Середні величини і показники варіації

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Зміст
1. Поняття про середні величини
2. Види середніх
3. Показники варіації
4. Методичні вказівки і розв'язання типових завдань
Список використаної літератури

1. Поняття про середні величини.
Як правило, багато ознак одиниць статистичних сукупностей різні за своїм значенням, наприклад, заробітна плата робітників однієї професії будь-якого підприємства не однакова за один і той же період часу, різні врожайність сільськогосподарських культур у господарствах району та ціни на ринку на однакову продукцію і т . д. Тому, щоб визначити значення ознаки, характерне для всієї досліджуваної сукупності одиниць, вдаються до розрахунку середніх величин.
Середньою величиною в статистиці називається узагальнюючий показник, що характеризує типовий рівень явища в конкретних умовах місця і часу, що відображає величину варьирующего ознаки в розрахунку на одиницю якісно однорідної сукупності. В економічній практиці використовується широкий круг показників, обчислених у вигляді середніх величин.
Наприклад, узагальнюючим показником доходів робітників акціонерного товариства (АТ) служить середній дохід одного робочого, який визначається відношенням фонду заробітної плати і виплат соціального характеру за аналізований період (рік, квартал, місяць) до чисельності робітників АТ. Для осіб з досить однорідним рівнем доходів, наприклад, працівників бюджетної сфери та пенсіонерів по старості (виключаючи мають пільги і додаткові доходи) можна визначити типові частки витрат на купівлю предметів харчування. Так можна говорити про середню тривалість робочого дня, середньому тарифному розряді робітників, середньому рівні продуктивності праці і т.д.
Обчислення середнього - один з найпоширеніших прийомів узагальнення; середній показник відображає те спільне, що характерно (типово) для всіх одиниць досліджуваної сукупності, в той же час він ігнорує відмінності окремих одиниць. У кожному явищі і його розвитку має місце поєднання випадковості і необхідності. При обчисленні середніх в силу дії закону великих чисел випадковості взаимопогашающиеся, врівноважуються, тому можна абстрагуватися від несуттєвих особливостей явища, від кількісних значень ознаки в кожному конкретному випадку. У здатності абстрагуватися від випадковості окремих значень, коливань і укладена наукова цінність середніх як узагальнюючих характеристик сукупностей.
Там, де виникає потреба узагальнення, розрахунок таких характеристик призводить до заміни безлічі різних індивідуальних значень ознаки середнім показником, що характеризує всю сукупність явищ, що дозволяє виявити закономірності, притаманні масовим суспільним явищам, непомітні в одиничних явищах.
Середня відображає характерний, типовий, реальний рівень досліджуваних явищ, характеризує такі рівні та їх зміни в часі і в просторі.
Середня - це зведена характеристика закономірностей процесу в тих умовах, в яких він протікає.
Аналіз середніх виявляє, наприклад, закономірності зміни продуктивності праці, заробітної плати робітників окремого підприємства на певному етапі його економічного розвитку, зміни клімату в конкретному пункті земної кулі на основі багаторічних спостережень середньої температури повітря і ін
Однак для того, щоб середній показник був дійсно типізуються, він має визначатися не для будь-яких сукупностей, а тільки для сукупностей, що складаються з якісно однорідних одиниць. Це є основною умовою науково обгрунтованого використання середніх.
Середні, отримані для неоднорідних сукупностей, будуть спотворювати характер досліджуваного суспільного явища, фальсифікувати його, або будуть безглуздими. Так, якщо розрахувати середній рівень доходів службовців будь-якого району, то вийде фіктивний середній показник, оскільки для його обчислення використана неоднорідна сукупність, що включає в себе службовців підприємств різних типів (державних, спільних, орендних, акціонерних), а також органів державного управління, сфери науки, культури, освіти і т.п. У таких випадках метод середніх використовується в поєднанні з методом угруповань, що дозволяє виділити однорідні групи, по яких і обчислюються типові групові середні.
Групові середні дозволяють уникнути «огульних» середніх, забезпечують порівняння рівнів окремих груп із загальним рівнем за сукупністю, виявлення наявних відмінностей і т.д.
Однак не можна зводити роль середніх тільки до характеристики типових значень ознак в однорідних за цією ознакою сукупностях. На практиці сучасна статистика використовує так звані системні середні, узагальнюючі неоднорідні явища (характеристика держави, єдиної народногосподарської системи: наприклад, середній національний дохід на душу населення, середня врожайність зернових по всіх країні, середній реальний дохід на душу населення, середнє споживання продуктів харчування на душу населення, продуктивність суспільної праці).
У сучасних умовах розвитку ринкових відносин в економіці середні служать інструментом вивчення об'єктивних закономірностей соціально-економічних явищ. Однак в економічному аналізі не можна обмежуватися лише середніми показниками, так як за загальними сприятливими середніми можуть ховатися і великі серйозні недоліки в діяльності окремих господарюючих суб'єктів, і паростки нового, прогресивного. Так, наприклад, розподіл населення за доходом дозволяє виявляти формування нових соціальних груп. Тому поряд із середніми статистичними даними необхідно враховувати особливості окремих одиниць сукупності.
Середня повинна обчислюватися для сукупності, що складається з досить великої кількості одиниць, так як в цьому випадку відповідно до закону великих чисел взаимопогашающиеся випадкові, індивідуальні відмінності між одиницями, і вони не роблять істотного впливу на середнє значення, що сприяє прояву основного, істотного, властивого всій масі . Якщо грунтуватися на середньому з невеликої групи даних, то можна зробити неправильні висновки, оскільки такий середній показник буде відображати значний вплив індивідуальних особливостей, тобто випадкових моментів, не характерних для досліджуваної сукупності в цілому.
Кожна середня характеризує досліджувану сукупність за яким-небудь одній ознаці, але для характеристики будь-якої сукупності, опису її типових рис і якісних особливостей потрібна система середніх показників. Тому в практиці вітчизняної статистики для вивчення соціально-економічних явищ, як правило, обчислюється система середніх показників. Так, наприклад, показники середньої заробітної плати оцінюються спільно з показниками середньої вироблення, фондоозброєності і енергоозброєності праці, ступенем механізації і автоматизації робіт та ін
Середня повинна обчислюватися з урахуванням економічного змісту досліджуваного показника. Тому для конкретного показника, що використовується в соціально-економічному аналізі, можна обчислити тільки одне справжнє значення середньої на базі наукового способу розрахунку.

2. Види середніх
У кожному конкретному випадку застосовується одна їх середніх величин: арифметична, гармонійна, геометрична, квадратична, кубічна і т.д.
Середня арифметична
Найбільш поширеним видом середніх є середня арифметична. Вона застосовується в тих випадках, коли обсяг варьирующего ознаки всієї сукупності є сумою значень ознак окремих одиниць. Для суспільних явищ характерна адитивність, тобто сумарних обсягів варьирующего ознаки, цим визначається область застосування середньої арифметичної і пояснюється її поширеність як узагальнюючого показника. Так, наприклад: загальний фонд заробітної плати - це сума заробітних плат всіх працівників, валовий збір врожаю - сума виробленої продукції з усією повсякденному площі.
Середня гармонійна
При розрахунку середніх показників крім середньої арифметичної можуть використовуватися й інші види середніх. Однак будь-яка середня величина повинна обчислюватися так, щоб при заміні нею кожного варіанта осередненою ознаки не змінювався підсумковий, узагальнюючий, або, як його прийнято називати визначальний показник, який пов'язаний з осередненою показником.
Отже, у кожному конкретному випадку залежно від характеру наявних даних, існує тільки одне справжнє середнє значення показника, адекватне властивостям і сутності досліджуваного соціально-економічного явища.
Середня геометрична
Середня геометрична застосовується в тих випадках, коли індивідуальні значення ознаки представляють собою, як правило, відносні величини динаміки, побудовані у вигляді ланцюгових величин, як ставлення до попереднього рівня кожного рівня в ряжу динаміки, тобто характеризує середній коефіцієнт зростання.
Найбільш широке застосування середня геометрична отримала для визначення середніх темпів зміни в лавах динаміки, а також у рядах розподілу.
Середня квадратична і кубічна
У ряді випадків в економічній практиці виникає потреба розрахунку середнього розміру ознаки, вираженого в квадратних або кубічних одиницях виміру. Тоді застосуються середня квадратична та середня кубічна.

3. Показники варіації

Варіація - це відмінність у значеннях якої-небудь ознаки в різних одиниць даної сукупності в один і той же період або момент часу. Наприклад, працівники фірми розрізняються за доходами, витратами часу на роботу, зростанню, вазі, улюбленого заняття у вільний час і т.д. Вона виникає в результаті того, що індивідуальні значення ознаки складаються під сукупним впливом різноманітних факторів (умов), які по-різному поєднуються в кожному окремому випадку. Таким чином, величина кожного варіанта об'єктивна.
Дослідження варіації в статистиці має велике значення, допомагає пізнати сутність досліджуваного явища. Особливо актуально воно в період формування багатоукладної економіки. Вимірювання варіації, з'ясування її причини, виявлення впливу окремих факторів дає важливу інформацію (наприклад, про тривалість життя людей, доходи та витрати населення, фінансовому становищі підприємства тощо) для прийняття науково обгрунтованих управлінських рішень.
Середня величина дає узагальнюючу характеристику ознаки досліджуваної сукупності, але вона не розкриває будови сукупності, яке має велике значення для її пізнання. Середня не показує, як розташовуються біля неї варіанти усереднює ознаки, зосереджені вони поблизу середньої або значно відхиляються від неї. Середня величина ознаки в двох сукупностях може бути однаковою, але в одному випадку всі індивідуальні значення відрізняються від неї мало, а в іншому - ці відмінності великі, тобто в одному випадку варіація ознаки мала, а в іншому - велика, це має дуже важливе значення для характеристики надійності середньої величини.
Чим більше варіантів окремих одиниць сукупності різняться між собою, тим більше вони відрізняються від своєї середньої, і навпаки, - чим менше варіанти відрізняються один від одного, тим менше вони відрізняються від середньої, яка в такому випадку буде більш реально представляти всю сукупність. Ось чому обмежуватися обчисленням однієї середньої в ряді випадків не можна. Потрібні і показники, що характеризують відхилення окремих значень від загальної середньої.

4. Методичні вказівки і розв'язання типових завдань
Середня є узагальнюючою характеристикою сукупності одиниць за якісно однорідній ознаці.
У статистиці застосовуються різні види середніх: арифметична, гармонійна, квадратична, геометрична і структурні середні - мода, медіана. Середні, крім моди і медіани, обчислюються в двох формах: простий і зваженою. Вибір форми середньої залежить від початкових даних і змісту визначається показника. Найбільшого поширення отримала середня арифметична, як проста, так і зважена.
Середня арифметична проста дорівнює сумі значень ознаки, поділеній на їх кількість:
S х
х = ¾¾¾¾,
n
де х - значення ознаки (варіант);
n - число одиниць ознаки.
Середня арифметична проста застосовується у випадках, коли варіанти представлені індивідуально у вигляді їх переліку в будь-якому порядку або рангового ряду.
Приклад 1. Доходи п'яти банків за операціями з цінними паперами за звітний період склали: 0,4; 0,7; 0,8; 1,1; 1,2 тис. руб.
Визначити середній дохід банку за даною операцією.
Рішення. Середній дохід п'яти банків за операціями з цінними паперами дорівнює
х = 4,2 / 5 = 0,84 тис. руб.
Якщо дані представлені у вигляді дискретних або інтервальних 1 рядів розподілу, в яких однакові значення ознаки (х) об'єднані в групи, що мають різне число одиниць (f), зване частотою (вагою), застосовується середня арифметична зважена:
S ХF
х = ¾¾¾¾,
Sf
Приклад 2. Є дані страхових організацій області числі укладених договорів з особового добровільному страхуванню.
№ групи
Число договорів, тис.
х
Число страхових організацій
f
Питома вага страхових організацій,
d
Число укладених договорів
xf
xd
I
II
III
IV
V
20
26
30
32
36
6
10
15
16
3
12
20
30
32
6
120
260
450
512
108
2,4
5,2
9,0
10,24
2,16
Разом
50
100
1450
29,0
Визначити середнє число укладених договорів у розрахунку на одну страхову організацію області.
Рішення. Середнє число договорів на одну страхову організацію визначається відношенням загального числа укладених договорів до числа страхових організацій:
20 • 6 + 26 • 10 + 30 • 15 + 32 • 16 + 36 • березня 1450
----------------- = - = 29 тис.
50 50
Як терезів можуть бути використані відносні величини, виражені у відсотках (d). Метод розрахунку середньої не зміниться:
S хD
х = ¾¾¾¾,
Sd
Якщо відсотки замінити коефіцієнтами (Sd = 1), то x = Sxd.
х = 20 • 0,12 + 26 • 0,2 + 30 • 0,3 + 32 • 0,32 + 36 .0,06 = 29,0 тис.
Приклад 3. За даними вибіркового спостереження є наступний розподіл фермерських господарств району за розмірами угідь:


Господарства за розмірами
Число господарств
Середина
групи
угідь, га
інтервалу
x
f
x `
xf
I
До40
20
35
700
II
40-50
40
45
1800  
Ш
50-60
  25
55
    1375  
IV
60-70
10
65
650
V
Понад 70
5
            75
375
Разом
100
-
4900
Визначити середній розмір угіддя на одне фермерське господарство:
по району.
Рішення. Для розрахунку середньої з інтервального ряду необхідно висловити варіанти одним (дискретним) числом. Для закритих інтервалів (групи II-IV) за дискретне число приймається середня: арифметична проста з верхнього та нижнього значень інтервалу. Для визначення варіанти в групах з відкритими інтервалами групи I і V) передбачається, що для першої групи величина інтервалу дорівнює інтервалу другої групи, а в останній групі-інтервалу попередньої. Подальший розрахунок аналогічний прикладу 2:
x = 4900/100 = 49 га.
У статистиці доводиться обчислювати середні за варіантами, які є груповими (приватними) середніми. У таких випадках загальна середня визначається як середня арифметична зважена з групових середніх, в якій вагами є обсяги одиниць в групах.
Приклад 4. Прострочена заборгованість за кредитами акціонерних товариств (АТ) за звітний період характеризується такими даними:
№ АТ
Заборгованість за кредитами, тис. руб.
f
Питома вага простроченої заборгованості
х
Обсяг простроченої заборгованості
х f
1
2
3
2500
3000
1000
20
30
16
500
900
160
Разом
6500
-
1560
Визначити середній відсоток простроченої заборгованості АТ.
Рішення. Економічний зміст показника одно

Питома вага простроченої заборгованості,% =

обсяг простроченої заборгованості
---------------- • 100.
обсяг загальної заборгованості
Для розрахунку середнього відсотка простроченої заборгованості треба порівняти сумарні показники простроченої та загальної заборгованості АТ.
Поряд із середньою арифметичною застосовується середня гармонійна, яка обчислюється із зворотних значень осередненою ознаки і за формою може бути простою і зваженою.
Приклад 5. Доходи банків у звітному році характеризуються наступними показниками:

