № 6

Не застосовуючи правило Лопіталя, обчислити наступні межі

1. , Якщо: а) , Б) , В) .

2.

Рішення.

  1. а)

б)

в)

Введемо заміну , Тоді . Потім домножити чисельник і знаменник на вираз, поєднане чисельника:

Відповідь: 1) а) 2; б) 0; в) 6; 2) 2.

Завдання № 7

Задана функція попиту від ціни товару . Знайти еластичність попиту за ціною при ціні , І дати економічну інтерпретацію.

Рішення.

Еластичність функції y щодо змінної х обчислюється за формулою

Обчислимо похідну функції q по p і підставимо наші значення в формулу:

Підставимо значення , Тоді отримаємо:

Отримане значення еластичності попиту за ціною показує, що якщо ціна збільшиться на 1%, то попит знизиться на %.

Відповідь: .

Завдання № 8

Дослідити функцію і побудувати її графік:

Рішення.

  1. Область визначення функції

  2. Функція не є періодичною.

Функція є непарною, тому що

  1. Так як функція непарна, значить точка перетину з віссю Оу - це початок координат, тобто точка (0, 0).

Точки перетину з віссю Ох: , Тобто тільки точка (0, 0).

  1. y (x) неперервна на всій області визначення D (x), значить точок розриву немає, вертикальних асимптот немає.

Так як межі нескінченні, значить, горизонтальних асимптот немає.

Знайдемо похилі асимптоти виду , Якщо вони є:

Пряма буде похилій асимптотой.

  1. Знайдемо екстремуми функції та інтервали зростання і зменшення. Для цього знайдемо точки, в яких перша похідна звертається до 0:

Тобто критичною є точка .

Але в точці x = 0, похідна не змінює знак, тому ця точка не є точкою екстремуму.

На всій області визначення функції y (x) похідна , Отже, функція зростає.

  1. Знайдемо інтервали опуклості і угнутості кривої, а також точки її перегину. Для цього знайдемо точки, в якій друга похідна змінює знак.

Значить, функція має три точки перегину: .

На кожному з проміжків і друга похідна , Отже, функція увігнута. На кожному з проміжків і друга похідна , Отже, функція опукла.

  1. Побудуємо графік функції



Завдання № 9

Знайти градієнт функції в зазначеній точці:

, М (1,1);

Рішення.

Градієнт функції в точці знаходиться за формулою:

Обчислимо приватні похідні заданої функції Z та їх значення в точці :

Підставимо значення приватних похідних в точці в формулу для обчислення градієнта в точці, отримаємо:

Відповідь: .

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
50.1кб. | скачати


Схожі роботи:
Розвязання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Стійкість системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера
Ітераційні методи розв`язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розв язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь за правилом Крамера методом Гаусса та за до
Матриці дії над ними Обернена матриця Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь т
Автоматизація розв`язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь прямі методи
Система лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь Фундаментальна сукупність розвязків
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru