Рішення задачі оптимального резервування системи методом динамічного програмування

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.


Нажми чтобы узнать.
скачати

Надійність АСО і У
Лабораторна робота № 3
Рішення задачі оптимального резервування системи методом динамічного програмування
Варіант № 1
Студент
Корнєєва М.С.
(Шіфр605596)
Група
АУЗ-562

Введення
Мета роботи
Вивчення впливу структурного резервування на показники надійності системи, освоєння методу динамічного програмування для вирішення задачі оптимального резервування
Завдання на роботу
1. Освоїти методи розв'язання задачі оптимального резервування технічної системи.
2. Для заданого варіанту побудувати оптимальну схему системи при навантаженому резервування її елементів. Для цього вирішити завдання методами невизначених множників Лагранжа і динамічного програмування.
3. Скласти звіт по роботі, що містить всі етапи виконання завдання
Завдання
Система керування містить блок обробки і блок видачі команд. Величини ймовірностей безвідмовної роботи і приведених витрат на ці блоки P 1 (t i) = 0,5, P 2 (t i) = 0,7, з 1 = 3 ум.од., з 2 = 1 усл.ед
Знайти оптимальний навантажений резерв для кожного блоку за умови, що ймовірність безвідмовної роботи системи повинна бути не менше 0,98 при мінімальних витратах.

Хід виконання роботи
Теоретичні положення.
Велика група завдань оптимізації пов'язана з визначенням числа резервних елементів (підсистем) з урахуванням обмежуючих факторів (витрат). Такі завдання можуть бути двох видів.
Задачі оптимального резервування першого виду полягають у визначенні необхідної кількості резервних елементів, які забезпечують задане значення показника надійності системи при мінімальних витратах.
Завдання другого виду - визначення необхідної кількості резервних елементів, які забезпечують максимум значення показника надійності системи при величині витрат, що не перевищує задану.
Для вирішення перерахованих завдань використовують метод невизначених множників Лагранжа, а також методи: градієнтний, перебору і динамічного програмування.
Метод невизначених множників Лагранжа дозволяє аналітично отримати наближене рішення задачі. Похибка результатів обумовлена ​​тим, що даний метод оперує дійсними числами, в той час як кількість резервних елементів системи виражається як ціле число. Округлення результатів до цілих чисел викликає зсув екстремуму в просторі параметрів, внаслідок чого виникає похибка рішення. Крім того метод невизначених множників Лагранжа дає рішення в явному вигляді тільки при найпростіших моделях надійності.
Метод динамічного програмування є модифікацією методу простого перебору. У цьому методі для скорочення числа варіантів при переборі вводиться поняття домінуюча послідовність - підмножина варіантів, перспективних з точки зору пошуку оптимального рішення.
Стосовно до завдання оптимального резервування будемо вважати, що один склад системи, що представляє собою деяку комбінацію розташування резервних елементів, домінує над іншим, якщо для одного і того ж рівня надійності забезпечення цього складу пов'язане з мінімальними витратами. Всі неоптимальні рішення, що не входять до складу домінуючою послідовності в силу того, що вони володіють більшою величиною витрат при тій же надійності чи меншою надійністю при тих же витратах, ніж члени домінуючою послідовності, виключаються з розгляду.
Рішення задачі методом невизначених множників Лагранжа.
Нехай система складається з підсистем і кожна підсистема має резервів. Імовірність відмови системи .

Витрати на резервну підсистему .
Оптимальний резерв i-ої підсистеми має вигляд:
,
де
Занесемо вихідні дані і проміжні розрахунки в таблицю

i
1
2

3
1

0,5
0,3

-0,6932
-1,204

-4,3281
-0,8306
Первісний стан системи, коли немає резервів, описується вектором стану , Оскільки спочатку генератор складається з двох блоків. .
При цьому


Визначаємо оптимальну кількість елементів кожної підсистеми:


Округляючи результати до найближчих цілих значень, отримаємо наближений оптимальний склад системи: . При такому складі системи параметри системи будуть наступними:


При такому складі системи ймовірність відмови становить Q = 0.018, що менше заданої величини Q зад = 0,02, отже умова виконується
Рішення задачі методом динамічного програмування
Приймемо, що для блоку № 1 максимальне число резервних блоків дорівнює 6, а для блоку № 2 максимальне число резервних блоків дорівнює 5. Для побудова домінуючою послідовності побудуємо таблицю

Число К1 резервних блоків до блоку 1
0
1
2
3
4
5
6
1
3,0000
2
6,0000
3
9,0000
4
12,0000
5
15,0000
6
18,0000
7
21,0000
0,5000
0,2500
0,1250
0,0625
0,0313
0,0156
0,0078
Число К2 резервних блоків до блоку 2
0
8
1,0000
14
4,0000
15
7,0000
16
10,0000
17
13,0000
18
16,0000
19
19,0000
20
22,0000
0,3000
0,8000
0,5500
0,4250
0,3625
0,3313
0,3156
0,3078
1
9
2,0000
21
5,0000
22
8,0000
23
11,0000
24
14,0000
25
17,0000
25
20,0000
27
23,0000
0,0900
0,5900
0,3400
0,2150
0,1525
0,1213
0,1056
0,0978
2
10
3,0000
28
6,0000
29
9,0000
30
12,0000
31
15,0000
32
18,0000
33
21,0000
34
24,0000
0,0270
0,5270
0,2770
0,1520
0,0895
0,0583
0,0426
0,0348
3
11
4,0000
35
7,0000
36
10,0000
37
13,0000
38
16,0000
39
19,0000
40
22,0000
41
25,0000
0,0081
0,5081
0,2581
0,1331
0,0706
0,0394
0,0237
0,0159
4
12
5,0000
42
8,0000
43
11,0000
44
14,0000
45
17,0000
46
20,0000
47
23,0000
48
26,0000
0,0024
0,6170
0,3670
0,2420
0,1795
0,1483
0,1326
0,1248
5
13
6,0000
49
9,0000
50
12,0000
51
15,0000
52
18,0000
53
21,0000
54
24,0000
55
27,0000
0,0007
0,5540
0,3040
0,1790
0,1165
0,0853
0,0696
0,0618

У клітинах 14-55 записуємо значення ймовірностей відмов і витрат для послідовно з'єднаних блоків 1 і 2.
У таблиці темно-сірим кольором позначені клітини-варіанти реалізації пристрою, що підходять під умову відмовостійкості. З них вибираємо варіант з найменшими витратами

Висновки
Вирішивши задачу методом невизначених множників Лагранжа і методом динамічного програмування прийшов до наступного оптимальному за витратами і відмовостійкості складу системи, з урахуванням введених навантажених блоків: .
Графічно:
SHAPE \ * MERGEFORMAT
1
1
1
1
1
1
2
2
2

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Програмування, комп'ютери, інформатика і кібернетика | Лабораторна робота
55.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Рішення задачі лінійного програмування графічним методом
Рішення задачі лінійного програмування симплексним методом
Рішення задачі лінійного програмування симплекс методом
Рішення задачі оптимального управління
Рішення транспортної задачі методом потенціалів
Рішення задачі комівояжера методом гілок і меж
Симплекс метод рішення задачі лінійного програмування
Графічне рішення задачі лінійного програмування в економіці
Рішення задач лінійного програмування симплекс методом
© Усі права захищені
написати до нас
Рейтинг@Mail.ru