банку
Середня процентна ставка
x
Дохід банку, тис. руб.
М = xf

Сума кредиту

M / x
1
2
40
35
600
350
1500
1000
Разом
-
950
2500
Визначити середню процентну ставку банків.
Рішення. Основою вибору форми середньої є реальне, зміст що визначається показника:
Ставка,% = (дохід банку / сума кредиту) • 100.
Середня процентна ставка дорівнює відношенню доходів банків до суми їх кредиту. У даному прикладі відсутні прямі дані про кредити. Але їх суми можна визначити непрямим шляхом, розділивши дохід банку (М) на процентну ставку (x) (див. останню графу).
Наведена формула називається середньої гармонійної зваженої, де ваги є твори процентної ставки (х) на суму кредиту (f): М = xf.
Мода - значення ознаки, найбільш часто зустрічається у досліджуваній сукупності. Для дискретних рядів розподілу модою є варіант з найбільшою частотою.
Для інтервальних варіаційних рядів розподілу мода вираховується за формулою.
де Мо-мода;
- Нижня межа модального інтервалу;
- Величина модального інтервалу;
- Частота модального інтервалу;
- Частота інтервалу, що передує модальному;
- Частота інтервалу, наступного за модальним.
Приклад 6. Є дані про розподіл працівників підприємства за рівнем середньомісячної заробітної плати:
№ групи
Заробітна плата.
руб.
Число працівників,
чол.
Сума
накопичених частот
I
500-600
10
10
II
600-700
30
40
III
700-800
70
110
IV
800-900
60
-
V
900-1000
25
-
VI
Понад 1000
5
-
Визначити модальний розмір заробітної плати.
Рішення. Спочатку по найбільшої частоті ознаки визначимо модальний інтервал. Найбільше число працівників - 70 чоловік - мають заробітну плату в інтервалі 700-800 руб., Який і є модальним.
Медіаною називається варіант, розташований в середині упорядкованого варіаційного ряду, який ділив його на дві рівні частини.
У прикладі 1 медіаною є величина ознаки, що дорівнює 0,8. У ранжированном ряду з парного числа членів медіаною буде середня арифметична з двох варіантів, розташованих в середині ряду.
Медіана дискретного варіаційного ряду визначається за сумою накопичених частот, яка повинна перевищувати половину всього обсягу одиниць сукупності.
Для інтервальних варіаційних рядів медіана розраховується за формулою.
де Me - медіана;
- Нижня межа медіанного інтервалу;
- Величина медіанного інтервалу;
- Сума частот ряду;
- Сума накопичених частот ряду, що передують медіанного інтервалу;
- Частота медіанного інтервалу.
Приклад 7. За даними прикладу 6 розрахувати медіану.
Рішення. Визначаємо медіанний інтервал, в якому знаходиться порядковий номер медіани. Для цього підрахуємо суму частот накопиченим підсумком до числа, що перевищує половину обсягу сукупності (200 / 2 = 100).
У графі «Сума накопичених частот» значення 110 відповідає інтервалу 700-800. Це і є медіанний інтервал, в якому знаходиться медіана.
З розрахунку видно, що половина працівників підприємства мають заробітну плату до 785,7 руб., А половина - вище цієї суми.
Показники варіації. Для вимірювання ступеня коливання окремих значень ознаки від середньої обчислюються основні узагальнюючі показники варіації: дисперсія, середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації.
Дисперсія - це середня арифметична квадратів відхилень окремих значень ознаки від їх середньої арифметичної.
Залежно від вихідних даних дисперсія обчислюється за формулою середньої арифметичної простої або зваженої:
- Невиважена (проста);
- Зважена.
Середнє квадратичне відхилення являє собою корінь квадратний з дисперсії і дорівнює:
- Незважене;
- Зважене.
На відміну від дисперсії середнє квадратичне відхилення є абсолютною мірою варіації ознаки в сукупності і виражається в одиницях вимірювання варьирующего ознаки (рублях, тоннах, відсотках і т.д.).
Для порівняння розмірів варіації різних ознак, а також для порівняння ступеня варіації однойменних ознак у декількох сукупностях обчислюється відносний показник варіації - коефіцієнт варіації (V), який представляє; собою процентне відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:
За величиною коефіцієнта варіації можна судити про ступінь варіації ознак, а отже, про однорідність складу сукупності. Чим більше його величина, тим більше розкид значень ознаки навколо середньої, тим менш однорідна сукупність за складом.
Приклад 8. Є вибіркові дані про стаж працівників комерційних банків:
стаж, років
Середньооблікова
чисельність
працівників, чол. f
Середина
інтервалу
до 3
3-5
5-7
7-9
понад 9
10
48
28
10
4
2
4
6
8
10
20
192
168
80
40
-3
-1
1
3
5
9
1
1
9
25
90
48
28
90
100
Разом
100
-
500
-
-
356
Визначити:
1) середній стаж працівників;
2) дисперсію;
3) середнє квадратичне відхилення;
4) коефіцієнт варіації.
Рішення. 1. Середній стаж працівників
x = 500/100 = 5 років.
2. Дисперсія
356/100 = 3,56 3,6;
3. Середнє квадратичне відхилення = 356/100 = 3.6 = 1,8867.
4. Коефіцієнт варіації = 1,8867 / 5-100 = 37,7%.
Правило додавання дисперсій (варіацій). Для статистичної сукупності, згрупованої по досліджуваному ознакою, можливо обчислення трьох видів дисперсій: загальної, приватних (внутрішньогрупових) - і груповий. Загальна дисперсія характеризує варіацію всіх одиниць сукупності від загальної середньої, приватні - варіацію ознаки в групах від групової середньої і міжгрупових - варіацію групових середніх від загальної середньої. Між зазначеними видами дисперсій існує співвідношення, яке називають правилом додавання дисперсій: загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з приватних дисперсій і міжгруповий:
Якщо підставою угруповання є факторний ознака, то за допомогою правила додавання дисперсій можна виміряти силу його впливу на результативну ознаку, обчисливши коефіцієнт детермінації і емпіричне кореляційне відношення.
Коефіцієнт детермінації дорівнює відношенню міжгруповий дисперсії до загальної і показує частку загальної варіації результативної ознаки, обумовлену варіацією группировочного ознаки.
Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації називається емпіричним кореляційним відношенням:

За абсолютною величиною він може змінюватися від 0 до 1. Якщо = 0, Группіровочний ознака не робить впливу на результативний. Якщо = 1, зміна результативної ознаки повністю зумовлене групувальні ознакою, тобто між ними існує функціональний зв'язок.
Приклад 9. За даними вибіркового обстеження заробітної плати працівників бюджетної сфери отримані наступні показники:
Галузь
Середня заробітна плата, руб.
Чисельність працівників, чол.
f
Дисперсія заробітної плати
Охорона здоров'я Освіта
600
800
80
120
4 900
16900
Визначити:
1) середню заробітну плату працівників по двох галузях;
2) дисперсії заробітної плати: а) середню з групових дисперсій (галузевих), б) міжгрупова (міжгалузеву), в) загальну;
3) коефіцієнт детермінації і емпіричне кореляційне відношення.
Рішення. 1. Середня заробітна плата працівників за двома галузями дорівнює
2. а) Середня з групових дисперсій дорівнює
б) міжгрупова дисперсія дорівнює
в) Застосовуючи правила додавання дисперсій, одержимо загальну дисперсію:
а) Коефіцієнт детермінації дорівнює 0,4424, або 44,24%.
Він показує, що оплата праці на 44,24% залежить від галузевої приналежності працівників і на 55,76% - від внутрішньогалузевих причин.
б) Емпіричне кореляційне відношення становить, що свідчить про суттєвий вплив на диференціацію заробітної плати галузевих особливостей.

Список використаної літератури
1. Гусаров В.М. Теорія статистики: Навчальний посібник для вузів. - М.: Аудит, ЮНИТИ, 1998. - 247 с
2. Загальна теорія статистики Учеб. для вузів / В.С. Козло, Я.М. Ерліх та ін М.: Фінанси і статистика, 1985
3. Практикум зі статистики: Навчальний посібник для вузів / під редакцією В.М. Сімчери / ХТРЕІУ. - М.: ЗАТ "Финстатинформ", 1999. - 259 с
4. Ряузов М.М. Загальна теорія статистики: Учеб. для вузів. - М.: Фінанси і статистика, 1984
5. Теорія статистика: Учеб. для вузов / Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.: Фінанси і статистика, 1996
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Економіко-математичне моделювання | Курсова
95.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Показники варіації вибіркове спостереження
Середні величини
Середні величини 2
Середні величини види властивості область застосування
Середні величини оцінка різноманітності ознаки в варіаційному ряду
Відносні та середні величини оцінка їх достовірності Варіаційні ряди Методика аналізу динамічного
Відносні величини Медико демографічні показники
Варіації при обчисленні
Варіації на тему електрохімічної активації
© Усі права захищені
написати до нас